圓錐曲線題型總結.doc
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直線和圓錐曲線經(jīng)常考查的一些題型 直線與橢圓、雙曲線、拋物線中每一個曲線的位置關系都有相交、相切、相離三種情況,從幾何角度可分為三類:無公共點,僅有一個公共點及有兩個相異公共點對于拋物線來說,平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點,但并不是相切;對于雙曲線來說,平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個交點,但并不相切. 直線和橢圓、雙曲線、拋物線中每一個曲線的公共點問題,可以轉化為它們的方程所組成的方程組求解的問題,從而用代數(shù)方法判斷直線與曲線的位置關系。 解決直線和圓錐曲線的位置關系的解題步驟是: (1)直線的斜率不存在,直線的斜率存在 (2)聯(lián)立直線和曲線的方程組; (3)討論類一元二次方程 (4)一元二次方程的判別式 (5)韋達定理,同類坐標變換 (6)同點縱橫坐標變換 (7)x,y,k(斜率)的取值范圍 (8)目標:弦長,中點,垂直,角度,向量,面積,范圍等等 運用的知識: 1、中點坐標公式:,其中是點的中點坐標。 2、弦長公式:若點在直線上, 則,這是同點縱橫坐標變換,是兩大坐標變換技巧之一, 或者 。 3、兩條直線垂直:則 兩條直線垂直,則直線所在的向量 4、韋達定理:若一元二次方程有兩個不同的根,則,。 常見題型: 題型一:數(shù)形結合確定直線和圓錐曲線的位置關系 例題1、已知直線與橢圓始終有交點,求的取值范圍 思路點撥:直線方程的特點是過定點(0,1),橢圓的特點是過定點(-2,0)和(2,0),和動點。 解:根據(jù)直線的方程可知,直線恒過定點(0,1),橢圓過動點,如果直線和橢圓始終有交點,則,即。 規(guī)律提示:通過直線的代數(shù)形式,可以看出直線的特點: 證明直線過定點,也是將滿足條件的直線整理成以上三種形式之一,再得出結論。 練習1、過點P(3,2) 和拋物線 只有一個公共點的直線有( )條。 A.4 B.3 C.2 D.1 題型二:弦的垂直平分線問題 弦的垂直平分線問題和對稱問題是一種解題思維,首先弄清楚哪個是弦,哪個是對稱軸,用到的知識是:垂直(兩直線的斜率之積為-1)和平分(中點坐標公式)。 例題2、過點T(-1,0)作直線與曲線N :交于A、B兩點,在x軸上是否存在一點E(,0),使得是等邊三角形,若存在,求出;若不存在,請說明理由。 分析:過點T(-1,0)的直線和曲線N :相交A、B兩點,則直線的斜率存在且不等于0,可以設直線的方程,聯(lián)立方程組,消元,分析類一元二次方程,看判別式,運用韋達定理,得弦的中點坐標,再由垂直和中點,寫出垂直平分線的方程,得出E點坐標,最后由正三角形的性質:中線長是邊長的倍。運用弦長公式求弦長。 解:依題意知,直線的斜率存在,且不等于0。 設直線,,,。 由消y整理,得 ① 由直線和拋物線交于兩點,得 即 ② 由韋達定理,得:。 則線段AB的中點為。 線段的垂直平分線方程為: 令y=0,得,則 為正三角形, 到直線AB的距離d為。 解得滿足②式 此時。 思維規(guī)律:直線過定點設直線的斜率k,利用韋達定理法,將弦的中點用k表示出來,再利用垂直關系將弦的垂直平分線方程寫出來,求出了橫截距的坐標;再利用正三角形的性質:高是邊長的倍,將k確定,進而求出的坐標。 練習2:已知橢圓過點,且離心率。 (Ⅰ)求橢圓方程; (Ⅱ)若直線與橢圓交于不同的兩點、,且線段的垂直平分線過定點,求的取值范圍。 題型三:動弦過定點的問題 例題3、已知橢圓C:的離心率為,且在x軸上的頂點分別為A1(-2,0),A2(2,0)。 (I)求橢圓的方程; (II)若直線與x軸交于點T,點P為直線上異于點T的任一點,直線PA1,PA2分別與橢圓交于M、N點,試問直線MN是否通過橢圓的焦點?并證明你的結論。 分析:第一問是待定系數(shù)法求軌跡方程;第二問中,點A1、A2的坐標都知道,可以設直線PA1、PA2的方程,直線PA1和橢圓交點是A1(-2,0)和M,通過韋達定理,可以求出點M的坐標,同理可以求出點N的坐標。動點P在直線上,相當于知道了點P的橫坐標了,由直線PA1、PA2的方程可以求出P點的縱坐標,得到兩條直線的斜率的關系,通過所求的M、N點的坐標,求出直線MN的方程,將交點的坐標代入,如果解出的t>2,就可以了,否則就不存在。 