2021-2021學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊 第8章 8.2 整式乘法講解與例題 （新版）滬科版

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1、 8.2　整式乘法 1．掌握單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘、單項(xiàng)式的除法、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則，并體會單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的幾何意義． 2．會利用法則進(jìn)行整式的基本運(yùn)算． 3．理解整式乘法運(yùn)算的算理，發(fā)展有條理地思考能力和語言表達(dá)能力． 4．提倡多樣化的算法，培養(yǎng)創(chuàng)新精神與能力． 1．單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘 (1)單項(xiàng)式的乘法法則： 單項(xiàng)式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式；對于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式． 如：(－5a2b3)(－3a)＝[(－5)×(－3)](a2·a)·b3

2、＝15a3b3.又如，(－3ab)(－a2c)2·6ab(c2)3＝(－3ab)·a4c2·6abc6＝[(－3)×6]a6b2c8＝－18a6b2c8. (2)理解單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的法則時(shí)的注意事項(xiàng)： ①法則的推導(dǎo)是運(yùn)用了同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)和乘法的交換律和結(jié)合律，是根據(jù)已有的知識進(jìn)行計(jì)算后再概括得到的，所以，沒有必要對法則進(jìn)行死記硬背． ②法則包括乘式里的系數(shù)的運(yùn)算、同底數(shù)冪的運(yùn)算和不同字母的運(yùn)算三個(gè)部分．系數(shù)相乘時(shí)，注意符號．相同字母的冪相乘時(shí)，底數(shù)不變，指數(shù)相加．對于只在一個(gè)單項(xiàng)式中含有的字母，連同它的指數(shù)一起寫在積里，作為積的因式． ③單項(xiàng)式的乘法在整式乘法中占有重要的地位，

3、熟練地進(jìn)行單項(xiàng)式的乘法運(yùn)算是學(xué)好多項(xiàng)式乘法和多項(xiàng)式的混合運(yùn)算的關(guān)鍵． ④單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的結(jié)果仍是單項(xiàng)式． ⑤單項(xiàng)式的乘法法則對于三個(gè)或三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用． (3)單項(xiàng)式的除法法則： 單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式． 事實(shí)上，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式可概括為三步： ①系數(shù)相除，所得結(jié)果作為商的系數(shù)； ②同底數(shù)冪分別相除，所得結(jié)果作為商的因式； ③只在被除式里含有的字母，連同它的指數(shù)一起也作為商的一個(gè)因式． 例如：計(jì)算6a3b2x4÷3ab2，這是單項(xiàng)式6a3b2x4除以單項(xiàng)式3ab2，系數(shù)相除，

4、得6÷3＝2；同底數(shù)的冪相除，得a3÷a＝a2，b2÷b2＝1；照抄單獨(dú)底數(shù)的冪x4，最后把2，a2,1，x4相乘即得所求的商為2a2x4. 如果系數(shù)相除除不盡，則商的系數(shù)不要用帶分?jǐn)?shù)表示．例如：計(jì)算8m5n3÷6m3n2＝m2n，注意不要寫成1m2n. (4)單項(xiàng)式除法的注意事項(xiàng)： 根據(jù)法則可知，單項(xiàng)式相除與單項(xiàng)式相乘計(jì)算方法類似，也是分成系數(shù)、相同字母與不相同字母三部分分別進(jìn)行考慮．因此在運(yùn)用單項(xiàng)式的除法法則進(jìn)行計(jì)算時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： ①運(yùn)算中不要忽略原來省寫的指數(shù)1；比如：計(jì)算(－a4b3c2)÷a3bc2＝－ab2，而不是－ab3； ②在運(yùn)算中不要忽略了僅在被除式里單獨(dú)含有

5、的字母，在商中要一并寫上； ③非同底數(shù)的冪相除時(shí)，要先化為同底數(shù)的冪后再相除．例如：計(jì)算(－a4)÷(－a)2＝－a4÷a2＝－a2；或(－a4)÷(－a)2＝－(－a)4÷(－a)2＝－(－a)2＝－a2；這里不要以為(－a4)÷(－a)2＝(－a)2＝a2，因?yàn)?－a4)與(－a)2不是同底數(shù)的冪． ④計(jì)算時(shí)應(yīng)先系數(shù)相除，再同底數(shù)冪相除，最后再單獨(dú)的字母與1相除． 【例1－1】填空：(1)－amb2·(－3a3bn)＝__________. (2)(7×102)·(2×106)＝__________. 解析：(1)綜合運(yùn)用有理數(shù)的乘法、冪的運(yùn)算性質(zhì)、單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的法則求解．

