第23周 分解質(zhì)因數(shù)(一)

五年級(jí)思維培訓(xùn) ：第一講 數(shù)的整除性基礎(chǔ)知識(shí)：1. 整除的定義、性質(zhì).定義：如果a、b、c是整數(shù)并且 ，則稱a能被b整除或者b能整除a，記做，否則稱為a不能被b整除或者b不能整除a，記做. 性質(zhì)1：如果a、b都能被c整除，那么他們的和與差也能被c整除. 性質(zhì)2：如果b與c的乘積能夠整除a，那么b、c都能整除a. 性質(zhì)3：如果b、c都能整除a，并且b、c互質(zhì)，那么b、c的乘積也能夠整除a. 性質(zhì)4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a. 性質(zhì)5：如果b和c的乘積能夠被a整除，并且a，b互質(zhì)，那么c能夠被a整除.2. 被2（5）整除特征：個(gè)位上的數(shù)是2,4,6,8,0（5或0）的數(shù)。3. 被3，9整除特征：數(shù)字之和是3,9的倍數(shù).4. 被4（25）整除的特征：后2位能被4（25）整除；被8（125）整除的特征：后3位能被8（125）整除.5. 被11整除特征：奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和之差能被11整除. （“奇偶位差法”）.6. 被7、11、13整除特征：末三位與末三位之前的數(shù)之差能被7、11、13整除. 7. 整除性質(zhì)、特征的綜合應(yīng)用，末尾0的個(gè)數(shù)問題的處理，運(yùn)用設(shè)未知量求解整除問題.例題：例1、如果六位數(shù)能夠被105整除，那么后兩位數(shù)是多少？ 解：設(shè)六位數(shù)為，105=3，依次考慮被3,5,7整除得到3a+b-1，b=0或5, 7(10a+b-1)，得到唯一解a=8,b=5.故后兩位為85.例2、求所有的x，y滿足使得，72. 解：72=8×9，根據(jù)整除9性質(zhì)易得x+y=8或17，根據(jù)整除4 的性質(zhì)y=2或6，分別可以得到5位數(shù)32652、32256，檢驗(yàn)可知只有32256滿足題意.例3、一本陳年舊賬上寫的：購入143只羽毛球共花費(fèi)元，其中處字跡已經(jīng)模糊不清，請(qǐng)你補(bǔ)上中的數(shù)字并且算出每只羽毛球的單價(jià). 解：設(shè)兩個(gè)處的數(shù)字分別是a、b，則有143，根據(jù)11，有a+b=8，再根據(jù)13，所以13(100a+67-90-b)，再根據(jù)a+b=8得到13（10a-5）解得a=7 b=1所以方框處的數(shù)字是7和1，單價(jià)5.37元.例4、把若干個(gè)自然數(shù)1,2,3.乘到一起，如果已知這個(gè)乘積的最后14位都是0，那么最后的自然數(shù)至少是多少？ 解：最后14位都是0說明這個(gè)乘積整除1014，由于1×2×3×中因數(shù)2比因數(shù)5多得多，只需考慮其整除514，5的倍數(shù)但是不是25的倍數(shù)可以提供一個(gè)因數(shù)5，25的倍數(shù)但是不是125的倍數(shù)可以提供2個(gè)因數(shù)5可得出至少需要60個(gè)數(shù)，即這個(gè)自然數(shù)至少是60.例5、請(qǐng)用數(shù)字6、7、8各兩次組成一個(gè)六位數(shù)使得這個(gè)六位數(shù)能夠被168整除. 解：，用6,7,8各兩次，數(shù)字和42，是3的倍數(shù).而用6、7、8組成的3位數(shù)是8的倍數(shù)的只有768,776.當(dāng)后三位是768，776時(shí)，前三位只有12種取法，經(jīng)實(shí)驗(yàn)只有數(shù)768768符合題目要求. 因此唯一符合題目要求的數(shù)是768768.例6、 要使六位數(shù)能夠被63整除，那么商最小是多少？ 解：. 考慮能被7整除，于是有7(100b+10c+6-100-a)，整理得7(2b+3c-a+4)，再考慮該數(shù)能被9整除，有a+b+c=2或11或20. 由于要求最小的商也就是最小的被除數(shù)，先希望a=0. 此時(shí)，易驗(yàn)證b=0, b=1無解，而在b=2時(shí)，有解c=9，所以最小的被除數(shù)是100296，最小的商是1592.例7、 所有五位數(shù)中，能夠同時(shí)被7,8,9,10整除的有多少？ 解：7,8,9,10的最小公倍數(shù)是2520，五位數(shù)最小是10000，最大99999，共有90000個(gè)數(shù)，所以共有36個(gè).例8、用1、2、3組成的四位數(shù)（可重復(fù)）中能夠被11整除的數(shù)有多少個(gè)？ 解：這樣的四位數(shù)被11整除，一定有奇數(shù)位數(shù)字之和等于偶數(shù)位數(shù)字之和. 