初高中銜接 函數(shù)專題復(fù)習(xí).doc

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初高中銜接 函數(shù)專題復(fù)習(xí) 專題一 一次函數(shù)及其基本性質(zhì) 一、知識要點(diǎn)及典型例題 1、正比例函數(shù) 形如的函數(shù)稱為正比例函數(shù)，其中k稱為函數(shù)的比例系數(shù). （1）當(dāng)k>0時，直線y=kx經(jīng)過第一、三象限，從左向右上升，即隨著x的增大y也增大； （2）當(dāng)k<0時，直線y=kx經(jīng)過第二、四象限，從左向右下降，即隨著x的增大y反而減小. 2、一次函數(shù) 形如的函數(shù)稱為一次函數(shù)，其中稱為函數(shù)的比例系數(shù)，稱為函數(shù)的常數(shù)項(xiàng). （1）當(dāng)k>0,b>0,這時此函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限；y隨x的增大而增大； （2）當(dāng)k>0,b<0,這時此函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限；y隨x的增大而增大； （3）當(dāng)k<0,b>0,這時此函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限；y隨x的增大而減小； （4）當(dāng)k<0,b<0,這時此函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限；y隨x的增大而減小. 例1 在一次函數(shù)y＝(m－3)xm-1＋x＋3中，符合x≠0，則m的值為 . 例2 已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，則b的值可以是（　?。? A、﹣2 B、﹣1 C、0 D、2 例3 已知一次函數(shù)y=kx+b的圖像經(jīng)過二四象限，如果函數(shù)上有點(diǎn)，如果滿足，那么 . 3、待定系數(shù)法求解函數(shù)的解析式 （1）一次函數(shù)的形式可以化成一個二元一次方程，函數(shù)圖像上的點(diǎn)滿足函數(shù)的解析式，亦即滿足二元一次方程. （2）兩點(diǎn)確定一條直線，因此要確定一次函數(shù)的圖像，我們必須尋找一次函數(shù)圖像上的兩個點(diǎn)，列方程組，解方程，最終求出參數(shù). 例4 已知 一次函數(shù)的圖象經(jīng)過M(0，2)，(1，3)兩點(diǎn). （1）求k、b的值； （2）若一次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為A（a，0），求a的值. 4、一次函數(shù)與方程、不等式結(jié)合 （1）一次函數(shù)中的比較大小問題，主要考察 （2）一次函數(shù)的交點(diǎn)問題 求解兩個一次函數(shù)的交點(diǎn)，只需通過將兩個一次函數(shù)聯(lián)立，之后通過解答一個二元一次方程組即可. 例5 已知一次函數(shù)的圖象過第一、二、四象限，且與x軸交于點(diǎn)（2，0），則關(guān)于x的不等式的解集為（ ） A、x<－1 B、x> -1 C、x>1 D、x<1 例6 在同一平面直角坐標(biāo)系中，若一次函數(shù)圖象交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)（ ） A、（-1，4） B、（-1，2） C、（2，-1） D、（2，1） 5、一次函數(shù)的基本應(yīng)用問題 例7 如圖,正方形ABCD的邊長為a,動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿折線A→B一D→ C→A的路徑運(yùn)動,回到點(diǎn)A時運(yùn)動停止.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的路程長為x，AP長為y,則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是( ) 例8 如圖，直線y=kx-6經(jīng)過點(diǎn)A（4，0），直線y=-3x+3與x軸交于點(diǎn)B，且兩直線交于點(diǎn)C. （1）求k的值； （2）求△ABC的面積. 二、鞏固練習(xí) 1.已知自變量為x的函數(shù)y=mx+2-m是正比例函數(shù)，則m=________，該函數(shù)的解析式為_______. 2.直線y=x－1的圖像經(jīng)過象限是（ ） A、第一、二、三象限 B、第一、二、四象限 C、第二、三、四象限 D、第一、三、四象限 3.一次函數(shù)y=6x＋1的圖象不經(jīng)過（ ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 4.直線一定經(jīng)過點(diǎn)（ ）. A、(1，0) B、(1，k) C、(0，k) D、(0，－1) 5.若點(diǎn)（m，n）在函數(shù)y=2x+1的圖象上，則2m﹣n的值是（　?。? A、2 B、-2 C、1 D、-1 6.一次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（ ） A、（0，4） B、（4，0） C、（2，0） D、（0，2） 7.