北師大版八上第1章 測試卷（3）

第一章 勾股定理 章末測試卷一、選擇題（每題4分，共28分）1（2018濱州）在直角三角形中，若勾為3，股為4，則弦為（）A5B6C7D82（4分）（2017興安盟）下列長度的三條線段能組成銳角三角形的是（）A6，8，14B6，8，12C6，8，10D6，8，83（4分）如圖，正方形ABCD的邊長為1，則正方形ACEF的面積為（）A2B3C4D54（4分）如果梯子的底端離建筑物5米，13米長的梯子可以達到建筑物的高度是（）A12米B13米C14米D15米5（4分）滿足下列條件的ABC中，不是直角三角形的是（）Aa：b：c=3：4：5BA：B：C=1：2：3Ca2：b2：c2=1：2：3Da2：b2：c2=3：4：56（4分）若等腰三角形中相等的兩邊長為10cm，第三邊長為16cm，那么第三邊上的高為（）A12 cmB10 cmC8 cmD6 cm7（4分）如圖，正方形網(wǎng)格中的ABC，若小方格邊長為1，則ABC的形狀為（）A直角三角形B銳角三角形C鈍角三角形D以上答案都不對二、填空：（每空4分，共計28分）8（4分）已知一個Rt的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方為9（4分）求如圖中直角三角形中未知的長度：b=，c=10（4分）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，則正方形A，B，C，D的面積之和為cm211（4分）小明把一根70cm長的木棒放到一個長、寬、高分別為40cm、30cm、50cm的木箱中，他能放進去嗎？答：（填“能”、或“不能”）12（4分）（2018襄陽）已知CD是ABC的邊AB上的高，若CD，AD1，AB2AC，則BC的長為13（4分）（2018福建）把兩個同樣大小的含45°角的三角尺按如圖所示的方式放置，其中一個三角尺的銳角頂點與另一個的直角頂點重合于點A，且另三個銳角頂點B，C，D在同一直線上若AB，則CD14（4分）（2018黃岡）如圖，圓柱形玻璃杯高為14cm，底面周長為32cm，在杯內壁離杯底5cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到內壁B處的最短距離為cm（杯壁厚度不計）三、解答題：（每題11分，共計44分）15（11分）一棵樹在離地面9米處斷裂，樹的頂部落在離樹根底部12米處，求樹折斷之前的高度？（自己畫圖并解答）16（11分）小東與哥哥同時從家中出發(fā)，小東以6km/時的速度向正北方向的學校走去，哥哥則以8km/時的速度向正東方向走去，半小時后，小東距哥哥多遠？17（11分）如圖所示，四邊形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，A=90°；（1）求BD的長；（2）求四邊形ABCD的面積18（11分）如圖，有一個直角三角形紙片，兩直角邊AB=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將直角邊BC沿直線BD折疊，使點C落在點E處，求三角形BDF的面積是多少？四、附加題19如圖所示的一塊地，AD=12m，CD=9m，ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求這塊地的面積20如圖，ABC是直角三角形，BAC=90°，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DEDF（1）如圖1，試說明BE2+CF2=EF2；（2）如圖2，若AB=AC，BE=12，CF=5，求DEF的面積參考答案一、選擇題（每題4分，共28分）1（2018濱州）在直角三角形中，若勾為3，股為4，則弦為（）A5B6C7D8【分析】直接根據(jù)勾股定理求解即可【解答】解：在直角三角形中，勾為3，股為4，弦為5故選：A【點評】本題考查了勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方2（4分）（2017興安盟）下列長度的三條線段能組成銳角三角形的是（）A6，8，14B6，8，12C6，8，10D6，8，8【考點】KS：勾股定理的逆定理 【專題】55：幾何圖形【分析】根據(jù)勾股定理求出以較短的兩條邊為直角邊的三角形的斜邊的長度，然后與較長的邊進行比較作出判斷即可【解答】解：A、6+814，不能組成三角形；B、1012，6+812，不能組成銳角三角形；C、10是直角三角形，不能組成銳角三角形；D、108，6+88，能組成銳角三角形故選：D【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，利用勾股定理求出直角三角形的斜邊是解題的關鍵3（4分）如圖，正方形ABCD的邊長為1，則正方形ACEF的面積為（）A2B3C4D5【考點】算術平方根 