小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)手冊(cè).doc

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班級(jí)__________________ 姓名__________________ 注意：帶*的內(nèi)容不屬于“必會(huì)”的知識(shí)。 【加減乘除各部分之間的關(guān)系】 1、加數(shù) + 加數(shù) = 和； 和 － 一個(gè)加數(shù) = 另一個(gè)加數(shù) 2、被減數(shù)-減數(shù)=差； 被減數(shù)-差=減數(shù)； 差+減數(shù)=被減數(shù) 3、因數(shù)×因數(shù)=積； 積 ÷ 一個(gè)因數(shù) = 另一個(gè)因數(shù) 4、被除數(shù)÷除數(shù)=商 ； 被除數(shù)÷商=除數(shù)； 商×除數(shù)=被除數(shù) 【常用數(shù)量關(guān)系】 1、每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)； 總數(shù)÷每份數(shù)=份數(shù) 總數(shù)÷份數(shù)=每份數(shù) 2、1倍數(shù)×倍數(shù)=幾倍數(shù) 幾倍數(shù)÷1倍數(shù)=倍數(shù) 幾倍數(shù)÷倍數(shù)=1倍數(shù) 3、單位“1”的量×比較量的分率=比較量 比較量÷比較量的分率=單位“1”的量 比較量÷單位“1 ”的量=比較量的分率 4、總數(shù)÷總份數(shù)=平均數(shù) 5、購(gòu)物問(wèn)題： 單價(jià)×數(shù)量=總價(jià) 總價(jià)÷單價(jià)=數(shù)量 總價(jià)÷數(shù)量=單價(jià) 6、工程問(wèn)題： 工作效率×工作時(shí)間=工作總量 工作總量÷工作效率=工作時(shí)間 工作總量÷工作時(shí)間=工作效率 7、行程問(wèn)題： 速度×?xí)r間=路程 路程÷速度=時(shí)間 路程÷時(shí)間=速度 8、相遇問(wèn)題： 相遇路程=速度和×相遇時(shí)間； 相遇時(shí)間=路程÷速度和； 速度和=路程÷相遇時(shí)間 9、利潤(rùn)與折扣問(wèn)題： 原價(jià)×折扣=現(xiàn)價(jià) 現(xiàn)價(jià)÷折扣=原價(jià) 現(xiàn)價(jià)÷原價(jià)=折扣 * 利潤(rùn)=售出價(jià)-成本 利潤(rùn)率=利潤(rùn)/成本×100% 漲跌金額=本金×漲跌百分比 10、納稅問(wèn)題： 收入×稅率=應(yīng)納稅額 11、儲(chǔ)蓄問(wèn)題： 利息=本金×利率×?xí)r間 * 利息稅=利息×稅率 * 稅后利息=利息-利息稅=本金×利率×?xí)r間×（1-利息稅） * 12、濃度問(wèn)題： 溶質(zhì)的重量+溶劑的重量=溶液的重量 溶液的重量×濃度=溶質(zhì)的重量 溶質(zhì)的重量/溶液的重量×100%=濃度 溶質(zhì)的重量÷濃度=溶液的重量 * 13、和差問(wèn)題的公式： (和+差)÷2=大數(shù) (和-差)÷2=小數(shù) * 14、和倍問(wèn)題的公式： 和÷(倍數(shù)＋1)= 小數(shù) 小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)( 和-小數(shù)=大數(shù) ) * 15、差倍問(wèn)題的公式: 差÷(倍數(shù)－1)= 小數(shù)； 小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)（ 小數(shù)+差=大數(shù) ） 【小學(xué)數(shù)學(xué)圖形計(jì)算公式】 1、正方形（C: 周長(zhǎng)， S：面積， a: 邊長(zhǎng)） 周長(zhǎng)=邊長(zhǎng)×4； C=4a 面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)； S=a×a=a2 2、長(zhǎng)方形（C:周長(zhǎng)， S：面積， a: 長(zhǎng)， b：寬 ） 周長(zhǎng)=（長(zhǎng)+寬）×2； C=2(a+b) 面積=長(zhǎng)×寬 ； S=ab 3、平行四邊形（S：面積， a:底， h:高） 面積=底×高； S=ah 4、三角形（S：面積， a: 底， h: 高） 面積=底×高÷2 ； S=ah÷2=ah ( 三角形的底 a=2s÷h ； 三角形的高 h =2s÷a ) 5、梯形（S：面積， a:上底， b：下底， h:高） 面積=(上底+下底)×高÷2； S=(a+b)×h÷2=(a+b)h ( 梯形的高 h =2s÷(a+b) ； 梯形的(上底+下底) a+b=2s÷h ) 6、圓形（S：面積，C：周長(zhǎng)，π：圓周率，d：直徑，r：半徑 ） 周長(zhǎng)=直徑×π=半徑×2×π；C=πd=2πr 面積=π×半徑×半徑； S= πr2 7、正方體（V：體積， a：棱長(zhǎng)） 表面積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×6； S=a×a×6=6a2 體積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)； V= a×a×a= a3 8、長(zhǎng)方體（V：體積， S：面積， a:長(zhǎng)， b：寬， h:高） 表面積=（長(zhǎng)×寬+長(zhǎng)×高+寬×高）×2； S=2(ab+ah+bh) 體積=長(zhǎng)×寬×高； V=abh 9、圓柱體（V：體積， S：底面積， C：底面周長(zhǎng)， h：高， r：底面半徑 ） 側(cè)面積=底面周長(zhǎng)×高 S側(cè)=Ch=πdh=2πrh 表面積=側(cè)面積+底面積×2 S表= S側(cè)+2 S底 體積=底面積×高 V=Sh 10、圓錐體（V：體積， S：底面積， h：高， r：底面半徑 ） 體積=底面積×高÷3 V=Sh÷3=Sh ( 圓錐的底面積 S=3V÷h ； 圓錐的高 h =3V÷S ) 【常用單位換算】 （一）長(zhǎng)度單位換算 1千米=1000米； 1米=10分米； 1分米=10厘米； 1米=100厘米 ； 1厘米=10毫米 （二）面積單位換算： 1平方千米=100公頃； 1公頃=10000平方米； 1平方米=100平方分米； 1平方分米=100平方厘米； 1平方厘米=100平方毫米 （三）體積（容積）單位換算： 1立方米=1000立方分米； 1立方分米=1000立方厘米； 1立方分米=1升； 1立方厘米=1毫升； 1升=1000毫升 （四）質(zhì)量單位換算： 1噸=1000千克； 1千克=1000克； （1千克=1公斤） （五）人民幣單位換算： 1元=10角； 1角=10分； 1元=100分 （六）時(shí)間單位換算： 1世紀(jì)=100年； 1年=12月； 【大月（31天）有：1、3、5、7、8、10、12月】； 【小月（30天）有：4、6、9、11月】 【平年：2月有28天；全年有365天】； 【閏年：2月有29天；全年有366天】 1日=24小時(shí)； 1時(shí)=60分=3600秒； 1分=60秒； 【基 本 概 念】 第一章 數(shù)和數(shù)的運(yùn)算 一、概念 （一）十進(jìn)制計(jì)數(shù)法：每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是十，這樣的計(jì)數(shù)法叫做十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。 整數(shù)部分 小數(shù)點(diǎn) 小數(shù)部分 億級(jí) 萬(wàn)級(jí) 個(gè)級(jí) · 數(shù)位 … 千億位 百億位 十億位 億位 千萬(wàn)位 百萬(wàn)位 十萬(wàn)位 萬(wàn)位 千位 百位 十位 個(gè)位 十 分 位 百 分 位 千 分 位 … 計(jì)數(shù)單位 … 千億 百億 十億 億 千萬(wàn) 百位 十萬(wàn) 萬(wàn) 千 百 十 一 十 分 之 一 百 分 之 一 千 分 之 一 … 數(shù)軸上，從左到右的順序，就是數(shù)從小到大的順序。 （二）整 數(shù) 1、自然數(shù)、負(fù)數(shù)和整數(shù) （1）自然數(shù) ：我們?cè)跀?shù)物體的時(shí)候，用來(lái)表示物體個(gè)數(shù)的數(shù)，如0，1，2，3……叫做自然數(shù)。一個(gè)物體也沒(méi)有，用0表示。0也是自然數(shù)。 自然數(shù)個(gè)數(shù)是無(wú)限的，最小的自然數(shù)是0，沒(méi)有最大的自然數(shù)。 （2）負(fù)數(shù)：像-16，-，-0.4，……這樣的數(shù)叫做負(fù)數(shù)。 0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)。 所有的負(fù)數(shù)都在0的左邊,所有的正數(shù)都在0的右邊； 也就是負(fù)數(shù)都比0小,正數(shù)都比0大,負(fù)數(shù)都比正數(shù)小。 （3）整 數(shù)：像-3，-2，-1，0，1，2，3……這樣的數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。