微積分學(xué)基本定理

一微積分學(xué)基本定理,Newton和leibniz獨(dú)立創(chuàng)立微積分之前，已有積分和微分的概念，它們起源不同，出現(xiàn)的時(shí)間有先后，解決的問(wèn)題也不同，但Newton和leibniz幾乎同時(shí)發(fā)現(xiàn)了它們的聯(lián)系微積分學(xué)基本定理，從而創(chuàng)立了Calculus，這是里程碑式的成果。,第5節(jié) 微積分學(xué)基本定理,類似地可有“變下限積分”,稱為“變上限積分”。,1變上限積分,，隨著 在 中的變動(dòng)， 也在變動(dòng)。且 對(duì)于 是唯一的，因此可定義在 上的一個(gè)新的函數(shù)，記為：,2微積分學(xué)基本定理,， 表 的增量， 表 的增量,積分中值定理,因 在 和 之間，,時(shí)，,微積分學(xué)基本定理,3原函數(shù)及其性質(zhì)、不定積分,（1）原函數(shù)的概念,稱滿足 的函數(shù) 為 的一個(gè)原函數(shù),（2）原函數(shù)的基本性質(zhì),即 的任意兩個(gè)原函數(shù)之間只相差一個(gè)常數(shù)。,的所有原函數(shù)的集合稱為 的不定積分，記為 。,即,記成 ， ，,（3）不定積分（indefinite integral）,(4) 基本積分公式,設(shè) 是 的一個(gè)原函數(shù),4定積分的計(jì)算 Newton-leibniz公式,這即著名的微積分學(xué)基本公式，也稱牛-萊公式，它揭示微分與積分之間的關(guān)系，表示只要求出 的一個(gè)原函數(shù)，即可求得定積分的數(shù)值。,5微分運(yùn)算與積分運(yùn)算的互逆性質(zhì),二變限積分的極限 無(wú)窮積分,若 對(duì) 有定義,類似地可定義,三定積分的應(yīng)用、微元法,1幾何應(yīng)用平面圖形的面積,在區(qū)間 上選取一個(gè)具代表性的“區(qū)間微元” ，對(duì)應(yīng)的面積微元為 ， i.e.,可以證明 與窄曲邊形的實(shí)際面積“近似”相等（即相差一個(gè)高階無(wú)窮小量）。,2旋轉(zhuǎn)體體積,平面圖形繞著它所在平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的立體稱為旋轉(zhuǎn)體，這條直線稱為旋轉(zhuǎn)軸。,表面積為,若 連續(xù)地向右移，使 ，則旋轉(zhuǎn)曲面稱為Gabriel喇叭。,其體積為,表面積為,表明Gabriel喇叭具有有限的體積，而有無(wú)窮的表面積。這是與“直觀”不同。,3在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用,我們已知，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，常用導(dǎo)數(shù)表示一些邊際經(jīng)濟(jì)量。例如邊際成本 ，邊際收益 ，邊際利潤(rùn) 等。反過(guò)來(lái)，如果已知邊際量，要求總量，則可采用積分求解。,Sol.,e.g.11,Sol.,作 業(yè),1. P43. 11(2)(3)(5)(6),2. P43. 12(1)(3)(4)(5)(6),3.(補(bǔ)充)設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為20元，生產(chǎn) 件產(chǎn)品的邊際成本為 （元/件），試求總成本函數(shù) 。,