小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)手冊(cè).doc

班級(jí)_姓名_注意：帶*的內(nèi)容不屬于“必會(huì)”的知識(shí)。【加減乘除各部分之間的關(guān)系】1、加數(shù) + 加數(shù) = 和； 和 一個(gè)加數(shù) = 另一個(gè)加數(shù) 2、被減數(shù)-減數(shù)=差； 被減數(shù)-差=減數(shù)； 差+減數(shù)=被減數(shù)3、因數(shù)×因數(shù)=積； 積 ÷ 一個(gè)因數(shù) = 另一個(gè)因數(shù)4、被除數(shù)÷除數(shù)=商 ； 被除數(shù)÷商=除數(shù)； 商×除數(shù)=被除數(shù)【常用數(shù)量關(guān)系】1、每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)； 總數(shù)÷每份數(shù)=份數(shù) 總數(shù)÷份數(shù)=每份數(shù)2、1倍數(shù)×倍數(shù)=幾倍數(shù) 幾倍數(shù)÷1倍數(shù)=倍數(shù) 幾倍數(shù)÷倍數(shù)=1倍數(shù)3、單位“1”的量×比較量的分率=比較量 比較量÷比較量的分率=單位“1”的量 比較量÷單位“1 ”的量=比較量的分率4、總數(shù)÷總份數(shù)=平均數(shù)5、購物問題： 單價(jià)×數(shù)量=總價(jià) 總價(jià)÷單價(jià)=數(shù)量 總價(jià)÷數(shù)量=單價(jià)6、工程問題： 工作效率×工作時(shí)間=工作總量 工作總量÷工作效率=工作時(shí)間工作總量÷工作時(shí)間=工作效率7、行程問題： 速度×時(shí)間=路程 路程÷速度=時(shí)間 路程÷時(shí)間=速度8、相遇問題： 相遇路程=速度和×相遇時(shí)間； 相遇時(shí)間=路程÷速度和； 速度和=路程÷相遇時(shí)間9、利潤(rùn)與折扣問題： 原價(jià)×折扣=現(xiàn)價(jià)現(xiàn)價(jià)÷折扣=原價(jià) 現(xiàn)價(jià)÷原價(jià)=折扣* 利潤(rùn)=售出價(jià)-成本 利潤(rùn)率=利潤(rùn)/成本×100%漲跌金額=本金×漲跌百分比10、納稅問題： 收入×稅率=應(yīng)納稅額 11、儲(chǔ)蓄問題： 利息=本金×利率×時(shí)間* 利息稅=利息×稅率* 稅后利息=利息-利息稅=本金×利率×時(shí)間×（1-利息稅）* 12、濃度問題： 溶質(zhì)的重量+溶劑的重量=溶液的重量 溶液的重量×濃度=溶質(zhì)的重量溶質(zhì)的重量/溶液的重量×100%=濃度 溶質(zhì)的重量÷濃度=溶液的重量* 13、和差問題的公式： (和+差)÷2=大數(shù) (和-差)÷2=小數(shù)* 14、和倍問題的公式： 和÷(倍數(shù)1)= 小數(shù) 小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)( 和-小數(shù)=大數(shù) )* 15、差倍問題的公式: 差÷(倍數(shù)1)= 小數(shù)； 小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)（ 小數(shù)+差=大數(shù) ）【小學(xué)數(shù)學(xué)圖形計(jì)算公式】1、正方形（C: 周長(zhǎng)， S：面積， a: 邊長(zhǎng)） 周長(zhǎng)=邊長(zhǎng)×4； C=4a 面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)； S=a×a=a22、長(zhǎng)方形（C:周長(zhǎng)， S：面積， a: 長(zhǎng)， b：寬 ）周長(zhǎng)=（長(zhǎng)+寬）×2； C=2(a+b) 面積=長(zhǎng)×寬 ； S=ab3、平行四邊形（S：面積， a:底， h:高） 面積=底×高； S=ah4、三角形（S：面積， a: 底， h: 高） 面積=底×高÷2 ； S=ah÷2=ah ( 三角形的底 a=2s÷h ； 三角形的高 h =2s÷a )5、梯形（S：面積， a:上底， b：下底， h:高）面積=(上底+下底)×高÷2； S=(a+b)×h÷2=(a+b)h ( 梯形的高 h =2s÷(a+b) ； 梯形的(上底+下底) a+b=2s÷h )6、圓形（S：面積，C：周長(zhǎng)，：圓周率，d：直徑，r：半徑 ）周長(zhǎng)=直徑×=半徑×2×；C=d=2r面積=×半徑×半徑； S= r27、正方體（V：體積， a：棱長(zhǎng)） 表面積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×6； S=a×a×6=6a2 體積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)； V= a×a×a= a38、長(zhǎng)方體（V：體積， S：面積， a:長(zhǎng)， b：寬， h:高）表面積=（長(zhǎng)×寬+長(zhǎng)×高+寬×高）×2； S=2(ab+ah+bh)體積=長(zhǎng)×寬×高； V=abh9、圓柱體（V：體積， S：底面積， C：底面周長(zhǎng)，h：高， r：底面半徑 ）側(cè)面積=底面周長(zhǎng)×高 S側(cè)=Ch=dh=2rh表面積=側(cè)面積+底面積×2 S表= S側(cè)+2 S底體積=底面積×高 V=Sh10、圓錐體（V：體積， S：底面積， h：高， r：底面半徑 ）體積=底面積×高÷3 V=Sh÷3=Sh ( 圓錐的底面積 S=3V÷h ； 圓錐的高 h =3V÷S ) 【常用單位換算】（一）長(zhǎng)度單位換算 1千米=1000米； 1米=10分米； 1分米=10厘米；1米=100厘米 ； 1厘米=10毫米（二）面積單位換算： 1平方千米=100公頃； 1公頃=10000平方米；1平方米=100平方分米； 1平方分米=100平方厘米； 1平方厘米=100平方毫米（三）體積（容積）單位換算：1立方米=1000立方分米； 1立方分米=1000立方厘米；1立方分米=1升； 1立方厘米=1毫升； 1升=1000毫升（四）質(zhì)量單位換算： 1噸=1000千克； 1千克=1000克； （1千克=1公斤）（五）人民幣單位換算： 1元=10角； 1角=10分； 1元=100分（六）時(shí)間單位換算： 1世紀(jì)=100年； 1年=12月；【大月（31天）有：1、3、5、7、8、10、12月】； 【小月（30天）有：4、6、9、11月】【平年：2月有28天；全年有365天】； 【閏年：2月有29天；全年有366天】1日=24小時(shí)； 1時(shí)=60分=3600秒； 1分=60秒； 【基 本 概 念】第一章 數(shù)和數(shù)的運(yùn)算一、概念（一）十進(jìn)制計(jì)數(shù)法：每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是十，這樣的計(jì)數(shù)法叫做十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。 整數(shù)部分小數(shù)點(diǎn)小數(shù)部分億級(jí)萬級(jí)個(gè)級(jí)·數(shù)位千億位百億位十億位億位千萬位百萬位十萬位萬位千位百位十位個(gè)位十分位百分位千分位計(jì)數(shù)單位千億百億十億億千萬百位十萬萬千百十一十分之一百分之一千分之一數(shù)軸上，從左到右的順序，就是數(shù)從小到大的順序。（二）整 數(shù)1、自然數(shù)、負(fù)數(shù)和整數(shù)（1）自然數(shù) ：我們?cè)跀?shù)物體的時(shí)候，用來表示物體個(gè)數(shù)的數(shù)，如0，1，2，3叫做自然數(shù)。一個(gè)物體也沒有，用0表示。0也是自然數(shù)。 自然數(shù)個(gè)數(shù)是無限的，最小的自然數(shù)是0，沒有最大的自然數(shù)。（2）負(fù)數(shù)：像-16，-，-0.4，這樣的數(shù)叫做負(fù)數(shù)。0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)。所有的負(fù)數(shù)都在0的左邊,所有的正數(shù)都在0的右邊；也就是負(fù)數(shù)都比0小,正數(shù)都比0大,負(fù)數(shù)都比正數(shù)小。（3）整 數(shù)：像-3，-2，-1，0，1，2，3這樣的數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。整數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的。自然數(shù) 正整數(shù)（1、2、3、4、） 整 數(shù) 零 (0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)) 負(fù)整數(shù)（-1、-2、-3、-4）2、數(shù)的整除 ：整數(shù)a除以整數(shù)b(b 0），除得的商是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說a能被b整除，或者說b能整除a 。 （1）因數(shù)和倍數(shù)：如果數(shù)a×b=c（a,b,c都是不為0的整數(shù)），那么a和b就叫做c的因數(shù)，c就叫做a和b的倍數(shù)。注意：倍數(shù)和因數(shù)數(shù)是相互依存的。* 或者說，a能被b（b 0）整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的因數(shù)。如：因?yàn)?5能被7整除，所以35是7的倍數(shù)，7是35的因數(shù)。 一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，其中最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身。例如：10的因數(shù)有1、2、5、10，其中最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是10。 一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身，沒有最大的倍數(shù)。如：3的倍數(shù)有：3、6、9、12其中最小的倍數(shù)是3 ，沒有最大的倍數(shù)。 （2）2、3、5倍數(shù)的特征：個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)，都是2的倍數(shù)。例如：202、480、304，都能被2整除。 個(gè)位上是0或5的數(shù)，都是5的倍數(shù)。例如：5、30、405都能被5整除。 一個(gè)數(shù)的各位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)。例如：12、108、204都能被3整除。 * 一個(gè)數(shù)各位數(shù)上的和是9的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是9的倍數(shù)。 能被3整除的數(shù)不一定能被9整除，但是能被9整除的數(shù)一定能被3整除。 * 一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)是4（或25）的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是4（或25）的倍數(shù)。例如： 404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。 * 一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)是8（或125）的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是8（或125）的倍數(shù)。例如：1168、5000、12344都能被8整除，1125、5000都能被125整除。 （3）偶數(shù)和奇數(shù)：自然數(shù)按是否是2的倍數(shù)的特征可分為奇數(shù)和偶數(shù)。自然數(shù)中，能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)。（0也是偶數(shù)。）不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。 （4）質(zhì)數(shù)與合數(shù)：非0自然數(shù)按其因數(shù)的個(gè)數(shù)的不同，可分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1。一個(gè)數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（或素?cái)?shù)）。100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 一個(gè)數(shù)，如果除了1和它本身還有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)。 1不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。* 每個(gè)合數(shù)都可以寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式。其中每個(gè)質(zhì)數(shù)都是這個(gè)合數(shù)的因數(shù)，叫做這個(gè)合數(shù)的質(zhì)因數(shù)，例如15=3×5，3和5 叫做15的質(zhì)因數(shù)。 * 把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。 例如：把28分解質(zhì)因數(shù) （5）最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)。其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。例如：12的因數(shù)有（1、2、3、4、6、12）；18的因數(shù)有（1、2、3、6、9、18）。其中，（1、2、3、6）是12和1 8的公因數(shù)，（6）是它們的最大公因數(shù)。 幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。如：2的倍數(shù)有（2、4、6 、8、10、12、14、16、18 ）；3的倍數(shù)有（3、6、9、12、15、18 ），其中（6、12、18）是2、3的公倍數(shù)，（6）是它們的最小公倍數(shù)。如果兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，那么這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)就是較小數(shù)；最小公倍數(shù)就是較大數(shù)。 如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么它們的最大公因數(shù)就是1；最小公倍數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的乘積。 幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，而幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的。公因數(shù)=最大公因數(shù)的所有因數(shù)公倍數(shù)=最小公倍數(shù)×1、2、3公因數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)，成互質(zhì)關(guān)系的兩個(gè)數(shù)，有下列幾種情況： 1和任何自然數(shù)互質(zhì)。 相鄰的兩個(gè)自然數(shù)互質(zhì)。 兩個(gè)不同的質(zhì)數(shù)互質(zhì)。 當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時(shí)，這個(gè)合數(shù)與這個(gè)質(zhì)數(shù)互質(zhì)。 兩個(gè)合數(shù)的公因數(shù)只有1時(shí)，這兩個(gè)合數(shù)互質(zhì)。如果幾個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)都互質(zhì)，就說這幾個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。 （三）小數(shù) 1 、小數(shù)的意義 （1）把整數(shù)1平均分成10份、100份、1000份 得到的十分之幾、百分之幾、千分之幾 可以用小數(shù)表示。 （2）一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾 （3）一個(gè)小數(shù)由整數(shù)部分、小數(shù)部分和小數(shù)點(diǎn)部分組成。數(shù)中的圓點(diǎn)叫做小數(shù)點(diǎn)，小數(shù)點(diǎn)左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分，小數(shù)點(diǎn)右邊的數(shù)叫做小數(shù)部分。 （4）在小數(shù)里，每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是10。小數(shù)部分的最高分?jǐn)?shù)單位“十分之一”和整數(shù)部分的最低單位“一”之間的進(jìn)率也是10。 2、小數(shù)的分類 * （1）純小數(shù)：整數(shù)部分是零的小數(shù)，叫做純小數(shù)。 例如： 0.25 、 0.368 都是純小數(shù)。 * （2）帶小數(shù)：整數(shù)部分不是零的小數(shù)，叫做帶小數(shù)。 例如： 3.25 、 5.26 都是帶小數(shù)。 （3）有限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是有限的小數(shù)，叫做有限小數(shù)。 例如： 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小數(shù)。 （4）無限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是無限的小數(shù)，叫做無限小數(shù)。 例如： 4.33 3.1415926 （5）無限不循環(huán)小數(shù)：一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分，數(shù)字排列無規(guī)律且位數(shù)無限，這樣的小數(shù)叫做無限不循環(huán)小數(shù)。 例如：（6）無限循環(huán)小數(shù)：一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分，有一個(gè)數(shù)字或者幾個(gè)數(shù)字依次不斷重復(fù)出現(xiàn)，這個(gè)數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。 例如： 3.555 0.0333 12.109109 一個(gè)循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分，依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字叫做這個(gè)循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)。 例如： 3.99 的循環(huán)節(jié)是“ 9 ” ， 0.5454 的循環(huán)節(jié)是“ 54 ” 。 * （8）純循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位開始的，叫做純循環(huán)小數(shù)。 例如： 3.111 0.5656 * （9）混循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第一位開始的，叫做混循環(huán)小數(shù)。 例如： 3.1222 0.03333 （10）寫循環(huán)小數(shù)的時(shí)候，為了簡(jiǎn)便，小數(shù)的循環(huán)部分只需寫出一個(gè)循環(huán)節(jié)，并在這個(gè)循環(huán)節(jié)的首、末位數(shù)字上各點(diǎn)一個(gè)圓點(diǎn)。如果循環(huán)節(jié)只有 一個(gè)數(shù)字，就只在它的上面點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)。 例如： 3.777 簡(jiǎn)寫作：3.； 0.5302302 簡(jiǎn)寫作：0.50 。 （三）分?jǐn)?shù)1、分?jǐn)?shù)的意義 （1）把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。 （2）在分?jǐn)?shù)里，中間的橫線叫做分?jǐn)?shù)線；分?jǐn)?shù)線下面的數(shù)，叫做分母，表示把單位“1”平均分成多少份；分?jǐn)?shù)線下面的數(shù)叫做分子，表示有這樣的多少份。 （3）把單位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)單位。 2、分?jǐn)?shù)的分類 分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)。真分?jǐn)?shù)小于1。 分子比分母大或者分子和分母相等的分?jǐn)?shù)，叫做假分?jǐn)?shù)。假分?jǐn)?shù)大于或等于1。 假分?jǐn)?shù)可以寫成整數(shù)與真分?jǐn)?shù)合成的數(shù)，通常叫帶分?jǐn)?shù)。 3、約分和通分 把一個(gè)分?jǐn)?shù)化成同它相等但是分子、分母都比較小的分?jǐn)?shù) ，叫做約分。 分子分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)，叫做最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。 把異分母分?jǐn)?shù)分別化成和原來分?jǐn)?shù)相等的同分母分?jǐn)?shù)，叫做通分。4、倒數(shù)：乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。0沒有倒數(shù)，1的倒數(shù)是1。 大于1的數(shù)的倒數(shù)都小于1，小于1的數(shù)的倒數(shù)都大于1。（四）百分?jǐn)?shù) ：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù) 叫做百分?jǐn)?shù),也叫做百分率或百分比。百分?jǐn)?shù)通常用"%"來表示。 二 、方法 （一）數(shù)的讀法和寫法 1、整數(shù)的讀法：從高位到低位，一級(jí)一級(jí)地讀。讀億級(jí)、萬級(jí)時(shí)，先按照個(gè)級(jí)的讀法去讀，再在后面加一個(gè)“億”或“萬”字。每一級(jí)末尾的0都不讀出來，其它數(shù)位連續(xù)有幾個(gè)0都只讀一個(gè)零。 整數(shù)的寫法：從高位到低位，一級(jí)一級(jí)地寫，哪一個(gè)數(shù)位上一個(gè)單位也沒有，就在那個(gè)數(shù)位上寫0。 2、小數(shù)的讀法：讀小數(shù)的時(shí)候，整數(shù)部分按照整數(shù)的讀法讀，小數(shù)點(diǎn)讀作“點(diǎn)”，小數(shù)部分從左向右順次讀出每一位數(shù)位上的數(shù)字。 小數(shù)的寫法：寫小數(shù)的時(shí)候，整數(shù)部分按照整數(shù)的寫法來寫，小數(shù)點(diǎn)寫在個(gè)位右下角，小數(shù)部分順次寫出每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字。3、分?jǐn)?shù)的讀法：讀分?jǐn)?shù)時(shí)，先讀分母再讀“分之”然后讀分子，分子和分母按照整數(shù)的讀法來讀。 分?jǐn)?shù)的寫法：先寫分?jǐn)?shù)線，再寫分母，最后寫分子，按照整數(shù)的寫法來寫。 4、百分?jǐn)?shù)的讀法：讀百分?jǐn)?shù)時(shí)，先讀百分之，再讀百分號(hào)前面的數(shù)，讀數(shù)時(shí)按照整數(shù)的讀法來讀。 百分?jǐn)?shù)的寫法：百分?jǐn)?shù)通常不寫成分?jǐn)?shù)形式，而在原來的分子后面加上百分號(hào)“%”來表示。 （二）數(shù)的改寫 一個(gè)較大的多位數(shù)，為了讀寫方便，常常把它改寫成用“萬”或“億”作單位的數(shù)。有時(shí)還可以根據(jù)需要，省略這個(gè)數(shù)某一位后面的數(shù)，寫成近似數(shù)。 1、準(zhǔn)確數(shù)：在實(shí)際生活中，為了計(jì)數(shù)的簡(jiǎn)便，可以把一個(gè)較大的數(shù)改寫成以萬或億為單位的數(shù)。改寫后的數(shù)是原數(shù)的準(zhǔn)確數(shù)。 例如把 1254300000 改寫成以萬做單位的數(shù)是 125430 萬；改寫成 以億做單位 的數(shù) 12.543 億。 2、近似數(shù)：根據(jù)實(shí)際需要，我們還可以把一個(gè)較大的數(shù)，省略某一位后面的尾數(shù)，用一個(gè)近似數(shù)來表示。 例如： 1302490015 省略億后面的尾數(shù)是 13 億。 3、四舍五入法：要省略的尾數(shù)的最高位上的數(shù)是4 或者比4小，就把尾數(shù)去掉；如果尾數(shù)的最高位上的數(shù)是5或者比5大，就把尾數(shù)舍去，并向它的前一位進(jìn)1。例如：省略 345900 萬后面的尾數(shù)約是 35 萬。省略 4725097420 億后面的尾數(shù)約是 47 億。 （三）大小比較 1、比較整數(shù)大?。罕容^整數(shù)的大小，位數(shù)多的那個(gè)數(shù)就大，如果位數(shù)相同，就看最高位，最高位上的數(shù)大，那個(gè)數(shù)就大；最高位上的數(shù)相同，就看下一位，哪一位上的數(shù)大那個(gè)數(shù)就大。 2、比較小數(shù)的大?。合瓤此鼈兊恼麛?shù)部分，整數(shù)部分大的那個(gè)數(shù)就大；整數(shù)部分相同的，十分位上的數(shù)大的那個(gè)數(shù)就大；十分位上的數(shù)也相同的，百分位上的數(shù)大的那個(gè)數(shù)就大 3、比較分?jǐn)?shù)的大小:分母相同的分?jǐn)?shù)，分子大的分?jǐn)?shù)比較大；分子相同的數(shù)，分母小的分?jǐn)?shù)大。