6、－amb2·(－3a3bn)＝[－1×(－3)]·(am·a3)·(b2·bn)＝3am＋3bn＋2. (2)利用單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的法則計(jì)算，結(jié)果要用科學(xué)記數(shù)法來表示．(7×102)·(2×106)＝(7×2)×(102×106)＝14×108＝1.4×109. 答案：(1)3am＋3bn＋2　(2)1.4×109 單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的結(jié)果仍是單項(xiàng)式，只是系數(shù)和指數(shù)發(fā)生了變化，不能將系數(shù)和指數(shù)混淆． 【例1－2】計(jì)算：(－3xy)·(－2x)·(－xy2)2. 分析：本題是單項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，且含有積的乘方運(yùn)算，在運(yùn)算時(shí)應(yīng)先確定積的符號，因?yàn)榍皟蓚€(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)為負(fù)，第三個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)為

7、正，所以積的結(jié)果為正． 解：(－3xy)·(－2x)·(－xy2)2＝(3xy)·(2x)·(x2y4)＝6x4y5. 當(dāng)多個(gè)單項(xiàng)式相乘時(shí)，應(yīng)先確定積的符號，然后再按照法則進(jìn)行計(jì)算．在單項(xiàng)式的乘法中，凡是在單項(xiàng)式里出現(xiàn)過的字母，在結(jié)果中應(yīng)該全有，不能漏掉．一般情況下，積中字母的排列順序按英文字母順序排列，這樣不會漏乘字母． 【例1－3】計(jì)算：(1)(－0.5a2bc2)÷； (2)(6×108)÷(3×105)； (3)(6x2y3)2÷(－3xy2)2. 解：(1)(－0.5a2bc2)÷ ＝a2－1bc2－2 ＝ab； (2)(6×108)÷(3×105) ＝(6÷3)

8、×108－5 ＝2×103； (3)(6x2y3)2÷(－3xy2)2 ＝36x4y6÷9x2y4 ＝(36÷9)x4－2y6－4 ＝4x2y2. 2．單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘 (1)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則： 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別相乘，再把所得的積相加． 即：n(a＋b＋c)＝na＋nb＋nC． (2)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的幾何意義 如圖，大長方形是由三個(gè)小長方形組成的，其長是a＋b＋c，寬是n，那么，大長方形的面積S＝n(a＋b＋c)，同時(shí)這個(gè)大長方形的面積等于三個(gè)小長方形的面積和，于是這個(gè)大長方形的面積也可以表示成：S＝SⅠ＋SⅡ＋SⅢ＝na

9、＋nb＋nc；于是有n(a＋b＋c)＝na＋nb＋nC．從而驗(yàn)證了單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則． (3)理解單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則時(shí)的注意事項(xiàng)： ①根據(jù)分配律將單項(xiàng)式分別乘以多項(xiàng)式的各項(xiàng)，可歸結(jié)為單項(xiàng)式的乘法； ②單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與因式中多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同． 如，－3a2b(3ab2c－2b2c＋cb)＝(－3a2b)×3ab2c＋(－3a2b)×(－2b2c)＋(－3a2b)×cb＝－9a3b3c＋6a2b3c－3a2b2C． ③混合運(yùn)算中，應(yīng)注意運(yùn)算順序，結(jié)果有同類項(xiàng)時(shí)要合并同類項(xiàng)，從而得到最簡結(jié)果． ④積的符號問題是易錯(cuò)點(diǎn)，運(yùn)算時(shí)應(yīng)注意積的符號，多項(xiàng)式

