2021-2021學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第6章 6.1 平方根、立方根講解與例題 （新版）滬科版

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1、 6.1　平方根、立方根 1．了解平方根、算術(shù)平方根、立方根的定義和性質(zhì)，會(huì)用根號(hào)表示非負(fù)數(shù)的平方根、算術(shù)平方根、立方根． 2．能利用平方根、算術(shù)平方根、立方根的定義和性質(zhì)解題． 3．知道開方是乘方的逆運(yùn)算，會(huì)用開方求某些非負(fù)數(shù)的平方根． 4．能運(yùn)用算術(shù)平方根解決一些簡單的實(shí)際問題． 1．平方根 (1)平方根的概念：一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根，也叫做二次方根．換句話說，如果x2＝a，那么x叫做a的平方根，例如22＝4，(－2)2＝4，則4的平方根是＋2和－2(也可合寫為±2)，＋2和－2都是4的平方根． (2)平方根的性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有兩

2、個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根． (3)平方根的表示：正數(shù)a有兩個(gè)平方根，一個(gè)是a的正的平方根，記作“”，讀作“根號(hào)a”，另一個(gè)是a的負(fù)的平方根，記作“－”，讀作“負(fù)根號(hào)a”，這兩個(gè)平方根合起來可記作“±”，讀作“正、負(fù)根號(hào)a”，其中a叫做被開方數(shù)． 【例1－1】求下列各數(shù)的平方根： (1)0.64；(2)；(3)2． 分析：要求一個(gè)數(shù)的平方根，我們可以根據(jù)平方根的概念，首先找到一個(gè)數(shù)，使它的平方等于已知的數(shù)，然后就可以求出這個(gè)數(shù)的平方根． 解：(1)∵(±0.8)2＝0.64，∴0.64的平方根是±0.8． (2)∵2＝，∴的平方根是±. (3)∵2＝

3、2， ∴2的平方根是±. 求一個(gè)數(shù)的平方根，必須牢記正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，不會(huì)因?yàn)楸磉_(dá)形式的改變而改變，如2是個(gè)正數(shù)，那么它有兩個(gè)平方根，不要錯(cuò)誤地認(rèn)為它的平方根僅有－. 【例1－2】下列各數(shù)有平方根嗎？如果有，求出它的平方根；若沒有，請(qǐng)說明理由． (1)；(2)0；(3)－4；(4)－0.49；(5)(－3)2． 分析： 數(shù)的序號(hào) 存在情況 原因 (1) 有2個(gè) 因?yàn)槭钦龜?shù)，所以有兩個(gè)平方根 (5) 有2個(gè) (3) 無 因?yàn)槭秦?fù)數(shù)，所以沒有平方根 (4) 無 (2) 有1個(gè) 0的平方根是它本身 解：(1)因?yàn)槭钦龜?shù)，所以有兩個(gè)平方根．

4、 由于2＝，所以的平方根是±. (2)0只有一個(gè)平方根，是它本身． (3)因?yàn)椋?是負(fù)數(shù)，所以－4沒有平方根． (4)因?yàn)椋?.49是負(fù)數(shù)，所以－0.49沒有平方根． (5)因?yàn)?－3)2＝9，所以(－3)2為正數(shù)，有兩個(gè)平方根．由于9的平方根是±3，所以(－3)2的平方根是±3． 2．算術(shù)平方根的概念 正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根.0的算術(shù)平方根是0.因此如果x2＝a，那么正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根． 平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系 (1)區(qū)別：①表示方法不同：正數(shù)a的平方根表示為±；正數(shù)a的算術(shù)平方根表示為. ②個(gè)數(shù)不同：一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；一個(gè)

5、正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個(gè)． ③性質(zhì)不同：一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，可以是負(fù)數(shù)；一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根一定是非負(fù)數(shù)．平方根等于本身的數(shù)只有一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)是0；算術(shù)平方根等于本身的數(shù)有兩個(gè)：0和1． (2)聯(lián)系：平方根包含算術(shù)平方根，算術(shù)平方根是平方根的一個(gè)；平方根和算術(shù)平方根都只有非負(fù)數(shù)才有．負(fù)數(shù)沒有平方根和算術(shù)平方根；0的平方根和算術(shù)平方根都是0. 【例2】求下列各數(shù)的算術(shù)平方根： (1)196；(2)1；(3). 分析：根據(jù)算術(shù)平方根的定義，求正數(shù)a的算術(shù)平方根，也就是求一個(gè)非負(fù)數(shù)x，使x2＝a，則x就是a的算術(shù)平方根． (1)因?yàn)?42＝196，所以196的算術(shù)平方根是14．

