連續(xù)系統(tǒng)的建模設計與仿真

第五章 連續(xù)系統(tǒng)的建模設計 與仿真,基于微分方程的建模方法 狀態(tài)空間模型的建模方法 面向結(jié)構(gòu)圖的模型 數(shù)值積分法 離散相似法 轉(zhuǎn)移矩陣法,按系統(tǒng)模型的特征分類，可以有連續(xù)系統(tǒng)仿真及離散事件系統(tǒng)仿真兩大類。過程控制系統(tǒng)、調(diào)速系統(tǒng)、隨動系統(tǒng)等這類系統(tǒng)稱作連續(xù)系統(tǒng)，它們共同之處是系統(tǒng)狀態(tài)變化在時間上是連續(xù)的，可以用方程式或結(jié)構(gòu)圖來描述系統(tǒng)模型。 連續(xù)系統(tǒng)數(shù)字仿真的一般過程如圖51所示。,圖5-1,利用系統(tǒng)建模技術(shù)可以建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。如何把建立起來的系統(tǒng)數(shù)學模型轉(zhuǎn)換成系統(tǒng)仿真模型，以便為分析解決實際問題服務，是計算機仿真的一個重要研究內(nèi)容，即仿真算法。由仿真算法可以得到連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)字仿真方法，如圖52所示。,圖5-1,5.1 基于微分方程的建模方法,5.1.1建模步驟 一個系統(tǒng)是由許多具有不同功用的元件所構(gòu)成的。同時，這些元件的動態(tài)性能又各不相同。在對元件和系統(tǒng)進行研究時，由于研究的內(nèi)容不同，出發(fā)點也不一樣。例如，對控制系統(tǒng)的元件大都以下列兩種觀點加以討論。,第一種觀點是根據(jù)元件的功用來研究元件。在這種情況下，可以分成測量、放大、執(zhí)行等作用及其他作用的元件。當研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)組成時，采用這種方法比較方便。利用這種劃分方法，根據(jù)系統(tǒng)原理圖可以很容易畫出系統(tǒng)方塊圖。 第二種觀點是按照運動方程式將元件或系統(tǒng)劃分為若干環(huán)節(jié)。在建立數(shù)學模型，研究系統(tǒng)的動態(tài)特性時，用這種方法可以使問題得以簡化。,所謂環(huán)節(jié)，就是指可以組成獨立的運動方程式的那一部分。環(huán)節(jié)可以是一個元件，也可以是一個元件的一部分或幾個元件。環(huán)節(jié)方程中的系數(shù)只取決于本環(huán)節(jié)中元件的參數(shù)，與其他環(huán)節(jié)無關。劃分環(huán)節(jié)時應注意相鄰兩個元件間的相互影響。元件前后連接時，前一元件的輸出信號就變成后一元件的輸入信號，后一元件就變成前一元件的負載了。元件承受負載后，其運動方程可能改變，即稱后一元件對前一元件產(chǎn)生了負載效應。這樣，前一元件就不能單獨作為一個環(huán)節(jié)，必須與后一元件同時考慮。在環(huán)節(jié)劃分時必須注意到這一點。,建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟如下：,(1)將系統(tǒng)劃分為若干環(huán)節(jié)，確定每一環(huán)節(jié)的輸入及輸出信號，此時應注意前一環(huán)節(jié)的輸出信號是后一環(huán)節(jié)的輸入信號。 (2)根據(jù)物理學基本定律，寫出每一環(huán)節(jié)輸出量與輸入量間的數(shù)學關系式，即環(huán)節(jié)的原始方程。 (3)對每一環(huán)節(jié)的原始方程進行一定的簡化(如非線性因素的線性化處理)及數(shù)學處理。 (4)消去中間變量，最后得到只包含系統(tǒng)輸入量和輸出量的方程，這就是系統(tǒng)的微分方程。,圖5-2,例5-1,圖5-2,（5-1）,例5-2 機械平移系統(tǒng)。,設有一個彈簧一質(zhì)量一阻尼器系統(tǒng)，如圖53所示。阻尼器是一種產(chǎn)生黏性摩擦或阻尼的裝置。