《《數(shù)學(xué)物理方法》課程十六.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《數(shù)學(xué)物理方法》課程十六.ppt（24頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第十一章 勒讓德多項(xiàng)式 球函數(shù) 第四節(jié) 連帶勒讓德多項(xiàng)式、球函數(shù) 二、球函數(shù),第十一章 勒讓德多項(xiàng)式 球函數(shù) 第四節(jié) 連帶勒讓德多項(xiàng)式、球函數(shù) 二、球函數(shù) 1、球函數(shù)的定義 對(duì)不具備軸對(duì)稱的情況，球函數(shù)方程的解 是 其中, m = 0,1,2,n, n = 0,1,2,3.。 稱為球函數(shù)，n 叫做它的階。獨(dú)立的球函數(shù)共,有 2n+1個(gè)，因?yàn)閷?duì) m = 0 有一個(gè)球函數(shù) Pn(cos)，對(duì)于m = 1,2,3，n 各有兩個(gè) 球函數(shù) 。 根據(jù)歐拉公式： 獨(dú)立的 n 階球函數(shù)還是 2n+1 個(gè)。 2、球函數(shù)的正交歸一性 球函數(shù)中的任意兩個(gè)在
2、球面上正交，即 如采用三角形式：,,,,,,,,,,,如采用指數(shù)形式：,,,,,3、展開(kāi)定理 任一函數(shù)f (， )可在球面上(0，0 2)按球函數(shù)展開(kāi)：,,,有了球函數(shù)，拉普拉斯方程 例2、在半徑為 a 的球的(1)內(nèi)部，(2)外部，求解,,,,,研究一個(gè)特例 解： (1)球的內(nèi)部：當(dāng)r 0時(shí)，u(r,, )有限， Dn=0,,,,,,,,,,,,,,當(dāng)n 2,m 2時(shí) 當(dāng)n =2,m =2時(shí) (2)在球的外部：當(dāng)r 時(shí)，u(r,, )有限 Cn=0，故,,,,,,,,,,,,,,,,,當(dāng)n 2, m 2時(shí) 當(dāng)n = 2, m = 2時(shí),,,,,,主要內(nèi)容 (1
3、)、三維拉普拉斯方程、波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程在柱坐標(biāo)下的分離變量法 (2)、奇點(diǎn)鄰域的冪級(jí)數(shù)解法 (3)、貝塞爾微分方程及貝塞爾函數(shù)的定義、性質(zhì) (4)、貝塞爾函數(shù)的母函數(shù)及其遞推公式,(5)、貝塞爾函數(shù)的零點(diǎn)、本征值、正交歸一性、按貝塞爾函數(shù)展開(kāi) (6)、虛宗量貝塞爾函數(shù)的定義及性質(zhì) (7)、柱函數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用 (8)、球貝塞爾方程的導(dǎo)出 (9) 、球貝塞爾函數(shù)及其應(yīng)用,,,采用極坐標(biāo)：,,,重點(diǎn)和難點(diǎn) 重點(diǎn)：柱坐標(biāo)下的分離變量法；貝塞爾函數(shù)的定義和基本性質(zhì)；虛宗量貝塞爾函數(shù)的定義及性質(zhì)；柱函數(shù)的應(yīng)用；球貝塞爾函數(shù)及其應(yīng)用 難點(diǎn)：柱坐標(biāo)下的分離變量法；貝塞爾函數(shù)的定義；虛宗量貝塞爾函數(shù)
4、的定義；球貝塞爾函數(shù)的定義；柱函數(shù)的應(yīng)用；球貝塞爾函數(shù)的應(yīng)用,,,,,第十二章 貝塞耳函數(shù)柱函數(shù) 第一節(jié) 貝塞爾微分方程及貝塞爾函數(shù) 一、貝塞爾微分方程的導(dǎo)出 1、在柱坐標(biāo)下求解拉普拉斯方程 考察三維拉普拉斯方程,,,采用極坐標(biāo)：,,,如果討論的問(wèn)題具有對(duì)稱性，研究對(duì)象與z軸無(wú)關(guān), 則三維拉氏方程變?yōu)槎S拉氏方程： 現(xiàn)在討論三維拉普拉斯方程的解：以分離變數(shù)形式的解,,,,,,,,,,微分方程(1)與自然周期條件： 構(gòu)成特征值問(wèn)題，其特征值和特征函數(shù)為： 將代入（2）得：,,,,,,1)當(dāng)= 0時(shí)， 2)當(dāng) 0時(shí)，（至于 0 ，= 0還是< 0，要根據(jù)具體的邊界條件考慮）,,
5、,,,,令 貝塞爾方程，其解稱為貝塞爾函數(shù)。 3)當(dāng)< 0時(shí)，記 對(duì)于這種情況，如果要求 Z (z) 在 z = 0， z = h 滿足齊次邊界條件：Z(0)=0 , Z(h)=0，那么這,,,,,,,,,,,,,時(shí)應(yīng)排除 的情況。再看常微分方程(6)， 令 x = hr ，則方程變?yōu)? (5) 方程（5）稱為虛宗量貝塞爾方程。虛宗量的貝塞爾方程的解叫做虛宗量貝塞爾函數(shù)。它沒(méi)有實(shí)的零點(diǎn)。因此，如果要求R (r)在端點(diǎn)r = a 滿足齊次邊界條件，即：R (a) = 0 ，就應(yīng)排除< 0 的可能。,,,,,,2、波動(dòng)方程 偏微分方程（7）叫做亥姆霍茲方程。 3、輸運(yùn)方程,,,,,,,,,,偏微分方程（9）是亥姆霍茲方程。,,,,,,4、在柱坐標(biāo)下求解亥姆霍茲方程 在柱坐標(biāo)系，亥姆霍茲方程的表達(dá)式是 方程（10）與自然周期條件 構(gòu)成特征值問(wèn)題特征值和特征函數(shù)是：,方程（12）的解已給出：如果問(wèn)題的邊界條件全是齊次的，就應(yīng)該排除0，把 記作 h2，則 作自變數(shù)的代換： 這是n階貝塞爾方程，其解為貝塞爾函數(shù)。,
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