6、(2)因?yàn)?＝，2＝，所以的算術(shù)平方根是，即1的算術(shù)平方根是. (3)因?yàn)橐蟮氖堑乃阈g(shù)平方根，所以要先算出，再求算術(shù)平方根.表示的是16的算術(shù)平方根，所以＝4．由于22＝4，所以4的算術(shù)平方根是2，即的算術(shù)平方根是2． 解：(1)＝14． (2)＝＝. (3)因?yàn)椋?,4的算術(shù)平方根是2，所以的算術(shù)平方根是2． 求正數(shù)a的算術(shù)平方根，只需找出平方等于a的正數(shù)．求一個(gè)分?jǐn)?shù)的算術(shù)平方根或平方根，當(dāng)這個(gè)分?jǐn)?shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)，要先化成假分?jǐn)?shù)，再求這個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根或平方根，不要出現(xiàn)＝1的錯(cuò)誤． 3．開平方 (1)求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算叫做開平方． (2)用計(jì)算器求一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根及近

7、似值． 用計(jì)算器求一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根，只需直接按書寫順序按鍵即可．例如，用計(jì)算器求529與44.81的算術(shù)平方根： ①在計(jì)算器上依次鍵入，顯示結(jié)果為23，因此529的算術(shù)平方根為＝23． ②在計(jì)算器上依次鍵入，顯示結(jié)果為6.940 271 88，如果要求精確到0.01，那么≈6.94． (1)平方根是一個(gè)數(shù)，是開平方的結(jié)果；而開平方是和加、減、乘、除、乘方一樣的一種運(yùn)算，是求平方根的過程． (2)開平方是平方的逆運(yùn)算．我們可以用平方運(yùn)算來檢驗(yàn)開平方的結(jié)果是否正確． (3)平方和開平方之間的關(guān)系，我們可以這樣來理解：已知底數(shù)m和指數(shù)2，求冪，是平方運(yùn)算，即m2＝(？)；已知冪a和

8、指數(shù)2，求底數(shù)，是開平方，即(？)2＝a. (4)選用的計(jì)算器不同，按鍵的順序也不同，因此應(yīng)該仔細(xì)閱讀計(jì)算器的說明書，按照要求操作． 【例3】求下列各式中未知數(shù)的值： (1)x2＝25；(2)(2a＋3)2＝16． 分析：如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根，它有一正一負(fù)兩個(gè)值． (1)因?yàn)閤2＝25，所以x就是25的平方根，有兩個(gè)，是±5； (2)將2a＋3看成一個(gè)整體，根據(jù)平方根的定義易知2a＋3就是16的平方根，是±4，即2a＋3＝±4，在此基礎(chǔ)上，分兩種情況分別求出a的值即可． 解：(1)因?yàn)?±5)2＝25， 所以x＝±5． (2)因?yàn)?±4)2＝16，

9、 所以2a＋3＝±4． 當(dāng)2a＋3＝4時(shí)，解得a＝. 當(dāng)2a＋3＝－4時(shí)，解得a＝－. 故所求a的值是或－. 利用開平方解方程的方法是：先把方程化為x2＝m(m≥0)的形式，然后根據(jù)開平方得到x＝±.特別地，要注意整體思想的應(yīng)用． 4．立方根 (1)立方根的概念：一般地，如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根(也叫做三次方根)．也就是說，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根． (2)立方根的表示方法：數(shù)a的立方根記為“”，讀作“三次根號(hào)a”，其中a是被開方數(shù)，3是根指數(shù)，這里的根指數(shù)“3”不能省略． 【例4】求下列各數(shù)的立方根： (1)27；(2)－27；(3)3；

