《一次方程組》復(fù)習(xí)教案.doc

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1、第十章 一次方程組 （一）知識(shí)框架 （二）重點(diǎn)難點(diǎn)突破 回顧與思考 1、什么叫二元一次方程？什么叫二元一次方程組？它們?cè)谏钪杏心男?yīng)用？ 2、解二元一次方程組有哪些方法？ 3、利用二元一次方程組解決生活實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是什么？ 重點(diǎn)點(diǎn)撥 （一）二元一次方程（組）及其解的概念 含有兩個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程. 使一個(gè)二元一次方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解. 二元一次方程的解有無(wú)數(shù)組. 含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組． 我們把二元一次方程組中兩個(gè)方程的公

2、共解，叫做二元一次方程組的解. （二）二元一次方程組的解法 1.將方程組的一個(gè)方程中的某個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示，并代入另一個(gè)方程，從而消去一個(gè)未知數(shù)，把解二元一次方程組轉(zhuǎn)化為解一元一次方程，這種解方程組的方法，稱為代入消元法，簡(jiǎn)稱代入法。 2.把方程組的兩個(gè)方程（或先作適當(dāng)變形）相加或相減，消去其中一個(gè)未知數(shù)，把解二元一次方程組轉(zhuǎn)化為解一元一次方程，這種解方程組的方法叫做加減消元法簡(jiǎn)稱加減法。 （三）利用二元一次方程組解決生活實(shí)際問(wèn)題 利用二元一次方程組解決生活實(shí)際問(wèn)題就是將生活中的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即列出二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題. 難點(diǎn)突破

3、（一）解二元一次方程組的基本思想方法 了解解二元一次方程組的消元方法，經(jīng)歷從“二元”到“一元”的轉(zhuǎn)化過(guò)程，從而體會(huì)消元的思想，以及把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”，把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題的化歸思想。 （二）利用二元一次方程組解決生活實(shí)際問(wèn)題 能將生活中的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即能列出二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題，其關(guān)鍵是 找出題目中蘊(yùn)涵的相等關(guān)系，并建立方程組求解. 學(xué)習(xí)要求 （1）要善于挖掘隱含條件，要具有方程的思想意識(shí)，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，應(yīng)該不斷積累用方程思想解題的方法。 （2）在交流和反思的過(guò)程中建立知識(shí)體系，體驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成就感。 （3）列二元一次方程組的關(guān)鍵是能正確分析出題目

4、中的等量關(guān)系，問(wèn)題往往與生活實(shí)際相貼近，與社會(huì)關(guān)系的熱點(diǎn)問(wèn)題相聯(lián)系，請(qǐng)平時(shí)注意搜集、觀察與分析。 整合拓展創(chuàng)新 類型之一 二元一次方程（組）及其解的概念問(wèn)題 1. 二元一次方程（組）的概念 例1若2x|m|+（m+1）y=3m-1是關(guān)于x、y的二元一次方程，則m的取值范圍是（ C ） A、m≠－1 B、m=1 C、m=1 D、m=0 解析:根據(jù)二元一次方程的概念可得|m|=1,且m+1≠0，所以m=1,選C. 變式題（學(xué)生完成 ） 方程▓是二元一次方程，▓是被污染的的系數(shù)，請(qǐng)你推斷被污染的的系數(shù)的值可能是（ ） A、不可能是 B、不可能是 C、不可能是1

5、 D、不可能是2. 例2下列方程組中，屬于二元一次方程組的是 （ ） A、 B、 C、 D、 解析:本題考察對(duì)二元一次方程組的概念的理解.答案選D 變式題 寫出一個(gè)以為解的二元一次方程組. 解析:答案有無(wú)數(shù)種，如等.學(xué)生答案是： 2. 二元一次方程（組）的解的含義 例3適合方程x+y=5且x、y絕對(duì)值都小于5的整數(shù)解有（ C ） A、2 B、 3 C、 4 D、5 解析: 二元一次方程的解有無(wú)數(shù)組，本題用簡(jiǎn)單列舉法:絕對(duì)值小于5的整數(shù)有9個(gè),分別取x=－4,－3,－2, －1,0,1,2,3,4;再計(jì)算出對(duì)應(yīng)的y的值,

