高數(shù)同濟(jì)六版課件D110閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).ppt

,第十節(jié),一、最值定理,二、介值定理,*三、一致連續(xù)性,閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),第一章,注意: 若函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù),結(jié)論不一定成立 .,一、最值定理,定理1.在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù),即: 設(shè),則,使,值和最小值.,或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷,在該區(qū)間上一定有最大,(證明略),點(diǎn) ,例如,無最大值和最小值,也無最大值和最小值,又如,二、介值定理,由定理 1 可知有,證: 設(shè),上有界 .,定理2. ( 零點(diǎn)定理 ),至少有一點(diǎn),且,使,( 證明略 ),推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界.,定理3. ( 介值定理 ),設(shè),且,則對(duì) A 與 B 之間的任一數(shù) C ,一點(diǎn),證: 作輔助函數(shù),則,且,故由零點(diǎn)定理知, 至少有一點(diǎn),使,即,推論: 在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),使,至少有,必取得介于最小值與,最大值之間的任何值 .,例. 證明方程,一個(gè)根 .,證: 顯然,又,故據(jù)零點(diǎn)定理, 至少存在一點(diǎn),使,即,說明:,內(nèi)必有方程的根 ;,取,的中點(diǎn),內(nèi)必有方程的根 ;,可用此法求近似根.,二分法,在區(qū)間,內(nèi)至少有,則,則,內(nèi)容小結(jié),*三. 一致連續(xù)性,已知函數(shù),在區(qū)間 I 上連續(xù),即:,一般情形,就引出,了一致連續(xù)的概念 .,定義:,對(duì)任意的,都有,在 I 上一致連續(xù) .,顯然:,例如,但不一致連續(xù) .,因?yàn)?取點(diǎn),則,可以任意小,但,這說明,在( 0 , 1 上不一致連續(xù) .,定理4.,上一致連續(xù).,(證明略),思考: P74 題 *7,提示:,設(shè),存在,作輔助函數(shù),顯然,內(nèi)容小結(jié),在,上達(dá)到最大值與最小值;,上可取最大與最小值之間的任何值;,4. 當(dāng),時(shí),使,必存在,上有界;,在,在,1. 任給一張面積為 A 的紙片(如圖),證明必可將它,思考與練習(xí),一刀剪為面積相等的兩片.,提示:,建立坐標(biāo)系如圖.,則面積函數(shù),因,故由介值定理可知:,則,證明至少存在,使,提示: 令,則,易證,2. 設(shè),作業(yè) P74 (習(xí)題110） 2 ; 3; 5,一點(diǎn),習(xí)題課,備用題,至少有一個(gè)不超過 4 的,證：,證明,令,且,根據(jù)零點(diǎn)定理 ,原命題得證 .,內(nèi)至少存在一點(diǎn),在開區(qū)間,顯然,正根 .,