分?jǐn)?shù)的分母和分子都不相同的，先通分，再比較兩個(gè)數(shù)的大小。 （四）數(shù)的互化 1、小數(shù)化成分?jǐn)?shù)：原來有幾位小數(shù)，就在1的后面寫幾個(gè)零作分母，把原來的小數(shù)去掉小數(shù)點(diǎn)作分子，能約分的要約分。 2、分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：用分子除以分母。除不盡時(shí)，要根據(jù)需要按“四舍五入”法保留幾位小數(shù)。 注意：一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的質(zhì)因數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就能化成有限小數(shù)；如果分母中含有2和5 以外的質(zhì)因數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就不能化成有限小數(shù)。 4、小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)：只要把小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位，同時(shí)在后面添上百分號(hào)。 5、百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：把百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，只要把百分號(hào)去掉，同時(shí)把小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位。 6、分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù)：通常先把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，再把小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)。除不盡時(shí)，通常保留三位小數(shù)。 7、百分?jǐn)?shù)化成分?jǐn)?shù)：先把百分?jǐn)?shù)改寫成分?jǐn)?shù)，能約分的要約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。 （五）數(shù)的整除：整數(shù)a除以整數(shù)b(b 0），除得的商是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說a能被b整除，或者說b能整除a 。 * 1、把一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，通常用短除法。先用能整除這個(gè)合數(shù)的質(zhì)數(shù)去除，一直除到商是質(zhì)數(shù)為止，再把除數(shù)和商寫成連乘的形式。 2、用短除法求幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的方法：先用這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商互質(zhì)（或兩兩互質(zhì)），然后把所有的除數(shù)連乘，所得的積就是這幾個(gè)數(shù)的的最大公因數(shù) 。3、用短除法求幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法：先用這幾個(gè)數(shù)（或其中的部分?jǐn)?shù)）的公因數(shù)去除，一直除到互質(zhì)（或兩兩互質(zhì)）為止，然后把所有的除數(shù)和商連乘求積，這個(gè)積就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。 （六）約分和通分 1、約分的方法：用分子和分母的公因數(shù)（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)為止。 2、通分的方法：先求出原來的幾個(gè)分?jǐn)?shù)分母的最小公倍數(shù)，然后把各分?jǐn)?shù)化成用這個(gè)最小公倍數(shù)作分母的分?jǐn)?shù)。（七）求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)的方法分子分母調(diào)換位置，如果是小數(shù)要把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，再調(diào)換位置。三、性質(zhì)和規(guī)律 （一）商不變的性質(zhì) 在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)（零除外），商不變。余數(shù)也隨著擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)。 （二）小數(shù)的性質(zhì) 在小數(shù)的末尾添上零或者去掉零小數(shù)的大小不變。 （三）小數(shù)點(diǎn)位置的移動(dòng)引起小數(shù)大小的變化 1、小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一位，原來的數(shù)就擴(kuò)大10倍；小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位，原來的數(shù)就擴(kuò)大100倍；小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)三位，原來的數(shù)就擴(kuò)大1000倍 2、小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)一位，原來的數(shù)就縮小10倍；小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位，原來的數(shù)就縮小100倍；小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)三位，原來的數(shù)就縮小1000倍 3、小數(shù)點(diǎn)向左移或者向右移位數(shù)不夠時(shí)，要用“0"補(bǔ)足。 （四）分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì) 分?jǐn)?shù)的分子和分母都乘以或者除以相同的數(shù)（零除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。 （五）分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系 1、被除數(shù)÷除數(shù)= 2、因?yàn)榱悴荒茏鞒龜?shù)，所以分?jǐn)?shù)的分母不能為零。 四、運(yùn)算（一）四則運(yùn)算的意義 1、加法：把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算叫做加法。 2、減法：已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算叫做減法。 加法和減法互為逆運(yùn)算。 3、乘法：求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算叫做乘法。 0和任何數(shù)相乘都得0； 1和任何數(shù)相乘都得任何數(shù)。 4、除法：已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算叫做除法。 乘法和除法互為逆運(yùn)算。 注意： 0不能做除數(shù)。（因?yàn)?和任何數(shù)相乘都得0，若被除數(shù)為0，則商不確定；若被除數(shù)不為0，則商不存在。 ） * 乘方: 求幾個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方。 例如 3 × 3 =3 2 ； 5 × 5 × 5 =5 3 ）（二）運(yùn)算定律 1、加法交換律：兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。即a+b=b+a 。 2、加法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，再加上第三個(gè)數(shù)；或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，再和第一個(gè)數(shù)相加，和不變。即 （a+b)+c=a+(b+c) 。 