【分析】根據(jù)勾股定理，可得AC的長，再根據(jù)乘方運算，可得答案【解答】解：由勾股定理，得AC=，乘方，得（）2=2，故選：A【點評】本題考查了算術平方根，先求出AC的長，再求出正方形的面積4（4分）如果梯子的底端離建筑物5米，13米長的梯子可以達到建筑物的高度是（）A12米B13米C14米D15米【考點】勾股定理的應用 【專題】應用題【分析】根據(jù)梯子、地面、墻正好構成直角三角形，再根據(jù)勾股定理解答即可【解答】解：如圖所示，AB=13米，BC=5米，根據(jù)勾股定理AC=12米故選A【點評】此題是勾股定理在實際生活中的運用，比較簡單5（4分）滿足下列條件的ABC中，不是直角三角形的是（）Aa：b：c=3：4：5BA：B：C=1：2：3Ca2：b2：c2=1：2：3Da2：b2：c2=3：4：5【考點】勾股定理的逆定理；三角形內角和定理 【分析】由勾股定理的逆定理得出A、C是直角三角形，D不是直角三角形；由三角形內角和定理得出B是直角三角形；即可得出結果【解答】解：a：b：c=3：4：5，32+42=52，這個三角形是直角三角形，A是直角三角形；A：B：C=1：2：3，C=90°，B是直角三角形；a2：b2：c2=1：2：3，a2+b2=c2，三角形是直角三角形，C是直角三角形；a2：b2：c2=3：4：5，a2+b2c2，三角形不是直角三角形；故選：D【點評】本題考查了勾股定理的逆定理、三角形內角和定理；熟練掌握勾股定理的逆定理和三角形內角和定理，通過計算得出結果是解決問題的關鍵6（4分）若等腰三角形中相等的兩邊長為10cm，第三邊長為16cm，那么第三邊上的高為（）A12 cmB10 cmC8 cmD6 cm【考點】勾股定理；等腰三角形的性質 【分析】根據(jù)等腰三角形的性質先求出BD，然后在RTABD中，可根據(jù)勾股定理進行求解【解答】解：如圖：由題意得：AB=AC=10cm，BC=16cm，作ADBC于點D，則有DB=BC=8cm，在RtABD中，AD=6cm故選D【點評】本題考查了等腰三角形的性質及勾股定理的知識，關鍵是掌握等腰三角形底邊上的高平分底邊，及利用勾股定理直角三角形的邊長7（4分）如圖，正方形網(wǎng)格中的ABC，若小方格邊長為1，則ABC的形狀為（）A直角三角形B銳角三角形C鈍角三角形D以上答案都不對【考點】勾股定理的逆定理；勾股定理 【專題】網(wǎng)格型【分析】根據(jù)勾股定理求得ABC各邊的長，再利用勾股定理的逆定理進行判定，從而不難得到其形狀【解答】解：正方形小方格邊長為1，BC=2，AC=，AB=，在ABC中，BC2+AC2=52+13=65，AB2=65，BC2+AC2=AB2，ABC是直角三角形故選：A【點評】考查了勾股定理的逆定理，解答此題要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三邊滿足a2+b2=c2，則三角形ABC是直角三角形二、填空：（每空4分，共計28分）8（4分）已知一個Rt的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方為7或25【考點】勾股定理 【分析】已知的這兩條邊可以為直角邊，也可以是一條直角邊一條斜邊，從而分兩種情況進行討論解答【解答】解：分兩種情況：當3、4都為直角邊時，第三邊長的平方=32+42=25；當3為直角邊，4為斜邊時，第三邊長的平方=4232=7故答案為：7或25【點評】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關鍵9（4分）求如圖中直角三角形中未知的長度：b=12，c=10【考點】勾股定理 【分析】根據(jù)勾股定理進行計算即可【解答】解：b=12；c=10，故答案為：12；10【點評】本題考查的是勾股定理的應用，在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方10（4分）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，則正方形A，B，C，D的面積之和為49cm2【考點】勾股定理 【分析】根據(jù)正方形的面積公式，連續(xù)運用勾股定理，發(fā)現(xiàn)：四個小正方形的面積和等于最大正方形的面積【解答】解：由圖形可知四個小正方形的面積和等于最大正方形的面積，故正方形A，B，C，D的面積之和=49cm2故答案為：49cm2【點評】熟練運用勾股定理進行面積的轉換11（4分）小明把一根70cm長的木棒放到一個長、寬、高分別為40cm、30cm、50cm的木箱中，他能放進去嗎？