全國各地2015年中考數(shù)學試卷解析分類匯編（第1期）專題23 直角三角形與勾股定理

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1、直角三角形與勾股定理 一.選擇題 1. （2015遼寧大連，8，3分）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，點D在BC上，∠ADC=2∠B,AD=,則BC的長為（ ） A.－1 B.+1 C.－1 D.+1 【答案】D 【解析】解：在△ADC中，∠C=90°，AC=2，所以CD=, 因為∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD,所以∠B=∠BAD,所以BD=AD=,所以BC=+1，故選D. 2.（2015?四川南充,第9題3分）如圖，菱形ABCD的周長為8cm，高AE長為cm，則對角線AC長和BD長之比為（ ） （A）1:2

2、 （B）1:3 （C）1: （D）1: 【答案】D 【解析】 試題分析：設(shè)AC與BD的交點為O，根據(jù)周長可得AB=BC=2，根據(jù)AE=可得BE=1，則△ABC為等邊三角形，則AC=2，BO=，即BD=2，即AC:BD=1：. 考點：菱形的性質(zhì)、直角三角形. 圖5 3．（2015?四川資陽,第9題3分）如圖5，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3 cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3 cm的點A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是 A．13cm B．cm C．cm

3、D．cm 考點：平面展開－最短路徑問題．. 分析：將容器側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對稱點A′，根據(jù)兩點之間線段最短可知A′B的長度即為所求． 解答：解：如圖： ∵高為12cm，底面周長為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒， 此時螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿3cm與飯粒相對的點A處， ∴A′D=5cm，BD=12﹣3+AE=12cm， ∴將容器側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對稱點A′， 連接A′B，則A′B即為最短距離， A′B= = =13（Cm）． 故選：A． 點評：本題考查了平面展開﹣﹣﹣最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進行計

4、算是解題的關(guān)鍵．同時也考查了同學們的創(chuàng)造性思維能力． 4. （2015?浙江濱州,第10題3分）如圖，在直角的內(nèi)部有一滑動桿.當端點沿直線向下滑動時，端點會隨之自動地沿直線向左滑動.如果滑動桿從圖中處滑動到處，那么滑動桿的中點所經(jīng)過的路徑是( ) A.直線的一部分 B.圓的一部分 C.雙曲線的一部分 D.拋物線的一部分 【答案】B 【解析】 試題分析：根據(jù)題意和圖形可知△AOB始終是直角三角形，點C為斜邊上的中點，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可知OC始終等于AB的一半，O點為定點，OC為定長，所以它始終是圓的一部分. 故選B 考點：直角三角

5、形斜邊上的中線等于斜邊的一半 5. （2015?浙江湖州，第9題3分）如圖，AC是矩形ABCD的對角線，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，現(xiàn)將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點D與點O重合，折痕為FG，點F，G分別在AD，BC上，連結(jié)OG，DG，若OG⊥DG，且☉O的半徑長為1，則下列結(jié)論不成立的是( ) A. CD+DF=4 B. CD?DF=2?3 C. BC+AB=2+4 D. BC?AB=2 【答案】A. 【解析】 試題分析：如圖，設(shè)⊙O與BC的切點為M,連接MO并延長MO交AD于點N,利用“AAS”易證△OMG≌△GCD,所以O(shè)M=GC=1, CD=GM=BC－BM－G

6、C=BC－2.又因AB=CD,所以可得BC?AB=2.設(shè)AB=a，BC=b,AC=c, ⊙O的半徑為r，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓可得r=（a+b－c），所以c=a+b－2. 在Rt△ABC中，由勾股定理可得，整理得2ab－4a－4b+4=0，又因BC?AB=2即b=2+a，代入可得2a（2+a）－4a－4（2+a）+4=0，解得，所以，即可得BC+AB=2+4. 再設(shè)DF=x，在Rt△ONF中,FN=，OF=x，ON=,由勾股定理可得，解得，所以CD?DF=，CD+DF=.綜上只有選項A錯誤，故答案選A. 考點：矩形的性質(zhì)；直角三角形內(nèi)切圓的半徑與三邊的關(guān)系；折疊的性質(zhì)；勾股定理；