整數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的。 自然數(shù) 正整數(shù)（1、2、3、4、……） 整 數(shù) 零 (0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)) 負(fù)整數(shù)（-1、-2、-3、-4……） 2、數(shù)的整除 ：整數(shù)a除以整數(shù)b(b ≠ 0），除得的商是整數(shù)而沒(méi)有余數(shù)，我們就說(shuō)a能被b整除，或者說(shuō)b能整除a 。 （1）因數(shù)和倍數(shù)：如果數(shù)a×b=c（a,b,c都是不為0的整數(shù)），那么a和b就叫做c的因數(shù)，c就叫做a和b的倍數(shù)。 注意：倍數(shù)和因數(shù)數(shù)是相互依存的。 * 或者說(shuō)，a能被b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的因數(shù)。如：因?yàn)?5能被7整除，所以35是7的倍數(shù)，7是35的因數(shù)。 ①一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，其中最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身。 例如：10的因數(shù)有1、2、5、10，其中最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是10。 ②一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，其中最小的倍數(shù)是它本身，沒(méi)有最大的倍數(shù)。 如：3的倍數(shù)有：3、6、9、12……其中最小的倍數(shù)是3 ，沒(méi)有最大的倍數(shù)。 （2）2、3、5……倍數(shù)的特征： ①個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)，都是2的倍數(shù)。例如：202、480、304，都能被2整除。。 ②個(gè)位上是0或5的數(shù)，都是5的倍數(shù)。例如：5、30、405都能被5整除。 ③一個(gè)數(shù)的各位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)。例如：12、108、204都能被3整除。 * ④一個(gè)數(shù)各位數(shù)上的和是9的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是9的倍數(shù)。 能被3整除的數(shù)不一定能被9整除，但是能被9整除的數(shù)一定能被3整除。 * ⑤一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)是4（或25）的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是4（或25）的倍數(shù)。 例如： 404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。 * ⑥一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)是8（或125）的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是8（或125）的倍數(shù)。 例如：1168、5000、12344都能被8整除，1125、5000都能被125整除。 （3）偶數(shù)和奇數(shù)：自然數(shù)按是否是2的倍數(shù)的特征可分為奇數(shù)和偶數(shù)。 自然數(shù)中，能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)。（0也是偶數(shù)。） 不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。 （4）質(zhì)數(shù)與合數(shù)：非0自然數(shù)按其因數(shù)的個(gè)數(shù)的不同，可分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1。 一個(gè)數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（或素?cái)?shù)）。 100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 一個(gè)數(shù)，如果除了1和它本身還有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)。 1不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。 * ①每個(gè)合數(shù)都可以寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式。其中每個(gè)質(zhì)數(shù)都是這個(gè)合數(shù)的因數(shù)，叫做這個(gè)合數(shù)的質(zhì)因數(shù)，例如15=3×5，3和5 叫做15的質(zhì)因數(shù)。 * ②把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來(lái)，叫做分解質(zhì)因數(shù)。 例如：把28分解質(zhì)因數(shù) （5）最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)： 幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)。其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。 例如：12的因數(shù)有（1、2、3、4、6、12）；18的因數(shù)有（1、2、3、6、9、18）。其中，（1、2、3、6）是12和1 8的公因數(shù)，（6）是它們的最大公因數(shù)。 幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。 如：2的倍數(shù)有（2、4、6 、8、10、12、14、16、18 …… ）；3的倍數(shù)有（3、6、9、12、15、18 …… ），其中（6、12、18……）是2、3的公倍數(shù)，（6）是它們的最小公倍數(shù)。。 ①如果兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，那么 這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)就是較小數(shù)；最小公倍數(shù)就是較大數(shù)。 如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么 它們的最大公因數(shù)就是1；最小公倍數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的乘積。 ②幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，而幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的。 公因數(shù)=最大公因數(shù)的所有因數(shù) 公倍數(shù)=最小公倍數(shù)×1、2、3…… ③公因數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)，成互質(zhì)關(guān)系的兩個(gè)數(shù)，有下列幾種情況： 1和任何自然數(shù)互質(zhì)。 相鄰的兩個(gè)自然數(shù)互質(zhì)。 兩個(gè)不同的質(zhì)數(shù)互質(zhì)。 當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時(shí)，這個(gè)合數(shù)與這個(gè)質(zhì)數(shù)互質(zhì)。 兩個(gè)合數(shù)的公因數(shù)只有1時(shí)，這兩個(gè)合數(shù)互質(zhì)。 ④如果幾個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)都互質(zhì)，就說(shuō)這幾個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。 （三）小數(shù) 1 、小數(shù)的意義 （1）把整數(shù)1平均分成10份、100份、1000份…… 得到的十分之幾、百分之幾、千分之幾…… 可以用小數(shù)表示。 （2）一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾…… （3）一個(gè)小數(shù)由整數(shù)部分、小數(shù)部分和小數(shù)點(diǎn)部分組成。數(shù)中的圓點(diǎn)叫做小數(shù)點(diǎn)，小數(shù)點(diǎn)左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分，小數(shù)點(diǎn)右邊的數(shù)叫做小數(shù)部分。 （4）在小數(shù)里，每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是10。小數(shù)部分的最高分?jǐn)?shù)單位“十分之一”和整數(shù)部分的最低單位“一”之間的進(jìn)率也是10。 2、小數(shù)的分類 * （1）純小數(shù)：整數(shù)部分是零的小數(shù)，叫做純小數(shù)。 例如： 0.25 、 0.368 都是純小數(shù)。 * （2）帶小數(shù)：整數(shù)部分不是零的小數(shù)，叫做帶小數(shù)。 例如： 3.25 、 5.26 都是帶小數(shù)。 （3）有限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是有限的小數(shù)，叫做有限小數(shù)。 例如： 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小數(shù)。 （4）無(wú)限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是無(wú)限的小數(shù)，叫做無(wú)限小數(shù)。 例如： 4.33 …… 3.1415926 …… （5）無(wú)限不循環(huán)小數(shù)：一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分，數(shù)字排列無(wú)規(guī)律且位數(shù)無(wú)限，這樣的小數(shù)叫做無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。 例如：π （6）無(wú)限循環(huán)小數(shù)：一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分，有一個(gè)數(shù)字或者幾個(gè)數(shù)字依次不斷重復(fù)出現(xiàn)，這個(gè)數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。 例如： 3.555 …… 0.0333 …… 12.109109 …… 一個(gè)循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分，依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字叫做這個(gè)循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)。 例如： 3.99 ……的循環(huán)節(jié)是“ 9 ” ， 0.5454 ……的循環(huán)節(jié)是“ 54 ” 。 * （8）純循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位開始的，叫做純循環(huán)小數(shù)。 例如： 3.111 …… 0.5656 …… * （9）混循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第一位開始的，叫做混循環(huán)小數(shù)。 例如： 3.1222 …… 0.03333 …… （10）寫循環(huán)小數(shù)的時(shí)候，為了簡(jiǎn)便，小數(shù)的循環(huán)部分只需寫出一個(gè)循環(huán)節(jié)，并在這個(gè)循環(huán)節(jié)的首、末位數(shù)字上各點(diǎn)一個(gè)圓點(diǎn)。如果循環(huán)節(jié)只有 一個(gè)數(shù)字，就只在它的上面點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)。 例如： 3.777 … 簡(jiǎn)寫作：3.； 0.5302302 … 簡(jiǎn)寫作：0.50 。 （三）分?jǐn)?shù) 1、分?jǐn)?shù)的意義 （1）把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。 （2）在分?jǐn)?shù)里，中間的橫線叫做分?jǐn)?shù)線；分?jǐn)?shù)線下面的數(shù)，叫做分母，表示把單位“1”平均分成多少份；分?jǐn)?shù)線下面的數(shù)叫做分子，表示有這樣的多少份。 （3）把單位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)單位。 2、分?jǐn)?shù)的分類 分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)。真分?jǐn)?shù)小于1。 分子比分母大或者分子和分母相等的分?jǐn)?shù)，叫做假分?jǐn)?shù)。假分?jǐn)?shù)大于或等于1。 假分?jǐn)?shù)可以寫成整數(shù)與真分?jǐn)?shù)合成的數(shù)，通常叫帶分?jǐn)?shù)。 3、約分和通分 把一個(gè)分?jǐn)?shù)化成同它相等但是分子、分母都比較小的分?jǐn)?shù) ，叫做約分。 分子分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)，叫做最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。 把異分母分?jǐn)?shù)分別化成和原來(lái)分?jǐn)?shù)相等的同分母分?jǐn)?shù)，叫做通分。 4、倒數(shù)：乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。 0沒(méi)有倒數(shù)，1的倒數(shù)是1。 大于1的數(shù)的倒數(shù)都小于1，小于1的數(shù)的倒數(shù)都大于1。 （四）百分?jǐn)?shù) ： 表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù) 叫做百分?jǐn)?shù),也叫做百分率或百分比。百分?jǐn)?shù)通常用"%"來(lái)表示。 二 、方法 （一）數(shù)的讀法和寫法 1、整數(shù)的讀法：從高位到低位，一級(jí)一級(jí)地讀。讀億級(jí)、萬(wàn)級(jí)時(shí)，先按照個(gè)級(jí)的讀法去讀，再在后面加一個(gè)“億”或“萬(wàn)”字。每一級(jí)末尾的0都不讀出來(lái)，其它數(shù)位連續(xù)有幾個(gè)0都只讀一個(gè)零。 整數(shù)的寫法：從高位到低位，一級(jí)一級(jí)地寫，哪一個(gè)數(shù)位上一個(gè)單位也沒(méi)有，就在那個(gè)數(shù)位上寫0。 2、小數(shù)的讀法：讀小數(shù)的時(shí)候，整數(shù)部分按照整數(shù)的讀法讀，小數(shù)點(diǎn)讀作“點(diǎn)”，小數(shù)部分從左向右順次讀出每一位數(shù)位上的數(shù)字。 小數(shù)的寫法：寫小數(shù)的時(shí)候，整數(shù)部分按照整數(shù)的寫法來(lái)寫，小數(shù)點(diǎn)寫在個(gè)位右下角，小數(shù)部分順次寫出每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字。 3、分?jǐn)?shù)的讀法：讀分?jǐn)?shù)時(shí)，先讀分母再讀“分之”然后讀分子，分子和分母按照整數(shù)的讀法來(lái)讀。 分?jǐn)?shù)的寫法：先寫分?jǐn)?shù)線，再寫分母，最后寫分子，按照整數(shù)的寫法來(lái)寫。 4、百分?jǐn)?shù)的讀法：讀百分?jǐn)?shù)時(shí)，先讀百分之，再讀百分號(hào)前面的數(shù)，讀數(shù)時(shí)按照整數(shù)的讀法來(lái)讀。 百分?jǐn)?shù)的寫法：百分?jǐn)?shù)通常不寫成分?jǐn)?shù)形式，而在原來(lái)的分子后面加上百分號(hào)“%”來(lái)表示。 （二）數(shù)的改寫 一個(gè)較大的多位數(shù)，為了讀寫方便，常常把它改寫成用“萬(wàn)”或“億”作單位的數(shù)。有時(shí)還可以根據(jù)需要，省略這個(gè)數(shù)某一位后面的數(shù)，寫成近似數(shù)。 1、準(zhǔn)確數(shù)：在實(shí)際生活中，為了計(jì)數(shù)的簡(jiǎn)便，可以把一個(gè)較大的數(shù)改寫成以萬(wàn)或億為單位的數(shù)。改寫后的數(shù)是原數(shù)的準(zhǔn)確數(shù)。 例如把 1254300000 改寫成以萬(wàn)做單位的數(shù)是 125430 萬(wàn)；改寫成 以億做單位 的數(shù) 12.543 億。 2、近似數(shù)：根據(jù)實(shí)際需要，我們還可以把一個(gè)較大的數(shù)，省略某一位后面的尾數(shù)，用一個(gè)近似數(shù)來(lái)表示。 例如： 1302490015 省略億后面的尾數(shù)是 13 億。 3、四舍五入法：要省略的尾數(shù)的最高位上的數(shù)是4 或者比4小，就把尾數(shù)去掉；如果尾數(shù)的最高位上的數(shù)是5或者比5大，就把尾數(shù)舍去，并向它的前一位進(jìn)1。例如：省略 345900 萬(wàn)后面的尾數(shù)約是 35 萬(wàn)。省略 4725097420 億后面的尾數(shù)約是 47 億。 （三）大小比較 1、比較整數(shù)大?。