答：能（填“能”、或“不能”）【考點】勾股定理的應用 【分析】能，在長方體的盒子中，一角的頂點與斜對的不共面的頂點的距離最大，根據(jù)木箱的長，寬，高可求出最大距離，然后和木棒的長度進行比較即可【解答】解：能，理由如下：可設放入長方體盒子中的最大長度是xcm，根據(jù)題意，得x2=502+402+302=5000，702=4900，因為49005000，所以能放進去故答案為能【點評】本題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是求出木箱內木棒的最大長度12（4分）（2018襄陽）已知CD是ABC的邊AB上的高，若CD，AD1，AB2AC，則BC的長為2或2【考點】KQ：勾股定理 【專題】552：三角形【分析】分兩種情況：當ABC是銳角三角形，如圖1，當ABC是鈍角三角形，如圖2，分別根據(jù)勾股定理計算AC和BC即可【解答】解：分兩種情況：當ABC是銳角三角形，如圖1，CDAB，CDA90°，CD，AD1，AC2，AB2AC，AB4，BD413，BC2；當ABC是鈍角三角形，如圖2，同理得：AC2，AB4，BC2；綜上所述，BC的長為2或2故答案為：2或2【點評】本題考查了三角形的高、勾股定理的應用，在直角三角形中常利用勾股定理計算線段的長，要熟練掌握13（4分）（2018福建）把兩個同樣大小的含45°角的三角尺按如圖所示的方式放置，其中一個三角尺的銳角頂點與另一個的直角頂點重合于點A，且另三個銳角頂點B，C，D在同一直線上若AB，則CD1【考點】勾股定理【專題】11：計算題【分析】先利用等腰直角三角形的性質求出BC2，BFAF1，再利用勾股定理求出DF，即可得出結論【解答】解：如圖，過點A作AFBC于F，在RtABC中，B45°，BCAB2，BFAFAB1，兩個同樣大小的含45°角的三角尺，ADBC2，在RtADF中，根據(jù)勾股定理得，DFCDBF+DFBC1+21，故答案為：1【點評】此題主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質，正確作出輔助線是解本題的關鍵14（4分）（2018黃岡）如圖，圓柱形玻璃杯高為14cm，底面周長為32cm，在杯內壁離杯底5cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到內壁B處的最短距離為20cm（杯壁厚度不計）【考點】KV：平面展開最短路徑問題 【專題】27：圖表型【分析】將杯子側面展開，建立A關于EF的對稱點A，根據(jù)兩點之間線段最短可知AB的長度即為所求【解答】解：如圖：將杯子側面展開，作A關于EF的對稱點A，連接AB，則AB即為最短距離，AB20（cm）故答案為20【點評】本題考查了平面展開最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質和勾股定理進行計算是解題的關鍵同時也考查了同學們的創(chuàng)造性思維能力三、解答題：（每題11分，共計44分）15（11分）一棵樹在離地面9米處斷裂，樹的頂部落在離樹根底部12米處，求樹折斷之前的高度？（自己畫圖并解答）【考點】勾股定理的應用 【分析】根據(jù)勾股定理，計算樹的折斷部分是15米，則折斷前樹的高度是15+9=24米【解答】解：如圖所示：因為AB=9米，AC=12米，根據(jù)勾股定理得BC=15米，于是折斷前樹的高度是15+9=24米【點評】本題考查正確運用勾股定理善于觀察題目的信息是解題以及學好數(shù)學的關鍵16（11分）小東與哥哥同時從家中出發(fā)，小東以6km/時的速度向正北方向的學校走去，哥哥則以8km/時的速度向正東方向走去，半小時后，小東距哥哥多遠？【考點】勾股定理的應用 【分析】根據(jù)題意求出小東與哥哥各自行走的距離，根據(jù)勾股定理計算即可【解答】解：由題意得，AC=6×=3km，BC=8×=4km，ACB=90°，則AB=5km【點評】本題考查的是勾股定理的應用，正確構造直角三角形、靈活運用勾股定理是解題的關鍵17（11分）如圖所示，四邊形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，A=90°；（1）求BD的長；（2）求四邊形ABCD的面積【考點】勾股定理；勾股定理的逆定理 