7、 6. （2015?浙江嘉興，第7題4分）如圖，中，AB=5，BC=3，AC=4，以點C為圓心的圓與AB相切，則☉C的半徑為（▲） （A）2.3 （B）2.4 （C）2.5 （D）2.6 考點：切線的性質(zhì)；勾股定理的逆定理．. 分析：首先根據(jù)題意作圖，由AB是⊙C的切線，即可得CD⊥AB，又由在直角△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，根據(jù)勾股定理求得AB的長，然后由S△ABC=AC?BC=AB?CD，即可求得以C為圓心與AB相切的圓的半徑的長． 解答：解：在△ABC中， ∵AB=5，BC=3，AC=4， ∴AC2+BC2=32+42

8、=52=AB2， ∴∠C=90°， 如圖：設(shè)切點為D，連接CD， ∵AB是⊙C的切線， ∴CD⊥AB， ∵S△ABC=AC?BC=AB?CD， ∴AC?BC=AB?CD， 即CD===， ∴⊙C的半徑為， 故選B． 點評：此題考查了圓的切線的性質(zhì)，勾股定理，以及直角三角形斜邊上的高的求解方法．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意輔助線的作法與數(shù)形結(jié)合思想的應用． 8. （2015?四川樂山,第7題3分）如圖，已知△ABC的三個頂點均在格點上，則cosA的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D． 考點：1．銳角三角函

9、數(shù)的定義；2．勾股定理；3．勾股定理的逆定理；4．格型． 9, （2015?四川眉山，第10題3分）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，DE垂直平分斜邊AC，交AB于D，E是垂足，連接CD．若BD=1，則AC的長是（　?。? 　 A． 2 B． 2 C． 4 D． 4 考點： 含30度角的直角三角形；線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理．. 分析： 求出∠ACB，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出AD=CD，推出∠ACD=∠A=30°，求出∠DCB，即可求出BD、BC，根據(jù)含30°角的直角三角形性質(zhì)求出AC即可． 解答： 解：∵在Rt△ABC中，∠

10、B=90°，∠A=30°， ∴∠ACB=60°， ∵DE垂直平分斜邊AC， ∴AD=CD， ∴∠ACD=∠A=30°， ∴∠DCB=60°﹣30°=30°， 在Rt△DBC中，∠B=90°，∠DCB=30°，BD=1， ∴CD=2BD=2， 由勾股定理得：BC==， 在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=， ∴AC=2BC=2， 故選A． 點評： 本題考查了三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)的應用，解此題的關(guān)鍵是求出BC的長，注意：在直角三角形中，如果有一個角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半． 10.

11、（2015?浙江省臺州市，第8題）如果將長為6cm，寬為5cm的長方形紙片折疊一次，那么這條折痕的長不可能是（ ） A.8cm B.cm C.5.5cm D.1cm 二.填空題 1、（2015?四川自貢,第13題4分）已知，是⊙O的一條直徑 ，延長至點，使,與⊙O相切于點，若,則劣弧的長為 . 考點：圓的基本性質(zhì)、切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股 定理、弧長公式等. 分析：本題劣弧的長關(guān)鍵是求出圓的半徑和劣弧所對的 圓心角的度數(shù).在連接OD后，根據(jù)切線的性質(zhì)易知,圓的半徑和圓心角的度數(shù)可

12、以通過Rt△獲得解決. 略解：連接半徑OD.又∵與⊙O相切于點 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又 ∴ ∴在Rt△ ∴ ∴ ∴在Rt△根據(jù)勾股定理可知： ∵ ∴ 解得： 則劣弧的長為. 故應填 2. （2015?浙江濱州,第17題4分）如圖，在平面直角坐標系中，將矩形AOCD沿直線AE折疊（點E在邊DC上），折疊后頂點D恰好落在邊OC上的點F處.若點D的坐標為(10,8），則點E的坐標為 . 【答案】（10,3） 考點：折疊的性質(zhì)，勾股定理 3. （2015?四川省內(nèi)江市，第22題，6分）在△ABC中，∠B=30°，AB=1

13、2，AC=6，則BC=　6?。? 考點： 含30度角的直角三角形；勾股定理．. 分析： 由∠B=30°，AB=12，AC=6，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半易得△ABC是直角三角形，利用勾股定理求出BC的長． 解答： 解：∵∠B=30°，AB=12，AC=6， ∴△ABC是直角三角形， ∴BC===6， 故答案為：6．° 點評： 此題考查了含30°直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵． 4.（2015?江蘇泰州,第16題3分）如圖， 矩形中，AB=8，BC=6，P為AD上一點， 將△ABP 沿BP翻折至△EBP， PE與CD相