若直線與直線的交點(diǎn)在第三象限，則的取值范圍是（ ） A、　 B、 C、或　 D、 y x l1 L2 P O -2 3 8.結(jié)合正比例函數(shù)y=4x的圖像回答:當(dāng)x>1時,y的取值范圍是( ) A、y=1 B、1≤y<4 C、y=4 D、y>4 9.如圖，一次函數(shù)y=k1x+b1的圖象l1與y=k2x+b2的圖象l2相交于點(diǎn)P,則方程組的解是（ ） A、 B、　 C、 D、 10.已知一次函數(shù)圖象過點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，求此一次函數(shù)的解析式. 11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－4，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，b)(b>0)． P是直線AB上的一個動點(diǎn)，作PC⊥x軸，垂足為C．記點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為P'（點(diǎn)P'不在y軸上），連結(jié)PP'，P'A，P'C．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a． （1）當(dāng)b＝3時，①求直線AB的解析式； ②若點(diǎn)P'的坐標(biāo)是(-1，m)，求m的值； （2）若點(diǎn)P在第一象限，記直線AB與P'C的交點(diǎn)為D． 當(dāng)P'D DC=1 3時，求a的值； （3）是否同時存在a，b，使△P'CA為等腰直角三角形？若存在，請求出所有滿足要求的a，b的值；若不存在，請說明理由.. 專題二 反比例函數(shù)及其基本性質(zhì) 一、知識要點(diǎn)及典型例題 1、反比例函數(shù)的基本形式 一般地，形如（為常數(shù)，）的函數(shù)稱為反比例函數(shù).還可以寫成 2、反比例函數(shù)中比例系數(shù)的幾何意義 （1）過反比例函數(shù)圖像上一點(diǎn)，向x軸作垂線，則以圖像上這個點(diǎn)、垂足，原點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積等于反比例函數(shù)k的絕對值的一半. （2）正比例函數(shù)y=k1x（k1＞0）與反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖像交于A、B兩點(diǎn)，過A點(diǎn)作AC⊥x軸，垂足是C，三角形ABC的面積設(shè)為S，則S=|k|，與正比例函數(shù)的比例系數(shù)k1無關(guān). （3）正比例函數(shù)y=k1x（k1＞0）與反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖像交于A、B兩點(diǎn)，過A點(diǎn)作AC⊥x軸，過B點(diǎn)作BC⊥y軸，兩線的交點(diǎn)是C，三角形ABC的面積設(shè)為S，則S=2|k|，與正比例函數(shù)的比例系數(shù)k1無關(guān). 例1 點(diǎn)P是x軸正半軸上的一個動點(diǎn)，過P作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)Q，連續(xù)OQ，當(dāng)點(diǎn)P沿x軸正方向運(yùn)動時，Rt△QOP的面積（ ） A、逐漸增大 B、逐漸減小 C、保持不變 D、無法確定 例2 如圖，雙曲線與⊙O在第一象限內(nèi)交于P、Q 兩點(diǎn)，分別過P、Q兩點(diǎn)向x軸和y軸作垂線，已知點(diǎn)P坐標(biāo)為(1，3)，則圖中陰影部分的面積為 . 3、反比例函數(shù)的圖像問題 （1）反比例函數(shù)的圖像取決于比例系數(shù). （2）利用反比例函數(shù)的圖像與一次函數(shù)、一元一次不等式結(jié)合 例1 函數(shù)與在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（如圖所示） 例2 如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)在第一象限的圖象交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，已知的面積為1. （1）求反比例函數(shù)的解析式； （2）如果為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，在軸上求一點(diǎn)，使最小. 例3 已知一次函數(shù)y1=x－1和反比例函數(shù)y2=的圖象在平面直角坐標(biāo)系中交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)y1＞y2時，x的取值范圍是( )． A、x＞2 B、－1＜x＜0 C、x＞2，－1＜x＜0 D、x＜2，x＞0 4、反比例函數(shù)的基本應(yīng)用 例1 如圖，等腰梯形ABCD放置在平面直角坐標(biāo)系中，已知、、，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C． （1）求C點(diǎn)坐標(biāo)和反比例函數(shù)的解析式； （2）將等腰梯形ABCD向上平移個單位后，使點(diǎn)B恰好落在雙曲線上，求的值． 