6、其中符合條件的解有4組.選C. 變式題1若x+y=0,且|x|=2則y的值為（ ） A、0 B、2 C、－2 D、2 例4已知二元一次方程組的解是（ B ） A、 B、 C、 D、 解析:本題有兩種解法：一種是將被選答案代入方程組，逐個(gè)驗(yàn)證；另一種是解方程組，求出其解.答案選B 變式題1 以為解的方程組是（ ） A、 B、 C、 D、 類型之二 二元一次方程組的解法 1. 代入法 例5解方程組： 解析:因?yàn)榉匠探M中相同未知數(shù)表示同一個(gè)量，方程①中的y=2x,所以方程②中的2x可用y代替，這樣，方程②轉(zhuǎn)化成了

7、關(guān)于y的一元一次方程. 或?qū)⒎匠挞谥械膟用 2x代替，這樣，方程②轉(zhuǎn)化成了關(guān)于x的一元一次方程. 解：將①代入②，得． 解這個(gè)方程，得． 將代入①，得． 所以，原方程的解為 點(diǎn)評(píng)：本題用代入消元法求解，充分體現(xiàn)了將“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”的消元思想. 變式題 解方程組 點(diǎn)評(píng)：本題運(yùn)用代入消元法求解，需運(yùn)用等式的基本性質(zhì)將方程②變形為用含y的代數(shù)式表示x的形式. 2.加減法 例6 用加減法解下列方程組 （1）解方程組 （2）解方程組： 解析:（1）方程組①式與②式中未知數(shù)y的系數(shù)互為相反數(shù)，將①式與②式相加，可消去其中一個(gè)未知數(shù)y,達(dá)到消元的

8、目的.（2）觀察方程組中兩個(gè)未知數(shù)系數(shù)，發(fā)現(xiàn)y的系數(shù)成整倍數(shù)關(guān)系，則只需將①式兩邊同乘以2，則兩個(gè)方程中y的系數(shù)互為相反數(shù)，將兩式相加可消去“一元”， 達(dá)到了消元的目的. 解：（1）①+②得4x=8,解得x=2, 將x=2代入②得,6+2y=8,解得y=1，所以原方程組的解是 （2）①得：　③ ②③得：11x=33,解得x=3 把x=3代入①得：9-y=5,解得y=4. 所以原方程組的解是 點(diǎn)評(píng)：第（2）題也可用代入消元法求解. 變式題1解方程組

9、 點(diǎn)評(píng)：求出方程組的解后，應(yīng)將答案代入原方程組進(jìn)行檢驗(yàn)，并形成習(xí)慣. 3. 靈活消元 例7 用適當(dāng)方法解下列方程組 解方程組 解析：（1）將原方程組化簡(jiǎn)后再選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?；?）觀察方程組的特征，可將原方程組的兩個(gè)方程分別去分母、去括號(hào)，轉(zhuǎn)化為二元一次方程組的一般形式，再選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?；也可用整體代入法或加減法解題，也可用“換元法”求解. 解：（1） 原方程組可變形為 ②-①得：2x=-6 解得 x=-3,將x=-3代入②得：-6-3y=1,解得 變式題1 用適當(dāng)方法解下列方程組

10、（1） 點(diǎn)評(píng)：靈活選擇適當(dāng)?shù)姆椒珊?jiǎn)化運(yùn)算，同時(shí)可發(fā)展同學(xué)們的思維能力，提高解題速度. 變式題2 已知，則x- y = . 點(diǎn)評(píng)：代入法和加減法這兩種方法都是從“消元”這個(gè)基本思想出發(fā)，先把“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”，把解二元一次方程組的問(wèn)題歸結(jié)為解一元一次方程，在“消元”法中，包含了“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要數(shù)學(xué)思想。 類型之三 二元一次方程組的綜合應(yīng)用 1 .構(gòu)造二元一次方程組解決問(wèn)題 例8 已知|3x + y – 2 |+ (2x + 3y + 1)= 0 ,求x、y 的值。 解析：絕對(duì)值有非負(fù)性質(zhì)（即不是負(fù)數(shù)），完全平方也有非負(fù)性質(zhì)，如果兩個(gè)非負(fù)數(shù)相加為0，

