圓錐曲線 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.doc

第九章 直線與圓錐曲線位置關(guān)系 解析幾何直線與圓錐曲線位置關(guān)系一、基礎(chǔ)知識(shí)：（一）直線與橢圓位置關(guān)系1、直線與橢圓位置關(guān)系：相交（兩個(gè)公共點(diǎn)），相切（一個(gè)公共點(diǎn)），相離（無(wú)公共點(diǎn)）2、直線與橢圓位置關(guān)系的判定步驟：通過(guò)方程根的個(gè)數(shù)進(jìn)行判定，下面以直線和橢圓：為例（1）聯(lián)立直線與橢圓方程：（2）確定主變量（或）并通過(guò)直線方程消去另一變量（或），代入橢圓方程得到關(guān)于主變量的一元二次方程：，整理可得：（3）通過(guò)計(jì)算判別式的符號(hào)判斷方程根的個(gè)數(shù)，從而判定直線與橢圓的位置關(guān)系 方程有兩個(gè)不同實(shí)根直線與橢圓相交 方程有兩個(gè)相同實(shí)根直線與橢圓相切 方程沒(méi)有實(shí)根直線與橢圓相離3、若直線上的某點(diǎn)位于橢圓內(nèi)部，則該直線一定與橢圓相交（二）直線與雙曲線位置關(guān)系1、直線與雙曲線位置關(guān)系，相交，相切，相離2、直線與雙曲線位置關(guān)系的判定：與橢圓相同，可通過(guò)方程根的個(gè)數(shù)進(jìn)行判定以直線和橢圓：為例：（1）聯(lián)立直線與雙曲線方程：，消元代入后可得：（2）與橢圓不同，在橢圓中，因?yàn)椋韵蟮姆匠桃欢ㄊ嵌畏匠?，但雙曲線中，消元后的方程二次項(xiàng)系數(shù)為，有可能為零。所以要分情況進(jìn)行討論當(dāng)且時(shí)，方程變?yōu)橐淮畏匠?，有一個(gè)根。此時(shí)直線與雙曲線相交，只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為，所以恒成立，此時(shí)直線與雙曲線相交當(dāng)或時(shí)，直線與雙曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)需要用判斷： 方程有兩個(gè)不同實(shí)根直線與雙曲線相交 方程有兩個(gè)相同實(shí)根直線與雙曲線相切 方程沒(méi)有實(shí)根直線與雙曲線相離注：對(duì)于直線與雙曲線的位置關(guān)系，不能簡(jiǎn)單的憑公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)判定位置。尤其是直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，如果是通過(guò)一次方程解出，則為相交；如果是通過(guò)二次方程解出相同的根，則為相切（3）直線與雙曲線交點(diǎn)的位置判定：因?yàn)殡p曲線上的點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍為，所以通過(guò)橫坐標(biāo)的符號(hào)即可判斷交點(diǎn)位于哪一支上：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)位于雙曲線的右支；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)位于雙曲線的左支。對(duì)于方程：，設(shè)兩個(gè)根為 當(dāng)時(shí)，則，所以異號(hào)，即交點(diǎn)分別位于雙曲線的左，右支 當(dāng)或，且時(shí)，所以同號(hào)，即交點(diǎn)位于同一支上（4）直線與雙曲線位置關(guān)系的幾何解釋：通過(guò)（2）可發(fā)現(xiàn)直線與雙曲線的位置關(guān)系與直線的斜率相關(guān)，其分界點(diǎn)剛好與雙曲線的漸近線斜率相同。所以可通過(guò)數(shù)形結(jié)合得到位置關(guān)系的判定 且時(shí)，此時(shí)直線與漸近線平行，可視為漸近線進(jìn)行平移，則在平移過(guò)程中與雙曲線的一支相交的同時(shí)，也在遠(yuǎn)離雙曲線的另一支，所以只有一個(gè)交點(diǎn) 時(shí)，直線的斜率介于兩條漸近線斜率之中，通過(guò)圖像可得無(wú)論如何平移直線，直線均與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，且兩個(gè)交點(diǎn)分別位于雙曲線的左，右支上。 