高數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)(上冊)

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1、高數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)（上冊） 函數(shù)： 絕對值得性質(zhì)： (1)|a+b||a|+|b| (2)|a-b||a|-|b| (3)|ab|=|a||b| (4)||= 函數(shù)的表示方法： （1）表格法 （2）圖示法 （3）公式法（解析法） 函數(shù)的幾種性質(zhì)： （1）函數(shù)的有界性 （2）函數(shù)的單調(diào)性 （3）函數(shù)的奇偶性 （4）函數(shù)的周期性 反函數(shù)： 定理：如果函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)的，則它的反函數(shù)存在，且是單值、單調(diào)的。 基本初等函數(shù)： （1）冪函數(shù) （2）指數(shù)函數(shù) （3）對數(shù)函數(shù) （4）三角函數(shù) （5）反三角函數(shù) 復(fù)合函

2、數(shù)的應(yīng)用 極限與連續(xù)性： 數(shù)列的極限： 定義：設(shè)是一個數(shù)列，a是一個定數(shù)。如果對于任意給定的正數(shù)（不管它多么小），總存在正整數(shù)N，使得對于n>N的一切，不等式都成立，則稱數(shù)a是數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于a，記做，或（） 收斂數(shù)列的有界性： 定理：如果數(shù)列收斂，則數(shù)列一定有界 推論：（1）無界一定發(fā)散（2）收斂一定有界 （3）有界命題不一定收斂 函數(shù)的極限： 定義及幾何定義 函數(shù)極限的性質(zhì)： （1）同號性定理：如果，而且A>0(或A<0),則必存在的某一鄰域，當(dāng)x在該鄰域內(nèi)（點(diǎn)可除外），有（或）。 （2）如果，且在的某一鄰域內(nèi)（），恒有（或），則（）。 （3

3、）如果存在，則極限值是唯一的 （4）如果存在，則在在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)（）是有界的。 無窮小與無窮大： 注意：無窮小不是一個很小的數(shù)，而是一個以零位極限的變量。但是零是可作為無窮小的唯一的常數(shù)，因?yàn)槿绻麆t對任給的，總有，即常數(shù)零滿足無窮小的定義。除此之外，任何無論多么小的數(shù)，都不滿足無窮小的定義，都不是無窮小。 無窮小與無窮大之間的關(guān)系： （1）如果函數(shù)為無窮大，則為無窮小 （2）如果函數(shù)為無窮小，且，則為無窮大 具有極限的函數(shù)與無窮小的關(guān)系： （1）具有極限的函數(shù)等于極限值與一個無窮小的和 （2）如果函數(shù)可表為常數(shù)與無窮小的和，則該常數(shù)就是函數(shù)的極限 關(guān)于無窮小的幾

4、個性質(zhì)： 定理： （1）有限個無窮小的代數(shù)和也是無窮小 （2）有界函數(shù)與無窮小a的乘積是無窮小 推論： （1）常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 （2）有限個無窮小的乘積是無窮小 極限的四則運(yùn)算法則： 定理：兩個函數(shù)、的代數(shù)和的極限等于它們的極限的代數(shù)和 兩個函數(shù)、乘積的極限等于它們的極限的乘積 極限存在準(zhǔn)則與兩個重要極限： 準(zhǔn)則一（夾擠定理） 設(shè)函數(shù)、、在的某個鄰域內(nèi)（點(diǎn)可除外）滿足條件： （1） （2）， 則 準(zhǔn)則二 單調(diào)有界數(shù)列必有極限 定理：如果單調(diào)數(shù)列有界，則它的極限必存在 重要極限： （1）

5、 （2） （3）或 無窮小階的定義： 設(shè)為同一過程的兩個無窮小。 （1）如果，則稱是比高階的無窮小，記做 （2）如果，則稱是比低階的無窮小 （3）如果，則稱與是同階無窮小 （4）如果，則稱與是等階無窮小，記做 幾種等價無窮?。? 對數(shù)函數(shù)中常用的等價無窮?。? 時， 三角函數(shù)及反三角函數(shù)中常用的等價無窮?。? 時， 指數(shù)函數(shù)中常用的等價無窮?。? 時， 二項(xiàng)式中常用的等價無窮?。? 時， 函數(shù)在某一點(diǎn)處連續(xù)的條件： 由連續(xù)定義可知，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)必須同時滿足下列三個條件： （1）在點(diǎn)處有定義 （2）當(dāng)時，的極限