罕容^整數(shù)的大小，位數(shù)多的那個(gè)數(shù)就大，如果位數(shù)相同，就看最高位，最高位上的數(shù)大，那個(gè)數(shù)就大；最高位上的數(shù)相同，就看下一位，哪一位上的數(shù)大那個(gè)數(shù)就大。 2、比較小數(shù)的大?。合瓤此鼈兊恼麛?shù)部分，整數(shù)部分大的那個(gè)數(shù)就大；整數(shù)部分相同的，十分位上的數(shù)大的那個(gè)數(shù)就大；十分位上的數(shù)也相同的，百分位上的數(shù)大的那個(gè)數(shù)就大…… 3、比較分?jǐn)?shù)的大小:分母相同的分?jǐn)?shù)，分子大的分?jǐn)?shù)比較大；分子相同的數(shù)，分母小的分?jǐn)?shù)大。分?jǐn)?shù)的分母和分子都不相同的，先通分，再比較兩個(gè)數(shù)的大小。 （四）數(shù)的互化 1、小數(shù)化成分?jǐn)?shù)：原來(lái)有幾位小數(shù)，就在1的后面寫幾個(gè)零作分母，把原來(lái)的小數(shù)去掉小數(shù)點(diǎn)作分子，能約分的要約分。 2、分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：用分子除以分母。除不盡時(shí)，要根據(jù)需要按“四舍五入”法保留幾位小數(shù)。 注意：一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的質(zhì)因數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就能化成有限小數(shù)；如果分母中含有2和5 以外的質(zhì)因數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就不能化成有限小數(shù)。 4、小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)：只要把小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位，同時(shí)在后面添上百分號(hào)。 5、百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：把百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，只要把百分號(hào)去掉，同時(shí)把小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位。 6、分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù)：通常先把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，再把小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)。除不盡時(shí)，通常保留三位小數(shù)。 7、百分?jǐn)?shù)化成分?jǐn)?shù)：先把百分?jǐn)?shù)改寫成分?jǐn)?shù)，能約分的要約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。 （五）數(shù)的整除：整數(shù)a除以整數(shù)b(b ≠ 0），除得的商是整數(shù)而沒(méi)有余數(shù)，我們就說(shuō)a能被b整除，或者說(shuō)b能整除a 。 * 1、把一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，通常用短除法。先用能整除這個(gè)合數(shù)的質(zhì)數(shù)去除，一直除到商是質(zhì)數(shù)為止，再把除數(shù)和商寫成連乘的形式。 2、用短除法求幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的方法：先用這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商互質(zhì)（或兩兩互質(zhì)），然后把所有的除數(shù)連乘，所得的積就是這幾個(gè)數(shù)的的最大公因數(shù) 。 3、用短除法求幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法：先用這幾個(gè)數(shù)（或其中的部分?jǐn)?shù)）的公因數(shù)去除，一直除到互質(zhì)（或兩兩互質(zhì)）為止，然后把所有的除數(shù)和商連乘求積，這個(gè)積就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。 （六）約分和通分 1、約分的方法：用分子和分母的公因數(shù)（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)為止。 2、通分的方法：先求出原來(lái)的幾個(gè)分?jǐn)?shù)分母的最小公倍數(shù)，然后把各分?jǐn)?shù)化成用這個(gè)最小公倍數(shù)作分母的分?jǐn)?shù)。 （七）求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)的方法 分子分母調(diào)換位置，如果是小數(shù)要把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，再調(diào)換位置。 三、性質(zhì)和規(guī)律 （一）商不變的性質(zhì) 在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)（零除外），商不變。余數(shù)也隨著擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)。 （二）小數(shù)的性質(zhì) 在小數(shù)的末尾添上零或者去掉零小數(shù)的大小不變。 （三）小數(shù)點(diǎn)位置的移動(dòng)引起小數(shù)大小的變化 1、小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一位，原來(lái)的數(shù)就擴(kuò)大10倍；小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位，原來(lái)的數(shù)就擴(kuò)大100倍；小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)三位，原來(lái)的數(shù)就擴(kuò)大1000倍…… 2、小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)一位，原來(lái)的數(shù)就縮小10倍；小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位，原來(lái)的數(shù)就縮小100倍；小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)三位，原來(lái)的數(shù)就縮小1000倍…… 3、小數(shù)點(diǎn)向左移或者向右移位數(shù)不夠時(shí)，要用“0"補(bǔ)足。 （四）分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì) 分?jǐn)?shù)的分子和分母都乘以或者除以相同的數(shù)（零除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。 （五）分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系 1、被除數(shù)÷除數(shù)= 2、因?yàn)榱悴荒茏鞒龜?shù)，所以分?jǐn)?shù)的分母不能為零。 四、運(yùn)算 （一）四則運(yùn)算的意義 1、加法：把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算叫做加法。 2、減法：已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算叫做減法。 加法和減法互為逆運(yùn)算。 3、乘法：求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算叫做乘法。 0和任何數(shù)相乘都得0； 1和任何數(shù)相乘都得任何數(shù)。 4、除法：已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算叫做除法。 乘法和除法互為逆運(yùn)算。 注意： 0不能做除數(shù)。（因?yàn)?和任何數(shù)相乘都得0，若被除數(shù)為0，則商不確定；若被除數(shù)不為0，則商不存在。 ） * 乘方: 求幾個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方。 例如 3 × 3 =3 2 ； 5 × 5 × 5 =5 3 ） （二）運(yùn)算定律 1、加法交換律：兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。即a+b=b+a 。 2、加法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，再加上第三個(gè)數(shù)；或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，再和第一個(gè)數(shù)相加，和不變。