或時(shí)，此時(shí)直線比漸近線“更陡”，通過(guò)平移觀察可得：直線不一定與雙曲線有公共點(diǎn)（與的符號(hào)對(duì)應(yīng)），可能相離，相切，相交，如果相交則交點(diǎn)位于雙曲線同一支上。（三）直線與拋物線位置關(guān)系：相交，相切，相離1、位置關(guān)系的判定：以直線和拋物線：為例聯(lián)立方程：，整理后可得：（1）當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程為關(guān)于的一次方程，所以有一個(gè)實(shí)根。此時(shí)直線為水平線，與拋物線相交（2）當(dāng)時(shí)，則方程為關(guān)于的二次方程，可通過(guò)判別式進(jìn)行判定 方程有兩個(gè)不同實(shí)根直線與拋物線相交 方程有兩個(gè)相同實(shí)根直線與拋物線相切 方程沒(méi)有實(shí)根直線與拋物線相離2、焦點(diǎn)弦問(wèn)題：設(shè)拋物線方程：，過(guò)焦點(diǎn)的直線（斜率存在且），對(duì)應(yīng)傾斜角為，與拋物線交于聯(lián)立方程：，整理可得：（1） （2） （3）（四）圓錐曲線問(wèn)題的解決思路與常用公式：1、直線與圓錐曲線問(wèn)題的特點(diǎn)：（1）題目貫穿一至兩個(gè)核心變量（其余變量均為配角，早晚利用條件消掉），（2）條件與直線和曲線的交點(diǎn)相關(guān)，所以可設(shè)，至于坐標(biāo)是否需要解出，則看題目中的條件，以及坐標(biāo)的形式是否復(fù)雜（3）通過(guò)聯(lián)立方程消元，可得到關(guān)于（或）的二次方程，如果所求的問(wèn)題與兩根的和或乘積有關(guān)，則可利用韋達(dá)定理進(jìn)行整體代入，從而不需求出（所謂“設(shè)而不求”）（4）有些題目會(huì)涉及到幾何條件向解析語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換，注重?cái)?shù)形幾何，注重整體代入。則可簡(jiǎn)化運(yùn)算的過(guò)程這幾點(diǎn)歸納起來(lái)就是“以一個(gè)（或兩個(gè)）核心變量為中心，以交點(diǎn)為兩個(gè)基本點(diǎn)，堅(jiān)持韋達(dá)定理四個(gè)基本公式（，堅(jiān)持?jǐn)?shù)形結(jié)合，堅(jiān)持整體代入。直至解決解析幾何問(wèn)題“2、韋達(dá)定理：是用二次方程的系數(shù)運(yùn)算來(lái)表示兩個(gè)根的和與乘積，在解析幾何中得到廣泛使用的原因主要有兩個(gè)：一是聯(lián)立方程消元后的二次方程通常含有參數(shù)，進(jìn)而導(dǎo)致直接利用求根公式計(jì)算出來(lái)的實(shí)根形式非常復(fù)雜，難以參與后面的運(yùn)算；二是解析幾何的一些問(wèn)題或是步驟經(jīng)常與兩個(gè)根的和與差產(chǎn)生聯(lián)系。進(jìn)而在思路上就想利用韋達(dá)定理，繞開(kāi)繁雜的求根結(jié)果，通過(guò)整體代入的方式得到答案。所以說(shuō)，解析幾何中韋達(dá)定理的應(yīng)用本質(zhì)上是整體代入的思想，并不是每一道解析題必備的良方。如果二次方程的根易于表示（優(yōu)先求點(diǎn)，以應(yīng)對(duì)更復(fù)雜的運(yùn)算），或者所求的問(wèn)題與兩根和，乘積無(wú)關(guān)，則韋達(dá)定理毫無(wú)用武之地。3、直線方程的形式：直線的方程可設(shè)為兩種形式：（1）斜截式：，此直線不能表示豎直線。聯(lián)立方程如果消去則此形式比較好用，且斜率在直線方程中能夠體現(xiàn)，在用斜截式解決問(wèn)題時(shí)要注意檢驗(yàn)斜率不存在的直線是否符合條件（2），此直線不能表示水平線，但可以表示斜率不存在的直線。經(jīng)常在聯(lián)立方程后消去時(shí)使用，多用于拋物線（消元后的二次方程形式簡(jiǎn)單）。