《4 多邊形的內(nèi)角和與外角和》教案

4 多邊形的內(nèi)角和與外角和教案第1課時教學(xué)目標知識與技能：表述多邊形的有關(guān)概念（內(nèi)角、外角、對角線、凸多邊形、凹多邊形）；情感態(tài)度價值觀：1、通過探索過程進一步體會知識點之間的聯(lián)系；2、通過本節(jié)的學(xué)習(xí)進一步體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的緊密聯(lián)系教學(xué)重難點表述多邊形的有關(guān)概念（內(nèi)角、外角、對角線、凸多邊形、凹多邊形）教學(xué)過程（一）引入你能從圖1中找出幾個由一些線段圍成的圖形嗎？ 圖1（二）知識點我們學(xué)過三角形，類似地，在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形（polygon）多邊形按組成它的線段的條數(shù)分成三角形、四邊形、五邊形三角形是最簡單的多邊形如果一個多邊形由n條線段組成，那么這個多邊形就叫做n邊形如圖2，螺母底面的邊緣可以設(shè)計為六邊形，也可以設(shè)計為八邊形 圖2多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角圖3中的A、B、C、D、E是五邊形ABCDE的5個內(nèi)角多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角圖4中的1是五邊形ABCDE的一個外角 圖3 圖4 圖5連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線（diagonal）圖5中，AC、AD是五邊形ABCDE的兩條對角線特別提醒：n邊形（n3）從一個頂點可引出（n3）條對角線，把n邊形分割成（n2）個三角形，共有對角線條例如：十邊形有_條對角線在這里n=10，就可套用對角線條數(shù)公式（條） 圖6如圖6（1），畫出四邊形ABCD的任何一條邊（例如CD）所在直線，整個四邊形都在這條直線的同一側(cè)，這樣的四邊形叫做凸四邊形而圖6（2）中的四邊形ABCD就不是凸四邊形，因為畫出邊CD（或BC）所在直線，整個四邊形不都在這條直線的同一側(cè)類似地，畫出多邊形的任何一條邊所在直線，如果整個多邊形都在這條直線的同一側(cè)，那么這個多邊形就是凸多邊形本節(jié)只討論凸多邊形我們知道，正方形的各個角都相等，各條邊都相等像正方形那樣，各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形圖7是正多邊形的一些例子 圖7特別提醒：（1）正多邊形必須兩個條件同時具備：各內(nèi)角都相等；各邊都相等例如：矩形各個內(nèi)角都相等，它就不是正四邊形再如：菱形各邊都相等，它卻不是正四邊形第2課時教學(xué)目標知識與技能：1、探索并說出多邊形的內(nèi)角和與外角和公式；2、進一步發(fā)展說理能力和簡單的推理能力過程與方法：經(jīng)歷探索多邊形內(nèi)角和與外角和公式的過程，實際測量，推理情感態(tài)度價值觀：1、通過探索過程進一步體會知識點之間的聯(lián)系；2、通過本節(jié)的學(xué)習(xí)進一步體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的緊密聯(lián)系教學(xué)重難點重點是多邊形的內(nèi)角和與外角和定理難點是學(xué)會善于運用三角形的有關(guān)知識來研究多邊形的問題，能夠靈活運用多邊形內(nèi)角和與外角和解決相關(guān)問題教學(xué)過程（一）思考三角形的內(nèi)角和等于180°正方形、長方形的內(nèi)角和都等于360°，其他四邊形的內(nèi)角和等于多少？（二）探究任意畫一個四邊形，量出它的4個內(nèi)角，計算它們的和再畫幾個四邊形，量一量，算一算你能得出什么結(jié)論？能否利用三角形內(nèi)角和等于180°得出這個結(jié)論？如圖8，畫出任意一個四邊形的一條對角線，都能將這個四邊形分為兩個三角形這樣，任意一個四邊形的內(nèi)角和，都等于兩個三角形的內(nèi)角和，即360° 圖8從上面的問題，你能想出五邊形和六邊形的內(nèi)角和各是多少嗎？觀察圖9，請?zhí)羁眨?圖9從五邊形的一個頂點出發(fā)，可以引_條對角線，它們將五邊形分為_個三角形，五邊形的內(nèi)角和等于180°×_從六邊形的一個頂點出發(fā)，可以引_條對角線，它們將六邊形分為_個三角形，六邊形的內(nèi)角和等于180°×_通過以上問題，你能發(fā)現(xiàn)多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)的關(guān)系嗎？一般地，怎樣求n邊形的內(nèi)角和呢？請?zhí)羁眨簭膎邊形的一個頂點出發(fā)，可以引_條對角線，它們將n邊形分為_個三角形，n邊形的內(nèi)角和等于180°×_總結(jié)：過n邊形的一個頂點可以做（n3）條對角線，將多邊形分成（n2）個三角形，每個三角形內(nèi)角和180°所以n邊形內(nèi)角和（n2）×180°把一個多邊形分成幾個三角形，還有其他分法嗎？由新的分法，能得出多邊形內(nèi)角和公式嗎？方法2：如圖：10過n邊形內(nèi)任意一點與n邊形各頂點連接，可得n個三角形，其內(nèi)角和n×180°再減去以O(shè)為頂點的周角即得n邊形內(nèi)角和n·180°360° 圖10得出了多邊形內(nèi)角和公式：n邊形內(nèi)角和等于（n2）·180°（三）例題例1：如果一個四邊形的一組對角互補，那么另一組對角有什么關(guān)系？ 圖11解：如圖11，四邊形ABCD中，AC=180°因為ABCD=（42）×180°=360°，所以BD=360°（AC）=360°180°=180°這就是說，如果四邊形的一組對角互補，那么另一組對角也互補例2：如圖12，在六邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做六邊形的外角和六邊形的外角和等于多少？ 圖12分析：考慮以下問題：（1）任何一個外角同與它相鄰的內(nèi)角有什么關(guān)系？（2）六邊形的6個外角加上與它們相鄰的內(nèi)角，所得總和是多少？（3）上述總和與六邊形的內(nèi)角和、外角和有什么關(guān)系？聯(lián)系這些問題，考慮外角和的求法解：六邊形的任何一個外角加上與它相鄰的內(nèi)角，都等于180°6個外角連同它們各自相鄰的內(nèi)角，共有12個角這些角的總和等于6×180°這個總和就是六邊形的外角和加上內(nèi)角和所以外角和等于總和減去內(nèi)角和，即外角和等于6×180°（62）×180°=2×180°=360°（四）探究如果將例2中六邊形換為n邊形（n的值是不小于3的任意整數(shù)），可以得到同樣結(jié)果嗎？思路：（用計算的方法）設(shè)n邊形的每一個內(nèi)角為1，2，3，n，其相鄰的外角分別為180°1，180°2，180°3，180°n外角和為（180°1）（180°2）（180°n）=n×180°（123n）=n×180°（n2）×180°=360°注意：以上各推導(dǎo)方法體現(xiàn)將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決的基本思想由上面的探究可以得到：多邊形的外角和等于360°你也可以像以下這樣理解為什么多邊形的外角和等于360°如圖13，從多邊形的一個頂點A出發(fā)，沿多邊形的各邊走過各頂點，再回到點A，然后轉(zhuǎn)向出發(fā)時的方向在行程中所轉(zhuǎn)的各個角的和，就是多邊形的外角和由于走了一周，所轉(zhuǎn)的各個角的和等于一個周角，所以多邊形的外角和等于360° 圖13