14、交于點O，且OE=OD，則AP的長為__________. 【答案】4.8. 【解析】 試題分析：由折疊的性質(zhì)得出EP=AP, ∠E=∠A=90°,BE=AB=8，由ASA證明△ODP≌△OEG，得出OP=OG，PD=GE，設(shè)AP=EP=x，則PD=GE=6－x，DG=x，求出CG、BG，根據(jù)勾股定理得出方程，解方程即可. 試題解析：如圖所示： ∵四邊形ABCD是矩形 ∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8 根據(jù)題意得：△ABP≌△EBP， ∴EP=AP，∠E=∠A=90°,BE=AB=8， 在△ODP和△OEG中 ∴△ODP≌△OEG

15、 ∴OP=OG，PD=GE， ∴DG=EP 設(shè)AP=EP=x，則PD=GE=6－x，DG=x， ∴CG=8－x，BG=8－（6－x）=2+x 根據(jù)勾股定理得：BC2+CG2=BG2 即：62+（8－x）2=（x+2）2 解得：x=4.8 ∴AP=4.8. 考點：1.翻折變換（折疊問題）；2.勾股定理；3.矩形的性質(zhì). 5.（2015?江蘇徐州,第17題3分）如圖，正方形ABCD的邊長為1，以對角線AC為邊作第二個正方形，再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，如此下去，第n個正方形的邊長為?。ǎ﹏﹣1　． 考點： 正方形的性質(zhì)．. 專題： 規(guī)律型． 分析： 首先求

16、出AC、AE、HE的長度，然后猜測命題中隱含的數(shù)學規(guī)律，即可解決問題． 解答： 解：∵四邊形ABCD為正方形， ∴AB=BC=1，∠B=90°， ∴AC2=12+12，AC=； 同理可求：AE=（）2，HE=（）3…， ∴第n個正方形的邊長an=（）n﹣1． 故答案為（）n﹣1． 點評： 該題主要考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理及其應用問題；應牢固掌握正方形有關(guān)定理并能靈活運用． 6.（2015?山東東營,第17題4分）如圖，一只螞蟻沿著邊長為2的正方體表面從點A出發(fā)，經(jīng)過3個面爬到點B，如果它運動的路徑是最短的，則AC的長為 ． 【答案】.

17、考點：1.正方體的側(cè)面展開圖；2.最值問題；3.勾股定理. 7．（2015?廣東廣州,第16題3分）如圖，四邊形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，點M，N分別為線段BC，AB上的動點（含端點，但點M不與點B重合），點E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點，則EF長度的最大值為 3 ． 考點： 三角形中位線定理；勾股定理． 專題： 動點型． 分析： 根據(jù)三角形的中位線定理得出EF=DN，從而可知DN最大時，EF最大，因為N與B重合時DN最大，此時根據(jù)勾股定理求得DN=DB=6，從而求得EF的最大值為3． 解答： 解：∵ED=EM，MF=FN， ∴EF=DN， ∴DN最大時

18、，EF最大， ∵N與B重合時DN最大， 此時DN=DB==6， ∴EF的最大值為3． 故答案為3． 點評： 本題考查了三角形中位線定理，勾股定理的應用，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵． 8.（2015?泉州第11題4分）如圖，在正三角形ABC中，AD⊥BC于點D，則∠BAD=　30°　°． 解：∵△ABC是等邊三角形， ∴∠BAC=60°， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠BAC=30°， 故答案為：30°． 9．(2015?湖南株洲,第15題3分)如圖是“趙爽弦圖”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方

19、形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于　　　　 【試題分析】 本題考點為：全等三角形的對應邊相等，直角三角形的勾股定理，正方形的邊長相等； 由全等可知：AH＝DE，AE＝AH＋HE 　　　　　　由直角三角形可得：，代入可得 答案為：6 10．(2015?江蘇無錫,第17題2分)已知：如圖，AD、BE分別是△ABC的線和角平分線，AD⊥BE，AD=BE=6，則AC的長等于　_________?。? 考點： 三角形位線定理；勾股定理． 專題： 計算題． 分析： 延長AD至F，使DF=AD，過點F作平行BE與AC延長線交于點G，過點C作CH∥BE，交AF于點H，連接BF，如圖