10、的每一項(xiàng)都包括它前面的符號，要認(rèn)真觀察，尤其是存在負(fù)號的情形． (4)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則： 多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加． 即(a＋b＋c)÷m＝a÷m＋b÷m＋c÷m. 此式表明：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，用多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別與這個(gè)單項(xiàng)式相除，再把結(jié)果相加．可見，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，最終要化歸為單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的計(jì)算． 多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，注意多項(xiàng)式各項(xiàng)都包括前面的符號． 例如：計(jì)算(12a3b2－6a2b－3ab)÷(－3ab)時(shí)，運(yùn)用法則先把原式化為： 12a3b2÷(－3ab)－6a2b÷(－3ab)－3ab÷(－3ab)，然后分別計(jì)算

11、，得原式＝－4a2b＋2a＋1. (5)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式運(yùn)算的注意事項(xiàng)： 當(dāng)多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)被全部除掉后，該項(xiàng)的商是1，而不是0.如上述的例子(12a3b2－6a2b－3ab)÷(－3ab)＝－4a2b＋2a＋1.不要錯(cuò)誤地以為是－4a2b＋2A． 【例2－1】計(jì)算： (1)(－3ab)(2a2b－ab＋2)； (2)x(x－2)－2x(x＋1)－3x(x－5)． 解：(1)(－3ab)(2a2b－ab＋2) ＝(－3ab)(2a2b)＋(－3ab)(－ab)＋(－3ab)×2 ＝－6a3b2＋3a2b2－6ab； (2)x(x－2)－2x(x＋1)－3x(x－5) ＝x·

12、x＋x·(－2)＋(－2x)x＋(－2x)·1＋(－3x)·x＋(－3x)·(－5) ＝－4x2＋11x. 【例2－2】計(jì)算： (1)(－2a3m＋2n＋3a2m＋nb2n－5a2m)÷(－a2m)； (2)[(a＋b)5－(a＋b)3]÷(a＋b)3. 分析：(1)利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則計(jì)算即可；(2)把a(bǔ)＋b看成一個(gè)整體，那么此式可以看做多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，因此仍可運(yùn)用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則計(jì)算． 解：(1)(－2a3m＋2n＋3a2m＋nb2n－5a2m)÷(－a2m)＝(－2a3m＋2n)÷(－a2m)＋3a2m＋nb2n÷(－a2m)＋(－5a2m)÷(－a2m)＝2a3

13、m＋2n－2m－3a2m＋n－2mb2n＋5a2m－2m＝2am＋2n－3anb2n＋5. (2)原式＝(a＋b)5÷(a＋b)3－(a＋b)3÷(a＋b)3＝(a＋b)2－1＝a2＋2ab＋b2－1. 3．多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘 (1)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則： 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)與另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘，再把所得的積相加．即：(a＋b)(m＋n)＝am＋bm＋an＋bn. (2)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的幾何意義 如圖，大長方形是由四個(gè)小長方形組成的，其長是m＋n，寬是a＋b，那么大長方形的面積可以表示成(a＋b)(m＋n)，同時(shí)這個(gè)大長方形的面積也可以表示

14、成S＝SⅠ＋SⅡ＋SⅢ＋SⅣ＝am＋bm＋an＋bn；于是有(a＋b)(m＋n)＝am＋bm＋an＋bn.從而驗(yàn)證了多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則． (3)理解和運(yùn)用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則時(shí)的注意事項(xiàng)： ①要防止兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，直接寫出結(jié)果時(shí)“漏項(xiàng)”．檢查的方法是：兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，在沒有合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)該是這兩個(gè)多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)的積．如：(a＋b)(m＋n)，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)是2×2＝4，即有4項(xiàng)．當(dāng)然，若有同類項(xiàng)，則應(yīng)合并同類項(xiàng)，得出最簡結(jié)果． ②多項(xiàng)式是單項(xiàng)式的和，每一項(xiàng)都包括前面的符號，在計(jì)算時(shí)一定要注意確定積中各項(xiàng)的符號． ③對于含有同一個(gè)字母的一次項(xiàng)系數(shù)是1的兩個(gè)一次二項(xiàng)式相乘時(shí)，