在1,2,3,4中1+1=1+1,1+2=1+2，1+3=1+3， 1+3=2+2 ，2+2=2+2,2+3=2+3,3+3=3+3七種情況，其中1+1=1+1、2+2=2+2、3+3=3+3分別只能得到1個(gè)4位數(shù)，1+2=1+2，1+3=1+3，2+3=2+3情況相同可以得到4個(gè)4位數(shù)，1+3=2+2也能得到4個(gè)4位數(shù)，所以一共有19個(gè).例10、已知11個(gè)連續(xù)兩位數(shù)的乘積的末四位都是0，而且是343的倍數(shù)，那么這11個(gè)數(shù)中最小的是多少？ 解：因?yàn)檫B續(xù)11個(gè)數(shù)是343的倍數(shù)，而，但是11個(gè)數(shù)中之多有兩個(gè)是7的倍數(shù)，所以這11個(gè)數(shù)中有49或者98，而11個(gè)數(shù)之多有3個(gè)是5的倍數(shù)，但卻是10000的倍數(shù)，所以這11個(gè)數(shù)中又有25或者50或者75，并且以5的倍數(shù)開頭和結(jié)尾，又要保證有2個(gè)7的倍數(shù)，所以只能是40到50這11個(gè)數(shù).所以最小的數(shù)是40.作業(yè)題： 1. 已知六位數(shù)能夠被720整除，請(qǐng)問這個(gè)六位數(shù)是多少？（答案=213840或者293040）2是7的倍數(shù)，求空格中的數(shù)字.（答案：3）3. 一個(gè)三位數(shù)，它的百位數(shù)字是4，加9能被7整除，請(qǐng)問這個(gè)數(shù)是多少？ （答案=439）4. 請(qǐng)證明六位數(shù) 一定能被7、11、13整除.（證明略）5已知自然數(shù)A的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)碼之和與3A的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)碼之和相等，證明A必能被9整除. （3A數(shù)字和是3的倍數(shù)，A的也是，所以A能被3整除，所以3A能被9整除，所以數(shù)字和是9的倍數(shù)，所以A的也是，所以A能被9整除.）課堂練習(xí)題： 班級(jí)_姓名_ 得分_1、 如果一個(gè)數(shù)能被72整除，求a+b.答案：a+b=6.整除8的性質(zhì)可以推出b=2，整除9的性質(zhì)可以推出a=4.2、 請(qǐng)根據(jù)7、11整除判斷方法的推導(dǎo)和證明，類比推出對(duì)于17的整除判定（提示17×59=1003）答案：末三位與末三位之前的數(shù)的三倍之差能被7、11、13整除3、 用1、2、3、4（每個(gè)數(shù)恰好用一次）可組成24個(gè)四位數(shù)，其中共有多少個(gè)能被11整除？ 解：1+4=2+3，所以1，4在偶數(shù)位，2和3在奇數(shù)位或者1和4在奇數(shù)位，2和3在偶數(shù)位，共有2×2×2=8個(gè).4、已知四個(gè)整數(shù)，他們兩兩的和都能被兩兩的差整除，請(qǐng)問其中最大的兩個(gè)數(shù)的和最小是多少？ 解：10. 思想：差越小越容易整除. 任意連續(xù)的3個(gè)數(shù)，只要其中有兩個(gè)偶數(shù)都滿足要求，所以可以找到2，3，4，6. 容易驗(yàn)證沒有更小的符合題目要求的解.5、15位同學(xué)分別編號(hào)1-15，1號(hào)同學(xué)寫下了一個(gè)不少于6位的數(shù)，后面每個(gè)人都說這個(gè)數(shù)能被自己的編號(hào)整除，經(jīng)驗(yàn)證，只有連續(xù)兩個(gè)編號(hào)相連的人說錯(cuò)了，請(qǐng)問這個(gè)數(shù)至少是多少？ 答案：2,3,4,5,6,7都必須能整除五位數(shù)，否則不能滿足題意，所以10,12,14,15也能整除這個(gè)五位數(shù)，因此這個(gè)數(shù)不能被8、9整除.所以這個(gè)數(shù)至少整除4×5×7×11×13=60060. 因?yàn)檫@個(gè)數(shù)至少是六位而又不能被8、9整除，所以這個(gè)數(shù)至少是60060×5=300300.6、請(qǐng)問是否存在一個(gè)數(shù)以7結(jié)尾的數(shù)，把7挪放到第一位之后得到的數(shù)恰巧等于原來的數(shù)的7倍. 若存在，請(qǐng)答出這個(gè)數(shù)的位數(shù)，若不存在，請(qǐng)證明.答案：22位，豎式乘法即可得出答案.五年級(jí)奧數(shù)：第一講分解質(zhì)因數(shù)專題簡析：一個(gè)自然數(shù)的因數(shù)中，為質(zhì)數(shù)的因數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。