2.4 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

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*2.4 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 教學(xué)目標(biāo) 1、理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的兩根x1，x2與系數(shù)a、b、c之間的關(guān)系。 2、能根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系式和已知一個(gè)根的條件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知數(shù)。 3、會(huì)求已知方程的兩根的倒數(shù)和與平方和、兩根的差。 4、在推導(dǎo)過程中，培養(yǎng)學(xué)生“觀察——發(fā)現(xiàn)——猜想——證明”的研究問題的思想與方法。 教學(xué)重難點(diǎn) 【教學(xué)重點(diǎn)】 一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的兩根x1，x2與系數(shù)a、b、c之間的關(guān)系，求已知方程的兩根的倒數(shù)和與平方和、兩根的差。 【教學(xué)難點(diǎn)】 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系式和已知一個(gè)根的條件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知數(shù)。 課前準(zhǔn)備 無 教學(xué)過程 第一環(huán)節(jié)：復(fù)習(xí)回顧 內(nèi)容： 1、一元二次方程的一般形式？ ax2+bx+c=0 (a≠0)（板書）??? ? 2、一元二次方程有實(shí)數(shù)根的條件是什么？ (△=b2-4ac≥0) 3、當(dāng)△＞0，△=0，△＜0 根的情況如何？ 4、一元二次方程的求根公式是什么？ 目的：以問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生思考，回憶公式法解一元二次方程的相關(guān)知識(shí)，有利于學(xué)生銜接前后知識(shí)，形成清晰的知識(shí)脈絡(luò)，為后面的學(xué)習(xí)作好鋪墊。 效果：第一問題學(xué)生先動(dòng)筆寫在練習(xí)本上，有個(gè)別同學(xué)少了條件“a≠0”。 后面的問題由于較簡單，學(xué)生很快回答出來，提高了學(xué)生自信心。 第二環(huán)節(jié)：情景引入 內(nèi)容：同學(xué)們，我們來做一個(gè)游戲，看誰能更快速的說出下列一元二次方程的兩根和與兩根積？? （1）x2+3x+4=0 （2）6x2+x-2=0? （3） 2x2-3x?+1=0 目的：通過游戲入手，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。 效果：激發(fā)了學(xué)生的求知欲和好奇心，激起了學(xué)生探究新知的興趣。自然引出本節(jié)課要學(xué)習(xí)的課題 第三環(huán)節(jié)：探究新知 內(nèi)容： 計(jì)算填表（驗(yàn)證第一環(huán)節(jié)游戲的結(jié)果） 方程 ?x1 ?x2 x1+x2? x1x2? ?x2+3x+4=0 ? ? ? ? 6x2+x-2=0? ? ? ? ? 2x2-3x?+1=0 ? ? ? ? 問題： 1、你找到快速求出一元二次方程的兩根和與兩根積的方法了嗎？??????? 2、剛才我們列舉了部分方程發(fā)現(xiàn)兩根和、兩根積與系數(shù)的關(guān)系，那么是不是所有的一元二次方程根與系數(shù)都有這樣的關(guān)系呢？ 3、請(qǐng)根據(jù)以上的觀察發(fā)現(xiàn)進(jìn)一步猜想：方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根x1，x2與a、b、c之間的關(guān)系：____________。 4.你能證明上面的猜想嗎？請(qǐng)證明，并用文字語言敘述說明。 （分小組討論以上的問題，并作出推理證明。） 目的：本環(huán)節(jié)采用“實(shí)踐——觀察——發(fā)現(xiàn)——猜想——證明”的過程，使學(xué)生既動(dòng)手、動(dòng)腦，又動(dòng)口，教師引導(dǎo)啟發(fā)，避免注入式地講授一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)學(xué)生的主體學(xué)習(xí)特性，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神。 效果：在復(fù)習(xí)舊知的基礎(chǔ)上，學(xué)生很快口完成了表格，為解決后面的問題做好了準(zhǔn)備。問題串讓學(xué)生合作解決，在探究的過程中體現(xiàn)了特殊到一般，從實(shí)踐到理論的認(rèn)知規(guī)律。 