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1、空間點、線、面之間的位置關(guān)系,考試要求,1. 借助長方體模型，在直觀認(rèn)識和理解空間點、線、面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間線、面位置關(guān)系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理. 公理1：如果一條直線的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi). 公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面. 公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線. 公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行. 等角定理：空間中如果兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ). 2.異面直線所成角的論證和計算是重點. 3. 能運用已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題.,
2、一.平面的基本性質(zhì),公理1.若直線有兩個點在平面內(nèi),則直線上所有點都在平面內(nèi).,公理2.經(jīng)過不在一直線上的三點,有且只有一個平面.,推論1.經(jīng)過一條直線和直線外一點有且只有一個平面,推論2.經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面,推論3.經(jīng)過兩條平行線有且只有一個平面,作用:判斷直線在平面內(nèi)的依據(jù).,作用:判斷點、線共面（即確定平面）的理論依據(jù).,(一)知識要點,公理3.若兩個不重合的平面有一個公共點,則它們有且只有一條過該點的公共直線.,作用:判斷點共線、線共點，作截面的依據(jù).,公理4.平行于同一條直線的兩條直線平行.,等角定理： 空間中如果兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角相等或互補(bǔ).,
3、【例1】 判斷下列命題的真假： 如果平面與平面相交，那么它們只有有限個公共點； 過一條直線的平面有無數(shù)多個； 兩個平面的交線可能是一條線段； 兩個相交平面有不在同一條直線上的三個公共點； 經(jīng)過空間任意三點有且僅有一個平面； 如果兩個平面有三個不共線的公共點，那么這兩個平面就重合為一個平面 其中真命題序號是________(把你認(rèn)為正確的命題序號都填上),題型1.點、線、面的位置關(guān)系,(二)主要題型,,【練習(xí)】 已知E，F(xiàn)，G，H是空間中的四個點，設(shè)命題M：點E，F(xiàn)，G，H不共面；命題N：直線EF和GH不相交那么() AM是N的充分不必要條件 BM是N的必要不充分條件 CM是N的充分必要條件 D
4、M不是N的充分條件，也不是N的必要條件,A,題型2.點線共面問題,B,2.空間四點中，如果任意三點都不共線，那么經(jīng)過其中三點的平面必定有（ ）. A.4個 B.4個或1個 C.3個或1個 D. 1個或3個或4個,B,3.求證:兩兩相交且不共點的三條直線共面.,A,B,C,方法:先用部分點線確定一個平面,再證明余下的點線在此平面內(nèi).,方法:(同一法) 分別用部分點線確定兩個或多個平面,再證明這些平面重合.,證明若干點或直線共面,,,,,,,,,,,,A,B,C,D,E,F,P,小結(jié):(1)證明多點共面,轉(zhuǎn)化證線線共面. (2)證明多線共點,先證其中兩條直線相交于一點,再證其他直線經(jīng)過這點
5、.,題型3. 線共點問題,練習(xí):,A,C,P,,題型4.點共線問題,方法:1.證明這些點是兩個相交平面的公共點. 2.先由兩點確定一直線，再證其它的點在這直線上。,2.如圖，O1是正方體ABCDA1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心，M是對角線A1C和截面B1D1A的交點，求證：O1、M、A三點共線,題型5作截面,例.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=4. M為AA1的中點, N是CC1上的點, 且CN=1，P是BC上一點，且CP=2.請作出平面MNP截此三棱柱所得的截面.,,,截面MNPQ為所求.,即作出截面與幾何體每個面的交線(兩個公共點).,二.空間點、線、面之