即 （a+b)+c=a+(b+c) 。 3、乘法交換律：兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變，即 a×b=b×a。 4、乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，再和第三個(gè)數(shù)相乘；或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，再和第一個(gè)數(shù)相乘，積不變。，即 (a×b)×c=a×(b×c) 。 5、乘法分配律：兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以把兩個(gè)加數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘再把兩個(gè)積相加。即 (a+b)×c=a×c+b×c 。 6、減法的性質(zhì)：從一個(gè)數(shù)里連續(xù)減去幾個(gè)數(shù)，等于從這個(gè)數(shù)里減去所有減數(shù)的和，差不變。即 a-b-c=a-(b+c) 。 （三）運(yùn)算法則 1、整數(shù)加法計(jì)算法則：相同數(shù)位對(duì)齊，從低位加起，哪一位上的數(shù)相加滿十，就向前一位進(jìn)一。 2、整數(shù)減法計(jì)算法則：相同數(shù)位對(duì)齊，從低位減起，哪一位上的數(shù)不夠減，就從前一位退一作十，和本位上的數(shù)合并再減。 3、整數(shù)乘法計(jì)算法則：先用一個(gè)因數(shù)每一位上的數(shù)分別去乘另一個(gè)因數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)，用因數(shù)哪一位上的數(shù)去乘，乘得的數(shù)的末尾就對(duì)齊哪一位，然后把各次乘得的數(shù)加起來(lái)。 4、整數(shù)除法計(jì)算法則：先從被除數(shù)的高位除起，除數(shù)是幾位數(shù)，就看被除數(shù)的前幾位； 如果不夠除，就多看一位，除到被除數(shù)的哪一位，商就寫在哪一位的上面。如果哪一位上不夠商1，要補(bǔ)“0”占位。每次除得的余數(shù)要小于除數(shù)。 5、小數(shù)乘法計(jì)算法則：先按照整數(shù)乘法的計(jì)算法則算出積，再看因數(shù)中共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)；如果位數(shù)不夠，就用“0”補(bǔ)足。 6、小數(shù)除法計(jì)算法則： 除數(shù)是整數(shù)的：先按照整數(shù)除法的法則去除，商的小數(shù)點(diǎn)要和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊；如果除到被除數(shù)的末尾仍有余數(shù)，就在余數(shù)后面添“0”，再繼續(xù)除。 除數(shù)是小數(shù)的：先移動(dòng)除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)，使它變成整數(shù)，被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)也向右移動(dòng)幾位（位數(shù)不夠的補(bǔ)“0”），然后按照除數(shù)是整數(shù)的除法法則進(jìn)行計(jì)算。 7、同分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算方法:同分母分?jǐn)?shù)相加減，分母不變，只把分子相加減。 8、異分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算方法:先通分，然后按照同分母分?jǐn)?shù)加減法的的法則進(jìn)行計(jì)算。 9、帶分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算方法:整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分分別相加減，再把所得的數(shù)合并起來(lái)。 10、分?jǐn)?shù)乘法計(jì)算法則:分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，用分?jǐn)?shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子，分母不變；分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。 11、分?jǐn)?shù)除法計(jì)算法則:除以一個(gè)數(shù)（0除外），等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。 （五）運(yùn)算順序 沒(méi)有括號(hào)的混合運(yùn)算:同級(jí)運(yùn)算從左往右依次運(yùn)算；兩級(jí)運(yùn)算 先算二級(jí)運(yùn)算（乘、除法），后算一級(jí)運(yùn)算（加、減法）。 有括號(hào)的混合運(yùn)算:先算小括號(hào)里面的，再算中括號(hào)里面的，最后算括號(hào)外面的。 第一級(jí)運(yùn)算：加法和減法叫做第一級(jí)運(yùn)算。 第二級(jí)運(yùn)算：乘法和除法叫做第二級(jí)運(yùn)算。 五、應(yīng)用 （一）整數(shù)和小數(shù)的應(yīng)用 1、簡(jiǎn)單應(yīng)用題 （一步運(yùn)算解答） (1)解題步驟： A、 審題理解題意：了解應(yīng)用題的內(nèi)容，知道應(yīng)用題的條件和問(wèn)題。讀題時(shí)，不丟字不添字邊讀邊思考，弄明白題中每句話的意思。也可以復(fù)述條件和問(wèn)題，幫助理解題意。 B、選擇算法和列式計(jì)算：這是解答應(yīng)用題的中心工作。從題目中告訴什么，要求什么著手，逐步根據(jù)所給的條件和問(wèn)題，聯(lián)系四則運(yùn)算的含義，分析數(shù)量關(guān)系，確定算法，進(jìn)行解答并標(biāo)明正確的單位名稱。 C、檢驗(yàn)：根據(jù)應(yīng)用題的條件和問(wèn)題進(jìn)行檢查看所列算式和計(jì)算過(guò)程是否正確，是否符合題意。如果發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，馬上改正。 （2）簡(jiǎn)單應(yīng)用題基本類型： A、加法應(yīng)用題： a.求總數(shù) b.求比一個(gè)數(shù)多幾的數(shù) （求大數(shù)） B、減法應(yīng)用題： a.求剩余 b.求兩個(gè)數(shù)相差多少 （求相差數(shù)） c.求比一個(gè)數(shù)少幾的數(shù) （求小數(shù)） C、乘法應(yīng)用題： a求相同加數(shù)和（求幾個(gè)幾是多少） b求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少 （求多倍數(shù)） D、除法應(yīng)用題： a.把一個(gè)數(shù)平均分成若干份，求一份是多少（ 求每份數(shù)） b.求一個(gè)數(shù)里包含幾個(gè)另一個(gè)數(shù)的應(yīng)用題 （求份數(shù)） c.求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的的幾倍的應(yīng)用題 （求倍數(shù)） d.已知一個(gè)數(shù)的幾倍是多少，求這個(gè)數(shù) （求一倍數(shù)） 2 復(fù)合應(yīng)用題 （兩步或兩步以上運(yùn)算解答） 3、典型應(yīng)用題 ： 具有獨(dú)特的結(jié)構(gòu)特征的和特定的解題規(guī)律的復(fù)合應(yīng)用題，通常叫做典型應(yīng)用題。 （1）平均數(shù)問(wèn)題：平均數(shù)是等分除法的發(fā)展。 解題關(guān)鍵：在于確定總數(shù)量和與之相對(duì)應(yīng)的總份數(shù)。 例：一輛車以每小時(shí) 100 千米的速度從甲地開往乙地，又以每小時(shí) 60千米的速度從乙地開往甲地。求這輛車的平均速度。 分析：求汽車的平均速度同樣可以利用公式：總路程 ÷總時(shí)間=平均速度。此題可以把甲地到乙地的路程設(shè)為“ 1 ”，則汽車行駛的總路程為“ 2 ”，從甲地到乙地的速度為 100千米，所用的時(shí)間為；汽車從乙地到甲地速度為 60 千米 ，所用的時(shí)間是 ，汽車共行的時(shí)間為： += , 汽車的平均速度為：2÷ =75（千米） （2）歸一問(wèn)題： 數(shù)量關(guān)系式：?jiǎn)我涣俊练輸?shù)=總數(shù)量 （正歸一） 總數(shù)量÷單一量=份數(shù) （反歸一） 例 ： 一個(gè)織布工人，在七月份織布 4774 米 ，照這樣計(jì)算，織布6930米，需要多少天？ 分析：必須先求出平均每天織布多少米，就是單一量。 6930÷（477 4÷31）=45（天） （3）歸總問(wèn)題： 特點(diǎn)：兩種相關(guān)聯(lián)的量，其中一種量變化，另一種量也跟著變化，不過(guò)變化的規(guī)律相反，和反比例算法彼此相通。 