11、那么每一個(gè)數(shù)必須是0，于是可得到：3x + y – 2 = 0；2x + 3y + 1 = 0.把它們組成方程組，再解方程組即可得到x、y 的值。 解：由絕對(duì)值及完全平方的非負(fù)性質(zhì)得即 由①得y = -3x + 2.③ 把③代入②，2x + 3 (-3x + 2 )= -1,解得x = 1, 把x = 1 代入③，得y = -1.所以x = 1，y = -1。 點(diǎn)評(píng)：本題是根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)和為0，那么這兩個(gè)數(shù)都為0，把原來(lái)的一個(gè)等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)方程，再組合成一個(gè)方程組，從而解決問(wèn)題.這種轉(zhuǎn)化的方法要注意體會(huì). 變式題（學(xué)生完成） 已知5 + |x + y

12、-3| + (x – 2y )= 5 ,則 （ ） A、 B、 C、 D、 例9 已知與都是方程y=kx+b的解，則k與b的值為（ A ） A、，b=-4 B、，b=4 C、，b=4 D、，b=-4 解析：根據(jù)題意可得方程組 解得，b=-4; 因此選A 變式題1 （學(xué)生完成）已知與是同類項(xiàng).則s+t= . 點(diǎn)評(píng)：將已知條件轉(zhuǎn)化成解二元一次方程組問(wèn)題，可解決求值問(wèn)題. 變式題2 若二元一次方程組的解滿足方程.則 k= . 點(diǎn)評(píng)：把已知條件轉(zhuǎn)化為能夠直接應(yīng)用的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵.一般來(lái)說(shuō)，一個(gè)相等關(guān)系

13、通常只能求出一個(gè)未知數(shù)的值.要求出兩個(gè)未知數(shù)的值，需要兩個(gè)相等關(guān)系，這一點(diǎn)在今后的學(xué)習(xí)中逐步能體會(huì)到. 類型之四 用方程組解決生活實(shí)際問(wèn)題 1. 用方程組解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題 例10根據(jù)題意列方程組:開(kāi)學(xué)報(bào)到時(shí)小剛帶了新版人民幣50 元和10 元共12張240元準(zhǔn)備交代辦費(fèi),求小剛攜帶50元和10元的人民幣各幾張? 【思路分析】 問(wèn)題中包含的兩個(gè)相等關(guān)系為：新版人民幣50 元張數(shù)+ 10 元張數(shù)=12張； 新版人民幣50 元總價(jià)值+10 元總價(jià)值=240元 解:設(shè)小剛帶50元的人民幣x張,帶10的人民幣y張, 根據(jù)題意列方程組得 點(diǎn)評(píng) 列二元一次方程組的關(guān)鍵

14、是找出問(wèn)題中蘊(yùn)涵的相等關(guān)系. 變式題1小芳買了35張賀卡,共花了50元錢,其中大賀卡每張2元,小賀卡每張1元,小芳買大、小賀卡各多少?gòu)? 【思路分析】設(shè)買大賀卡x張,小賀卡y張,則大賀卡總價(jià)值2x元,小賀卡總價(jià)值y元，相等關(guān)系為：大賀卡張數(shù)+小賀卡張數(shù)=35張, 大賀卡總價(jià)+小賀卡總價(jià)=50元. 解:設(shè)買大賀卡x張,小賀卡y張,根據(jù)題意列方程組得, 解這個(gè)方程組得 . 答:買大賀卡15卡,小賀卡20張. 點(diǎn)評(píng) 理解題意找出相等關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵. 變式題2七年級(jí)(2)班的一個(gè)綜合實(shí)踐活動(dòng)小組去A、B兩個(gè)超市調(diào)查去年和今年“五一”節(jié)期間的銷售情況。下圖是調(diào)查后小敏與其他兩位進(jìn)行