6、存在 （3）極限值等于函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值 極限與連續(xù)的關(guān)系： 如果函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，由連續(xù)定義可知，當(dāng)時，的極限一定存在，反之，則不一定成立 函數(shù)的間斷點(diǎn)： 分類：第一類間斷點(diǎn) (左右極限都存在) 第二類間斷點(diǎn)(有一個極限不存在) 連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性： 定理：如果函數(shù)、在點(diǎn)處連續(xù)，則他們的和、差、積、商（分母不為零）在點(diǎn)也連續(xù) 反函數(shù)的連續(xù)性： 定理：如果函數(shù)在某區(qū)間上是單調(diào)增（或單調(diào)減）的連續(xù)函數(shù)，則它的反函數(shù)也在對應(yīng)的區(qū)間上是單調(diào)增（或單調(diào)減）的連續(xù)函數(shù) 最大值與最小值定理： 定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值和最小值

7、 推論：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上有界 介值定理： 定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，兩端點(diǎn)處的函數(shù)值分別為，而是介于A與B之間的任一值，則在開區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得 推論（1）：在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必能取得介于最大值與最小值之間的任何值 推論（2）：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且(兩端點(diǎn)的函數(shù)值異號)，則在的內(nèi)部，至少存在一點(diǎn)，使 導(dǎo)數(shù)與微分 導(dǎo)數(shù)： 定義： 導(dǎo)數(shù)的幾何定義：函數(shù)在圖形上表示為切線的斜率 函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的表示： 如果函數(shù)在x處可導(dǎo)，則在點(diǎn)x處連續(xù)，也即函數(shù)在點(diǎn)x處連續(xù) 一個數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)，它卻不一定在該點(diǎn)可導(dǎo) 據(jù)導(dǎo)數(shù)

8、的定義求導(dǎo)： （1） （2） （3） 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式： （1）常數(shù)導(dǎo)數(shù)為零 （2）冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 （3）三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 （4）對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式： （5）指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式： （6） （7）反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式： 函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則： 法則一（具體內(nèi)容見書106） 函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則： 法則二（具體內(nèi)容見書108） 函數(shù)商的求導(dǎo)法則： 法則三（具體內(nèi)容見書109） 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

9、：（定理見書113頁） 反函數(shù)的求導(dǎo)法則： 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù) 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：（見書121頁） 高階導(dǎo)數(shù)：二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù) 求n階導(dǎo)數(shù)：（不完全歸納法） 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（見書126頁） 對隱函數(shù)求導(dǎo)時，首先將方程兩端同時對自變量求導(dǎo)，但方程中的y是x的函數(shù)，它的導(dǎo)數(shù)用記號（或表示） 對數(shù)求導(dǎo)法：先取對數(shù)，后求導(dǎo)（冪指函數(shù)） 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 微分概念： 函數(shù)可微的條件 如果函數(shù)在點(diǎn)可微，則在點(diǎn)一定可導(dǎo) 函數(shù)在點(diǎn)可微的必要充分條件是函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo) 函數(shù)的微分dy是函數(shù)的

10、增量的線性主部（當(dāng)），從而，當(dāng)很小時，有 通常把自變量x的增量稱為自變量的微分，記做dx。即于是函數(shù)的微分可記為，從而有 基本初等函數(shù)的微分公式： 幾個常用的近似公式： （x用弧度） （x用弧度） 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 羅爾定理：如果函數(shù)滿足下列條件 （1）在閉區(qū)間上連續(xù) （2）在開區(qū)間內(nèi)具有導(dǎo)數(shù) （3）在端點(diǎn)處函數(shù)值相等，即，則在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使 拉格朗日中值定理：如果函數(shù)滿足下列條件 （1）在閉區(qū)間上連續(xù) （2）在開區(qū)間內(nèi)具有導(dǎo)數(shù)，則在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得 定理幾何意義是：如果連續(xù)曲線上的弧除

