2021-2021學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊 第8章 8.3 完全平方公式與平方差公式講解與例題 （新版）滬科版

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1、 8.3　完全平方公式與平方差公式 1．了解乘法公式的幾何背景，掌握公式的結(jié)構(gòu)特征，并能熟練運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的計(jì)算． 2．感受生活中兩個(gè)乘法公式存在的意義，養(yǎng)成“觀察—?dú)w納—概括”的數(shù)學(xué)能力，體會數(shù)形結(jié)合的思想方法，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和運(yùn)用知識解決問題的能力，進(jìn)一步增強(qiáng)符號感和推理能力． 1．完全平方公式 (1)完全平方公式： (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a－b)2＝a2－2ab＋b2. 上式用語言敘述為：兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方，等于這兩個(gè)數(shù)的平方和加(或減)這兩個(gè)數(shù)乘積的2倍． (2)完全平方公式的證明： (a±b)2＝(a±b)(a±b) ＝a

2、2±ab±ab＋b2(多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式) ＝a2±2ab＋b2(合并同類項(xiàng))． (3)完全平方公式的特點(diǎn)： ①左邊是一個(gè)二項(xiàng)式的完全平方，右邊是一個(gè)二次三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)是公式左邊二項(xiàng)式中每一項(xiàng)的平方，另一項(xiàng)是左邊二項(xiàng)式中兩項(xiàng)乘積的2倍．可簡單概括為“首平方，尾平方，積的2倍夾中央”． ②公式中的a，b可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式． ③對于符合兩數(shù)和(或差)的平方的乘法，均可用上述公式計(jì)算． 【例1－1】用完全平方公式計(jì)算 (1)(x＋2y)2；(2)(2a－5)2； (3)(－2s＋t)2；(4)(－3x－4y)2； (5)(2x＋y－3z)2. 分析：第(1)、(2)兩題

3、可直接用和、差平方公式計(jì)算；第(3)題可先把它變成(t－2s)2，然后再計(jì)算，也可以把－2s看成一項(xiàng)，用和平方公式計(jì)算；第(4)題可看成－3x與4y差的平方，也可以看成－3x與－4y和的平方；(5)可把2x＋y看成一項(xiàng)，用差平方公式計(jì)算，然后再用和平方公式計(jì)算，也可以把它看成2x與y－3z的和平方，再用差平方公式計(jì)算． 解：(1)(x＋2y)2 ＝x2＋2·x·2y＋(2y)2＝x2＋4xy＋4y2； (2)(2a－5)2＝(2a)2－2·2a·5＋52 ＝4a2－20a＋25； (3)(－2s＋t)2＝(t－2s)2 ＝t2－2·t·2s＋(2s)2＝t2－4ts＋4s2； (

4、4)(－3x－4y)2 ＝(－3x)2－2·(－3x)·4y＋(4y)2 ＝9x2＋24xy＋16y2； (5)(2x＋y－3z)2＝[2x＋(y－3z)]2 ＝(2x)2＋2·2x·(y－3z)＋(y－3z)2 ＝4x2＋4xy－12xz＋y2－2·y·3z＋(3z)2 ＝4x2＋y2＋9z2＋4xy－12xz－6yz. (1)千萬不要與公式(ab)2＝a2b2混淆，發(fā)生類似(a±b)2＝a2±b2的錯誤；(2)切勿把“乘積項(xiàng)”2ab中的2漏掉；(3)計(jì)算時(shí)，應(yīng)先觀察所給題目的特點(diǎn)是否符合公式的條件，如符合，則可以直接套用公式進(jìn)行計(jì)算；如不符合，應(yīng)先變形，使其具備公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

5、，再利用公式進(jìn)行計(jì)算，如變形后仍不具備公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，則應(yīng)運(yùn)用乘法法則進(jìn)行計(jì)算．此外，在運(yùn)用公式時(shí)要靈活，如第(4)題，由于(－3x－4y)2與(3x＋4y)2是相等關(guān)系，故可以把(－3x－4y)2轉(zhuǎn)化為(3x＋4y)2，再進(jìn)行計(jì)算，再如(5)題，也有許多不同的方法． (4)完全平方公式的幾何解釋． 如圖是對(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2幾何意義的闡釋．大正方形的面積可以表示為(a＋b)2，也可以表示為S＝SⅠ＋SⅡ＋SⅢ＋SⅣ，又SⅢ，SⅠ，SⅣ，SⅡ分別等于a2，ab，ab，b2，所以S＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2.從而驗(yàn)證了完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b