3、乘法交換律：兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變，即 a×b=b×a。 4、乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，再和第三個(gè)數(shù)相乘；或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，再和第一個(gè)數(shù)相乘，積不變。，即 (a×b)×c=a×(b×c) 。5、乘法分配律：兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以把兩個(gè)加數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘再把兩個(gè)積相加。即 (a+b)×c=a×c+b×c 。 6、減法的性質(zhì)：從一個(gè)數(shù)里連續(xù)減去幾個(gè)數(shù)，等于從這個(gè)數(shù)里減去所有減數(shù)的和，差不變。即 a-b-c=a-(b+c) 。（三）運(yùn)算法則 1、整數(shù)加法計(jì)算法則：相同數(shù)位對(duì)齊，從低位加起，哪一位上的數(shù)相加滿十，就向前一位進(jìn)一。 2、整數(shù)減法計(jì)算法則：相同數(shù)位對(duì)齊，從低位減起，哪一位上的數(shù)不夠減，就從前一位退一作十，和本位上的數(shù)合并再減。 3、整數(shù)乘法計(jì)算法則：先用一個(gè)因數(shù)每一位上的數(shù)分別去乘另一個(gè)因數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)，用因數(shù)哪一位上的數(shù)去乘，乘得的數(shù)的末尾就對(duì)齊哪一位，然后把各次乘得的數(shù)加起來。 4、整數(shù)除法計(jì)算法則：先從被除數(shù)的高位除起，除數(shù)是幾位數(shù)，就看被除數(shù)的前幾位； 如果不夠除，就多看一位，除到被除數(shù)的哪一位，商就寫在哪一位的上面。如果哪一位上不夠商1，要補(bǔ)“0”占位。每次除得的余數(shù)要小于除數(shù)。 5、小數(shù)乘法計(jì)算法則：先按照整數(shù)乘法的計(jì)算法則算出積，再看因數(shù)中共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)；如果位數(shù)不夠，就用“0”補(bǔ)足。 6、小數(shù)除法計(jì)算法則：除數(shù)是整數(shù)的：先按照整數(shù)除法的法則去除，商的小數(shù)點(diǎn)要和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊；如果除到被除數(shù)的末尾仍有余數(shù)，就在余數(shù)后面添“0”，再繼續(xù)除。 除數(shù)是小數(shù)的：先移動(dòng)除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)，使它變成整數(shù)，被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)也向右移動(dòng)幾位（位數(shù)不夠的補(bǔ)“0”），然后按照除數(shù)是整數(shù)的除法法則進(jìn)行計(jì)算。 7、同分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算方法:同分母分?jǐn)?shù)相加減，分母不變，只把分子相加減。 8、異分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算方法:先通分，然后按照同分母分?jǐn)?shù)加減法的的法則進(jìn)行計(jì)算。 9、帶分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算方法:整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分分別相加減，再把所得的數(shù)合并起來。 10、分?jǐn)?shù)乘法計(jì)算法則:分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，用分?jǐn)?shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子，分母不變；分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。 11、分?jǐn)?shù)除法計(jì)算法則:除以一個(gè)數(shù)（0除外），等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。 （五）運(yùn)算順序 沒有括號(hào)的混合運(yùn)算:同級(jí)運(yùn)算從左往右依次運(yùn)算；兩級(jí)運(yùn)算 先算二級(jí)運(yùn)算（乘、除法），后算一級(jí)運(yùn)算（加、減法）。 有括號(hào)的混合運(yùn)算:先算小括號(hào)里面的，再算中括號(hào)里面的，最后算括號(hào)外面的。 第一級(jí)運(yùn)算：加法和減法叫做第一級(jí)運(yùn)算。 第二級(jí)運(yùn)算：乘法和除法叫做第二級(jí)運(yùn)算。五、應(yīng)用 （一）整數(shù)和小數(shù)的應(yīng)用 1、簡(jiǎn)單應(yīng)用題 （一步運(yùn)算解答）(1)解題步驟： A、 審題理解題意：了解應(yīng)用題的內(nèi)容，知道應(yīng)用題的條件和問題。讀題時(shí)，不丟字不添字邊讀邊思考，弄明白題中每句話的意思。也可以復(fù)述條件和問題，幫助理解題意。 B、選擇算法和列式計(jì)算：這是解答應(yīng)用題的中心工作。從題目中告訴什么，要求什么著手，逐步根據(jù)所給的條件和問題，聯(lián)系四則運(yùn)算的含義，分析數(shù)量關(guān)系，確定算法，進(jìn)行解答并標(biāo)明正確的單位名稱。 C、檢驗(yàn)：根據(jù)應(yīng)用題的條件和問題進(jìn)行檢查看所列算式和計(jì)算過程是否正確，是否符合題意。如果發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，馬上改正。 （2）簡(jiǎn)單應(yīng)用題基本類型：A、加法應(yīng)用題：a.求總數(shù)b.求比一個(gè)數(shù)多幾的數(shù) （求大數(shù)） B、減法應(yīng)用題： a.求剩余b.求兩個(gè)數(shù)相差多少 （求相差數(shù)）c.求比一個(gè)數(shù)少幾的數(shù) （求小數(shù)） C、乘法應(yīng)用題： a求相同加數(shù)和（求幾個(gè)幾是多少）b求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少 （求多倍數(shù)）D、除法應(yīng)用題： a.把一個(gè)數(shù)平均分成若干份，求一份是多少（ 求每份數(shù)）b.求一個(gè)數(shù)里包含幾個(gè)另一個(gè)數(shù)的應(yīng)用題 （求份數(shù)）c.求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的的幾倍的應(yīng)用題 （求倍數(shù)）d.已知一個(gè)數(shù)的幾倍是多少，求這個(gè)數(shù) （求一倍數(shù)）2 復(fù)合應(yīng)用題 （兩步或兩步以上運(yùn)算解答）3、典型應(yīng)用題 ： 具有獨(dú)特的結(jié)構(gòu)特征的和特定的解題規(guī)律的復(fù)合應(yīng)用題，通常叫做典型應(yīng)用題。 （1）平均數(shù)問題：平均數(shù)是等分除法的發(fā)展。 解題關(guān)鍵：在于確定總數(shù)量和與之相對(duì)應(yīng)的總份數(shù)。 例：一輛車以每小時(shí) 100 千米的速度從甲地開往乙地，又以每小時(shí) 60千米的速度從乙地開往甲地。求這輛車的平均速度。 分析：求汽車的平均速度同樣可以利用公式：總路程 ÷總時(shí)間=平均速度。此題可以把甲地到乙地的路程設(shè)為“ 1 ”，則汽車行駛的總路程為“ 2 ”，從甲地到乙地的速度為 100千米，所用的時(shí)間為；汽車從乙地到甲地速度為 60 千米 ，所用的時(shí)間是 ，汽車共行的時(shí)間為：+= , 汽車的平均速度為：2÷ =75（千米） （2）歸一問題： 數(shù)量關(guān)系式：?jiǎn)我涣?#215;份數(shù)=總數(shù)量 （正歸一） 總數(shù)量÷單一量=份數(shù) （反歸一） 例 ： 一個(gè)織布工人，在七月份織布 4774 米 ，照這樣計(jì)算，織布6930米，需要多少天？ 分析：必須先求出平均每天織布多少米，就是單一量。 6930÷（477 4÷31）=45（天） （3）歸總問題： 特點(diǎn)：兩種相關(guān)聯(lián)的量，其中一種量變化，另一種量也跟著變化，不過變化的規(guī)律相反，和反比例算法彼此相通。 