第四環(huán)節(jié)：嘗試發(fā)展 嘗試題1：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系寫出下列方程的兩根之和與兩根之積 （方程兩根為x1，x2、k是常數(shù)） （1）2x2-3x-1=0? ????x1+x2= ________????? x1x2= ________??????????? （2）3x2+5x=0??????? x1+x2= ________??? x1x2= ________?? （3）x2+7x=-6???? x1+x2= _________???x1x2= _________?? （4）5x2+kx-6=0????? x1+x2= _________???x1x2= _________ （學(xué)生迅速演算或口算） 嘗試題2：利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次方程2x2-3x+5=0的兩個(gè)根的 （1）平方和 （2）倒數(shù)和 （3）差 嘗試題3：已知方程6x2+kx-5=0的一個(gè)根為1，求它的另一個(gè)根及k的值。 目的：“嘗試題1”是引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)鞏固本節(jié)所學(xué)的新知“根與系數(shù)的關(guān)系”，其中第（3）小題是培養(yǎng)學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性和批判性；第（4）小題是起過渡作用設(shè)計(jì)。 “嘗試題2” 將平方和、倒數(shù)和及差轉(zhuǎn)化為兩根和與積的代數(shù)式。例如： x12+ x22=( x1+x2)2-2 x1x2;? “嘗試題3” 展示學(xué)生的不同作法，通過比較，學(xué)生可以體會(huì)到用根與系數(shù)的關(guān)系來解決此類問題比較簡便。 效果：1、兩根之和等于一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)的相反數(shù)中的符號(hào)是學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn) 2、將平方和、倒數(shù)和及差轉(zhuǎn)化為兩根和與積的代數(shù)式時(shí)，部分學(xué)生不能熟練的掌握。 3、使學(xué)生體會(huì)解題方法的多樣性，開闊解題思路，優(yōu)化解題方法，增強(qiáng)擇優(yōu)能力。力求讓學(xué)生在自主探索和合作交流的過程中進(jìn)行學(xué)習(xí)，獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。 第五環(huán)節(jié)：拓展創(chuàng)新 1．已知三角形的兩邊長a、b是方程x2-12x+k==0的兩個(gè)根，三角形的第三條邊c=4,求這個(gè)三角形的周長。X k B 1 . c o m 2、變式訓(xùn)練： 已知三角形的兩邊長a、b是方程x2-12x+k==0的兩個(gè)根，三角形的第三條邊c能等于15嗎？ 3、利用根與系數(shù)的關(guān)系，求作一個(gè)一元二次方程，使它的兩根為2和3. 目的：1、第1、2題把一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系與三角形三邊關(guān)系相組合，借此鍛煉學(xué)生綜合分析、推理、歸納的能力。 2、第3題已知方程的兩根求作一個(gè)一元二次方程，是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的逆用，比較抽象，學(xué)生真正掌握有一定的難度。同時(shí)要注意答案的多樣性及其中的規(guī)律 效果：留給學(xué)生充分的獨(dú)立思考和小組合作交流的時(shí)間與空間，使學(xué)生在資源共享的同時(shí)，充分體會(huì)到一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的廣泛應(yīng)用和便捷， 第六環(huán)節(jié) 感悟與收獲 內(nèi)容：師生互相交流總結(jié) 在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c有哪些作用？ ①二次項(xiàng)系數(shù)a是否為零，決定著方程是否為二次方程； ②當(dāng)a≠0時(shí)，b=0，a、c異號(hào)，方程兩根互為相反數(shù)； ③當(dāng)a≠0時(shí)，△=b2-4ac可判定根的情況X k B 1 . c o m ④當(dāng)a≠0，b2-4ac≥0時(shí)，x1+x2=????? ，x1x2=???? ⑤當(dāng)a≠0，c=0時(shí)，方程必有一根為0。 ?目的：鼓勵(lì)學(xué)生回顧本節(jié)課知識(shí)方面以及與之相聯(lián)系的知識(shí)有哪些收獲，解題技能方面有哪些提高，通過回顧進(jìn)一步鞏固知識(shí)，將新知識(shí)納入到學(xué)生個(gè)人已有的知識(shí)體系中。 效果：學(xué)生通過回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)，感受到公式推導(dǎo)的全過程，發(fā)展了邏輯思維能力，提高了推理技能。 第七環(huán)節(jié) 布置作業(yè) P52 A 知識(shí)技能1? B ?數(shù)學(xué)理解3 C、已知方程的一個(gè)根為2，求另一個(gè)根及的值。 4