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1、一微積分學基本定理,Newton和leibniz獨立創(chuàng)立微積分之前，已有積分和微分的概念，它們起源不同，出現(xiàn)的時間有先后，解決的問題也不同，但Newton和leibniz幾乎同時發(fā)現(xiàn)了它們的聯(lián)系微積分學基本定理，從而創(chuàng)立了Calculus，這是里程碑式的成果。,第5節(jié) 微積分學基本定理,類似地可有“變下限積分”,稱為“變上限積分”。,1變上限積分,，隨著 在 中的變動， 也在變動。且 對于 是唯一的，因此可定義在 上的一個新的函數(shù)，記為：,2微積分學基本定理,， 表 的增量， 表 的增量,積分中值定理,因 在 和 之間，,時，,微積分學基本定理,3原函數(shù)及其性質、不定積分,（1）原函數(shù)的概念,
2、稱滿足 的函數(shù) 為 的一個原函數(shù),（2）原函數(shù)的基本性質,即 的任意兩個原函數(shù)之間只相差一個常數(shù)。,的所有原函數(shù)的集合稱為 的不定積分，記為 。,即,記成 ， ，,（3）不定積分（indefinite integral）,(4) 基本積分公式,設 是 的一個原函數(shù),4定積分的計算 Newton-leibniz公式,這即著名的微積分學基本公式，也稱牛-萊公式，它揭示微分與積分之間的關系，表示只要求出 的一個原函數(shù)，即可求得定積分的數(shù)值。,5微分運算與積分運算的互逆性質,二變限積分的極限 無窮積分,若 對 有定義,類似地可定義,三定積分的應用、微元法,1幾何應用平面圖形的面積,在區(qū)間 上選取一個具
3、代表性的“區(qū)間微元” ，對應的面積微元為 ， i.e.,可以證明 與窄曲邊形的實際面積“近似”相等（即相差一個高階無窮小量）。,2旋轉體體積,平面圖形繞著它所在平面內的一條直線旋轉一周所成的立體稱為旋轉體，這條直線稱為旋轉軸。,表面積為,若 連續(xù)地向右移，使 ，則旋轉曲面稱為Gabriel喇叭。,其體積為,表面積為,表明Gabriel喇叭具有有限的體積，而有無窮的表面積。這是與“直觀”不同。,3在經濟學中的應用,我們已知，在經濟學中，常用導數(shù)表示一些邊際經濟量。例如邊際成本 ，邊際收益 ，邊際利潤 等。反過來，如果已知邊際量，要求總量，則可采用積分求解。,Sol.,e.g.11,Sol.,作 業(yè),1. P43. 11(2)(3)(5)(6),2. P43. 12(1)(3)(4)(5)(6),3.(補充)設生產某產品的固定成本為20元，生產 件產品的邊際成本為 （元/件），試求總成本函數(shù) 。,
微積分學基本定理