11、端點(diǎn)處外處處具有不垂直于x軸的切線，那么，在這弧上至少有一點(diǎn)c，使曲線在點(diǎn)c的切線平行于弧 推論：如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)恒為零，那么在內(nèi)是一個常數(shù) 柯西中值定理：如果函數(shù)與滿足下列條件 （1）在閉區(qū)間上連續(xù) （2）在開區(qū)間內(nèi)具有導(dǎo)數(shù) （3）在內(nèi)的每一點(diǎn)處均不為零，則在內(nèi)至少有一點(diǎn)使得 羅爾定理是拉格朗日中值定理的特例，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣 洛必達(dá)法則：（理論根據(jù)是柯西中值定理） 未定式 1、情形 定理：如果 (1)當(dāng)時，與都趨于零 （2）在點(diǎn)a的某領(lǐng)域（點(diǎn)a可除外）內(nèi)，與都存在且 （3）存在（或?yàn)椋?，則極限

12、存在（或?yàn)椋?，? 在一定條件下通過分子、分母分別求導(dǎo)數(shù)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則 2、情形 推論：如果 （1）當(dāng)時，與都趨于零 （2）當(dāng)|x|>N時，與都存在且 （3）存在（或?yàn)椋瑒t極限存在（或?yàn)椋?，? 未定式 1、情形 如果 （1）時，與都趨于無窮大 （2）在點(diǎn)a的某領(lǐng)域（點(diǎn)a可除外）內(nèi)，與都存在且 （3）存在（或?yàn)椋?，則則極限存在（或?yàn)椋?，? 2、情形 推論：如果 （1）時，與都趨于無窮大 （2）當(dāng)|x|>N時，與都存在且 （3）存在（或?yàn)椋?，則

13、則極限存在（或?yàn)椋?，? 注意：1、洛必達(dá)法則僅適用于型及型未定式 2、當(dāng)不存在時，不能斷定不存在，此時不能應(yīng)用洛必達(dá)法則 泰勒公式（略） 邁克勞林公式（略） 函數(shù)單調(diào)性的判別法： 必要條件：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)具有導(dǎo)數(shù)，如果在上單調(diào)增加（減少），則在內(nèi)，（） 充分條件：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)具有導(dǎo)數(shù)， （1）如果在內(nèi)，，則在上單調(diào)增加 （2）如果在內(nèi)，，則在上單調(diào)減少 函數(shù)的極值及其求法 極值定義（見書176頁） 極值存在的充分必要條件 必要條件：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處具有導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)處取得極值，則 函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)不存在也可能成為極值點(diǎn)

14、 駐點(diǎn)：使的點(diǎn)，稱為函數(shù)的駐點(diǎn) 充分條件（第一）：設(shè)連續(xù)函數(shù)在點(diǎn)的一個鄰域（點(diǎn)可除外）內(nèi)具有導(dǎo)數(shù)，當(dāng)x由小增大經(jīng)過時，如果 （1）由正變負(fù)，則是極大點(diǎn) （2）由負(fù)變正，則是極小點(diǎn) （3）不變號，則不是極值點(diǎn) 充分條件（第二）：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處具有二階導(dǎo)數(shù)，且， （1）如果，則在點(diǎn)處取得極大值 （2）如果，則在點(diǎn)處取得極小值 函數(shù)的最大值和最小值（略） 曲線的凹凸性與拐點(diǎn)： 定義：設(shè)在上連續(xù)，如果對于上的任意兩點(diǎn)、恒有，則稱在上的圖形是（向上）凹的，反之，圖形是（向上）凸的。 判別法： 定理：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù) （1