例2 如圖，點(diǎn)A在雙曲線y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于x軸與點(diǎn)B，點(diǎn)C在x軸正半軸上，且OC＝2AB，點(diǎn)E在線段AC上，且AE＝3EC，點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，若△ADE的面積為3，則k的值為________． 二、鞏固練習(xí) 1.如圖，矩形ABCD的對角線BD經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形的邊分別平行于坐標(biāo)軸，點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上.若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－2，－2），則k的值為( ) A、1 B、－3 C、4 D、1或－3 2.如圖所示，在反比例函數(shù)的圖象上有點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為1，2，3，4，分別過些點(diǎn)作x軸與y軸的垂線，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為，則 . 3.如圖,直線和雙曲線交于A、B亮點(diǎn),P是線段AB上的點(diǎn)（不與A、B重合）,過點(diǎn)A、B、P分別向x軸作垂線,垂足分別是C、D、E,連接OA、OB、OP,設(shè)△AOC面積是S1、△BOD面積是S2、△POE面積是S3、則（ ） A、S1＜S2＜S3 B、 S1>S2>S3 C、S1=S2>S3 D、S1=S20時，拋物線的開口向上，頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)，a越大，拋物線的開口越?。划?dāng)a<0時，拋物線的開口向下，頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)，a越大，拋物線的開口越大. （2）二次函數(shù)的圖像 當(dāng)a>0時，開口向上；當(dāng)a<0時，開口向下；對稱軸是直線x=h；頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k）. （3）二次函數(shù)與圖像的關(guān)系 一般地，拋物線與形狀相同，位置不同.把拋物線向上（下）向左（右）平移，可以得到拋物線.平移的方向、距離要根據(jù)h，k的值來決定. （4）二次函數(shù)的圖像 一般地，我們可以用配方法求拋物線的頂點(diǎn)與對稱軸.，因此，拋物線的對稱軸是，頂點(diǎn)坐標(biāo)是. 例1 把拋物線y=3x2先向上平移2個單位再向右平移3個單位，所得的拋物線是（ ） A、y=3(x+3)2－2 B、y=3(x+3)2+2 C、y=3(x－3)2－2 D、.y=3(x－3)2+2 例2 已知函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖，那么函數(shù)解析式為（ ） A、y=－x2+2x+3 B、y=x2－2x－3 C、y=－x2－2x+3 D、y=－x2－2x－3 例3 已知拋物線的解析式為y＝(x－2)2＋1，則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（　?。? A、(－2,1) B、(2，1) C、(2，－1) D、(1，2) 例4 關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2－2mx+m2和一次函數(shù)y=－mx+n（m≠0），在同一坐標(biāo)系中的大致圖象正確的是（ ） 3、二次函數(shù)的增減性及其最值 （1）開口向上的二次函數(shù)，在對稱軸左側(cè)，y隨著x的增大而減小；在對稱軸右側(cè)，y隨著x的增大而增大；在對稱軸處取到最小值，越靠近對稱軸，函數(shù)值越小. （2）開口向下的二次函數(shù)，在對稱軸左側(cè)，y隨著x的增大而增大；在對稱軸右側(cè)，y隨著x的增大而減小；在對稱軸處取到最大值，越靠近對稱軸，函數(shù)值越大. 例1 二次函數(shù)的圖象如圖2所示，若點(diǎn)A（1，y1）、B（2，y2）是它圖象上的兩點(diǎn)，則y1與y2的大小關(guān)系是（ ） A、 B、 C、 D、不能確定 例2 設(shè)A是拋物線上的三點(diǎn)，則的大小關(guān)系為（ ） A、 B、 C、 D、 4、二次函數(shù)中三大參數(shù)的和函數(shù)圖像的關(guān)系 （1）決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣. （2）和共同決定拋物線對稱軸的位置，由于拋物線的對稱軸是直線,故 ①時，對稱軸為軸；②(即、同號)時，對稱軸在軸左側(cè)；③(即、異號)時,對稱軸在軸右側(cè). （3）的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置. 