例： 修一條水渠，原計(jì)劃每天修 800 米，6 天修完。實(shí)際 4 天修完，每天修了多少米？ 分析：因?yàn)橐蟪雒刻煨薜拈L(zhǎng)度，就必須先求出水渠的長(zhǎng)度。所以也把這類應(yīng)用題叫做“歸總問(wèn)題”。不同之處是“歸一”先求出單一量，再求總量，歸總問(wèn)題是先求出總量，再求單一量。 800 × 6 ÷ 4=1200 （米） （4）行程問(wèn)題： 同時(shí)同地相背而行：路程=速度和×?xí)r間。 同時(shí)相向而行：相遇路程=速度和×?xí)r間 同時(shí)同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及時(shí)間=追擊路程÷速度差。 同時(shí)同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：相差路程=速度差×?xí)r間。 例： 甲在乙的后面 28 千米 ，兩人同時(shí)同向而行，甲每小時(shí)行 16 千米 ，乙每小時(shí)行 9 千米 ，甲幾小時(shí)追上乙？ 分析：甲每小時(shí)比乙多行（ 16-9 ）千米，也就是甲每小時(shí)可以追近乙（ 16-9 ）千米，這是速度差。已知甲在乙的后面 28 千米 （追擊路程）， 28 千米 里包含著幾個(gè)（ 16-9 ）千米，也就是追擊所需要的時(shí)間。列式： 2 8 ÷（16-9）=4 （小時(shí)） （二）分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用 1、分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題：已知一個(gè)數(shù)，求它的幾分之幾是多少。 特征：已知單位“1”的量和分率，求與分率所對(duì)應(yīng)的實(shí)際數(shù)量。 解題關(guān)鍵：準(zhǔn)確判斷單位“1”的量。找準(zhǔn)要求問(wèn)題所對(duì)應(yīng)的分率，然后根據(jù)一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義正確列式。 2、分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題： （1）求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾（或百分之幾）。 特征：已知一個(gè)數(shù)和另一個(gè)數(shù)，求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾或百分之幾。“一個(gè)數(shù)”是比較量，“另一個(gè)數(shù)”是標(biāo)準(zhǔn)量（單位“1”）。求分率或百分率，也就是求他們的倍數(shù)關(guān)系。 解題關(guān)鍵：從問(wèn)題入手，搞清把誰(shuí)看作標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)也就是把誰(shuí)看作了“單位1”，誰(shuí)和單位一的量作比較，誰(shuí)就作被除數(shù)。 例：甲是乙的幾分之幾（百分之幾）:甲是比較量，乙是標(biāo)準(zhǔn)量，用甲除以乙。 甲比乙多幾分之幾（百分之幾）： （甲-乙）÷乙 甲比乙少幾分之幾（百分之幾）： （乙-甲）÷乙 。 （2）已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾（或百分之幾 ) 是多少,求這個(gè)數(shù)。 特征：已知一個(gè)實(shí)際數(shù)量和它相對(duì)應(yīng)的分率，求單位“1”的量。 解題關(guān)鍵：準(zhǔn)確判斷單位“1”的量把單位“1”的量看成x根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義列方程，或者根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義列算式，但必須找準(zhǔn)和分率相對(duì)應(yīng)的已知實(shí)際數(shù)量。 3、百分率：與“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾”做法相同，注意：除法寫成份數(shù)樣，100%乘后面。 發(fā)芽率=發(fā)芽種子數(shù)/試驗(yàn)種子數(shù)×100% 小麥的出粉率= 面粉的重量/小麥的重量×100% 產(chǎn)品的合格率=合格的產(chǎn)品數(shù)/產(chǎn)品總數(shù)×100% 職工的出勤率=實(shí)際出勤人數(shù)/應(yīng)出勤人數(shù)×100% 4、工程問(wèn)題： 解題關(guān)鍵：把工作總量看作單位“1”，工作效率就是工作時(shí)間的倒數(shù)，然后根據(jù)題目的具體情況，靈活運(yùn)用公式。 5、納稅：收入×稅率=應(yīng)納稅額 繳納的稅款叫應(yīng)納稅款。應(yīng)納稅額與各種收入的（銷售額、營(yíng)業(yè)額、應(yīng)納稅所得額 ……）的比率叫做稅率。 6、折扣：原價(jià)×折扣=現(xiàn)價(jià) 7、利息：利息=本金×利率×?xí)r間 存入銀行的錢叫做本金。取款時(shí)銀行多支付的錢叫做利息。利息與本金的比值叫做利率。 第二章 量與計(jì)量 一、名數(shù) 單名數(shù)：只帶有一個(gè)計(jì)量單位的名數(shù)叫做單名數(shù)。如：8.7噸，17.3升等都是單名數(shù)。 復(fù)名數(shù)：帶有兩個(gè)或兩個(gè)以上同類計(jì)量單位的名數(shù)叫做復(fù)名數(shù)。如1元5角； 9小時(shí)30分39秒等都是復(fù)名數(shù)。 二、轉(zhuǎn)換 高級(jí)單位→低級(jí)單位的方法：高級(jí)單位的數(shù)×進(jìn)率 低級(jí)單位→高級(jí)單位的方法：低級(jí)單位的數(shù)÷進(jìn)率 第三章 代數(shù)初步知識(shí) 一、用字母表示數(shù) 1、用字母表示數(shù)的寫法 （1）數(shù)字和字母、字母和字母相乘時(shí)，乘號(hào)可以記作“.”，或者省略不寫，數(shù)字要寫在字母的前面。 （2）當(dāng)“1”與任何字母相乘時(shí)，“1”省略不寫。 （3）在一個(gè)問(wèn)題中，同一個(gè)字母表示同一個(gè)量，不同的量用不同的字母表示。 （4）用含有字母的式子表示問(wèn)題的答案時(shí)，除數(shù)一般寫成分母，如果式子中有加號(hào)或者減號(hào)，要先用括號(hào)把含字母的式子括起來(lái)，再在括號(hào)后面寫上單位的名稱。 2、將數(shù)值代入式子求值 （1）書寫格式：先寫出字母等于幾，然后寫出原式，再把數(shù)代入式子求值。字母表示的是數(shù)，后面不寫單位名稱。 如：當(dāng)a=15時(shí)，3a+5=3×15+5=45+5=50 （2）同一個(gè)式子，式子中所含字母取不同的數(shù)值，那么所求出的式子的值也不相同。 二、簡(jiǎn)易方程 1、方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。 （1）方程是等式，又含有未知數(shù)，兩者缺一不可。 （2）方程和算術(shù)式不同。算術(shù)式是一個(gè)式子，它由運(yùn)算符號(hào)和已知數(shù)組成，它表示未知數(shù)。方程是一個(gè)等式，在方程里的未知數(shù)可以參加運(yùn)算，并且只有當(dāng)未知數(shù)為特定的數(shù)值時(shí)，方程才成立 。 2、方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。 3、解方程：求方程的解的過(guò)程叫做解方程。 4、列方程解應(yīng)用題 （1）列方程解答應(yīng)用題的步驟： A、弄清題意，確定未知數(shù)并用x表示； B、找出題中的數(shù)量之間的相等關(guān)系； C、列方程，解方程； D、檢查或驗(yàn)算，寫出答案。 （2）小學(xué)范圍內(nèi)常用方程解的應(yīng)用題： A、一般應(yīng)用題； B、和倍、差倍問(wèn)題； C、幾何形體的周長(zhǎng)、面積、體積計(jì)算； D、 分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題； E、比和比例應(yīng)用題。 三、比和比例 （一）比的意義和性質(zhì) 1、比的意義： 兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比。 A、 “：”是比號(hào)，讀作“比”。比號(hào)前面的數(shù)叫做比的前項(xiàng)，比號(hào)后面的數(shù)叫做比的后項(xiàng)。比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)所得的商，叫做比值。 B、同除法比較，比的前項(xiàng)相當(dāng)于被除數(shù)，后項(xiàng)相當(dāng)于除數(shù)，比值相當(dāng)于商。 同分?jǐn)?shù)比較，比的前項(xiàng)相當(dāng)于分子,后項(xiàng)相當(dāng)于分母,比值相當(dāng)于分?jǐn)?shù)值。 