15、可以運(yùn)用下面的公式簡化運(yùn)算：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋aB． 【例3】計(jì)算：(1)(3x＋1)(x－1)； (2)(x＋y)(x2－xy－1)． 分析：多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，按照多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則計(jì)算． (1)先用3x分別與x，－1相乘，再用1分別與x，－1相乘，然后把所得的積相加； (2)分別用x，y與第二個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘，再把所得的積相加，注意不要漏項(xiàng)、丟符號． 解：(1)(3x＋1)(x－1)＝3x2－3x＋x－1＝3x2－2x－1. (2)(x＋y)(x2－xy－1)＝x3－x2y－x＋x2y－xy2－y＝x3－x－y－xy2. 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，

16、必須做到不重不漏．相乘時(shí)，要按一定的順序進(jìn)行，即一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)．在未合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)等于兩個(gè)多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)的積．多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包含它前面的符號，確定積中每一項(xiàng)的符號時(shí)應(yīng)用“同號得正，異號得負(fù)”．運(yùn)算結(jié)果中有同類項(xiàng)的要合并同類項(xiàng)． 4．整式的乘法運(yùn)算及混合運(yùn)算 整式的乘法運(yùn)算包括單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘以及多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘． 進(jìn)行整式的乘法運(yùn)算應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：把握分配律的使用；把握多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則；把握運(yùn)算順序． 在整式的乘法運(yùn)算中，應(yīng)特別注意符號的問題． 在實(shí)際考查中常常會出現(xiàn)整式的混合運(yùn)算，進(jìn)行混合運(yùn)算時(shí)要注意如下幾

17、點(diǎn)： (1)首先確定運(yùn)算順序，即按先算乘方，再算乘除，最后算加減；有括號的應(yīng)先算括號里面的(或去掉括號)；同級運(yùn)算，從前往后依次計(jì)算； (2)運(yùn)用各種運(yùn)算法則和公式準(zhǔn)確地計(jì)算每一步，計(jì)算應(yīng)仔細(xì)認(rèn)真，不要急躁，一步一步進(jìn)行，謹(jǐn)防出錯(cuò)，否則前功盡棄； (3)計(jì)算結(jié)束后，要及時(shí)檢查結(jié)果的正確性，確保準(zhǔn)確無誤． 【例4－1】計(jì)算：(1)(x－2)(x2＋2x)＋(x＋2)(x2－2x)； (2)(－x2)(x＋1)－(x＋2)(x－1)． 解：(1)(x－2)(x2＋2x)＋(x＋2)(x2－2x) ＝x3＋2x2－2x2－4x＋x3－2x2＋2x2－4x ＝2x3－8x. (2)(

18、－x2)(x＋1)－(x＋2)(x－1) ＝－x3－x2－(x2－x＋2x－2) ＝－x3－x2－x2＋x－2x＋2 ＝－x3－2x2－x＋2. 【例4－2】計(jì)算：(1)(m－n)4×(n－m)3÷(m－n)5－(m－n)(m＋n)； (2)[5a4(a4－4a)－(－3a6)2÷(a2)3]÷(－2a2)2. 解：(1)(m－n)4×(n－m)3÷(m－n)5－(m－n)(m＋n)＝－(m－n)4(m－n)3÷(m－n)5－(m2－n2) ＝－(m－n)3＋4－5－(m2－n2) ＝－(m－n)2－m2＋n2 ＝－(m2－2mn＋n2)－m2＋n2＝－2m2＋2mn. (

19、2)[5a4(a4－4a)－(－3a6)2÷(a2)3]÷(－2a2)2 ＝(5a8－20a5－9a6)÷(－2a2)2 ＝a4－5a－a2. 整式的混合運(yùn)算過程中要注意隨時(shí)化簡，使計(jì)算簡化，從而減少出錯(cuò)的可能． 5．利用整式運(yùn)算化簡求值 求代數(shù)式的值時(shí)，一般情況是先化簡，再把字母的值代入化簡后的式子中求值．化簡的過程就是整式運(yùn)算的過程，解答過程中，要靈活運(yùn)用冪的運(yùn)算性質(zhì)及整式的運(yùn)算法則，再合理利用公式使代數(shù)式求值的過程變得簡單． 例如，已知(2x＋5)(2x－5)－3x，其中x＝－2 013，要求該代數(shù)式的值，若直接代入求值，顯然比較煩瑣，若在運(yùn)算時(shí)先化簡，得到一個(gè)比較簡單的代數(shù)