10、(4)－0.064；(5)0；(6)－5． 分析：求一個(gè)數(shù)a的立方根，關(guān)鍵是求出滿足等式x3＝a中x的值，同時(shí)在學(xué)習(xí)了立方根的表示方法后，應(yīng)用符號(hào)表示解題過程比語言敘述更為簡潔． 解：(1)因?yàn)?3＝27，所以＝3． (2)因?yàn)?－3)3＝－27，所以＝－3． (3)因?yàn)?＝，而3＝，所以＝. (4)因?yàn)?－0.4)3＝－0.064， 所以＝－0.4． (5)因?yàn)?3＝0，所以＝0. (6)－5的立方根是. 開方開不盡的數(shù)，保留根號(hào)，如本題(6)，－5的立方根是. 5．開立方 (1)求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算叫做開立方． ①開立方與立方互為逆運(yùn)算．我們可以根據(jù)這種關(guān)系求一個(gè)

11、數(shù)的立方根或檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是否是某個(gè)數(shù)的立方根． ②被開立方的數(shù)可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)和0； ③求一個(gè)帶分?jǐn)?shù)的立方根時(shí)，必須把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，再求它的立方根． (2)用計(jì)算器求一個(gè)數(shù)的立方根及近似值． 用計(jì)算器求一個(gè)數(shù)的立方根的操作過程和求平方根操作過程基本相同，主要差別是先按鍵，再按書寫順序按鍵即可．例如用計(jì)算器求，在計(jì)算器上依次鍵入，顯示結(jié)果為12.264 940 82，若計(jì)算結(jié)果要求精確到0.01，則1 845的立方根為12.26，即≈12.26． 【例5】解方程： (1)125x3－27＝0；(2)(5x－3)3＝343． 分析：(1)把原方程變形為x3＝后，可知x是的立方根．(

12、2)把5x－3看做整體，則易知它是343的立方根，其值可求，在此基礎(chǔ)上可求x. 解：因?yàn)?25x3－27＝0， 所以x3＝.故x＝. (2)因?yàn)?5x－3)3＝343， 所以5x－3＝＝7， 即5x＝10．故x＝2． 利用開立方解方程的方法：先把方程化為x3＝m的形式，然后根據(jù)開立方得到x＝.特別地，要注意整體思想的應(yīng)用． 6．立方根的性質(zhì) 正數(shù)的立方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，0的立方根是0. (1)立方根的符號(hào)與被開方數(shù)的符號(hào)一致； (2)一個(gè)數(shù)的立方根是唯一的； (3)＝－，＝a，()3＝a. 【例6】下列語句正確的是(　　)． A．的立方根是2 B

13、．－3是27的立方根 C．的立方根是± D．(－1)2的立方根是－1 解析：因?yàn)椋?，而2的立方等于8，所以的立方根是2，即A正確，解答時(shí)不要把“求的立方根”誤解為“求64的立方根”；因?yàn)椋?的立方是－27，所以－3是27的立方根是錯(cuò)誤的；因?yàn)榈牧⒎绞?，所以的立方根是，因此C是錯(cuò)誤的；因?yàn)?－1)2＝1，它的立方根是1，而不是－1，所以D是錯(cuò)誤的．故本題選A． 答案：A (1)任何數(shù)都有立方根，而負(fù)數(shù)沒有平方根； (2)任何數(shù)的立方根只有一個(gè)，而正數(shù)有兩個(gè)平方根． 7．用平方根與立方根的定義及性質(zhì)解題 已知一個(gè)數(shù)的平方根或立方根求原數(shù)是利用平方根與立方根的定義及性質(zhì)解題中的

14、常見題型． (1)一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，而互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為零． (2)對(duì)于立方根來說，任何數(shù)的立方根只有一個(gè)，根據(jù)立方根的定義可知，＝－，也就是說，求一個(gè)負(fù)數(shù)的立方根時(shí)，只要先求出這個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值的立方根，然后再取它的相反數(shù)即可． (3)當(dāng)兩個(gè)數(shù)相等時(shí)，這兩個(gè)數(shù)的立方根相等．反之，當(dāng)兩個(gè)數(shù)的立方根相等時(shí)，這兩個(gè)數(shù)也相等．這與平方根不同，在平方根的計(jì)算中，若兩數(shù)的平方根相等或互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)數(shù)相等；若這兩個(gè)數(shù)相等時(shí)，則兩數(shù)的平方根相等或互為相反數(shù)． 【例7－1】已知2x－1和x－11是一個(gè)數(shù)的平方根，求這個(gè)數(shù)． 分析：因?yàn)?x－1和x－11是一個(gè)數(shù)的平方根，根據(jù)平