例： 修一條水渠，原計(jì)劃每天修 800 米，6 天修完。實(shí)際 4 天修完，每天修了多少米？ 分析：因?yàn)橐蟪雒刻煨薜拈L(zhǎng)度，就必須先求出水渠的長(zhǎng)度。所以也把這類應(yīng)用題叫做“歸總問題”。不同之處是“歸一”先求出單一量，再求總量，歸總問題是先求出總量，再求單一量。 800 × 6 ÷ 4=1200 （米） （4）行程問題： 同時(shí)同地相背而行：路程=速度和×時(shí)間。 同時(shí)相向而行：相遇路程=速度和×時(shí)間 同時(shí)同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及時(shí)間=追擊路程÷速度差。同時(shí)同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：相差路程=速度差×時(shí)間。 例： 甲在乙的后面 28 千米 ，兩人同時(shí)同向而行，甲每小時(shí)行 16 千米 ，乙每小時(shí)行 9 千米 ，甲幾小時(shí)追上乙？ 分析：甲每小時(shí)比乙多行（ 16-9 ）千米，也就是甲每小時(shí)可以追近乙（ 16-9 ）千米，這是速度差。已知甲在乙的后面 28 千米 （追擊路程）， 28 千米 里包含著幾個(gè)（ 16-9 ）千米，也就是追擊所需要的時(shí)間。列式： 2 8 ÷（16-9）=4 （小時(shí)） （二）分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用 1、分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題：已知一個(gè)數(shù)，求它的幾分之幾是多少。 特征：已知單位“1”的量和分率，求與分率所對(duì)應(yīng)的實(shí)際數(shù)量。 解題關(guān)鍵：準(zhǔn)確判斷單位“1”的量。找準(zhǔn)要求問題所對(duì)應(yīng)的分率，然后根據(jù)一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義正確列式。 2、分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題：（1）求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾（或百分之幾）。 特征：已知一個(gè)數(shù)和另一個(gè)數(shù)，求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾或百分之幾?！耙粋€(gè)數(shù)”是比較量，“另一個(gè)數(shù)”是標(biāo)準(zhǔn)量（單位“1”）。求分率或百分率，也就是求他們的倍數(shù)關(guān)系。 解題關(guān)鍵：從問題入手，搞清把誰看作標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)也就是把誰看作了“單位1”，誰和單位一的量作比較，誰就作被除數(shù)。 例：甲是乙的幾分之幾（百分之幾）:甲是比較量，乙是標(biāo)準(zhǔn)量，用甲除以乙。 甲比乙多幾分之幾（百分之幾）： （甲-乙）÷乙甲比乙少幾分之幾（百分之幾）： （乙-甲）÷乙 。 （2）已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾（或百分之幾 ) 是多少,求這個(gè)數(shù)。 特征：已知一個(gè)實(shí)際數(shù)量和它相對(duì)應(yīng)的分率，求單位“1”的量。 解題關(guān)鍵：準(zhǔn)確判斷單位“1”的量把單位“1”的量看成x根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義列方程，或者根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義列算式，但必須找準(zhǔn)和分率相對(duì)應(yīng)的已知實(shí)際數(shù)量。 3、百分率：與“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾”做法相同，注意：除法寫成份數(shù)樣，100%乘后面。 發(fā)芽率=發(fā)芽種子數(shù)/試驗(yàn)種子數(shù)×100% 小麥的出粉率= 面粉的重量/小麥的重量×100% 產(chǎn)品的合格率=合格的產(chǎn)品數(shù)/產(chǎn)品總數(shù)×100% 職工的出勤率=實(shí)際出勤人數(shù)/應(yīng)出勤人數(shù)×100% 4、工程問題： 解題關(guān)鍵：把工作總量看作單位“1”，工作效率就是工作時(shí)間的倒數(shù)，然后根據(jù)題目的具體情況，靈活運(yùn)用公式。 5、納稅：收入×稅率=應(yīng)納稅額 繳納的稅款叫應(yīng)納稅款。應(yīng)納稅額與各種收入的（銷售額、營(yíng)業(yè)額、應(yīng)納稅所得額 ）的比率叫做稅率。6、折扣：原價(jià)×折扣=現(xiàn)價(jià) 7、利息：利息=本金×利率×時(shí)間 存入銀行的錢叫做本金。取款時(shí)銀行多支付的錢叫做利息。利息與本金的比值叫做利率。 第二章 量與計(jì)量 一、名數(shù)單名數(shù)：只帶有一個(gè)計(jì)量單位的名數(shù)叫做單名數(shù)。如：8.7噸，17.3升等都是單名數(shù)。 復(fù)名數(shù)：帶有兩個(gè)或兩個(gè)以上同類計(jì)量單位的名數(shù)叫做復(fù)名數(shù)。如1元5角； 9小時(shí)30分39秒等都是復(fù)名數(shù)。二、轉(zhuǎn)換高級(jí)單位低級(jí)單位的方法：高級(jí)單位的數(shù)×進(jìn)率低級(jí)單位高級(jí)單位的方法：低級(jí)單位的數(shù)÷進(jìn)率第三章 代數(shù)初步知識(shí) 一、用字母表示數(shù) 1、用字母表示數(shù)的寫法 （1）數(shù)字和字母、字母和字母相乘時(shí)，乘號(hào)可以記作“.”，或者省略不寫，數(shù)字要寫在字母的前面。 （2）當(dāng)“1”與任何字母相乘時(shí)，“1”省略不寫。 （3）在一個(gè)問題中，同一個(gè)字母表示同一個(gè)量，不同的量用不同的字母表示。 （4）用含有字母的式子表示問題的答案時(shí)，除數(shù)一般寫成分母，如果式子中有加號(hào)或者減號(hào)，要先用括號(hào)把含字母的式子括起來，再在括號(hào)后面寫上單位的名稱。 2、將數(shù)值代入式子求值 （1）書寫格式：先寫出字母等于幾，然后寫出原式，再把數(shù)代入式子求值。字母表示的是數(shù)，后面不寫單位名稱。 如：當(dāng)a=15時(shí)，3a+5=3×15+5=45+5=50（2）同一個(gè)式子，式子中所含字母取不同的數(shù)值，那么所求出的式子的值也不相同。 二、簡(jiǎn)易方程 1、方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。 （1）方程是等式，又含有未知數(shù)，兩者缺一不可。 （2）方程和算術(shù)式不同。算術(shù)式是一個(gè)式子，它由運(yùn)算符號(hào)和已知數(shù)組成，它表示未知數(shù)。方程是一個(gè)等式，在方程里的未知數(shù)可以參加運(yùn)算，并且只有當(dāng)未知數(shù)為特定的數(shù)值時(shí)，方程才成立 。 2、方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。 3、解方程：求方程的解的過程叫做解方程。 4、列方程解應(yīng)用題 （1）列方程解答應(yīng)用題的步驟： A、弄清題意，確定未知數(shù)并用x表示； B、找出題中的數(shù)量之間的相等關(guān)系； C、列方程，解方程； D、檢查或驗(yàn)算，寫出答案。 （2）小學(xué)范圍內(nèi)常用方程解的應(yīng)用題： A、一般應(yīng)用題； B、和倍、差倍問題； C、幾何形體的周長(zhǎng)、面積、體積計(jì)算；D、 分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題； E、比和比例應(yīng)用題。 三、比和比例 （一）比的意義和性質(zhì) 1、比的意義： 兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比。 A、 “：”是比號(hào)，讀作“比”。比號(hào)前面的數(shù)叫做比的前項(xiàng)，比號(hào)后面的數(shù)叫做比的后項(xiàng)。比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)所得的商，叫做比值。 B、同除法比較，比的前項(xiàng)相當(dāng)于被除數(shù)，后項(xiàng)相當(dāng)于除數(shù)，比值相當(dāng)于商。 