此直線不能直接體現(xiàn)斜率，當(dāng)時(shí)，斜率4、弦長(zhǎng)公式：（已知直線上的兩點(diǎn)距離）設(shè)直線，上兩點(diǎn)，所以或（1）證明：因?yàn)樵谥本€上，所以 ，代入可得：同理可證得（2）弦長(zhǎng)公式的適用范圍為直線上的任意兩點(diǎn)，但如果為直線與曲線的交點(diǎn)（即為曲線上的弦），則（或）可進(jìn)行變形：，從而可用方程的韋達(dá)定理進(jìn)行整體代入。5、點(diǎn)差法：這是處理圓錐曲線問(wèn)題的一種特殊方法，適用于所有圓錐曲線。不妨以橢圓方程為例，設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則該兩點(diǎn)滿足橢圓方程，有： 考慮兩個(gè)方程左右分別作差，并利用平方差公式進(jìn)行分解，則可得到兩個(gè)量之間的聯(lián)系： 由等式可知：其中直線的斜率，中點(diǎn)的坐標(biāo)為，這些要素均在式中有所體現(xiàn)。所以通過(guò)“點(diǎn)差法”可得到關(guān)于直線的斜率與中點(diǎn)的聯(lián)系，從而能夠處理涉及到弦與中點(diǎn)問(wèn)題時(shí)。同時(shí)由可得在涉及坐標(biāo)的平方差問(wèn)題中也可使用點(diǎn)差法。二、典型例題例1：不論為何值，直線與橢圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 思路一：可通過(guò)聯(lián)立方程，消去變量（如消去），得到關(guān)于的二次方程，因?yàn)橹本€與橢圓有公共點(diǎn)，所以在恒成立，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，解出即可解：，整理可得：即 思路二：從所給含參直線入手可知直線過(guò)定點(diǎn)，所以若過(guò)定點(diǎn)的直線均與橢圓有公共點(diǎn)，則該點(diǎn)位于橢圓的內(nèi)部或橢圓上，所以代入后，即，因?yàn)槭菣E圓，所以，故的取值范圍是答案：C小煉有話說(shuō)：（1）比較兩種思路，第一種思路比較傳統(tǒng)，通過(guò)根的個(gè)數(shù)來(lái)確定直線與橢圓位置關(guān)系，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題求解；第二種思路是抓住點(diǎn)與橢圓位置關(guān)系的特點(diǎn)，即若點(diǎn)在封閉曲線內(nèi)，則過(guò)該點(diǎn)的直線必與橢圓相交，從而以定點(diǎn)為突破口巧妙解決問(wèn)題。在思路二中，從含參直線能發(fā)現(xiàn)定點(diǎn)是關(guān)鍵（2）本題還要注意細(xì)節(jié)，橢圓方程中的系數(shù)不同，所以例2：已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，若過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此直線斜率的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 思路：由可得漸近線方程為：，若過(guò)右焦點(diǎn)的直線與右支只有一個(gè)交點(diǎn)，則直線的斜率的絕對(duì)值小于或等于漸近線斜率的絕對(duì)值，即 答案：C小煉有話說(shuō)：本題是利用“基礎(chǔ)知識(shí)”的結(jié)論直接得到的答案，代數(shù)的推理如下：由可知，設(shè)直線，聯(lián)立方程可得：，整理后可得： 當(dāng)時(shí)，即位于雙曲線右支，符合題意當(dāng)時(shí)， 直線與雙曲線必有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)為 因?yàn)橹本€與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn) ，即 綜上所述：例3：已知拋物線的方程為，過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 