6、2. 如圖是對(a－b)2＝a2－2ab＋b2幾何意義的闡釋．正方形Ⅰ的面積可以表示為(a－b)2，也可以表示為SⅠ＝S大－SⅡ－SⅣ＋SⅢ，又S大，SⅡ，SⅢ，SⅣ分別等于a2，ab，b2，ab，所以SⅠ＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2.從而驗(yàn)證了完全平方公式(a－b)2＝a2－2ab＋b2. 【例1－2】下圖是四張全等的矩形紙片拼成的圖形，請利用圖中的空白部分面積的不同表示方法，寫出一個(gè)關(guān)于a，b的恒等式：__________________. 解析：根據(jù)圖中的面積寫一個(gè)恒等式，需要用兩種方法表示空白正方形的面積．首先觀察大正方形是由四個(gè)矩形和一個(gè)空白正方形組

7、成，所以空白正方形的面積等于大正方形的面積減去四個(gè)矩形的面積，即(a＋b)2－4ab，空白正方形的面積也等于它的邊長的平方，即(a－b)2，根據(jù)面積相等有(a＋b)2－4ab＝(a－b)2. 答案：(a＋b)2－4ab＝(a－b)2 2．平方差公式 (1)平方差公式： (a＋b)(a－b)＝a2－b2. 上式用語言敘述為：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差． (2)平方差公式的證明： (a＋b)(a－b) ＝a2－ab＋ab＋b2(多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式) ＝a2－b2(合并同類項(xiàng))． (3)平方差公式的特點(diǎn)： ①左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，這兩項(xiàng)中有一項(xiàng)完全相同，另一

8、項(xiàng)互為相反數(shù)； ②右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差(相同項(xiàng)的平方減去互為相反數(shù)項(xiàng)的平方)； ③公式中的a和b可以是具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式． 利用此公式進(jìn)行乘法計(jì)算時(shí)，應(yīng)仔細(xì)辨認(rèn)題目是否符合公式特點(diǎn)，不符合平方差公式形式的兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，不能用平方差公式．如(a＋b)(a－2b)不能用平方差公式計(jì)算． 【例2－1】計(jì)算：(1)(3x＋2y)(3x－2y)； (2)(－m＋n)(－m－n)； (3)(－2x－3)(2x－3)． 分析：(1)本題符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，其中3x對應(yīng)“a”，2y對應(yīng)“b”；(2)題中相同項(xiàng)為－m，互為相反數(shù)的項(xiàng)為n與－n，故本題也符合平方差公式的結(jié)構(gòu)

9、特征；(3)利用加法交換律將 原式變形為(－3＋2x)(－3－2x)，然后運(yùn)用平方差公式計(jì)算． 解：(1)(3x＋2y)(3x－2y)＝(3x)2－(2y)2＝9x2－4y2. (2)(－m＋n)(－m－n)＝(－m)2－n2. (3)(－2x－3)(2x－3)＝(－3＋2x)(－3－2x)＝(－3)2－(2x)2＝9－4x2. 利用公式計(jì)算，關(guān)鍵是分清哪一項(xiàng)相當(dāng)于公式中的a，哪一項(xiàng)相當(dāng)于公式中的b，通常情況下，為防止出錯，利用公式前把相同項(xiàng)放在前面，互為相反數(shù)的項(xiàng)放在后面，然后套用公式． (4)平方差公式的幾何解釋 如圖，陰影部分的面積可以看成是大正方形的面積減去小正方形的面積

10、，即a2－b2；若把小長方形Ⅲ旋轉(zhuǎn)到小長方形Ⅳ的位置，則此時(shí)的陰影部分的面積又可以看成SⅠ＋SⅢ＝SⅠ＋SⅣ＝(a＋b)(a－b)．從而驗(yàn)證了平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 【例2－2】下圖由邊長為a和b的兩個(gè)正方形組成，通過用不同的方法，計(jì)算圖中陰影部分的面積，可以驗(yàn)證的一個(gè)乘法公式是____________________． 分析：要表示陰影部分的面積，可以從兩個(gè)方面出發(fā)：一是觀察陰影部分是由邊長為a的正方形除去邊長為b的正方形得到的，所以它的面積等于a2－b2；二是陰影部分是由兩個(gè)直角梯形構(gòu)成的，所以它的面積又等于兩個(gè)梯形的面積之和．這兩個(gè)梯形的面積都等于(b＋