同分?jǐn)?shù)比較，比的前項(xiàng)相當(dāng)于分子,后項(xiàng)相當(dāng)于分母,比值相當(dāng)于分?jǐn)?shù)值。 C、比值通常用分?jǐn)?shù)表示，也可以用小數(shù)表示，有時(shí)也可能是整數(shù)。 D、比的后項(xiàng)不能是零。 2、比的性質(zhì): 比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘上或者除以相同的數(shù)（0除外），比值不變，這叫做比的基本性質(zhì)。 3、求比值和化簡(jiǎn)比 A、 求比值的方法：用比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)，它的結(jié)果是一個(gè)數(shù)值可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)或分?jǐn)?shù)。 B、根據(jù)比的基本性質(zhì)可以把比化成最簡(jiǎn)單的整數(shù)比。它的結(jié)果必須是一個(gè)最簡(jiǎn)比，即前、后項(xiàng)是互質(zhì)的數(shù)。 4、比例尺: 圖上距離：實(shí)際距離=比例尺 A、要求會(huì)求比例尺:已知圖上距離和比例尺求實(shí)際距離；已知實(shí)際距離和比例尺求圖上距離。 B、線段比例尺：在圖上附有一條注有數(shù)目的線段，用來表示和地面上相對(duì)應(yīng)的實(shí)際距離。 5、按比例分配:在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中，常常需要把一個(gè)數(shù)量按照一定的比來進(jìn)行分配。這種分配的方法通常叫做按比例分配。 方法：首先求出各部分占總量的幾分之幾，然后求出總數(shù)的幾分之幾是多少?；颍合惹蟪鲆环輸?shù)，再求幾份數(shù)是多少例如，長(zhǎng)方形：周長(zhǎng)÷2再按比例分長(zhǎng)方體：棱長(zhǎng)總和÷4再按比例分（二）比例的意義和性質(zhì) 1、比例的意義：表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。 組成比例的四個(gè)數(shù)，叫做比例的項(xiàng)。 兩端的兩項(xiàng)叫做外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做內(nèi)項(xiàng)。 2、比例的性質(zhì)：在比例里，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)兩個(gè)內(nèi)向的積。這叫做比例的基本性質(zhì)。 3、解比例: 根據(jù)比例的基本性質(zhì)，求比例中的未知項(xiàng)。 4、正比例和反比例 （1）成正比例的量: 兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，他們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。 用字母表示: y/x=k(一定） （2）成反比例的量: 兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，他們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。 用字母表示: xy=k(一定) 第四章 空間與圖形一、線和角 1、線 （1）直線：直線沒有端點(diǎn)；長(zhǎng)度無限；過一點(diǎn)可以畫無數(shù)條，過兩點(diǎn)只能畫一條直線。 （2）射線：射線只有一個(gè)端點(diǎn)；長(zhǎng)度無限。 （3）線段：線段有兩個(gè)端點(diǎn)，它是直線的一部分；長(zhǎng)度有限；兩點(diǎn)的連線中，線段最短。 （4）同一平面內(nèi)，兩直線之間的位置關(guān)系：A、平行線：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。 兩條平行線之間的距離處處相等。 B、相交垂線：兩條直線相交成直角時(shí)，這兩條直線叫做互相垂直。其中一條直線叫做另一條直線的垂線,相交的點(diǎn)叫做垂足。 從直線外一點(diǎn)到這條直線所畫的垂線的長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到直線的距離。（直線外一點(diǎn)到這條直線的連線中，垂線段最短。） 2、角：從一點(diǎn)引出兩條射線，所組成的圖形叫做角。（1）名稱：這個(gè)點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，這兩條射線叫做角的邊。 （2）角的分類 銳角：小于90° 直角：=90° 鈍角：大于90°而小于180°平角：角的兩邊成一條直線，平角=180°。 周角：角的一邊旋轉(zhuǎn)一周，與另一邊重合。周角=360°。二、平面圖形 1、長(zhǎng)方形特征：對(duì)邊相等，4個(gè)角都是直角的四邊形。有兩條對(duì)稱軸。 2、正方形特征：四邊相等，四個(gè)角都是直角的四邊形。有4條對(duì)稱軸。3、三角形：由三條線段圍成的圖形。（1）特征： 內(nèi)角和是180度。兩邊之和大于第三邊。三角形具有穩(wěn)定性。三角形有三條高。（銳角三條高交于三角形內(nèi)的一點(diǎn)。） （2）分類： a.按角分：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。 b.按邊分：不等邊三角形、等腰三角形、等邊三角形。（3）等腰三角形：兩個(gè)銳角各為45度，它有一條對(duì)稱軸。有兩條邊（腰）長(zhǎng)度相等；兩個(gè)底角相等；有一條對(duì)稱軸。 等邊三角形：三條邊長(zhǎng)度都相等；三個(gè)內(nèi)角都是60度；有三條對(duì)稱軸。 4、平行四邊形：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形。 特征：相對(duì)的邊平行且相等；對(duì)角相等，相鄰的兩個(gè)角的度數(shù)之和為180度。平行四邊形容易變形。 5、梯形：只有一組對(duì)邊平行的四邊形。 6、圓 （1）圓的認(rèn)識(shí) 平面上的一種曲線圖形。 圓心：圓中心的一點(diǎn)叫做圓心。一般用字母o表示。 半徑：連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段叫做半徑。一般用r表示。 在同圓或等圓里，有無數(shù)條半徑，且長(zhǎng)度相等。 直徑：通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般用d表示。 在同圓或等圓里，有無數(shù)條直徑，且長(zhǎng)度相等。 特征：同一個(gè)圓里，直徑等于兩個(gè)半徑的長(zhǎng)度，即d=2r。 圓的位置由圓心決定；圓的大小由半徑?jīng)Q定。兩端都在圓上的線段中，直徑最長(zhǎng)。圓有無數(shù)條對(duì)稱軸。 畫圓時(shí)，圓規(guī)兩腳分開的距離即半徑。 （2）圓周率：任意一個(gè)圓的周長(zhǎng)和直徑的比值是一個(gè)固定的數(shù)，叫做圓周率。用字母表示。（3）一個(gè)圓，半徑擴(kuò)大或縮小多少倍，直徑和周長(zhǎng)也擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)。而面積擴(kuò)大或縮小的倍數(shù)是這倍數(shù)的平方倍。例如：在同一個(gè)圓里，半徑擴(kuò)大3倍，那么直徑和周長(zhǎng)就都擴(kuò)大3倍，而面積擴(kuò)大9倍。兩個(gè)圓： 半徑比 = 直徑比 = 周長(zhǎng)比；而面積比（半徑或直徑或周長(zhǎng)的）平方的比。例如：兩個(gè)圓的半徑比是23，那么這兩個(gè)圓的直徑比和周長(zhǎng)比都是23，而面積比是49（4）任意一個(gè)正方形與它內(nèi)切圓（正方形里最大的圓）的面積之比都是一個(gè)固定值，即：（4）。圓的面積占正方形面積的157/200，或78.5%。任意一個(gè)正方形與它內(nèi)切圓周長(zhǎng)之比也是：（4）。圓的周長(zhǎng)占正方形周長(zhǎng)的157/200，或78.5%。（5）當(dāng)長(zhǎng)方形、正方形、圓的周長(zhǎng)相等時(shí)，圓面積最大，正方形居中，長(zhǎng)方形面積最小。反之，面積相同時(shí)，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)最長(zhǎng)，正方形居中，圓周長(zhǎng)最短。7、圓環(huán) 特征：由兩個(gè)半徑不相等的同心圓相減而成，有無數(shù)條對(duì)稱軸。 面積計(jì)算公式：s=R2-r2 s=(R2-r2） 三、立體圖形 （一）長(zhǎng)方體 1、特征：六個(gè)面都是長(zhǎng)方形（有時(shí)有兩個(gè)相對(duì)的面是正方形）。 相對(duì)的面面積相等，12條棱相對(duì)的4條棱長(zhǎng)度相等。 