思路：由兩點(diǎn)可確定直線的方程（含），再通過(guò)與拋物線方程聯(lián)立，利用即可得到關(guān)于的不等式，從而解得的范圍解：若，則直線與拋物線有公共點(diǎn)，不符題意若，則 ，與橢圓聯(lián)立方程： 直線與拋物線無(wú)公共點(diǎn)或 答案：D例4：過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作直線交雙曲線于兩點(diǎn)，若實(shí)數(shù)使得的直線恰有3條，則_思路：由雙曲線方程可知，當(dāng)斜率不存在時(shí)，可知為通徑，計(jì)算可得：，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式可得為關(guān)于的表達(dá)式，即。可解得：或。若或，即時(shí)，可得，僅有一解，不符題意。若且，則每個(gè)方程只能無(wú)解或兩解。所以可知當(dāng)時(shí)，方程有兩解，再結(jié)合斜率不存在的情況，共有3解。符合題意，所以 解：由雙曲線可得 ，當(dāng)斜率不存在時(shí)，的方程為 為通徑，即 若直線斜率存在，不妨設(shè)為 則設(shè)， 聯(lián)立直線與橢圓方程：消去可得：，整理可得： 可得：或 當(dāng)時(shí)，即，則方程的解為，只有一解，不符題意同理，當(dāng)，即，則方程的解為，只有一解，不符題意當(dāng)且時(shí)，則每個(gè)方程的解為0個(gè)或兩個(gè)，總和無(wú)法達(dá)到3個(gè)，不符題意所以若的直線恰有3條，只能，方程解得： 滿足條件的直線的方程為：，答案： 例5：已知橢圓，則當(dāng)在此橢圓上存在不同兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 思路：設(shè)橢圓上兩點(diǎn)，中點(diǎn)坐標(biāo)為，則有，由中點(diǎn)問(wèn)題想到點(diǎn)差法，則有，變形可得： 由對(duì)稱關(guān)系和對(duì)稱軸方程可得，直線的斜率，所以方程轉(zhuǎn)化為： ，由對(duì)稱性可知中點(diǎn)在對(duì)稱軸上，所以有，所以解得：，依題意可得：點(diǎn)必在橢圓內(nèi)，所以有，代入可得： ，解得：答案：D例6：過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，則的值為（ ）A. B. C. D. 思路一：已知與橢圓交于兩個(gè)基本點(diǎn)，從而設(shè)，可知，即，從結(jié)構(gòu)上可聯(lián)想到韋達(dá)定理，設(shè)，聯(lián)立橢圓方程：，可得：，所以，則，即思路二：線段為橢圓的弦，且問(wèn)題圍繞著弦中點(diǎn)展開(kāi)，在圓錐曲線中處理弦中點(diǎn)問(wèn)題可用“點(diǎn)差法”，設(shè)，則有，兩式作差，可得：，發(fā)現(xiàn)等式中出現(xiàn)與中點(diǎn)和斜率相關(guān)的要素，其中，所以，且，所以等式化為即，所以答案：D小煉有話說(shuō)：兩類問(wèn)題適用于點(diǎn)差法，都是圍繞著點(diǎn)差后式子出現(xiàn)平方差的特點(diǎn)。（1）涉及弦中點(diǎn)的問(wèn)題，此時(shí)點(diǎn)差之后利用平方差進(jìn)行因式分解可得到中點(diǎn)坐標(biāo)與直線斜率的聯(lián)系（2）涉及到運(yùn)用兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)平方差的條件，也可使用點(diǎn)差法例7：已知點(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)作兩條直線分別交拋物線于點(diǎn)，直線的斜率分別為，若直線過(guò)點(diǎn)，則（ ）A. B. C. D. 思路：設(shè)，進(jìn)而所求，所以可從直線入手，設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理即可化簡(jiǎn)解：設(shè) 設(shè)，則聯(lián)立方程：，消去可得： 代入可得：答案：C例8：已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且，則直線的斜率為（ ）A. B. C. D. 