微分方程第五節(jié)常系數(shù)線性方程

- 1 -,第五節(jié) 常系數(shù)線性方程,常系數(shù)齊次線性方程通解的求法 常系數(shù)非齊次線性方程的通解求法 歐拉方程,- 2 -,n階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,其中,為常數(shù)。,常系數(shù)齊次線性方程,常系數(shù)非齊次線性方程,其中,為常數(shù)。,- 3 -,一 常系數(shù)齊次線性方程通解的求法,二階常系數(shù)齊次線性微分方程:,和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入得,稱為微分方程的特征方程,1. 當(dāng),有兩個(gè)相異實(shí)根,方程有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解:,因此方程的通解為,( r 為待定常數(shù) ),所以令的解為,則微分,其根稱為特征根.,時(shí),- 4 -,2. 當(dāng),特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根,則微分方程有一個(gè)特解,設(shè)另一特解,( u (x) 待定),代入方程得:,是特征方程的重根,取 u = x ,因此原方程的通解為,則得,時(shí),- 5 -,3. 當(dāng),特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根,這時(shí)原方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)解:,利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無(wú)關(guān)特解:,因此原方程的通解為,時(shí),- 6 -,例1,求下列微分方程的通解。,解,(1),特征方程為,特征根為,微分方程通解為,(2),特征方程為,特征根為,微分方程通解為,- 7 -,例2,求解微分方程初始值問(wèn)題,解,特征方程為,特征根為,微分方程通解為,所求解為,- 8 -,若特征方程含k重復(fù)根,若特征方程含k重實(shí)根r ,則其通解中必含,對(duì)應(yīng)項(xiàng),特征方程:,推廣:,則其通解中必含對(duì)應(yīng)項(xiàng),- 9 -,例3,的通解.,解:,特征根:,因此原方程通解為,例4,解:,特征根 :,原方程通解:,(不難看出, 原方程有特解,特征方程,特征方程:,- 10 -,例5,解:,即,其根為,方程通解 :,特征方程:,- 11 -,例6,為特解的 4 階常系數(shù)線性齊次微分方程,并求其通解 .,解: 根據(jù)給定的特解知特征方程有根 :,因此特征方程為,即,故所求方程為,其通解為,- 12 -,二 常系數(shù)非齊次線性方程通解的求法,二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 :,根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 , 其通解為,求特解的方法,根據(jù) f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù) ., 待定系數(shù)法,- 13 -, 為實(shí)數(shù) ,設(shè)特解為,其中 為待定多項(xiàng)式 ,代入原方程 , 得,(1) 若 不是特征方程的根,則取,從而得到特解,形式為,為 m 次多項(xiàng)式 .,Q (x) 為 m 次待定系數(shù)多項(xiàng)式,1,- 14 -,(2) 若 是特征方程的單根 ,為m 次多項(xiàng)式,故特解形式為,(3) 若 是特征方程的重根 ,是 m 次多項(xiàng)式,故特解形式為,小結(jié),對(duì)方程,此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .,即,即,當(dāng) 是特征方程的 k 重根 時(shí),可設(shè),特解,- 15 -,例7,寫(xiě)出下列微分方程特解的形式,(1),解,由于對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程,的根,所以,不是特征方程,的根，,因此,因此特解形式為,(2),解,由于對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程,的根,所以,是特征方程的單根，,此,因此特解形式為,因,- 16 -,(3),解,由于對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程,的根,所以,是特征方程的二重根，,此,因此特解形式為,因,(4),解,對(duì)應(yīng)的特征方程,特征根為,所以,是特征方程的三重根，,此,因此特解形式為,因,- 17 -,例8,求微分方程,的通解。,解,特征方程,特征根,對(duì)應(yīng)的齊次方程通解為,不是特征根，,因此,因此設(shè)微分方程特解為,代入原方程得,比較系數(shù)可知,因此,原方程通解為,- 18 -,例9,求微分方程,的通解。,解,特征方程,特征根,對(duì)應(yīng)的齊次方程通解為,不是特征根，,因此,因此設(shè)微分方程特解為,代入原方程消去,比較系數(shù)可知,因此,原方程通解為,得,- 19 -,例10,求微分方程,的通解。,解,特征方程,特征根,對(duì)應(yīng)的齊次方程通解為,是單特征根，,因此,因此設(shè)微分方程特解為,代入原方程消去,比較系數(shù)可知,因此,原方程通解為,得,- 20 -,例11,求微分方程,的通解。,解,特征方程,特征根,對(duì)應(yīng)的齊次方程通解為,是單特征根，,因此,因此設(shè)微分方程特解為,代入原方程消去,所以,得,(1),(2),求,的特解。,所以,的特解為,- 21 -,原方程通解為,(3),求,的特解。,不是特征根，,因此,設(shè)微分方程特解為,代入原方程得,比較系數(shù)得,所以,的特解為,(4),- 22 -,例12,設(shè),二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，,且,曲線積分,與路徑,無(wú)關(guān)，,求,解,由于曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，,所以,因此,滿足微分方程,特征方程,特征根,- 23 -,對(duì)應(yīng)的齊次方程通解為,設(shè)非齊次方程的特解為,代入方程得,因此方程通解為,由于,所以,- 24 -,2,為實(shí)數(shù)，,分別為l ，n 次多項(xiàng)式。,對(duì)非齊次方程,則可設(shè)特解:,其中,為特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.,- 25 -,例13,寫(xiě)出下列微分方程的特解形式。,(1),解,特征方程,特征根,不是特征根，,所以,所以,因此,(2),解,特征方程,特征根,是單特征根，,所以,所以,因此,- 26 -,(3),解,特征方程,特征根,是二重特征根，,所以,所以,因此,- 27 -,例14,的一個(gè)特解 .,解:,特征方程,故設(shè)特解為,不是特征方程的根,代入方程得,比較系數(shù) , 得,于是求得一個(gè)特解,本題,- 28 -,例15,的通解 .,解,特征方程為,特征根,不是特征根，,所以,所以,所以對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為,故設(shè)特解為,代入方程得,所以,通解為,- 29 -,例16,的通解.,解:,特征方程為,其根為,對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為,比較系數(shù), 得,因此特解為,代入方程:,所求通解為,為特征方程的單根 ,因此設(shè)非齊次方程特解為,- 30 -,三 歐拉方程,n 階歐拉方程的一般形式為,則,- 31 -,則由上述計(jì)算可知:,用歸納法可證,于是歐拉方程,轉(zhuǎn)化為常系數(shù)線性方程:,- 32 -,例17,解:,則原方程化為,亦即,其根,則對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為,特征方程,- 33 -, 的通解為,換回原變量, 得原方程通解為,設(shè)特解:,代入確定系數(shù), 得,- 34 -,例18,解:,將方程化為,(歐拉方程),則方程化為,即,特征根:,設(shè)特解:,代入 解得 A = 1,所求通解為,