當(dāng)時，，∴拋物線與軸有且只有一個交點(diǎn)(0，) ①，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)； ②,與軸交于正半軸；③,與軸交于負(fù)半軸. 以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時，仍成立；如拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，則 . 例1 已知二次函數(shù)（）的圖象如圖4所示，有下列四個結(jié)論 ④，其中正確的個數(shù)有（ ） A、1個 B、2個 C、3個 D、4個 例2 已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列結(jié)論 ①；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0.其中，正確結(jié)論的個數(shù)是(　 ). A、1　　　 　 B、2　　 　　 C、3　　　 　 D、4 二、二次函數(shù)的基本應(yīng)用 1、二次函數(shù)求解最值問題 例1 某商場在銷售旺季臨近時 ，某品牌的童裝銷售價格呈上升趨勢，假如這種童裝開始時的售價為每件20元，并且每周（7天）漲價2元，從第6周開始，保持每件30元的穩(wěn)定價格銷售，直到11周結(jié)束，該童裝不再銷售. （1）請建立銷售價格y（元）與周次x之間的函數(shù)關(guān)系； （2）若該品牌童裝于進(jìn)貨當(dāng)周售完，且這種童裝每件進(jìn)價z（元）與周次x之間的關(guān)系為 ， 1≤ x ≤11，且x為整數(shù)，那么該品牌童裝在第幾周售出后，每件獲得利潤最大？并求最大利潤為多少？ 2、二次函數(shù)中的面積問題 例 如圖，直線分別與軸、軸交于兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，與過點(diǎn)且平行于軸的直線交于點(diǎn)．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿軸向左運(yùn)動．過點(diǎn)作軸的垂線，分別交直線于兩點(diǎn)，以為邊向右作正方形，設(shè)正方形與重疊部分（陰影部分）的面積為（平方單位）．點(diǎn)的運(yùn)動時間為（秒）． （1）求點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）當(dāng)時，求與之間的函數(shù)關(guān)系式； （3）求（2）中的最大值； （4）當(dāng)時，直接寫出點(diǎn)在正方形內(nèi)部時的取值范圍． y x D N M Q B C O P E A 3、涵洞橋梁隧道問題 例1 如圖，某公路隧道橫截面為拋物線，其最大高度為6米，底部寬度OM為12米. 現(xiàn)以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，OM所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系. （1）直接寫出點(diǎn)M及拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)； （2）求這條拋物線的解析式； （3）若要搭建一個矩形“支撐架”AD- DC- CB，使C、D點(diǎn)在拋物線上，A、B點(diǎn)在地面OM上，則這個“支撐架”總長的最大值是多少？ 三、二次函數(shù)中的動點(diǎn)問題 注意動的點(diǎn)以及其所構(gòu)成的位置關(guān)系.一般而言會有兩個到三個點(diǎn)運(yùn)動.此時需要我們注意這幾個點(diǎn)之間的關(guān)系以及各個點(diǎn)之間的運(yùn)動的不同. 例 在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三點(diǎn). （1）求拋物線的解析式； （2）若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△AMB的面積為S.求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值； （3）若點(diǎn)P是拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線y=－x上的動點(diǎn)，判斷有幾個位置能使以點(diǎn)P、Q、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo). 鞏固練習(xí) 1.已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A(2,1),B(3,4),且與y軸交點(diǎn)為（0，7），則函數(shù)的解析式為__________. 2.已知過點(diǎn)（2，0），（3，5）的拋物線與直線相交與x軸上，則二次函數(shù)的解析式為__________. 3.已知二次函數(shù)，其頂點(diǎn)為（2,2)，圖象在x軸截得的線段長為2，則這個二次函數(shù)的解析式為__________. 4.已知函數(shù)的過點(diǎn)(1,3),且函數(shù)的對應(yīng)方程的根是2和4，則方程的解為__________. 5.拋物線的對稱軸是直線（ ） A. B. C. D. 6.