15、方根的定義，可知2x－1和x－11相等或互為相反數(shù)．當(dāng)2x－1和x－11相等時(shí)，可列出方程2x－1＝x－11，當(dāng)2x－1和x－11互為相反數(shù)時(shí)，可列出方程2x－1＋x－11＝0，從而求出x的值，進(jìn)一步可求出這個(gè)數(shù)． 解：根據(jù)平方根的定義，可知2x－1和x－11相等或互為相反數(shù)． 當(dāng)2x－1＝x－11時(shí)，x＝－10，所以2x－1＝－21，這時(shí)所求的數(shù)為(－21)2＝441； 當(dāng)2x－1＋x－11＝0時(shí)，x＝4，所以2x－1＝7，這時(shí)所求的數(shù)為72＝49． 綜上可知，所求的數(shù)為49或441． 【例7－2】若＝－，求a2 012的值． 分析：根據(jù)立方根的唯一性和＝－，可知2a－1與5a＋

16、8互為相反數(shù)，從而可構(gòu)造出關(guān)于a的一元一次方程2a－1＝－(5a＋8)．進(jìn)一步可求出a2 012的值． 解：因?yàn)椋剑?，所以＝，?a－1＝－(5a＋8)．解得a＝－1． 故a2 012＝(－1)2 012＝1． 8．非負(fù)性的應(yīng)用 非負(fù)數(shù)指的是正數(shù)和零，常用的非負(fù)數(shù)主要有： (1)絕對(duì)值|a|≥0； (2)平方a2≥0； (3)算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性： ①本身具有非負(fù)性，即≥0； ②算術(shù)平方根的被開方數(shù)具有非負(fù)性，即a≥0. 非負(fù)數(shù)有如下性質(zhì)： 若兩個(gè)或多個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則每個(gè)非負(fù)數(shù)均為0. 在解決與此相關(guān)的問題時(shí)，若能仔細(xì)觀察、認(rèn)真地分析題目中的已知條件，并挖掘出題

17、目中隱含的非負(fù)性，就可避免用常規(guī)方法造成的繁雜運(yùn)算或誤解，從而收到事半功倍的效果． 與算術(shù)平方根和平方數(shù)的非負(fù)性相關(guān)的求值問題，一般情況下都是它們的和等于0的形式．此類問題可以分成以下幾種形式： 一是算術(shù)平方根、平方數(shù)、絕對(duì)值三種中的任意兩種組成一題〔|　|＋(　)2＝0，|　|＋＝0，(　)2＋＝0〕，甚至同一道題目中出現(xiàn)這三個(gè)內(nèi)容〔|　|＋(　)2＋＝0〕； 二是題目中沒有直接給出平方數(shù)，而是需要先利用數(shù)學(xué)公式把題目中的某些內(nèi)容進(jìn)行變形，然后再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算． 【例8－1】如果y＝＋＋2，則4x＋y的平方根是__________． 解析：因?yàn)?x－1≥0且1－2x≥0，

18、所以2x－1＝1－2x＝0，即x＝.于是y＝＋＋2＝2．因此4x＋y＝4×＋2＝4．故4x＋y的平方根為±2． 答案：±2 【例8－2】如果y＝＋2 012成立，求x2＋y－3的值． 分析：由算術(shù)平方根被開方數(shù)的非負(fù)性知x2－4≥0,4－x2≥0，因此，只有x2－4＝0，即x＝±2；又x＋2≠0，即x≠－2，所以x＝2，y＝2 012，于是得解． 解：由題意可知x2－4≥0且4－x2≥0， 因此x2－4＝0，即x＝±2． 又∵x＋2≠0，即x≠－2， ∴x＝2，y＝2 012． 故x2＋y－3＝22＋2 012－3＝2 013． 【例8－3】已知＋(b＋2)2＝0，求(a＋b