6、間的位置關(guān)系,相交直線: 在同一平面內(nèi)只有一個公共點的兩條直線.,異面直線:不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線,3、空間兩條直線的位置關(guān)系,平行直線：在同一平面內(nèi)沒有公共點的兩條直線.,直線與平面平行,,無公共點,直線和平面相交,,有且只有一個公共點,直線在平面內(nèi),,有無數(shù)個公共點,,直線在平面外,4、空間直線與平面的位置關(guān)系,2、空間點與平面的位置關(guān)系,1、空間點與直線的位置關(guān)系,,點在直線上 點在直線外,,點在平面內(nèi) 點在平面外,5、空間兩個平面 的位置關(guān)系,平行,,,無公共點,相交,不重合且有公共直線,,1、異面直線所成的角及距離,(2)異面直線所成的角,(1)定義：不同在任何一個平面內(nèi)的
7、兩條直線，叫異面直線.,設(shè)a、b是異面直線，經(jīng)過空間任一點O，分別引直線 ，則直線 所成的銳角(或直角)叫 異面直線a、b所成的角.,范圍是,(3)公垂線指和兩條異面直線都垂直相交的直線,(4)兩異面直線的距離：兩異面直線間的公垂線段的長度,三.相關(guān)的幾個概念,2.直線和平面所成的角及距離 直線和平面所成的角分三種情況: 一個平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影的夾角,叫做斜線和平面所成的角(或斜線和平面的夾角);,直線和平面垂直,直線和平面所成的角是,直線和平面平行或直線在平面內(nèi),直線和平面 所成的角為 .,二面角:從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角. 二面角的大小是通
8、過其平面角來度量,其平面角須有以下三個特點: 頂點在棱上; 兩邊分別在兩平面內(nèi); 兩邊與棱都垂直. 二面角的范圍是 .,,,,3.二面角及兩平面的距離,主要題型,題型1.點、線、面位置關(guān)系的命題判斷,1.判斷以下命題的真假 (1)平行于同一條直線的兩條直線平行; (2)平行于同一條直線的兩個平面平行; (3)平行于同一個平面的兩條直線平行; (4)平行于同一個平面的兩個平面平行; (5)垂直于同一條直線的兩條直線平行; (6)垂直于同一條直線的兩個平面平行; (7)垂直于同一個平面的兩條直線平行; (8)垂直于同一個平面的兩個平面平行;,2.下列幾個平面幾何命題是否成立？這幾個命題
9、在空間是否也成立？如果在空間成立，試加以說明；如果不成立，請舉反例. 不相交的兩條直線一定平行； 平行于同一直線的兩直線一定平行； 垂直于同一直線的兩直線一定平行； 一條直線垂直于兩條平行線中的一條，也必垂直于另一條.,注解答本題要注意平面與空間的區(qū)別.,3.（09廣東,理）給定下列四個命題： 若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平 行，那么這兩個平面相互平行； 若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這 兩個平面相互垂直； 垂直于同一直線的兩條直線相互平行； 若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的 交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直 其中，為真命題的是 和 B. 和 C. 和
10、 D 和,,,,,D,判定定理:連結(jié)平面內(nèi)一點與平面外一點的直線和這個平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線.,例2.過三棱柱任意兩個頂點的直線共15條,其中異面直線有( ). A.18對 B.24對 C.30對 D.36對,D,例1.已知異面直線m、n,若A，Bm，C、Dn，則直線AC、BD的位置關(guān)系是___________.,異面直線,題型2.異面直線的判定,練習(xí)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，E、F分別是A1B1和B1C1的中點。,（1）求證：A1D1與B1B是異面直線； （2）求AE與BF所成的角。,G,,,,,例1. 如圖，四面體ABC
11、D中，E，F(xiàn)分別是AC、BD的中點，若CD=4, AB=2, EFAB，則EF與CD所成的角等于____,30,,,,----平移轉(zhuǎn)換法,題型3.求異面直線所成角問題,,,,,M,練習(xí) 在棱長都是a的四面體A-BCD中，E、F分別為AD、BC的中點， (1)求異面直線AF和CE所成的角的余弦值.,,,,,G,(2)求證：EF為AD、BC 的 公垂線.,,,,O,F,,,,D,,,,,,,練習(xí)下圖是一個幾何體的三視圖（單位：cm） （1）畫出這個幾何體的直觀圖（不要求寫畫法）； （2）求這個幾何體的表面積及體積； （3）設(shè)異面直線AA與BC所成的角為，求cos.,,練習(xí)如圖，已知幾何體的三視圖（單位：cm). （）畫出這個幾何體的直觀圖（不要求寫畫法）； （）求這個幾何體的表面積及體積； （）設(shè)異面直線A1Q、PD所成角為，求cos.,,,,E,,,
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