《《數(shù)學(xué)物理方法》第三講導(dǎo)數(shù)解析函數(shù).ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《數(shù)學(xué)物理方法》第三講導(dǎo)數(shù)解析函數(shù).ppt（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、--------數(shù)學(xué)物理方法第三講--------,1,數(shù)學(xué)物理方法第三講,導(dǎo)數(shù)&解析函數(shù)（2學(xué)時）,定義：設(shè)函數(shù) 是區(qū)域 上定義的單值函數(shù)，即對于區(qū)域 上的每一個 值，有且只有一個 值與之對應(yīng)，若在 上的某點 ，極限 存在，并且與 趨近于0的方式無關(guān)，則稱 在 點可導(dǎo)（或單演），此極限叫做函數(shù) 在 點的導(dǎo)數(shù)（或 微商），以 或 表示。,說明：復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的定義，在形式上跟實變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的定義一樣，因而，實變函數(shù)論中關(guān)于導(dǎo)數(shù)的規(guī)則和公式往往可應(yīng)用于復(fù)變函數(shù)。,--------數(shù)學(xué)物理方法第三講--------,2,常用的求導(dǎo)公式：,必須指出，復(fù)變函數(shù)和實變
2、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義，雖然形式上一樣，實質(zhì)上卻有很大的不同，這是因為實變函數(shù) 只能沿著實軸逼近零，但復(fù)變函數(shù) 卻可以沿復(fù)平面上的任一曲線逼近零，因此，即與實變函數(shù)相比，復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)是一種嚴(yán)格的多的要求。,--------數(shù)學(xué)物理方法第三講--------,3,現(xiàn)在讓我們比較 沿平行于實軸方向逼近零和沿平行于虛軸方向逼近零的兩種情況：,先看 沿平行于實軸方向逼近零的情形，這時 ，而,于是：,再看 沿平行于虛軸方向逼近零的情形，這時 ，而,于是：,如果 在z點可導(dǎo)，以上兩極限必須存在且彼此相等，即：,,&,兩條件合稱柯西黎曼條件,--------數(shù)學(xué)物理方法第三講--------
3、,4,復(fù)習(xí):柯西-黎曼條件是如何得到的?(形式),,極坐標(biāo)系下的柯西-黎曼條件:,,,,,,,,,,--------數(shù)學(xué)物理方法第三講--------,5,證明:函數(shù) 可導(dǎo)的充分必要條件是:,,函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù) 存在,且連續(xù),并且滿足柯西-黎曼條件.,,,,,,,,,,,,,,,,,將分子展開并合并同類項得:,,,,,存在且與 的方式無關(guān),,,,命題得以證明!,--------數(shù)學(xué)物理方法第三講--------,6,,在 點解析,,,函數(shù) 在點 及其鄰域上處處可導(dǎo),,是區(qū)域B上的解析函數(shù),,在區(qū)域B上每一點都解析,,函數(shù)若在某一點解析,則必在該點可導(dǎo) 反之卻不一定成立,例,,僅在z
4、=0點可導(dǎo),在其他點均不可導(dǎo),由解析的定義可知:,,在z=0處并且在整個復(fù)平面上處處不解析,函數(shù)在一點可導(dǎo)與解析是不等價的,但是,函數(shù)在某區(qū)域上可導(dǎo)與解析是等價的,--------數(shù)學(xué)物理方法第三講--------,7,解析函數(shù)的主要性質(zhì),,,,( 為常數(shù))是B上的兩組正交曲線,,C-R條件,,,,=0,,,,均為上的調(diào)和函數(shù),調(diào)和函數(shù)定義：,1.有二階連續(xù)偏導(dǎo),2.滿足拉普拉斯方程,--------數(shù)學(xué)物理方法第三講--------,8,,證明 為調(diào)和函數(shù),,,,同理消去 得:,,,這是說 和 都滿足二維的拉普拉斯方程,也就是說它們都是調(diào)和函數(shù),由于他們是同一個復(fù)變函數(shù)的實部
5、和虛部,所以又叫共軛調(diào)和函數(shù).,--------數(shù)學(xué)物理方法第三講--------,9,應(yīng)用,已知一個二元調(diào)和函數(shù),可以把這個調(diào)和函數(shù)看做某個解析函數(shù)的實部(或者虛部),利用C-R條件求出相應(yīng)的虛部(或者實部),這樣就確定了這個解析函數(shù).,,,設(shè)給定的二元調(diào)和函數(shù) 是解析函數(shù)的實部,試求相應(yīng)的虛部,解,,二元函數(shù) 的微分式是:,,,,于是得到:,,從而計算出,,進(jìn)一步得到解析函數(shù),--------數(shù)學(xué)物理方法第三講--------,10,已知 ，求 。,例題,,,,,,,,,,方法一：,并取積分路經(jīng)為 時，得,,,,,--------數(shù)學(xué)物理方法第三講--------,11,方法二：,將 ， 代入,,,,,,,而,,所以,--------數(shù)學(xué)物理方法第三講--------,12,作業(yè):P9 2.1),7) 3 P18 2. 1), 3),Class is Over!,Thank you!,
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