20、所示，在直角三角形AGF，利用勾股定理求AG的長，利用SAS證得△BDF≌△CDA，利用全等三角形對應角相等得到∠ACD=∠BFD，證得AG∥BF，從而證得四邊形EBFG是平行四邊形，得到FG=BE=6，利用AAS得到三角形BOD與三角形CHD全等，利用全等三角形對應邊相等得到OD=DH=3，得AH=9，然后根據(jù)△AHC∽△AFG，對應邊成比例即可求得AC． 解答： 解：延長AD至F，使DF=AD，過點F作FG∥BE與AC延長線交于點G，過點C作CH∥BE，交AF于點H，連接BF，如圖所示， 在Rt△AFG，AF=2AD=12，F(xiàn)G=BE=6， 根據(jù)勾股定理得：AG==6， 在△BDF

21、和△CDA， ∴△BDF≌△CDA（SAS）， ∴∠ACD=∠BFD， ∴AG∥BF， ∴四邊形EBFG是平行四邊形， ∴FG=BE=6， 在△BOD和△CHD， ， ∴△BOD≌△CHD（AAS）， ∴OD=DH=3， ∵CH∥FG， ∴△AHC∽△AFG， ∴=，即=， 解得：AC=， 故答案為： 點評： 本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的應用，作輔助線構(gòu)建直角三角形和平行四邊形是解題的關(guān)鍵． 　11．（2015·湖北省武漢市，第16題3分）如圖，∠AOB＝30°，點M、N分別在邊OA、OB

22、上，且OM＝1，ON＝3，點P、Q分別在邊OB、OA上，則MP＋PQ＋QN的最小值是_________ 【解析】作M關(guān)于ON對稱點M1，點N關(guān)于OA的對稱點N1，連接M1N1分別交OA、ON于Q，P，此時MP+PQ+NQ的值最小.由對稱性質(zhì)知，M1P=MP，N1Q=NQ，所以MP+PQ+NQ= M1N1.連接ON1、OM1，則∠M1OP=∠POM=∠N1OM=30°，所以∠N1OM1=90°.又ON1=ON=3，OM1 =OM=1,所以M1N1==. 【指點迷津】線段和的最小值問題，一般都是將幾條線段轉(zhuǎn)化為同一條線段長度，根據(jù)兩點之間線段最短來說明.一般是通

23、過做對稱點轉(zhuǎn)化到同一條線段上，根據(jù)勾股定理計算最小值. 三.解答題 1. （2015遼寧大連，24，11分）如圖1，在△ABC中，∠C=90°，點D在AC上，且CD>DA,DA=2.點P、Q同時從D點出發(fā)，以相同的速度分別沿射線DC、射線DA運動。過點Q作AC的垂線段QR,使QR=PQ,聯(lián)接PR.當點Q到達A時，點P、Q同時停止運動。設(shè)PQ=x.△PQR和△ABC重合部分的面積為S.S關(guān)于x的函數(shù)圖像如圖2所示（其中0

24、 圖1 圖2 （第24題） 【答案】(1)（2）當0

25、 因為△AQE∽△AQ1R1,，所以QE= 設(shè)FG=PG=m 因為△AGF∽△AQ1R1,，所以AG=2+－m， 所以m= 所以S= = = 所以S= 故答案為：當0

26、的長． 【答案】略；45°； 【解析】 試題分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到AP=AP′ ∠BAP′=∠DAP，從而得出∠PAP′=90°，得到等腰直角三角形；根據(jù)Rt△APP′得出PP′的大小，然后結(jié)合BP′和BP的長度得到，從而得出△BPP′是直角三角形，然后計算∠BPQ的大??；過點B作BM⊥AQ于M，根據(jù)∠BPQ=45°得到△PMB為等腰直角三角形，根據(jù)已知得出BM和AM的長度，根據(jù)Rt△ABM的勾股定理求出AB，根據(jù)△ABM∽△AQB得出AQ的長度，最后根據(jù)Rt△ABO的勾股定理得出BQ的長度，根據(jù)QC=BC－BQ得出答案. 試題解析：(1)、證明：由旋轉(zhuǎn)可得：AP=AP′ ∠BAP

