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1、1,1.9 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性,四則運(yùn)算的連續(xù)性,反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性,小結(jié) 思考題 作業(yè),初等函數(shù)的連續(xù)性,第一章 函數(shù)與極限,2,,定理1,如,,則,由于,一、四則運(yùn)算的連續(xù)性,也在點(diǎn) x0連續(xù);,在其定義域內(nèi)連續(xù).,在點(diǎn) x0連續(xù);,在點(diǎn) x0連續(xù).,3,,如,,結(jié)論: 反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù),定理2,故,同理,,二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性,單調(diào)增加,且連續(xù),,單調(diào)的連續(xù)函數(shù),必有單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).,也是單調(diào)增加且連續(xù).,單調(diào)減少且連續(xù).,單調(diào)增加且連續(xù).,單調(diào)減少且連續(xù).,4,,,,此定理對(duì)計(jì)算某些極限是很方便的.,定理3,設(shè)函數(shù),是由函數(shù),與函數(shù),復(fù)合而成,
2、,而函數(shù),連續(xù),,則,證,5,將上兩步合起來:,,6,注,1.定理的條件：內(nèi)層函數(shù)有極限，外層函數(shù) 在極限值點(diǎn)處連續(xù),3. 該定理的意義在于：極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換，即極限號(hào)可以穿過外層函數(shù)符號(hào)直接取在內(nèi)層。,7,,意義,例,解,可交換次序;,由,所以,2. 變量代換,的理論依據(jù).,,1. 在定理的條件下,,8,,例,解,這里,不連續(xù),,但,所以,9,,,,例,解,,10,練習(xí),令a x-1=t,解,則x=log a(1+t) x0時(shí)t0 于是,利用連續(xù)性求極限練習(xí),練習(xí),解,11,定理4,設(shè)函數(shù),是由函數(shù),與函數(shù),復(fù)合而成,,若函數(shù),連續(xù),,而函數(shù),連續(xù),,則復(fù)合而成,也連
3、續(xù).,是由連續(xù)函數(shù),因此,復(fù)合而成,例,注意定理4是定理3的特殊情況.,12,三角函數(shù)及反三角函數(shù),(1),(2),(3),是連續(xù)的;,三、初等函數(shù)的連續(xù)性,單調(diào)且連續(xù);,指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),單調(diào)且連續(xù);,(均在其定義域內(nèi)連續(xù) ),,(4),冪函數(shù),連續(xù);,討論,不同值.,在它們的定義域內(nèi),13,,定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.,基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù),連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù),一切初等函數(shù) 在定義區(qū)間內(nèi) 連續(xù),,1. 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),,如,,這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義.,注,在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);,,2. 初等函數(shù)求極限的方法,代入法.,14
4、,例,例,解,解,15,函數(shù) g(x)h(x) 稱為冪指函數(shù) , 它的定義域,一般應(yīng)要求 g(x) 0.,冪指函數(shù)求極限,時(shí), 冪指函數(shù) g(x)h(x) 也是連續(xù)函數(shù).,當(dāng) g(x) 與 h(x) 均為連續(xù)函數(shù), 且 g(x) 0,16,冪指函數(shù)求極限的方法 換底（e）公式法：,由定理 3 容易得到下面幾個(gè)冪指函數(shù)的極限公式：,,,,17,(3),(2),(1),例,解:,原式,練習(xí),18,四、小結(jié),連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性;,復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性:,初等函數(shù)的連續(xù)性:,求極限的又一種方法.,兩個(gè)定理; 兩點(diǎn)意義.,反函數(shù)的連續(xù)性;,定義區(qū)間與定義域的區(qū)別;,19,思考題,解,2002年考研數(shù)學(xué)三, 填空題, 3分,20,作業(yè),習(xí)題1-9 (68頁),1. 3(2)(4)(6). 4(1)(3)(5). 5.,
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