20、式，然后再代入求值，可使運(yùn)算簡便．求解過程如下： (2x＋5)(2x－5)－3x＝4x2－25－4x2＋3x＝3x－25. 當(dāng)x＝－2 013時(shí)， 原式＝3×(－2 013)－25＝－6 064. 若代數(shù)式化簡后，不含某字母，說明代數(shù)式的值與該字母的取值無關(guān)． 解題時(shí)，要先觀察、分析代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，從而確定最佳思路． 【例5】先化簡，再求值： (1)8x2－2(x＋4)(2x－1)－3x，其中x＝－2 012. (2)[(x＋y)(x－y)－(x－y)2＋2y(x－y)]÷(－2y)，其中x＝－，y＝2. 解：(1)8x2－2(x＋4)(2x－1)－3x ＝8x2－2(2

21、x2＋7x－4)－4x2＋15x ＝8x2－4x2－14x＋8－4x2＋15x ＝x＋8. 當(dāng)x＝－2 012時(shí)，原式＝－2 012＋8＝－2 004. (2)原式＝[x2－y2－(x2－2xy＋y2)＋2xy－2y2]÷(－2y) ＝(x2－y2－x2＋2xy－y2＋2xy－2y2)÷(－2y) ＝(－4y2＋4xy)÷(－2y)＝2y－2x. 當(dāng)x＝－，y＝2時(shí)，原式＝2y－2x＝2×2－2×＝4－(－1)＝5. 6．整式乘法的實(shí)際應(yīng)用 生活中的一些實(shí)際問題往往可以轉(zhuǎn)化為整式的運(yùn)算來解決．解題時(shí)，常把其中的一個(gè)量或幾個(gè)量先用字母表示，然后列出相關(guān)式子，進(jìn)而計(jì)算或化簡，

22、這是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的一個(gè)重要方式． 解題步驟如下： (1)分析題目的已知量與未知量，及相互間的關(guān)系； (2)分析選哪個(gè)未知量用字母來表示比較方便，進(jìn)而分析其他未知量怎么表示，從而列出代數(shù)式或等式； (3)化簡或求值． 【例6】揚(yáng)子江藥業(yè)集團(tuán)生產(chǎn)的某種藥品包裝盒的側(cè)面展開圖如圖所示．如果長方體盒子的長比寬多4 cm，求這種藥品包裝盒的體積． 分析：我們通過觀察圖可知：2寬＋2高＝14 cm，長＋2高＝13 cm.又有寬＋4 cm＝長，這樣我們就可以求出長方體即包裝盒的體積． 解：設(shè)這個(gè)長方體盒子的寬為x cm， 則長為(x＋4) cm，高為(7－x) cm， 又(

23、x＋4)＋2(7－x)＝13，所以x＝5. 故所求體積為x(x＋4)(7－x)＝90 cm3. 7．與整式運(yùn)算有關(guān)的綜合題 與整式運(yùn)算有關(guān)的綜合題，一般先要把題中數(shù)量關(guān)系用代數(shù)式表示出來，然后按照運(yùn)算關(guān)系列出關(guān)系式，最后應(yīng)用整式運(yùn)算的法則計(jì)算得出結(jié)果．同時(shí)注意整式本身的運(yùn)算性質(zhì)． (1)整式的除法與整式的乘法互為逆運(yùn)算，因此，整式的除法可用乘法檢驗(yàn)，整式的乘法也可用除法檢驗(yàn)； (2)根據(jù)整式除法與整式乘法互為逆運(yùn)算進(jìn)行列式計(jì)算；關(guān)系：整式除法中沒有余式，則被除式＝除式×商式；整式除法中有余式，則被除式＝除式×商式＋余式． 【例7－1】一個(gè)矩形的面積是3(x2－y2)，如果它的一邊長

24、為(x＋y)，則它的周長是__________． 解析：解答此題的關(guān)鍵是將3(x2－y2)變形為3(x＋y)(x－y)，即3(x2－y2)÷(x＋y)＝[3(x＋y)(x－y)]÷(x＋y)＝3(x－y)＝3x－3y，因此所求周長為2(3x－3y)＋2(x＋y)＝8x－4y. 答案：8x－4y 【例7－2】已知多項(xiàng)式2x3＋ax2＋x－3能被2x2＋1整除，商式為x－3，試求a的值． 分析：根據(jù)整式除法與整式乘法互為逆運(yùn)算，該多項(xiàng)式等于除式2x2＋1與商式x－3的積． 解：(2x2＋1)(x－3)＝2x3－6x2＋x－3. 根據(jù)題意可得2x3－6x2＋x－3＝2x3＋ax2＋x－3