11、a)(a－b)，所以梯形的面積和是(a＋b)(a－b)，根據(jù)陰影部分的面積不變，得(a＋b)(a－b)＝a2－b2.因此驗(yàn)證的一個(gè)乘法公式是(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 答案：(a＋b)(a－b)＝a2－b2 3．運(yùn)用乘法公式簡便計(jì)算 平方差公式、完全平方公式不但是研究整式運(yùn)算的基礎(chǔ)，而且在許多的數(shù)字運(yùn)算中也有廣泛地運(yùn)用．不少數(shù)字計(jì)算題看似與平方差公式、完全平方公式無關(guān)，但若根據(jù)數(shù)字的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活巧妙地運(yùn)用平方差公式、完全平方公式，?？梢允惯\(yùn)算變繁為簡，化難為易． 解答此類題，關(guān)鍵是分析數(shù)的特點(diǎn)，看能否將數(shù)改寫成兩數(shù)和的形式及兩數(shù)差的形式，若改寫成兩數(shù)和的形式乘以兩數(shù)差的形

12、式，則用平方差公式；若改寫成兩數(shù)和的平方形式或兩數(shù)差的平方形式，則用完全平方公式． 【例3】計(jì)算：(1)2 0132－2 014×2 012；(2)1032；(3)1982. 分析：(1)2 014＝2 013＋1,2 012＝2 013－1，正好符合平方差公式，可利用平方差公式進(jìn)行簡便運(yùn)算；(2)可將1032改寫為(100＋3)2，利用兩數(shù)和的平方公式進(jìn)行簡便運(yùn)算；(3)可將1982改寫為(200－2)2，利用兩數(shù)差的平方公式進(jìn)行簡便運(yùn)算． 解：(1)2 0132－2 014×2 012 ＝2 0132－(2 013＋1)×(2 013－1) ＝2 0132－(2 0132－12)

13、 ＝2 0132－2 0132＋1＝1. (2)1032＝(100＋3)2＝1002＋2×100×3＋32 ＝10 000＋600＋9＝10 613. (3)1982＝(200－2)2＝2002－2×200×2＋22 ＝40 000－800＋4＝39 204. 4．利用乘法公式化簡求值 求代數(shù)式的值時(shí)，一般情況是先化簡，再把字母的值代入化簡后的式子中求值．在化簡的過程中，合理地利用乘法公式能使整式的運(yùn)算過程變得簡單． 在代數(shù)式化簡過程中，用到平方差公式及完全平方公式時(shí)，要特別注意應(yīng)用公式的準(zhǔn)確性． 【例4】先化簡，再求值：5(m＋n)(m－n)－2(m＋n)2－3(m－n)2

14、，其中m＝－2，n＝. 解：5(m＋n)(m－n)－2(m＋n)2－3(m－n)2＝5(m2－n2)－2(m2＋2mn＋n2)－3(m2－2mn＋n2)＝5m2－5n2－2m2－4mn－2n2－3m2＋6mn－3n2＝－10n2＋2mn.當(dāng)m＝－2，n＝時(shí)，原式＝－10n2＋2mn＝－10×2＋2×(－2)×＝－. 5．乘法公式的運(yùn)用技巧 一些多項(xiàng)式的乘法或計(jì)算幾個(gè)有理數(shù)的積時(shí)，表面上看起來不能利用乘法公式，實(shí)際上經(jīng)過簡單的變形后，就能直接運(yùn)用乘法公式進(jìn)行計(jì)算了．有些題目往往可用不同的公式來解，此時(shí)要選擇最恰當(dāng)?shù)墓揭允褂?jì)算更簡便． 在運(yùn)用平方差公式時(shí)，注意以下幾種常見的變化形式：

15、①位置變化： (b＋a)(－b＋a)＝a2－b2. ②符號變化： (－a＋b)(－a－b) ＝(－a)2－b2＝a2－b2. ③系數(shù)變化： (0.5a＋3b)(0.5a－3b) ＝(0.5a)2－(3b)2. ④指數(shù)變化： (a2＋b2)(a2－b2) ＝(a2)2－(b2)2＝a4－b4. ⑤增項(xiàng)變化： (a－b－c)(a－b＋c)＝(a－b)2－c2， (a＋b－c)(a－b＋c)＝a2－(b－c)2. ⑥增因式變化： (a＋b)(a－b)(－a－b)(－a＋b) ＝(a2－b2)(a2－b2)＝(a2－b2)2. ⑦連用公式變化： (a－b)(a＋b)

16、(a2＋b2)(a4＋b4) ＝a8－b8. 【例5－1】計(jì)算：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)； (2)(m－2n＋p)2； (3)(2x－3y)2(2x＋3y)2. 解：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1) ＝[(a＋b)＋1][(a＋b)－1] ＝(a＋b)2－1＝a2＋2ab＋b2－1. (2)(m－2n＋p)2 ＝[(m－2n)＋p]2 ＝(m－2n)2＋2·(m－2n)·p＋p2 ＝m2－4mn＋4n2＋2mp－4np＋p2. (3)(2x－3y)2(2x＋3y)2 ＝[(2x－3y)(2x＋3y)]2 ＝(4x2－9y2)2 ＝(4x2)2－2×4x