它由活塞和充滿油液的缸體組成，活塞桿與缸體之間的任何相對運動都將受到油液的阻滯，因為這時油液必須從活塞的一端經(jīng)過活塞周圍的間隙(或通過活塞上的專用小孔)而流到活塞的另一端。阻尼器主要用來吸收系統(tǒng)的能量，被阻尼器吸收的能量轉(zhuǎn)變?yōu)闊崃慷⑹У?，而阻尼器本身不儲藏任何動能或熱能?圖5-3,記系統(tǒng)的輸入量為外力x，輸出量為質(zhì)量m的位移y。我們的目標是求系統(tǒng)輸出量y與輸入量z之間所滿足的關系式，即系統(tǒng)的微分方程。取質(zhì)量m為分離體，根據(jù)牛頓第二定律有：,（5-2）,（5-3）,以上推出的各種系統(tǒng)的運動方程(數(shù)學模型)，盡管它們的物理模型不同，但卻可能具有相同的數(shù)學模型，這種具有相同的微分形式的系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)。在微分方程中占據(jù)相同位置的物理量稱為相似量，比較方程式(51)和方程式(53)可以看出它們具有相同的數(shù)學模型，是相似系統(tǒng)。,相似理論在工程上很有用處，在處理復雜的非電系統(tǒng)時，如果能將其轉(zhuǎn)化成相似的電系統(tǒng)，則更容易通過實驗進行研究。元件的更換、參數(shù)的改變及測量都很方便，且可應用電路理論對系統(tǒng)進行分析和處理。,圖5-2,另外，盡管各種物理系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)不一樣，輸入量、輸出量以及中間變量可以是各種不同的物理量，但它們的運動方程卻有下列幾點共同之處。 (1)常參量線性元件和線性控制系統(tǒng)的運動方程都是常系數(shù)線性微分方程。 (2)運動方程的系數(shù)由元件或系統(tǒng)結(jié)構(gòu)本身的參量組合而成，因而都是實數(shù)。 (3)運動方程式的形式取決于元件或系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及在其中進行的物理過程，即取決于元件或系統(tǒng)本身的特殊矛盾。因此，運動微分方程是揭示系統(tǒng)內(nèi)部特殊矛盾的工具，它的解反映了元件或系統(tǒng)的運動規(guī)律。 (4)對于統(tǒng)一元件或系統(tǒng)，由于所取的輸出量不同，其運動方程式的形式也就不同。,（5-4）,5.2.1根據(jù)物理學定律直接建立狀態(tài)空間模型,基于物理學定律的系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的建模步驟如下。,5.2 狀態(tài)空間模型的建模方法,例5-3 建立RCL電氣網(wǎng)絡系統(tǒng)(圖54)的狀態(tài)方程。,圖5-4,5.2.2由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型,1狀態(tài)變量圖 系統(tǒng)傳遞函數(shù)是描述線性定常(時不變)系統(tǒng)輸入與輸出間微分關系的另一種方法。為便于實現(xiàn)計算機數(shù)字仿真，應將傳遞函數(shù)變換為狀態(tài)空間模型。由系統(tǒng)傳遞函數(shù)導出系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的方法是先將傳遞函數(shù)用狀態(tài)變量圖描述，然后根據(jù)狀態(tài)變量圖中積分器的輸出確定系統(tǒng)狀態(tài)變量及狀態(tài)方程。,圖5-5,圖5-5(a),(圖5-5(b),（5-5）,例5-4,(5-5),（5-6）,（5-7）,（5-8）,根據(jù)傳遞函數(shù)H(s)的三種不同表達形式，可以畫出三種不同形式的狀態(tài)變量圖，進而可以寫出三種不同形式的狀態(tài)方程。以式(5-6)、式(5-7)和式(5-8)為基礎的方法分別稱為級聯(lián)法、串聯(lián)法、并聯(lián)法。其中，級聯(lián)法相當于由信號流圖求狀態(tài)空間模型，而串聯(lián)法與并聯(lián)法則相當于由方塊圖求狀態(tài)空間模型。