在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，將函數(shù)的圖象沿軸方向向右平移2個單位長度后再沿軸向下平移1個單位長度，得到圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ） A.（，1） B.（1，） C.（2，） D.（1，） 7.將拋物線y=3x2向上平移3個單位，再向左平移2個單位，那么得到的拋物線的解析式為（ ） A. B. C. D. 8.已知二次函數(shù)y＝－x 2－7x＋，若自變量x分別取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，則對應(yīng)的函數(shù)值y1，y2，y3的大小關(guān)系正確的是( ) A.y1＞y2＞y3 B. y1＜y2＜y3 C.y2＞y3＞y1 D. y2＜y3＜y1 9.已知二次函數(shù)(其中，，)，關(guān)于這個二次函數(shù)的圖象有如下說法 ①圖象的開口一定向上；②圖象的頂點(diǎn)一定在第四象限；③圖象與x軸的交點(diǎn)至少有一個在y軸的右側(cè).以上說法正確的有(　 )． A.0個　　　　　B.1個　　　　　 C.2個　　　　 D.3個 10.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示對稱軸為.下列結(jié)論中，正確的是（ ） A.abc>0 B.a+b=0 C.2b+c>0 D.4a十c<2b 11.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列5個代數(shù)式 ac，a+b+c，4a-2b+c，2a+b，2a-b中，其值大于0的個數(shù)為(　 ) A.2　 　　　B.3　　　　 　C.4　　　　　D.5 12.新星電子科技公司積極應(yīng)對2008年世界金融危機(jī)，及時調(diào)整投資方向，瞄準(zhǔn)光伏產(chǎn)業(yè)，建成了太陽能光伏電池生產(chǎn)線.由于新產(chǎn)品開發(fā)初期成本高，且市場占有率不高等因素的影響，產(chǎn)品投產(chǎn)上市一年來，公司經(jīng)歷了由初期的虧損到后來逐步盈利的過程（公司對經(jīng)營的盈虧情況每月最后一天結(jié)算1次）．公司累積獲得的利潤y（萬元）與銷售時間第x（月）之間的函數(shù)關(guān)系式（即前x個月的利潤總和y與x之間的關(guān)系）對應(yīng)的點(diǎn)都在如圖所示的圖象上．該圖象從左至右，依次是線段OA.曲線AB和曲線BC，其中曲線AB為拋物線的一部分，點(diǎn)A為該拋物線的頂點(diǎn)，曲線BC為另一拋物線的一部分，且點(diǎn)A，B，C的橫坐標(biāo)分別為4，10，12. （1）求該公司累積獲得的利潤y（萬元）與時間第x（月）之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）直接寫出第x個月所獲得S（萬元）與時間x（月）之間的函數(shù)關(guān)系式（不需要寫出計算過程）； （3）前12個月中，第幾個月該公司所獲得的利潤最多？最多利潤是多少萬元？ 13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，邊長為2的正方形OABC的頂點(diǎn)A.C分別在x軸.y軸的正半軸上，二次函數(shù)y=的圖像經(jīng)過B.C兩點(diǎn)． （1）求該二次函數(shù)的解析式； （2）結(jié)合函數(shù)的圖像探索 當(dāng)y>0時x的取值范圍. 14.如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過原點(diǎn)O，交x軸于點(diǎn)A，其頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，﹣）． （1）求拋物線的函數(shù)解析式及點(diǎn)A的坐標(biāo)； （2）在拋物線上求點(diǎn)P，使S△POA=2S△AOB； 15.一座拱橋的輪廓是拋物線型（如左圖所示），拱高6m，跨度20m，相鄰兩支柱間的距離均為5m. （1）將拋物線放在所給的直角坐標(biāo)系中（如右圖所示），求拋物線的解析式； （2）求支柱的長度； （3）拱橋下地平面是雙向行車道（正中間是一條寬2m的隔離帶），其中的一條行車道能否并排行駛寬2m.高3m的三輛汽車（汽車間的間隔忽略不計)）？請說明你的理由. 16.如圖，拋物線與x軸相交于A.B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D. （1）直接寫出A.B.C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的對稱軸； （2）連結(jié)BC，與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段BC上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF//DE交拋物線于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m. ①用含m的代數(shù)式表示線段PF的長，并求出當(dāng)m為何值時，四邊形PEDF為平行四邊形？ ②設(shè)△BCF的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系.