17、2×9y2＋(9y2)2 ＝16x4－72x2y2＋81y4. 在運(yùn)用平方差公式時(shí)，應(yīng)分清兩個(gè)因式是否是兩項(xiàng)之和與差的形式，符合形式才可以用平方差公式，否則不能用；完全平方公式就是求一個(gè)二項(xiàng)式的平方，其結(jié)果是一個(gè)三項(xiàng)式，在計(jì)算時(shí)不要發(fā)生：(a＋b)2＝a2＋b2或(a－b)2＝a2－b2這樣的錯誤；當(dāng)因式中含有三項(xiàng)或三項(xiàng)以上時(shí)，要適當(dāng)?shù)姆纸M，看成是兩項(xiàng)，從而應(yīng)用平方差公式或完全平方公式． 【例5－2】計(jì)算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)的值． 分析：為了能便于運(yùn)用平方差公式，觀察到待求式中都是和的形式，沒有差的形式，可設(shè)法構(gòu)造出差的因數(shù)，于是可乘以(2－

18、1)，這樣就可巧妙地運(yùn)用平方差公式了． 解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1) ＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1) ＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1) ＝(24－1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1) ＝…＝(22n－1)(22n＋1)＝24n－1. 6．乘法公式的實(shí)際應(yīng)用 在解決生活中的實(shí)際問題時(shí)，經(jīng)常把其中的一個(gè)量或幾個(gè)量先用字母表示，然后列出相關(guān)式子，進(jìn)而化簡，這往往涉及到整式的運(yùn)算．解題時(shí)，靈活運(yùn)用乘法公式，往往能事半功倍，使問題得到快速解答． 【例6】一個(gè)正方

19、形的邊長增加3 cm，它的面積就增加39 cm2，這個(gè)正方形的邊長是多少？ 分析：如果設(shè)原正方形的邊長為x cm，根據(jù)題意和正方形的面積公式可列出方程(x＋3)2＝x2＋39，求解即可． 解：設(shè)原正方形的邊長為x cm，則(x＋3)2＝x2＋39， 即x2＋6x＋9＝x2＋39，解得x＝5(cm)． 故這個(gè)正方形的邊長是5 cm. 7．完全平方公式的綜合運(yùn)用 學(xué)習(xí)乘法公式應(yīng)注意掌握公式的特征，認(rèn)清公式中的“兩數(shù)”，注意為使用公式創(chuàng)造條件． (1)完全平方公式變形后可得到以下一些新公式： ①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab； ②a2＋b2＝(a－b)2＋2ab； ③(a＋b)

20、2＝(a－b)2＋4ab； ④(a－b)2＝(a＋b)2－4ab； ⑤(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)； ⑥(a＋b)2－(a－b)2＝4ab等． 在公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2中，如果把a(bǔ)＋b，ab和a2＋b2分別看做一個(gè)整體，則知道了其中兩個(gè)就可以求第三個(gè)． (2)注意公式的逆用 不僅會熟練地正用公式，而且也要求會逆用公式，乘法公式均可逆用，特別是完全平方公式的逆用——a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 【例7－1】已知a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，則的值是__________． 解析：原等式可化為(a2＋4a＋4)＋

21、(b2－2b＋1)＝0，即(a＋2)2＋(b－1)2＝0，根據(jù)非負(fù)數(shù)的特點(diǎn)知a＋2＝0且b－1＝0，從而可知a＝－2且b＝1.然后將其代入求的值即可． 答案： 【例7－2】已知a＋b＝2，ab＝1，求a2＋b2的值． 分析：利用完全平方公式有(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，把2ab移到等式的左邊，可得(a＋b)2－2ab＝a2＋b2，然后代入求值即可． 解：∵(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，∴a2＋b2＝(a＋b)2－2aB．∵a＋b＝2，ab＝1，∴a2＋b2＝22－2×1＝2. 涉及兩數(shù)和或兩數(shù)差及其乘積的問題，就要聯(lián)想到完全平方公式．本題也可從條件出發(fā)解答，如因?yàn)閍＋b＝2，所以(a＋b)2＝22，即a2＋2ab＋b2＝4.把a(bǔ)b＝1代入，得a2＋2×1＋b2＝4，于是可得a2＋b2＝4－2＝2. 6