解:(I)由已知橢圓C的離心率,,則得。 從而橢圓的方程為 (II)設,,直線的斜率為,則直線的方程為,由消y整理得 是方程的兩個根, 則,, 即點M的坐標為, 同理,設直線A2N的斜率為k2,則得點N的坐標為 , 直線MN的方程為:, 令y=0,得,將點M、N的坐標代入,化簡后得: 又, 橢圓的焦點為 ,即 故當時,MN過橢圓的焦點。 練習3:直線和拋物線相交于A、B,以AB為直徑的圓過拋物線的頂點,證明:直線過定點,并求定點的坐標。 題型四:過已知曲線上定點的弦的問題 若直線過的定點在已知曲線上,則過定點的直線的方程和曲線聯(lián)立,轉化為一元二次方程(或類一元二次方程),考察判斷式后,韋達定理結合定點的坐標就可以求出另一端點的坐標,進而解決問題。下面我們就通過例題領略一下思維過程。 例題4、已知點A、B、C是橢圓E: 上的三點,其中點A是橢圓的右頂點,直線BC過橢圓的中心O,且,,如圖。 (I)求點C的坐標及橢圓E的方程; (II)若橢圓E上存在兩點P、Q,使得直線PC與直線QC關于直線對稱,求直線PQ的斜率。 解:(I) ,且BC過橢圓的中心O 又 點C的坐標為。 A是橢圓的右頂點, ,則橢圓方程為: 將點C代入方程,得, 橢圓E的方程為 (II) 直線PC與直線QC關于直線對稱, 設直線PC的斜率為,則直線QC的斜率為,從而直線PC的方程為: ,即 , 由消y,整理得: 是方程的一個根, 即 同理可得: = = = 則直線PQ的斜率為定值。 方法總結:本題第二問中,由“直線PC與直線QC關于直線對稱”得兩直線的斜率互為相反數(shù),設直線PC的斜率為k,就得直線QC的斜率為-k。利用是方程 的根,易得點P的橫坐標: ,再將其中的k用-k換下來,就得到了點Q的橫坐標: ,這樣計算量就減少了許多,在考場上就節(jié)省了大量的時間。 接下來,如果分別利用直線PC、QC的方程通過坐標變換法將點P、Q的縱坐標也求出來,計算量會增加許多。 直接計算、,就降低了計算量。總之,本題有兩處是需要同學們好好想一想,如何解決此類問題,一是過曲線上的點的直線和曲線相交,點的坐標是方程組消元后得到的方程的根;二是利用直線的斜率互為相反數(shù),減少計算量,達到節(jié)省時間的目的。 練習4、已知橢圓C:的離心率為,且在x軸上的頂點分別為A1(-2,0),A2(2,0)。 (I)求橢圓的方程; (II)若直線與x軸交于點T,點P為直線上異于點T的任一點,直線PA1,PA2分別與橢圓交于M、N點,試問直線MN是否通過橢圓的焦點?并證明你的結論。 題型五:共線向量問題 解析幾何中的向量共線,就是將向量問題轉化為同類坐標的比例問題,再通過未達定理------同類坐標變換,將問題解決。此類問題不難解決。 例題5、設過點D(0,3)的直線交曲線M:于P、Q兩點,且,求實數(shù)的取值范圍。 分析:由可以得到,將P(x1,y1),Q(x2,y2),代人曲線方程,解出點的坐標,用表示出來。 解:設P(x1,y1),Q(x2,y2), (x1,y1-3)=(x2,y2-3) 即 方法一:方程組消元法 又P、Q是橢圓+=1上的點 消去x2, 可得 即y2= 又-2y22, -22 解之得: 則實數(shù)的取值范圍是。 方法二:判別式法、韋達定理法、配湊法 設直線PQ的方程為:, 由消y整理后,得 P、Q是曲線M上的兩點 = 即 ① 由韋達定理得: 即 ② 由①得,代入②,整理得 , 解之得 當直線PQ的斜率不存在,即時,易知或。 總之實數(shù)的取值范圍是。 方法總結:通過比較本題的第二步的兩種解法,可知第一種解法,比較簡單,第二種方法是通性通法,但計算量較大,縱觀高考中的解析幾何題,若放在后兩題,很多情況下能用通性通法解,但計算量較大,計算繁瑣,考生必須有較強的意志力和極強的計算能力;不用通性通法,要求考生必須深入思考,有較強的思維能力,在命題人設計的框架中,找出破解的蛛絲馬跡,通過自己的思維將問題解決。 練習5:已知橢圓C的中心在原點,焦點在x軸上,它的一個頂點恰好是拋物線的焦點,離心率為. (1)求橢圓C的標準方程; (2)過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A、B兩點,交y軸于M點,若,,求的值. 題型六:面積問題 例題6、(07陜西理)已知橢圓C:(a>b>0)的離心率為短軸一個端點到右焦點的距離為。 (Ⅰ)求橢圓C的方程; (Ⅱ)設直線l與橢圓C交于A、B兩點,坐標原點O到直線l的距離為,求△AOB面積的最大值。 解:(Ⅰ)設橢圓的半焦距為,依題意 ,所求橢圓方程為。 (Ⅱ)設,。 (1)當軸時,。 (2)當與軸不垂直時, 設直線的方程為。 由已知,得。 把代入橢圓方程,整理得, ,。 。 當且僅當,即時等號成立。當時,, 綜上所述。 當最大時,面積取最大值。 練習6、(07浙江理)如圖,直線與橢圓交于A、B兩點,記的面積為。 (Ⅰ)求在,的條件下,的最大值; (Ⅱ)當時,求直線AB的方程。 題型七:弦或弦長為定值問題 例題7、(07湖北理科)在平面直角坐標系xOy中,過定點C(0,p)作直線與拋物線x2=2py(p>0)相交于A、B兩點。 (Ⅰ)若點N是點C關于坐標原點O的對稱點,求△ANB面積的最小值; (Ⅱ)是否存在垂直于y軸的直線l,使得l被以AC為直徑的圓截得弦長恒為定值?若存在,求出l的方程;若不存在,說明理由。(此題不要求在答題卡上畫圖) 本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎知識,考查綜合運用數(shù)學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力. 解法1: (Ⅰ)依題意,點N的坐標為N(0,-p),可設A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為y=kx+p,與x2=2py聯(lián)立得消去y得x2-2pkx-2p2=0. 由韋達定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2. 于是 = = . (Ⅱ)假設滿足條件的直線l存在,其方程為y=a,AC的中點為徑的圓相交于點P、Q,PQ的中點為H,則 =. = = = 令,得為定值,故滿足條件的直線l存在,其方程為, 即拋物線的通徑所在的直線. 解法2: (Ⅰ)前同解法1,再由弦長公式得 = 又由點到直線的距離公式得. 從而, (Ⅱ)假設滿足條件的直線t存在,其方程為y=a,則以AC為直徑的圓的方程為 將直線方程y=a代入得 設直線l與以AC為直徑的圓的交點為P(x2,y2),Q(x4,y4),則有 令為定值,故滿足條件的直線l存在,其方程為. 即拋物線的通徑所在的直線。 練習7:(山東09理)(22)(本小題滿分14分) 設橢圓E: (a,b>0)過M(2,) ,N(,1)兩點,O為坐標原點, (I)求橢圓E的方程; (II)是否存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且?若存在,寫出該圓的方程,并求|AB |的取值范圍,若不存在說明理由。 題型八:角度問題 例題8、(08重慶理)如圖(21)圖,M(-2,0)和N(2,0)是平面上的兩點,動點P滿足: (Ⅰ)求點P的軌跡方程; (Ⅱ)若,求點P的坐標. 解:(Ⅰ)由橢圓的定義,點P的軌跡是以M、N為焦點,長軸長2a=6的橢圓. 因此半焦距c=2,長半軸a=3,從而短半軸 b=, 所以橢圓的方程為 (Ⅱ)由得 ① 因為不為橢圓長軸頂點,故P、M、N構成三角形.在△PMN中, ② 將①代入②,得 故點P在以M、N為焦點,實軸長為的雙曲線上. 由(Ⅰ)知,點P的坐標又滿足,所以 由方程組 解得 即P點坐標為 練習8、(05福建理)已知方向向量為v=(1,)的直線l過點(0,-2)和橢圓C:(a>b>0)的焦點,且橢圓C的中心關于直線l的對稱點在橢圓C的右準線上. (Ⅰ)求橢圓C的方程; (Ⅱ)是否存在過點E(-2,0)的直線m交橢圓C于點M、N,滿足 cot∠MON≠0(O為原點).若存在,求直線m的方程;若不存在,請說明理由. 問題九:四點共線問題 例題9、(08安徽理)設橢圓過點,且著焦點為 (Ⅰ)求橢圓的方程; (Ⅱ)當過點的動直線與橢圓相交與兩不同點時,在線段上取點,滿足,證明:點總在某定直線上 解 (1)由題意: ,解得,所求橢圓方程為 (2)方法一 設點Q、A、B的坐標分別為。 由題設知均不為零,記,則且 又A,P,B,Q四點共線,從而 于是 , , 從而 ,(1) ,(2) 又點A、B在橢圓C上,即 (1)+(2)×2并結合(3),(4)得 即點總在定直線上 方法二 設點,由題設,均不為零。 