思路一：從點(diǎn)的坐標(biāo)出發(fā)，因?yàn)槿c(diǎn)共線，從而可轉(zhuǎn)化為，考慮將向量坐標(biāo)化，設(shè)，有，所以，設(shè)直線，聯(lián)立拋物線方程消元后可得：，利用韋達(dá)定理可得：，再結(jié)合，消去即可得，直線，即可得到斜率為思路二：從所給線段關(guān)系恰好為焦半徑出發(fā)，聯(lián)系拋物線的定義，可考慮向準(zhǔn)線引垂線，垂足分別為，便可得到直角梯形，由拋物線定義可知：，將所求斜率轉(zhuǎn)化為直線的傾斜角，即為。不妨設(shè)在第一象限。考慮將角放入直角三角形，從而可過(guò)作于，則，因?yàn)槎?，且，利用勾股定理可得：，從而，即，?dāng)在第四象限時(shí)，同理，可得綜上所述：答案：B例9：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，設(shè)是橢圓上位于軸上方的兩點(diǎn)，且直線與直線平行，與交于點(diǎn)，則直線的斜率是（ ）A. B. C. D. 思路：先設(shè)出直線，只需一個(gè)等量條件即可求出，進(jìn)而求出斜率?？紤]與橢圓聯(lián)立方程，分別解出的縱坐標(biāo)，然后利用弦長(zhǎng)公式即可用表示：，可將已知等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，從而解出，所以斜率為 解：由橢圓方程可得：， 設(shè)，依圖可知： 聯(lián)立與橢圓方程可得：，整理可得： 同理可得：即，解得： 直線的斜率 答案：D小煉有話說(shuō)：（1）在運(yùn)用弦長(zhǎng)公式計(jì)算時(shí)，抓住焦點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0的特點(diǎn)，使用縱坐標(biāo)計(jì)算線段長(zhǎng)度更為簡(jiǎn)便，因此在直線的選擇上，本題采用的形式以便于消去得到關(guān)于的方程（2）直線方程，當(dāng)時(shí)，可知斜率與的關(guān)系為：例10：過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作兩條相互垂直的直線分別交橢圓于四點(diǎn)，則的值為（ ）A. B. C. D. 思路：首先先考慮特殊情況，即斜率不存在。則為通徑，；為長(zhǎng)軸，所以，從而。再考慮一般情況，所求為焦點(diǎn)弦，所以考慮拆成兩個(gè)焦半徑的和，如設(shè)，則，從而想到聯(lián)立直線與橢圓方程并使用韋達(dá)定理整體代入，同理也為焦半徑。設(shè)的斜率為，則的斜率為，所以均可用進(jìn)行表示，再求出的值即可解：若分別與坐標(biāo)軸平行，不妨設(shè)軸， 則為橢圓的通徑， 由可得： 因?yàn)?為長(zhǎng)軸長(zhǎng)，即 當(dāng)斜率均存在時(shí)，設(shè)斜率為，由可得斜率為 由橢圓方程可得： 設(shè)，聯(lián)立方程可得： 消去可得：，整理后為： 設(shè)，與橢圓聯(lián)立方程：，則同理，求只需用替換中的即可 綜上所述：答案：D小煉有話說(shuō)：（1）本題的亮點(diǎn)在于處理，因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)與的直線方程結(jié)構(gòu)基本相同（只有斜率不同），并且用的是相同的步驟（聯(lián)立方程，消元，韋達(dá)定理，代入焦半徑公式），所以在解決的問(wèn)題時(shí)就可參照的結(jié)果，進(jìn)行對(duì)應(yīng)字母的替換，即可得到答案。所以在處理兩條直線與同一曲線的問(wèn)題時(shí)，可觀察兩直線處理過(guò)程的異同，進(jìn)而簡(jiǎn)化運(yùn)算步驟（2）本題是選擇題，通過(guò)題意可發(fā)現(xiàn)盡管過(guò)焦點(diǎn)相互垂直的直線有無(wú)數(shù)多對(duì)，但從選項(xiàng)中暗示結(jié)果是個(gè)常數(shù)，所以就可以利用特殊情況（通徑與長(zhǎng)軸長(zhǎng)）求出結(jié)果，從而選擇正確的選項(xiàng)