線性方程與常數(shù)變易法

第二節(jié) 線性方程與常數(shù)變易法,一階線性微分方程：,在 的區(qū)間上可以寫成,(2.19)變?yōu)辇R次方程,這類方程是分離變量方程，通解已經(jīng)解決。,若 ，（2.19）變?yōu)橐浑A非齊次線性方程。那么,如何求解這類方程？,解？,解？,所以，主要討論非齊次線性方程(2.19)通解的求法。通過(guò)分析，不難看出，(2.3)是(2.19)的特殊情形，兩者既有聯(lián)系又有差別。因此，可以設(shè)想它們的解之間也應(yīng)該有某種聯(lián)系而又有區(qū)別。于是，試圖從方程(2.3)的通解(2.4)的形式去求出方程(2.19)的通解。顯然，如果(2.4)中C恒保持為常數(shù)，它必不可能是(2.19)的通解。故，可以假想，在(2.4)中，將常數(shù)C看成x的待定函數(shù)C(x)，使它滿足方程(2.19)，從而求出C(x)。 于是，令,兩邊微分得到：,即,整理：,積分得到：,原方程的通解：,注意：1、常數(shù)變易法的本質(zhì)實(shí)際上是一種變量變換方法，通過(guò)變換（2.20）將原方程變?yōu)榭煞蛛x變量方程。 2、常數(shù)變易方法的特點(diǎn)強(qiáng)調(diào)求解過(guò)程。,例7 求方程 的通解， 這里 為常數(shù)。,步驟：改寫原方程為規(guī)范的一階非齊次線性方程； 求對(duì)應(yīng)齊次方程的通解； 應(yīng)用常數(shù)變易法求原方程的通解為：,其中 為任意常數(shù)。,例2 求方程 的通解。,問(wèn)題：原方程不是未知函數(shù)的線性方程，于 是設(shè)法改寫原方程為非齊次線性方程。,步驟：改寫原方程為規(guī)范的一階非齊次線性方程； 求對(duì)應(yīng)齊次方程的通解； 應(yīng)用常數(shù)變易法求原方程的通解。,方法：利用自變量與因變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系。,一類特殊方程的求解：伯努利（Bernoulli）方程？,求解方法：利用變量變換可將伯努利方程化為線性方程。,變換：,注意：在 時(shí)，還有解,例5 黎卡堤（Riccati）方程,其中 是在區(qū)間 內(nèi)的已知連續(xù)函數(shù)。,分析：方程（2.29）看起來(lái)很簡(jiǎn)單，但是早在1841年法國(guó)數(shù)學(xué)家劉維爾（Liouville）就已經(jīng)證明了這個(gè)方程，在一般情況下，它的解是不能用初等函數(shù)的有限次積分以及有限次代數(shù)運(yùn)算而得到。但是，在特殊情況下，可以求出黎卡堤方程的解來(lái)，即在知道黎卡堤方程的一個(gè)或幾個(gè)特解的情況下，就可以求出黎卡堤方程的解來(lái)。 注：在這里“觀察法”起到了很大的作用。,設(shè) 是黎卡堤方程（2.29）的一個(gè)已知解，則有,若令 ： ，其中 是新的未知函數(shù)，將它代入方程（2.29），并注意到恒等式（2.30），立刻得到關(guān)于 的伯努利方程:,再令 ，則方程（2.31）化為關(guān)于 的線性方程:,因此，如果知道黎卡堤方程的一個(gè)特解，那么它的通解通過(guò)兩次求積得到。實(shí)際上，只要作代換,可將黎卡堤方程（2.29）化為關(guān)于v的線性方程（2.32），于是利用常數(shù)變易法找出線性方程（2.32）的通解，然后利用代換（2.33）便得到黎卡堤方程（2.29）的通解。,例6 求方程 的通解,解：分析：原方程是黎卡堤方程，于是就要用觀察法找出一個(gè)特解來(lái)，并得到 是該方程的一個(gè)特解。,求解過(guò)程：1、作變換,2、代入原方程，則原方程化為線性方程：,由一階非齊次線性方程的求解方法不難得到線性方程的通解為：,故原方程的通解為：,到目前為止，所介紹的可分離變量方程、齊次方程和線性方程都是利用初等積分求解的規(guī)范方程。在實(shí)際問(wèn)題中出現(xiàn)的微分方程是多種多樣的，如果能夠找到適當(dāng)?shù)刈兞看鷵Q，把有關(guān)的微分方程化為上述規(guī)范方程之一，那么原來(lái)的微分方程的通解也就容易求出來(lái)了，這是初等積分法中最常用的方法。當(dāng)然如何確定變量代換，是比較困難，且無(wú)通法可循。一般而言，主要根據(jù)每一個(gè)方程的特點(diǎn)去尋找，這就要靠在實(shí)踐中多總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，才能夠逐步達(dá)到熟能生巧的地步。,同時(shí)，通過(guò)黎卡堤方程的求解，還可以看出，初等積分法的局限性，即并非所有一階方程都能使用這個(gè)方法求解。所以，在以后的討論中，以二元函數(shù)的全微分為基礎(chǔ)來(lái)介紹一階微分方程的另一種求解方法：積分因子方法。,補(bǔ)充例題,證明題:一階非齊次線性方程（1）的任意兩解之差必為相應(yīng)的齊次線性方程（2）的解。,作業(yè)：P48 1（1，2，4，5，7，16），2，7（1） 5（思考題）,Lorenz方程的圖像,