19、)2 012的值． 分析：表示a－1的算術(shù)平方根，所以為非負(fù)數(shù)．因?yàn)?b＋2)2為偶次冪，所以(b＋2)2為非負(fù)數(shù)．由于兩個(gè)正數(shù)相加不能為0，所以這兩項(xiàng)都為0，因此解方程求值即可． 解：因?yàn)椤?，(b＋2)2≥0，且＋(b＋2)2＝0，所以＝0，(b＋2)2＝0， 解得a＝1，b＝－2． 故(a＋b)2 012＝(1－2)2 012＝1． 9．利用方根探索規(guī)律 (1)可以利用計(jì)算器探究被開方數(shù)擴(kuò)大(或縮小)與它的算術(shù)平方根擴(kuò)大(或縮小)的規(guī)律． 規(guī)律：如果將被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左(右)每移動(dòng)2位，則它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向同一方向移動(dòng)1位． 即當(dāng)被開方數(shù)擴(kuò)大(或縮小)

20、100倍時(shí)，其算術(shù)平方根相應(yīng)地?cái)U(kuò)大(或縮小)10倍；當(dāng)被開方數(shù)擴(kuò)大(或縮小)10 000倍時(shí)，其算術(shù)平方根相應(yīng)地?cái)U(kuò)大(或縮小)100倍…. (2)可利用計(jì)算器探究被開方數(shù)擴(kuò)大(或縮小)與它的立方根擴(kuò)大(或縮小)的規(guī)律． 規(guī)律：如果將被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左(右)每移動(dòng)3位，則它的立方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向同一方向移動(dòng)1位． 即當(dāng)被開方數(shù)擴(kuò)大(或縮小)1 000倍時(shí)，其立方根相應(yīng)地?cái)U(kuò)大(或縮小)10倍；當(dāng)被開方數(shù)擴(kuò)大(或縮小)1 000 000倍時(shí)，其立方根相應(yīng)地?cái)U(kuò)大(或縮小)100倍…. (3)還可利用方根為問題背景進(jìn)行規(guī)律的探索． 【例9】(1)觀察下列各式： ＝2，＝3，＝4，…，請(qǐng)

21、你將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用含自然數(shù)n(n≥1)的等式表示出來__________． (2)借助計(jì)算器可以求出，，，…，觀察上述各式特點(diǎn)，猜想：＝__________. 解析：(1)第一個(gè)等式右邊的2比左邊被開方數(shù)里的1大1，被開方數(shù)與左邊被開方數(shù)的相同且3比2大1；第二個(gè)等式右邊的3比左邊被開方數(shù)里的2大1，被開方數(shù)與左邊被開方數(shù)相同且4比3大1，…，故有＝(n＋1)(n≥1)． (2)借助計(jì)算器，可以分別求得＝5，＝55，＝555，…，由此觀察發(fā)現(xiàn)每個(gè)式子的結(jié)果都是由若干個(gè)5組成的，且5的個(gè)數(shù)為相應(yīng)式子的左邊4或3的個(gè)數(shù)決定，故猜想. 答案：(1)＝(n＋1)(n≥1) (2) 10．平方

22、根與立方根的實(shí)際應(yīng)用 解實(shí)際問題時(shí)，首先要讀懂題意，善于構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，將它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題． 與平方根、立方根有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用多以正方形、正方體等幾何圖形為問題背景設(shè)題，解答時(shí)，常常根據(jù)題意列出方程，然后再利用平方根與立方根的定義及性質(zhì)解方程即可． 注意求出的結(jié)果要符合實(shí)際問題的實(shí)際意義． 【例10－1】計(jì)劃用100塊地板磚來鋪設(shè)面積為16 m2的客廳，求需要的正方形地板磚的邊長． 解：設(shè)地板磚的邊長為x m，根據(jù)題意，得100x2＝16，即x2＝0.16，所以x＝±＝±0.4． 由于長度不能為負(fù)數(shù)，所以x＝0.4(m)． 故地板磚的邊長為0.4 m. 【例10－2】一種形狀為正方體的玩具名為“魔方”，(每個(gè)面由9個(gè)小正方體面組成)體積為216 cm3，求組成它的每個(gè)小正方體的棱長． 解：設(shè)小正方體的棱長為a cm，則玩具的棱長為3a cm，由題意得(3a)3＝216．于是27a3＝216，a3＝8，a＝2(cm)． 故每個(gè)小正方體的棱長為2 cm. 7