且 又 四點共線,可設,于是 (1) (2) 由于在橢圓C上,將(1),(2)分別代入C的方程整理得 (3) (4) (4)-(3) 得 即點總在定直線上 練習9、(08四川理)設橢圓 的左、右焦點分別為、,離心率,右準線為,、是上的兩個動點,. (Ⅰ)若,求、的值; (Ⅱ)證明:當取最小值時,與共線. 問題十:范圍問題(本質是函數(shù)問題) 例10、(07四川理)設、分別是橢圓的左、右焦點。 (Ⅰ)若是該橢圓上的一個動點,求·的最大值和最小值; (Ⅱ)設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、,且∠為銳角(其中為坐標原點),求直線的斜率的取值范圍。 本題主要考察直線、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎知識,以及綜合應用數(shù)學知識解決問題及推理計算能力。 解:(Ⅰ)解法一:易知 所以,設,則 因為,故當,即點為橢圓短軸端點時,有最小值 當,即點為橢圓長軸端點時,有最大值 解法二:易知,所以,設,則 (以下同解法一) (Ⅱ)顯然直線不滿足題設條件,可設直線, 聯(lián)立,消去,整理得: ∴ 由得:或 又 ∴ 又 ∵,即 ∴ 故由①、②得或 練習10、已知直線相交于A、B兩點。 (1)若橢圓的離心率為,焦距為2,求線段AB的長; (2)若向量互相垂直(其中O為坐標原點),當橢圓的離心率時,求橢圓的長軸長的最大值。 問題十一、存在性問題:(存在點,存在直線y=kx+m,存在實數(shù),存在圖形:三角形(等比、等腰、直角),四邊形(矩形、菱形、正方形),圓) 例11、(2009山東卷理)(本小題滿分14分) 設橢圓E: (a,b>0)過M(2,) ,N(,1)兩點,O為坐標原點, (I)求橢圓E的方程; (II)是否存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且?若存在,寫出該圓的方程,并求|AB |的取值范圍,若不存在說明理由。 解:(1)因為橢圓E: (a,b>0)過M(2,) ,N(,1)兩點, 所以解得所以橢圓E的方程為 (2)假設存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設該圓的切線方程為解方程組得,即, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 則△=,即 ,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,,,所求的圓為,此時圓的切線都滿足或,而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,綜上, 存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且. 因為, 所以, , ①當時 因為所以, 所以, 所以當且僅當時取”=”. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ② 當時,. ③ 當AB的斜率不存在時, 兩個交點為或,所以此時, 綜上, |AB |的取值范圍為即: 【命題立意】:本題屬于探究是否存在的問題,主要考查了橢圓的標準方程的確定,直線與橢圓的位置關系直線與圓的位置關系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運用解方程組法研究有關參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)關系. 練習11:設,在平面直角坐標系中,已知向量,向量,,動點的軌跡為E. (1)求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2)已知,證明:存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個交點A,B,且(O為坐標原點),并求出該圓的方程; (3)已知,設直線與圓C:(1- 配套講稿:
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- 關 鍵 詞:
- 圓錐曲線 題型 總結
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