27、′=∠DAP ∴∠PAP′=∠PAB+∠BAP′=∠PAB+∠DAP=∠BAD=90° ∴△APP′是等腰直角三角形 (3)、過點B作BM⊥AQ于M ∵∠BPQ=45° ∴△PMB為等腰直角三角形 由已知，BP=2 ∴BM=PM=2 ∴AM=AP+PM=3 在Rt△ABM中，AB= ∵△ABM∽△AQB ∴ ∴AQ= 在Rt△ABO中，BQ= ∴QC=BC－BQ=－= 考點：旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)、勾股定理、三角形相似. 3. （2015?浙江杭州,第19題8分） 如圖1，⊙O的半徑為r(r>0)，若點P′在射線OP上，滿足OP′?O

28、P=r2，則稱點P′是點P關(guān)于⊙O的“反演點”，如圖2，⊙O的半徑為4，點B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若點A′、B′分別是點A，B關(guān)于⊙O的反演點，求A′B′的長. 【答案】解：∵⊙O的半徑為4，點A′、B′分別是點A，B關(guān)于⊙O的反演點，點B在⊙O上， OA=8， ∴，即. ∴.∴點B的反演點B′與點B重合. 如答圖，設(shè)OA交⊙O于點M，連接B′M， ∵OM=OB′，∠BOA=60°，∴△OB′M是等邊三角形. ∵，∴B′M⊥OM. ∴在中，由勾股定理得. 【考點】新定義；等邊三角形的判定和性質(zhì)；勾股定理. 【分析】先根據(jù)定義求出，再作輔助線：連接點B′與

29、OA和⊙O的交點M，由已知∠BOA=60°判定△OB′M是等邊三角形，從而在中，由勾股定理求得A′B′的長. 4. （2015?浙江麗水，第19題6分）如圖，已知△ABC，∠C=Rt∠，AC

30、的性質(zhì)；直角三角形兩銳角的關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì). 【分析】（1）因為到A，B兩點的距離相等在線段AB的垂直平分線上，因此，點D是線段AB的垂直平分線與BC的交點，據(jù)此作圖即可. （2）根據(jù)直角三角形兩銳角互余，求出∠BAC，根據(jù)等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)，求出∠BAD，從而作差求得∠CAD的度數(shù). 5.（2015?江蘇徐州,第25題8分）如圖，平面直角坐標系中，將含30°的三角尺的直角頂點C落在第二象限．其斜邊兩端點A、B分別落在x軸、y軸上，且AB=12cm （1）若OB=6cm． ①求點C的坐標； ②若點A向右滑動的距離與點B向上滑動的距離相等，求滑動的距離； （2）點

31、C與點O的距離的最大值=　12　 cm． 考點： 相似形綜合題．. 分析： （1）①過點C作y軸的垂線，垂足為D，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)解答即可； ②設(shè)點A向右滑動的距離為x，得點B向上滑動的距離也為x，利用三角函數(shù)和勾股定理進行解答； （2）過C作CE⊥x軸，CD⊥y軸，垂足分別為E，D，證明△ACE與△BCD相似，再利用相似三角形的性質(zhì)解答． 解答： 解：（1）①過點C作y軸的垂線，垂足為D，如圖1： 在Rt△AOB中，AB=12，OB=6，則BC=6， ∴∠BAO=30°，∠ABO=60°， 又∵∠CBA=60°， ∴∠CBD=60°，∠BCD=30°

32、， ∴BD=3，CD=3， 所以點C的坐標為（﹣3，9）； ②設(shè)點A向右滑動的距離為x，根據(jù)題意得點B向上滑動的距離也為x，如圖2： AO=12×cos∠BAO=12×cos30°=6． ∴A'O=6﹣x，B'O=6+x，A'B'=AB=12 在△A'O B'中，由勾股定理得， （6﹣x）2+（6+x）2=122， 解得：x=6（﹣1）， ∴滑動的距離為6（﹣1）； （2）設(shè)點C的坐標為（x，y），過C作CE⊥x軸，CD⊥y軸，垂足分別為E，D，如圖3： 則OE=﹣x，OD=y， ∵∠ACE+∠BCE=90°，∠DCB+∠BCE=90°， ∴∠ACE=∠DCB， 又∵∠AEC=∠BDC=90°， ∴△ACE∽△BCD， ∴，即， ∴y=﹣x， OC2=x2+y2=x2+（﹣x）2=4x2， ∴當|x|取最大值時，即C到y(tǒng)軸距離最大時，OC2有最大值，即OC取最大值，如圖，即當C'B'旋轉(zhuǎn)到與y軸垂直時 ．此時OC=12， 故答案為：12． 點評： 此題考查相似三角形的綜合題，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理以及三角函數(shù)進行分析解答．