25、. 由兩個(gè)多項(xiàng)式相等，則對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)必相等，得到a＝－6. 8．與多項(xiàng)式的系數(shù)有關(guān)的問題 求與多項(xiàng)式的系數(shù)有關(guān)的問題，首先要對同類項(xiàng)作出正確的判斷，然后通過整式的乘法及加減運(yùn)算，對代數(shù)式化簡，利用多項(xiàng)式的展開式中項(xiàng)的有無與系數(shù)的關(guān)系，確定相等關(guān)系，然后列方程(組)可求出字母系數(shù)的值．對于整式的乘法含項(xiàng)、不含項(xiàng)問題不必把多項(xiàng)式全部相乘．展開后不含某項(xiàng)，則該項(xiàng)的系數(shù)為零． 【例8】若(x2＋nx＋3)(x2－3x＋m)的展開式中不含x2和x3的項(xiàng)，求m和n的值． 分析：兩個(gè)二次三項(xiàng)式相乘，二次項(xiàng)x2只能是x2項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)的積或x項(xiàng)與x項(xiàng)的積，x3項(xiàng)只能是x2項(xiàng)與x項(xiàng)相乘而得，只要把有關(guān)的項(xiàng)得

26、到，再合并同類項(xiàng)，即可由題意得到方程或方程組，從而求得m，n的值． 解：含x2的項(xiàng)是mx2＋3x2－3nx2＝(m＋3－3n)x2， 含x3的項(xiàng)是－3x3＋nx3＝(n－3)x3， 由題意可知解得 9．整式乘法中的新定義題 對于整式乘法中的新定義題，解答此類問題，首先要弄懂題目給出的定義方式，正確理解新的運(yùn)算法則，然后正確地把所求式用整式表示出來，把未知問題轉(zhuǎn)化為熟悉的整式運(yùn)算來解決． 【例9】現(xiàn)規(guī)定一種運(yùn)算a*b＝ab＋a－b，其中a，b為實(shí)數(shù)，則a*b＋(b－a)*b等于(　　)． A．a(chǎn)2－b　　　 B．b2－b C．b2 　　　 D．b2－a 解析：a*b＋(b－

27、a)*b＝ab＋a－b＋[(b－a)b＋(b－a)－b]＝ab＋a－b＋b2－ab－a＝b2－B． 答案：B 10．整式乘法中的十字相乘法 含有同一字母且一次項(xiàng)系數(shù)是1的兩個(gè)一次二項(xiàng)式(x＋a)與(x＋b)相乘的結(jié)果是x2＋(a＋b)x＋ab，即(x＋a)(x＋b)＝x2＋bx＋ax＋ab＝x2＋(a＋b)x＋aB．其積是一個(gè)二次三項(xiàng)式，二次項(xiàng)系數(shù)是1，一次項(xiàng)系數(shù)是兩個(gè)因式中常數(shù)項(xiàng)的和，常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)因式中常數(shù)項(xiàng)的積，應(yīng)用這一公式，可使許多運(yùn)算簡便． 當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)，公式為：(ax＋b)(cx＋d)＝acx2＋(ad＋bc)x＋db(公式可用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則推導(dǎo))． 【例10－1】分別計(jì)算出下列各題的結(jié)果： ①(x＋2)(x＋3)＝__________； ②(x－2)(x－3)＝__________； ③(x－2)(x＋3)＝__________； ④(x＋2)(x－3)＝__________. 解析：可利用多項(xiàng)式相乘來解決，也可利用整式乘法中的十字相乘法直接得出答案，且比較簡便． 答案：①x2＋5x＋6?、趚2－5x＋6?、踴2＋x－6?、躼2－x－6 【例10－2】計(jì)算：(3x－2)(2x＋5)． 解：(3x－2)(2x＋5)＝6x2＋(15－4)x－10 ＝6x2＋11x－10. 7