【分析】（1）在RtABD中，利用勾股定理可求出BD的長度；（2）利用勾股定理的逆定理判斷出BDC為直角三角形，根據(jù)S四邊形ABCD=SABD+SBDC，即可得出答案【解答】解：（1）A=90°，ABD為直角三角形，則BD2=AB2+AD2=25，解得：BD=5（2）BC=13cm，CD=12cm，BD=5cm，BD2+CD2=BC2，BDCD，故S四邊形ABCD=SABD+SBDC=AB×AD+BD×DC=6+30=36【點評】本題考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，在求不規(guī)則圖形的面積時，我們可以利用分解法，將不規(guī)則圖形的面積轉化為幾個規(guī)則圖形的面積之和18（11分）如圖，有一個直角三角形紙片，兩直角邊AB=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將直角邊BC沿直線BD折疊，使點C落在點E處，求三角形BDF的面積是多少？【考點】翻折變換（折疊問題） 【專題】應用題；操作型【分析】由折疊的性質得到三角形BDC與三角形BDE全等，進而得到對應邊相等，對應角相等，再由兩直線平行內錯角相等，等量代換及等角對等邊得到FD=FB，設FD=FB=xcm，則AF=（8x）cm，在直角三角形AFB中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出FD的長，進而求出三角形BDF面積【解答】解：由折疊可得：BDCBDE，CBD=EBD，BC=BE=8cm，ED=DC=AB=6cm，ADBC，ADB=DBC，ADB=EBD，F(xiàn)D=FB，設FD=FB=xcm，則有AF=ADFD=（8x）cm，在RtABF中，根據(jù)勾股定理得：x2=（8x）2+62，解得：x=，即FD=cm，則SBDF=FDAB=cm2【點評】此題考查了翻折變換（折疊問題），涉及的知識有：折疊的性質，全等三角形的性質，平行線的性質，等腰三角形的判定，以及勾股定理，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵四、附加題19如圖所示的一塊地，AD=12m，CD=9m，ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求這塊地的面積【考點】勾股定理的應用；三角形的面積；勾股定理的逆定理 【專題】應用題【分析】連接AC，運用勾股定理逆定理可證ACD，ABC為直角三角形，可求出兩直角三角形的面積，此塊地的面積為兩個直角三角形的面積差【解答】解：連接AC，則在RtADC中，AC2=CD2+AD2=122+92=225，AC=15，在ABC中，AB2=1521，AC2+BC2=152+362=1521，AB2=AC2+BC2，ACB=90°，SABCSACD=ACBCADCD=×15×36×12×9=27054=216答：這塊地的面積是216平方米【點評】解答此題的關鍵是通過作輔助線使圖形轉化成特殊的三角形，可使復雜的求解過程變得簡單20如圖，ABC是直角三角形，BAC=90°，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DEDF（1）如圖1，試說明BE2+CF2=EF2；（2）如圖2，若AB=AC，BE=12，CF=5，求DEF的面積【考點】全等三角形的判定與性質；勾股定理；等腰直角三角形 【分析】（1）延長ED至點G，使得EG=DE，連接FG，CG，易證EF=FG和BDECDG，可得BE=CG，DCG=DBE，即可求得FCG=90°，根據(jù)勾股定理即可解題；（2）連接AD，易證ADE=CDF，即可證明ADECDF，可得AE=CF，BE=AF，S四邊形AEDF=SABC，再根據(jù)DEF的面積=SABCSAEF，即可解題【解答】（1）證明：延長ED至點G，使得DG=DE，連接FG，CG，DE=DG，DFDE，DF垂直平分DE，EF=FG，D是BC中點，BD=CD，在BDE和CDG中，BDECDG（SAS），BE=CG，DCG=DBE，ACB+DBE=90°，ACB+DCG=90°，即FCG=90°，CG2+CF2=FG2，BE2+CF2=EF2；（2）解：連接AD，AB=AC，D是BC中點，BAD=C=45°，AD=BD=CD，ADE+ADF=90°，ADF+CDF=90°，ADE=CDF，在ADE和CDF中，ADECDF（ASA），AE=CF，BE=AF，AB=AC=17，S四邊形AEDF=SABC，SAEF=×5×12=30，DEF的面積=SABCSAEF=【點評】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質，本題中求證BDECDG和ADECDF是解題的關鍵第20頁（共20頁）