有8個(gè)頂點(diǎn)。2、相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱的長(zhǎng)度分別叫做長(zhǎng)、寬、高。3、把長(zhǎng)方體放在桌面上，最多只能看到三個(gè)面。 （二）正方體：正方體可以看作特殊的長(zhǎng)方體。 特征：六個(gè)面都是正方形，六個(gè)面的面積相等； 12條棱，棱長(zhǎng)都相等； 有8個(gè)頂點(diǎn)。 （三）圓柱 1、特征：圓柱有2個(gè)圓形的底面；有一個(gè)曲面叫做側(cè)面。側(cè)面沿高展開是長(zhǎng)方形，當(dāng)?shù)酌嬷荛L(zhǎng)與高相等時(shí)，展開是正方形。2、兩個(gè)底面之間的距離叫做圓柱的高，圓柱有無數(shù)條高。（四）圓錐 1、特征：圓錐有1個(gè)底面是個(gè)圓，側(cè)面是個(gè)曲面，沿母線展開是扇形。2、從圓錐的頂點(diǎn)到底面圓心的距離是圓錐的高，圓錐只有1條高。 3、測(cè)量圓錐的高：先把圓錐的底面放平，用一塊平板水平地放在圓錐的頂點(diǎn)上面，豎直地量出平板和底面之間的距離。 四、圖形的變換與位置1、圖形的變換（1）平移：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移。平移不改變圖形的形狀和大小。（2）旋轉(zhuǎn)：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小。（旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度。）（3）軸對(duì)稱：兩個(gè)圖形，如果沿著某一條直線對(duì)折后，它們能完全重合，那么這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱。如果某一個(gè)圖形沿著某條直線對(duì)折后兩側(cè)的圖形能完全重合，這個(gè)圖形就是軸對(duì)稱圖形。折痕所在的這條直線叫做對(duì)稱軸。1條對(duì)稱軸：等腰三角形、等腰梯形、扇形、角、線段2條對(duì)稱軸：長(zhǎng)方形、菱形 3條對(duì)稱軸：等邊三角形4條對(duì)稱軸：正方形 無數(shù)條對(duì)稱軸：圓、圓環(huán)2、確定方位（1）用上、下、左、右、前、后來描述位置，主要用來確定現(xiàn)實(shí)空間中物體的位置。（2）用東、西、南、北等方向來表述位置或用方向和距離相結(jié)合的方法來描述位置，既可以用來確定現(xiàn)實(shí)空間中物體的位置，也可以用來確定平面上物體的位置。北東北東東南南西南西西北用方向來描述平面上物體位置時(shí)，圖形中表示的方向通常是“上北下南、左西右東”，圖中一般要標(biāo)出 北 。 用方向和距離結(jié)合起來描述位置時(shí)，要注意三個(gè)要素：一是觀測(cè)點(diǎn)（即參照物），二是方向，三是距離。（3）用數(shù)對(duì)表示位置，主要用來確定平面上物體的位置。 用數(shù)對(duì)來表示位置時(shí)，通常把豎排叫列，橫排叫行。確定第幾列時(shí)從左往右數(shù)，確定第幾行時(shí)，從前往后數(shù)或從下往上。表示列的數(shù)在前，表示行的數(shù)在后，中間用“，”號(hào)相隔，數(shù)對(duì)加上小括號(hào)。數(shù)對(duì)：（列數(shù)，行數(shù)）。第五章 簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì) 一、統(tǒng)計(jì)表 1、單式統(tǒng)計(jì)表：只含有一個(gè)項(xiàng)目的統(tǒng)計(jì)表。 2、復(fù)式統(tǒng)計(jì)表：含有兩個(gè)或兩個(gè)以上統(tǒng)計(jì)項(xiàng)目的統(tǒng)計(jì)表。 * 3、百分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)表：不僅表明各統(tǒng)計(jì)項(xiàng)目的具體數(shù)量，而且表明比較量相當(dāng)于標(biāo)準(zhǔn)量的百分比的統(tǒng)計(jì)表。 二、統(tǒng)計(jì)圖 1、條形統(tǒng)計(jì)圖：用一個(gè)單位長(zhǎng)度表示一定的數(shù)量，用直條的長(zhǎng)短表示數(shù)量的多少。 A、優(yōu)點(diǎn)：很容易看出各種數(shù)量的多少。 B、注意：畫條形統(tǒng)計(jì)圖時(shí)，直條的寬窄必須相同。并注明數(shù)量。 復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖中表示不同項(xiàng)目的直條，要用不同的線條或顏色區(qū)別開，并在制圖日期下面注明圖例。 2、折線統(tǒng)計(jì)圖：用一個(gè)單位長(zhǎng)度表示一定的數(shù)量，用折線的起伏表示數(shù)量的增減變化。A、優(yōu)點(diǎn)：不但可以表示數(shù)量的多少，而且能夠清楚地表示出數(shù)量增減變化的情況。 B、注意：折線統(tǒng)計(jì)圖的橫軸表示不同的年份、月份等時(shí)間時(shí)，不同時(shí)間之間的距離要根據(jù)年份或月份的間隔來確定。 縱軸要注意波浪線的含意。 3、扇形統(tǒng)計(jì)圖：用整個(gè)圓的面積表示總數(shù)，用圓內(nèi)扇形面積表示各部分占總數(shù)的百分比A、優(yōu)點(diǎn)：很清楚地表示出各部分同總數(shù)之間的關(guān)系。 B、注意：在每個(gè)扇形中標(biāo)明所表示的各部分?jǐn)?shù)量名稱和所占的百分?jǐn)?shù)，并用不同顏色或條紋把各個(gè)扇形區(qū)別開。三、統(tǒng)計(jì)量1、平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的總和除以這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)所得到的商。與這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)都有關(guān)系，易受極端數(shù)據(jù)的影響。A、總數(shù)量÷總份數(shù)=平均數(shù)B、優(yōu)點(diǎn)：反映了一組數(shù)據(jù)的平均大小，常用來表示數(shù)據(jù)總體的“平均水平”。2、中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，最中間位置的一個(gè)數(shù)或最中間的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)。不易受極端數(shù)據(jù)的影響。A、最中間一個(gè)數(shù)=中位數(shù)中間兩數(shù)之和÷2=中位數(shù)B、優(yōu)點(diǎn)：像一條分界線，將數(shù)據(jù)分成前半部分和后半部分，因此用來代表一組數(shù)據(jù)的“中等水平”。3、眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)。不易受極端數(shù)據(jù)的影響。A、出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)=眾數(shù)B、優(yōu)點(diǎn)：反映了出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，用來代表一組數(shù)據(jù)的“多數(shù)水平”。4、相同點(diǎn)：這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量： 都是來描述數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量；都可以用來反映數(shù)據(jù)的一般水平；都可以用來作為一組數(shù)據(jù)的代表。四、可能性1、確定現(xiàn)象與不確定現(xiàn)象：（1）確定現(xiàn)象：生活中有些事件的發(fā)生是確定的。一般用“一定發(fā)生”或“不可能發(fā)生”來描述。 （2）不確定現(xiàn)象：生活中有些事件的發(fā)生是不確定的，一般用“可能發(fā)生”來描述。2、可能性大小的表示：“不可能”可以用“0”來表示；“一定能”可以用“1”來表示；“可能”可以用分?jǐn)?shù)或百分?jǐn)?shù)來表示它的大小。在可能發(fā)生的事件中，如果出現(xiàn)該事件的情況較多，我們就說該事件發(fā)生的可能性較大；如果出現(xiàn)該事件的情況較少，我們就說該事件發(fā)生的可能性較小。3、可能性的應(yīng)用：判斷游戲規(guī)則的公平性。在游戲規(guī)則里，如果每種現(xiàn)象發(fā)生的可能性都相等，這個(gè)規(guī)則是公平的；如果各種現(xiàn)象發(fā)生的可能性不相等，規(guī)則是不公平的。公平性就是只參與游戲活動(dòng)的每一個(gè)對(duì)象獲勝的可能性是相等的。