15、交流的情景，請(qǐng)你根據(jù)他們的對(duì)話，分別求出A、B兩個(gè)超市今年“五一”節(jié)期間的銷售額. 【思路分析】分析三個(gè)同學(xué)的對(duì)話，從中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中的已知量、未知量及相等關(guān)系. 點(diǎn)評(píng)：本題圖文并茂，需認(rèn)真審題，設(shè)間接未知數(shù)可使問(wèn)題簡(jiǎn)化. 2.運(yùn)用列表法分析問(wèn)題、解決問(wèn)題 例11為響應(yīng)承辦“綠色奧運(yùn)”的號(hào)召，某中學(xué)初三（2）班計(jì)劃組織部分同學(xué)義務(wù)植樹(shù)180棵，由于同學(xué)們參與的積極性很高，實(shí)際參加植樹(shù)活動(dòng)的人數(shù)比原計(jì)劃增加了50%，結(jié)果每人比原計(jì)劃少栽了2棵樹(shù)，問(wèn)實(shí)際有多少人參加了這次植樹(shù)活動(dòng)？ 【思路分析】本題可通過(guò)列表來(lái)表示植樹(shù)活動(dòng)的有關(guān)數(shù)量. 每人植樹(shù)棵數(shù) 人數(shù) 植樹(shù)總棵數(shù) 原計(jì)劃

16、 x y 180 實(shí)際 x-2 1.5y 180 根據(jù)每人植樹(shù)棵數(shù)人數(shù)=植樹(shù)總棵數(shù),可列出兩個(gè)方程. 解：設(shè)原計(jì)劃每人植樹(shù)x棵，原計(jì)劃參加人數(shù)為y人，則實(shí)際參加人數(shù)為1.5y人. 根據(jù)題意列方程組得 將xy當(dāng)成一個(gè)整體，把①代入②得y=30,則1.5y=45. 答：實(shí)際有45人參加了這次植樹(shù)活動(dòng). 點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用整體代入法是解此特殊方程組的關(guān)鍵. 變式題1甲桶裝水49升，乙桶裝水56升，如果把乙桶的水倒入甲桶，甲桶裝滿后，乙桶剩下得水恰好是乙桶容量的一半，若把甲桶的水倒入乙桶，待乙桶裝滿后則甲桶剩下的水恰好是甲桶容量的，求這兩個(gè)水桶的容量. 【思路分析】本題可以

17、通過(guò)列表來(lái)表示前后兩桶水的變化。 點(diǎn)評(píng)：有些題目中，數(shù)量之間的關(guān)系不夠明顯，有時(shí)還有變化，為了弄清題意，理順數(shù)量之間的關(guān)系，需要通過(guò)設(shè)計(jì)一些表格來(lái)幫助我們解題。如本例中，分析時(shí)用了較大的篇幅，花了一定的時(shí)間，但到實(shí)際解題時(shí)卻顯得很簡(jiǎn)便。 列表可以幫助我們盡快地理解題意，我們?cè)诮忸}時(shí)，不要怕麻煩，分析問(wèn)題的能力會(huì)逐漸提高。 3.運(yùn)用畫示意圖法分析問(wèn)題、解決問(wèn)題 例12一列勻速行駛的火車通過(guò)一座160米長(zhǎng)的鐵路橋用了30秒，若它以同樣的速度穿過(guò)一段200米長(zhǎng)的隧道用了32秒，求這列火車的速度和長(zhǎng)度. 【思路分析】本題可通過(guò)畫線段圖來(lái)表示有關(guān)量的數(shù)量關(guān)系，火車在通過(guò)鐵路橋時(shí)，從車頭上橋到車

18、尾出橋歷時(shí)30秒，火車所行駛的路程是橋長(zhǎng)與火車長(zhǎng)的和；同理，它穿過(guò)一段200米長(zhǎng)的隧道用了32秒，其所行駛的路程是隧道長(zhǎng)與火車長(zhǎng)的和.若設(shè)火車速度是xm/s,火車長(zhǎng)為ym,其 示意圖如下所示： 解：設(shè)火車速度是xm/s,火車長(zhǎng)為ym, 根據(jù)題意列方程組得 解方程組得 答：火車速度是20m/s,火車長(zhǎng)為440m. 點(diǎn)評(píng)：有關(guān)速度、時(shí)間及路程的問(wèn)題，一般情況下可通過(guò)畫直線型示意圖幫助理解題意，這充分運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想方法. 變式題1 汽車從甲地到乙地，若每小時(shí)行駛45千米，就要延誤30分鐘到達(dá)；若每分鐘行駛50千米，那就可以提前30分鐘到達(dá)，求甲、乙兩地之間的距離及原計(jì)劃行