15、）如果在內(nèi)，那么的圖形在上是凹的 （2）如果在內(nèi)，那么的圖形在上是凸的 拐點(diǎn)：凸弧與凹弧的分界點(diǎn)稱為該曲線的拐點(diǎn)。 不定積分 原函數(shù)：如果在某一區(qū)間上，函數(shù)與滿足關(guān)系式： 或，則稱在這個區(qū)間上，函數(shù)是函數(shù)的一個原函數(shù) 結(jié)論：如果函數(shù)在某區(qū)間上連續(xù)，則在這個區(qū)間上必有原函數(shù) 定理：如果函數(shù)是的原函數(shù)，則（C為任意常數(shù)）也是的原函數(shù)，且的任一個原函數(shù)與相差為一個常數(shù) 不定積分的定義： 定義：函數(shù)的全體原函數(shù)稱為的不定積分，記做 不定積分的性質(zhì)： 性質(zhì)一：或 及或 性質(zhì)二：有限個函數(shù)的和的不定積分等于各個函數(shù)的不定積分的和。即 性質(zhì)

16、三：被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號外面來，即 （k為常數(shù)，且k0 基本積分表： （1）（k是常數(shù)） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） 第一類換元法（湊微分法） 第二類換元法：變量代換 被積函數(shù)若函數(shù)有無理式，一般情況下導(dǎo)用第二類換元法。將無理式化為有理式 基本積分表添加公式： 結(jié)論： 如果被積函數(shù)含有，則進(jìn)行變量代換化去根式 如果被積函數(shù)含有，則進(jìn)行變量代換化去根式 如果被積函數(shù)含有，則進(jìn)行變量代換化去根式

17、 分部積分法： 對應(yīng)于兩個函數(shù)乘積的微分法，可推另一種基本微分法---------分部積分法 分部積分公式 1、如果被積函數(shù)是冪函數(shù)與的積，可以利用分部積分法 令u等于冪函數(shù) 2、如果被積函數(shù)是冪函數(shù)與的積，可使用分部積分法 令u= 3、如果被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的積，也可用分部積分法。 定積分 定積分的定義 定理：如果函數(shù)在上連續(xù)，則在上可積 定理：如果函數(shù)在上只有有限個第一類間斷點(diǎn)，則在上可積 定積分的幾何意義： 1、在上，這時的值在幾何上表示由曲線、x軸及二直線x=a、x=b所圍成的曲邊梯形的面積 2、在上，其表示曲邊

18、梯形面積的負(fù)值 3、在上，既取得正值又取得負(fù)值 幾何上表示由曲線、x軸及二直線x=a、x=b所圍成平面圖形位于x軸上方部分的面積減去x軸下方部分的面積 定積分的性質(zhì)： 性質(zhì)一、函數(shù)和（差）的定積分等于他們的定積分的和（差），即 性質(zhì)二、被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到積分號外面，即 （k是常數(shù)） 性質(zhì)三、如果將區(qū)間分成兩部分和，那么 、 性質(zhì)四、如果在上，，那么 性質(zhì)五、如果在上，，那么 性質(zhì)六、如果在上，，那么 性質(zhì)七、設(shè)M及m，分別是函數(shù)在區(qū)間上的最大值及最小值，則 m(b-a)M(b-a) (a

19、估值定理 性質(zhì)八、積分中值定理 如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，那么在積分區(qū)間上至少有一點(diǎn)，使得 微積分基本公式 積分上限的函數(shù)： （axb） 性質(zhì)：如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，那么積分上限的函數(shù)在上具有導(dǎo)數(shù)，且 定理：在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)一定存在 牛頓——萊布尼茨公式 如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且是的任意一個原函數(shù)，那么 定積分的換元法 假設(shè)（1）函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)； （2）函數(shù)在區(qū)間上單值，且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)； （3）當(dāng)t在區(qū)間上變化時，的值在上變化，且， ，則有定積分的換元公式 設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，則 （1）如果函數(shù)為奇函數(shù)，則 （2）如果函數(shù)為偶函數(shù)，則 定積分的分部積分法 設(shè)、在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、，那么，在等式的兩邊分別求a到b的定積分得 ……定積分的分部積分公式 即 或 無窮區(qū)間上的廣義積分 定義：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，取b>a，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在區(qū)間上的廣義積分，記做即 無界函數(shù)的廣義積分（見書279頁） 定積分的應(yīng)用（見書286頁） 元素法 在極坐標(biāo)系中的計(jì)算法