C、比值通常用分?jǐn)?shù)表示，也可以用小數(shù)表示，有時(shí)也可能是整數(shù)。 D、比的后項(xiàng)不能是零。 2、比的性質(zhì): 比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘上或者除以相同的數(shù)（0除外），比值不變，這叫做比的基本性質(zhì)。 3、求比值和化簡(jiǎn)比 A、 求比值的方法：用比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)，它的結(jié)果是一個(gè)數(shù)值可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)或分?jǐn)?shù)。 B、根據(jù)比的基本性質(zhì)可以把比化成最簡(jiǎn)單的整數(shù)比。它的結(jié)果必須是一個(gè)最簡(jiǎn)比，即前、后項(xiàng)是互質(zhì)的數(shù)。 4、比例尺: 圖上距離：實(shí)際距離=比例尺 A、要求會(huì)求比例尺:已知圖上距離和比例尺求實(shí)際距離； 已知實(shí)際距離和比例尺求圖上距離。 B、線段比例尺：在圖上附有一條注有數(shù)目的線段，用來(lái)表示和地面上相對(duì)應(yīng)的實(shí)際距離。 5、按比例分配:在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中，常常需要把一個(gè)數(shù)量按照一定的比來(lái)進(jìn)行分配。這種分配的方法通常叫做按比例分配。 方法：首先求出各部分占總量的幾分之幾，然后求出總數(shù)的幾分之幾是多少。 或：先求出一份數(shù)，再求幾份數(shù)是多少 例如，長(zhǎng)方形：周長(zhǎng)÷2再按比例分 長(zhǎng)方體：棱長(zhǎng)總和÷4再按比例分 （二）比例的意義和性質(zhì) 1、比例的意義：表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。 組成比例的四個(gè)數(shù)，叫做比例的項(xiàng)。 兩端的兩項(xiàng)叫做外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做內(nèi)項(xiàng)。 2、比例的性質(zhì)：在比例里，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)兩個(gè)內(nèi)向的積。這叫做比例的基本性質(zhì)。 3、解比例: 根據(jù)比例的基本性質(zhì)，求比例中的未知項(xiàng)。 4、正比例和反比例 （1）成正比例的量: 兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，他們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。 用字母表示: y/x=k(一定） （2）成反比例的量: 兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，他們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。 用字母表示: xy=k(一定) 第四章 空間與圖形 一、線和角 1、線 （1）直線：直線沒(méi)有端點(diǎn)；長(zhǎng)度無(wú)限；過(guò)一點(diǎn)可以畫無(wú)數(shù)條，過(guò)兩點(diǎn)只能畫一條直線。 （2）射線：射線只有一個(gè)端點(diǎn)；長(zhǎng)度無(wú)限。 （3）線段：線段有兩個(gè)端點(diǎn)，它是直線的一部分；長(zhǎng)度有限；兩點(diǎn)的連線中，線段最短。 （4）同一平面內(nèi)，兩直線之間的位置關(guān)系： A、平行線：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。 兩條平行線之間的距離處處相等。 B、相交 垂線：兩條直線相交成直角時(shí)，這兩條直線叫做互相垂直。其中一條直線叫做另一條直線的垂線,相交的點(diǎn)叫做垂足。 從直線外一點(diǎn)到這條直線所畫的垂線的長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到直線的距離。（直線外一點(diǎn)到這條直線的連線中，垂線段最短。） 2、角：從一點(diǎn)引出兩條射線，所組成的圖形叫做角。 （1）名稱：這個(gè)點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，這兩條射線叫做角的邊。 （2）角的分類 銳角：小于90° 直角：=90° 鈍角：大于90°而小于180° 平角：角的兩邊成一條直線，平角=180°。 周角：角的一邊旋轉(zhuǎn)一周，與另一邊重合。周角=360°。 二、平面圖形 1、長(zhǎng)方形 特征：對(duì)邊相等，4個(gè)角都是直角的四邊形。有兩條對(duì)稱軸。 2、正方形 特征：四邊相等，四個(gè)角都是直角的四邊形。有4條對(duì)稱軸。 3、三角形：由三條線段圍成的圖形。 （1）特征： 內(nèi)角和是180度。 兩邊之和大于第三邊。 三角形具有穩(wěn)定性。 三角形有三條高。（銳角△三條高交于三角形內(nèi)的一點(diǎn)。） （2）分類： a.按角分：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。 b.按邊分：不等邊三角形、等腰三角形、等邊三角形。 （3）等腰三角形：兩個(gè)銳角各為45度，它有一條對(duì)稱軸。有兩條邊（腰）長(zhǎng)度相等；兩個(gè)底角相等；有一條對(duì)稱軸。 等邊三角形：三條邊長(zhǎng)度都相等；三個(gè)內(nèi)角都是60度；有三條對(duì)稱軸。 4、平行四邊形：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形。 特征：相對(duì)的邊平行且相等；對(duì)角相等，相鄰的兩個(gè)角的度數(shù)之和為180度。平行四邊形容易變形。 5、梯形：只有一組對(duì)邊平行的四邊形。 6、圓 （1）圓的認(rèn)識(shí) ①平面上的一種曲線圖形。 ②圓心：圓中心的一點(diǎn)叫做圓心。一般用字母o表示。 ③半徑：連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段叫做半徑。一般用r表示。 在同圓或等圓里，有無(wú)數(shù)條半徑，且長(zhǎng)度相等。 ④直徑：通過(guò)圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般用d表示。 在同圓或等圓里，有無(wú)數(shù)條直徑，且長(zhǎng)度相等。 ⑤特征：同一個(gè)圓里，直徑等于兩個(gè)半徑的長(zhǎng)度，即d=2r。 圓的位置由圓心決定；圓的大小由半徑?jīng)Q定。 兩端都在圓上的線段中，直徑最長(zhǎng)。 圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸。 畫圓時(shí)，圓規(guī)兩腳分開的距離即半徑。 （2）圓周率：任意一個(gè)圓的周長(zhǎng)和直徑的比值是一個(gè)固定的數(shù)，叫做圓周率。用字母π表示。 （3）一個(gè)圓，半徑擴(kuò)大或縮小多少倍，直徑和周長(zhǎng)也擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)。而面積擴(kuò)大或縮小的倍數(shù)是這倍數(shù)的平方倍。 例如：在同一個(gè)圓里，半徑擴(kuò)大3倍，那么直徑和周長(zhǎng)就都擴(kuò)大3倍，而面積擴(kuò)大9倍。 兩個(gè)圓： 半徑比 = 直徑比 = 周長(zhǎng)比；而面積比＝（半徑或直徑或周長(zhǎng)的）平方的比。例如：兩個(gè)圓的半徑比是2∶3，那么這兩個(gè)圓的直徑比和周長(zhǎng)比都是2∶3，而面積比是4∶9 （4）任意一個(gè)正方形與它內(nèi)切圓（正方形里最大的圓）的面積之比都是一個(gè)固定值，即：（4∶π）。圓的面積占正方形面積的157/200，或78.5%。 　　任意一個(gè)正方形與它內(nèi)切圓周長(zhǎng)之比也是：（4∶π）。圓的周長(zhǎng)占正方形周長(zhǎng)的157/200，或78.5%。 （5）當(dāng)長(zhǎng)方形、正方形、圓的周長(zhǎng)相等時(shí)，圓面積最大，正方形居中，長(zhǎng)方形面積最小。 反之，面積相同時(shí)，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)最長(zhǎng)，正方形居中，圓周長(zhǎng)最短。 7、圓環(huán) 特征：由兩個(gè)半徑不相等的同心圓相減而成，有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸。 面積計(jì)算公式：s=πR2-πr2 s=π(R2-r2） 三、立體圖形 （一）長(zhǎng)方體 1、特征：六個(gè)面都是長(zhǎng)方形（有時(shí)有兩個(gè)相對(duì)的面是正方形）。 相對(duì)的面面積相等，12條棱相對(duì)的4條棱長(zhǎng)度相等。 有8個(gè)頂點(diǎn)。 