把一個(gè)合數(shù)，用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。例如：24=2×2×2×3，75=3×5×5。我們數(shù)學(xué)課本上介紹的分解質(zhì)因數(shù)，是為求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)服務(wù)的。其實(shí)，把一個(gè)數(shù)分解成質(zhì)因數(shù)相乘的形式，能啟發(fā)我們尋找解答許多難題的突破口，從而順利解題。例題1 把18個(gè)蘋果平均分成若干份，每份大于1個(gè)，小于18個(gè)。一共有多少種不同的分法？分析 先把18分解質(zhì)因數(shù)：18=2×3×3，可以看出：18的因數(shù)是1、2、3、6、9、18，除去1和18，還有4個(gè)因數(shù)，所以，一共有4種不同的分法。練習(xí)一1，有60個(gè)同學(xué)分成人數(shù)相等的小組去慰問解放軍叔叔，每組不少于6人，不多于15人。有哪幾種分法？2，195個(gè)同學(xué)排成長方形隊(duì)伍做早操，行數(shù)和列數(shù)都大于1，共有幾種排法？3，甲數(shù)比乙數(shù)大9，兩個(gè)數(shù)的積是792，求甲、乙兩數(shù)分別是多少。例題2 有168顆糖，平均分成若干份，每份不得少于10顆，也不能多于50顆。共有多少種分法？分析 先把168分解質(zhì)因數(shù)，168=2×2×2×3×7，由于每份不得少于10顆，也不能多于50顆，所以，每份有2×2×3=12顆，2×7=14顆，3×7=21顆，2×2×2×3=24顆，2×3×7=42顆，共有5種分法。練習(xí)二1，把462名學(xué)生分成人數(shù)相等的若干組去參加課外活動(dòng)小組，每小組人數(shù)在10至25人之間，求每組的人數(shù)及分成的組數(shù)。2，四個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是19305，這個(gè)四奇數(shù)分別是多少？3，把1、2、3、4、5、6、7、8、9九張卡片分給甲、乙、丙三人，每人各3張。甲說：“我的三個(gè)數(shù)的積是48?！币艺f：“我的三個(gè)數(shù)的和是16?！北f：“我的三個(gè)數(shù)的積是63。”甲、乙、丙各拿了哪幾張卡片？例題3 將下面八個(gè)數(shù)平均分成兩組，使這兩組數(shù)的乘積相等。 2、5、14、24、27、55、56、99分析 14=2×7 55=5×1124=2×2×2×3 56=2×2×2×727=3×3×3 99=3×3×11可以看出，這八個(gè)數(shù)中，共含有八個(gè)2，六個(gè)3，二個(gè)5，二個(gè)7和二個(gè)11。因?yàn)橐堰@八個(gè)數(shù)分成兩組，且積相等，所以，每組數(shù)中應(yīng)含有四個(gè)2，三個(gè)3，一個(gè)5，一個(gè)7和一個(gè)11。經(jīng)排列為（5、99、24、14）和（55、27、56、2）。練習(xí)三1，下面四張小紙片各蓋住一個(gè)數(shù)字，如果這四個(gè)數(shù)字是連續(xù)的偶數(shù)，請(qǐng)寫出這個(gè)完整的算式。×=12882，有三個(gè)自然數(shù)a、b、c，已知a×b=30，b×c=35，c×a=42，求a×b×c的積是多少？3，把40、45、63、65、78、99、105這八個(gè)數(shù)平分成兩組，使兩組四個(gè)數(shù)的乘積相等。例題4 王老師帶領(lǐng)一班同學(xué)去植樹，學(xué)生恰好分成4組。如果王老師和學(xué)生每人植樹一樣多，那么他們一共植了539棵。這個(gè)班有多少個(gè)學(xué)生？每人植樹多少棵？分析 根據(jù)每人植樹棵數(shù)×人數(shù)=539棵，把539分解質(zhì)因數(shù)。539=7×7×11，如果每人植7棵，這個(gè)班就有7×111=76人；如果每人植樹11棵，這個(gè)班共有7×71=48人。練習(xí)四1，3月12日是植樹節(jié)，李老師帶領(lǐng)同學(xué)們排成兩路人數(shù)相等的縱隊(duì)去植樹。已知李老師和同學(xué)們每人植樹的棵數(shù)相等，一共植了111棵樹，求有多少個(gè)學(xué)生。2，小青去看電影，他買的票的排數(shù)與座位號(hào)數(shù)的積是391，而且排數(shù)比座位號(hào)數(shù)大6。小青買的電影票是幾排幾座？3，把一籃蘋果分給4人，使四人的蘋果數(shù)一個(gè)比一個(gè)多2，且他們的蘋果個(gè)數(shù)之積是1920。這籃蘋果共有多少個(gè)？