19、駛的時(shí)間. 中考名題欣賞(師生共同完成) 例1請(qǐng)寫出一個(gè)以為未知數(shù)的二元一次方程組，且同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件： ①由兩個(gè)二元一次方程組成， ②方程組的解為 這樣的方程組可以是 ． 解析：本題結(jié)論開(kāi)放，答案不唯一，如： 例2二元一次方程組的解是（ ） A． B． C． D． 例3解方程組 例4已知二元一次方程：（1）；（2）；（3）．請(qǐng)從這三個(gè)方程中選擇你喜歡的兩個(gè)方程，組成一個(gè)方程組，并求出這個(gè)方程組的解． 例5已知方程組的解為，則的值為

20、 （ B ） A． B． C． D． 例6若方程，和有公共解，則的取值為　　?。? 例7小劉同學(xué)用10元錢購(gòu)買兩種不同的賀卡共8張，單價(jià)分別是1元與2元．設(shè)1元的賀卡為張，2元的賀卡為張，那么所適合的一個(gè)方程組是（ ） A． B． C． D． 例8國(guó)家為九年義務(wù)教育期間的學(xué)生實(shí)行“兩免一補(bǔ)”政策，下表是我市某中學(xué)國(guó)家免費(fèi)提供教科書補(bǔ)助的部分情況． 年 級(jí) 項(xiàng) 目 七 八 九 合計(jì) 每人免費(fèi)補(bǔ)助金額（元） 110 90 50 人數(shù)（人） 80 300 免費(fèi)補(bǔ)助總金額（元） 4000 26200

21、 如果要知道空白處的數(shù)據(jù)，可設(shè)七年級(jí)的人數(shù)為，八年級(jí)的人數(shù)為，根據(jù)題意列出方程組為（　?。? A． B． C． D． 例9下圖是一個(gè)正方體的展開(kāi)圖，標(biāo)注了字母“”的面是正方體的正面．如果正方體相對(duì)兩個(gè)面上的代數(shù)式的值相等，求的值． 例10某商場(chǎng)正在熱銷2008年北京奧運(yùn)會(huì)吉祥物“福娃”玩具和徽章兩種奧運(yùn)商品，根據(jù)下圖提供的信息，求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的價(jià)格各是多少元？ 共計(jì)145元 共計(jì)280元 答：一盒“福娃”玩具和一枚徽章的價(jià)格分別為元和元． 例11市政府根據(jù)社會(huì)需要，對(duì)自來(lái)水價(jià)格舉行了聽(tīng)證會(huì)，決定從今年

22、4月份起對(duì)自來(lái)水價(jià)格進(jìn)行調(diào)整． 調(diào)整后生活用水價(jià)格的部分信息如下表： 用水量（m3） 單價(jià)（元/m3） 5m3以內(nèi)（包括5m3）的部分 2 5m3以上的部分 x 已知5月份小晶家和小磊家分別交水費(fèi)19元、31元，且小磊家的用水量是小晶家的用水量的1.5倍．請(qǐng)你通過(guò)上述信息，求出表中的x. 例12某高校共有5個(gè)大餐廳和2個(gè)小餐廳．經(jīng)過(guò)測(cè)試：同時(shí)開(kāi)放1個(gè)大餐廳、2個(gè)小餐廳，可供1680名學(xué)生就餐；同時(shí)開(kāi)放2個(gè)大餐廳、1個(gè)小餐廳，可供2280名學(xué)生就餐． （1）求1個(gè)大餐廳、1個(gè)小餐廳分別可供多少名學(xué)生就餐； （2）若7個(gè)餐廳同時(shí)開(kāi)放，能否供全校的5300名學(xué)生就餐？請(qǐng)說(shuō)明理由．