2、相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱的長(zhǎng)度分別叫做長(zhǎng)、寬、高。 3、把長(zhǎng)方體放在桌面上，最多只能看到三個(gè)面。 （二）正方體：正方體可以看作特殊的長(zhǎng)方體。 特征：六個(gè)面都是正方形，六個(gè)面的面積相等； 12條棱，棱長(zhǎng)都相等； 有8個(gè)頂點(diǎn)。 （三）圓柱 1、特征：圓柱有2個(gè)圓形的底面；有一個(gè)曲面叫做側(cè)面。側(cè)面沿高展開是長(zhǎng)方形，當(dāng)?shù)酌嬷荛L(zhǎng)與高相等時(shí)，展開是正方形。 2、兩個(gè)底面之間的距離叫做圓柱的高，圓柱有無(wú)數(shù)條高。 （四）圓錐 1、特征：圓錐有1個(gè)底面是個(gè)圓，側(cè)面是個(gè)曲面，沿母線展開是扇形。 2、從圓錐的頂點(diǎn)到底面圓心的距離是圓錐的高，圓錐只有1條高。 3、測(cè)量圓錐的高：先把圓錐的底面放平，用一塊平板水平地放在圓錐的頂點(diǎn)上面，豎直地量出平板和底面之間的距離。 四、圖形的變換與位置 1、圖形的變換 （1）平移：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移。平移不改變圖形的形狀和大小。 （2）旋轉(zhuǎn)：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小。（旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度。） （3）軸對(duì)稱：兩個(gè)圖形，如果沿著某一條直線對(duì)折后，它們能完全重合，那么這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱。 如果某一個(gè)圖形沿著某條直線對(duì)折后兩側(cè)的圖形能完全重合，這個(gè)圖形就是軸對(duì)稱圖形。折痕所在的這條直線叫做對(duì)稱軸。 1條對(duì)稱軸：等腰三角形、等腰梯形、扇形、角、線段…… 2條對(duì)稱軸：長(zhǎng)方形、菱形…… 3條對(duì)稱軸：等邊三角形…… 4條對(duì)稱軸：正方形…… 無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸：圓、圓環(huán)…… 2、確定方位 （1）用上、下、左、右、前、后來(lái)描述位置，主要用來(lái)確定現(xiàn)實(shí)空間中物體的位置。 （2）用東、西、南、北等方向來(lái)表述位置或用方向和距離相結(jié)合的方法來(lái)描述位置，既可以用來(lái)確定現(xiàn)實(shí)空間中物體的位置，也可以用來(lái)確定平面上物體的位置。 北 東北 東 東南 南 西南 西 西北 用方向來(lái)描述平面上物體位置時(shí)，圖形中表示的方向通常是“上北下南、左西右東”，圖中一般要標(biāo)出 北 。 用方向和距離結(jié)合起來(lái)描述位置時(shí)，要注意三個(gè)要素：一是觀測(cè)點(diǎn)（即參照物），二是方向，三是距離。 （3）用數(shù)對(duì)表示位置，主要用來(lái)確定平面上物體的位置。 用數(shù)對(duì)來(lái)表示位置時(shí)，通常把豎排叫列，橫排叫行。確定第幾列時(shí)從左往右數(shù)，確定第幾行時(shí)，從前往后數(shù)或從下往上。表示列的數(shù)在前，表示行的數(shù)在后，中間用“，”號(hào)相隔，數(shù)對(duì)加上小括號(hào)。數(shù)對(duì)：（列數(shù)，行數(shù)）。 第五章 簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì) 一、統(tǒng)計(jì)表 1、單式統(tǒng)計(jì)表：只含有一個(gè)項(xiàng)目的統(tǒng)計(jì)表。 2、復(fù)式統(tǒng)計(jì)表：含有兩個(gè)或兩個(gè)以上統(tǒng)計(jì)項(xiàng)目的統(tǒng)計(jì)表。 * 3、百分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)表：不僅表明各統(tǒng)計(jì)項(xiàng)目的具體數(shù)量，而且表明比較量相當(dāng)于標(biāo)準(zhǔn)量的百分比的統(tǒng)計(jì)表。 二、統(tǒng)計(jì)圖 1、條形統(tǒng)計(jì)圖：用一個(gè)單位長(zhǎng)度表示一定的數(shù)量，用直條的長(zhǎng)短表示數(shù)量的多少。 A、優(yōu)點(diǎn)：很容易看出各種數(shù)量的多少。 B、注意：畫條形統(tǒng)計(jì)圖時(shí)，直條的寬窄必須相同。并注明數(shù)量。 復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖中表示不同項(xiàng)目的直條，要用不同的線條或顏色區(qū)別開，并在制圖日期下面注明圖例。 2、折線統(tǒng)計(jì)圖：用一個(gè)單位長(zhǎng)度表示一定的數(shù)量，用折線的起伏表示數(shù)量的增減變化。 A、優(yōu)點(diǎn)：不但可以表示數(shù)量的多少，而且能夠清楚地表示出數(shù)量增減變化的情況。 B、注意：折線統(tǒng)計(jì)圖的橫軸表示不同的年份、月份等時(shí)間時(shí)，不同時(shí)間之間的距離要根據(jù)年份或月份的間隔來(lái)確定。 縱軸要注意波浪線的含意。 3、扇形統(tǒng)計(jì)圖：用整個(gè)圓的面積表示總數(shù)，用圓內(nèi)扇形面積表示各部分占總數(shù)的百分比 A、優(yōu)點(diǎn)：很清楚地表示出各部分同總數(shù)之間的關(guān)系。 B、注意：在每個(gè)扇形中標(biāo)明所表示的各部分?jǐn)?shù)量名稱和所占的百分?jǐn)?shù)，并用不同顏色或條紋把各個(gè)扇形區(qū)別開。 三、統(tǒng)計(jì)量 1、平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的總和除以這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)所得到的商。與這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)都有關(guān)系，易受極端數(shù)據(jù)的影響。 A、總數(shù)量÷總份數(shù)=平均數(shù) B、優(yōu)點(diǎn)：反映了一組數(shù)據(jù)的平均大小，常用來(lái)表示數(shù)據(jù)總體的“平均水平”。 2、中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，最中間位置的一個(gè)數(shù)或最中間的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)。不易受極端數(shù)據(jù)的影響。 A、最中間一個(gè)數(shù)=中位數(shù) 中間兩數(shù)之和÷2=中位數(shù) B、優(yōu)點(diǎn)：像一條分界線，將數(shù)據(jù)分成前半部分和后半部分，因此用來(lái)代表一組數(shù)據(jù)的“中等水平”。 3、眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)。不易受極端數(shù)據(jù)的影響。 A、出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)=眾數(shù) B、優(yōu)點(diǎn)：反映了出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，用來(lái)代表一組數(shù)據(jù)的“多數(shù)水平”。 4、相同點(diǎn)： 這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量： 都是來(lái)描述數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量； 都可以用來(lái)反映數(shù)據(jù)的一般水平； 都可以用來(lái)作為一組數(shù)據(jù)的代表。 四、可能性 1、確定現(xiàn)象與不確定現(xiàn)象： （1）確定現(xiàn)象：生活中有些事件的發(fā)生是確定的。一般用“一定發(fā)生”或“不可能發(fā)生”來(lái)描述。 （2）不確定現(xiàn)象：生活中有些事件的發(fā)生是不確定的，一般用“可能發(fā)生”來(lái)描述。 2、可能性大小的表示： “不可能”可以用“0”來(lái)表示；“一定能”可以用“1”來(lái)表示；“可能”可以用分?jǐn)?shù)或百分?jǐn)?shù)來(lái)表示它的大小。 在可能發(fā)生的事件中，如果出現(xiàn)該事件的情況較多，我們就說(shuō)該事件發(fā)生的可能性較大；如果出現(xiàn)該事件的情況較少，我們就說(shuō)該事件發(fā)生的可能性較小。 3、可能性的應(yīng)用：判斷游戲規(guī)則的公平性。 在游戲規(guī)則里，如果每種現(xiàn)象發(fā)生的可能性都相等，這個(gè)規(guī)則是公平的；如果各種現(xiàn)象發(fā)生的可能性不相等，規(guī)則是不公平的。公平性就是只參與游戲活動(dòng)的每一個(gè)對(duì)象獲勝的可能性是相等的。