,2.由方塊圖求狀態(tài)空間模型,1.串聯(lián)法,圖5-6,式（5-7）,圖5-6,圖5-7,如圖5-7,(5-8),（5-10）,（5-9）,（5-9）,（5-11）,（5-12）,（5-10）,（5-13）,（5-14）,（5-13）,（5-14）,5.3面向結(jié)構(gòu)圖的模型,工程上常常將系統(tǒng)描述為結(jié)構(gòu)圖的形式，因為工程技術(shù)人員更習慣面向結(jié)構(gòu)圖的仿真方法。本節(jié)介紹面向結(jié)構(gòu)圖的線性系統(tǒng)模型。,5.3.1典型環(huán)節(jié)的選擇,利用系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)圖，選擇積分環(huán)節(jié)作為典型模塊在程序?qū)崿F(xiàn)上固然十分簡便，但是當系數(shù)比較復雜時，要將系統(tǒng)的各個環(huán)節(jié)都變成由積分模塊組成的仿真模型需要一定的時間和技巧。所以，目前許多面向結(jié)構(gòu)圖的線性系統(tǒng)都采用更復雜一些的環(huán)節(jié)，如一階超前、滯后環(huán)節(jié)(圖5-8)來作為典型模塊，這一典型模塊可以十分方便地表示上述一些常用的典型環(huán)節(jié)。,圖5-8,圖5-9,圖5-9,5.4數(shù)值積分法,數(shù)值積分法可分為兩大類：單步法、多步法。 1、單步法 （1）歐拉法（一階龍格-庫塔法） （2）改進的歐拉法（二階龍格-庫塔法） （3）龍格-庫塔法 （4）四階Runge-Kutta法的向量公式,2、多步法,（5-15）,（5-15）,多步法特點如下。 不能自動啟動，需用單步法計算才能啟動。 存儲量大。 計算工作量小(達到相同的精度)，與其他法相比，f 的計算次數(shù)減少2次。,積分方法的選擇主要從以下幾方面加以考慮：,(1)精度要求。影響數(shù)值積分精度的因素包括截斷誤差(同積分方法、方法階次、步長大小等因素有關)、舍入誤差(同計算機字長、步長大小、程序編碼質(zhì)量等因素有關)、初始誤差(由初始值準確度確定)。當步長h取定時，算法階次越高，截斷誤差越小；當算法階次取定后，多步法精度比單步法高，隱式精度比顯式高。當要求高精度仿真時，可采用高階的隱式多步法，并取較小的步長。但步長h不能太小，因為步長太小會增加迭代次數(shù)，增加計算量，同時也會加大舍入誤差和積累誤差。 總之，實際應用時應視仿真精度要求合理地選擇方法和階次，并非階次越高、步長越小越好。,(2)計算速度。 計算速度只要取決于每步積分運算所花費的時間以及積分的總次數(shù)，每步運算量同具體的積分方法有關，它主要取決于導函數(shù)復雜程度以及每步積分應計算導函數(shù)的次數(shù)。在數(shù)值求解中，最費時間的部分往往就是積分變量導函數(shù)的計算。對相同的步長h，RK4比四階Adams預估一校正法慢。 一般來說，對于系統(tǒng)階次高、導函數(shù)復雜、精度要求高的復雜仿真問題宜采用Adams預估一校正法。為了提高仿真速度，在積分方法選定的前提下，應在保證精度的前提下盡可能加大仿真步長，以縮短仿真總時間。對于那些對速度要求特別要求苛刻的仿真問題，如實時仿真，則宜采用實時仿真算法。,(3)數(shù)值解的穩(wěn)定性。 保證數(shù)值解的穩(wěn)定性是進行仿真的先決條件，否則計算結(jié)果將失去實際意義，導致仿真失敗。從前面穩(wěn)定性的分析可知，小于四階時，同階的RK法的穩(wěn)定性比顯式Adams法好，但不如同階次的隱式Adams法好，因此從數(shù)值解穩(wěn)定性角度考慮，應盡量避免采用使用顯式Adams法。 總之，積分方法的選擇具有較大的靈活性，要結(jié)合實際問題而定。當導函數(shù)不是十分復雜而且要求精度不是很高時，RK法是合適的選擇；如果導函數(shù)復雜、計算量大，則最好采用Adams預估一校正法；對于那些實,5.5離散相似法,用數(shù)字計算機對一個連續(xù)系統(tǒng)進行仿真時，必須將這個系統(tǒng)看作一個時間離散系統(tǒng)。也就是說，只能計算到各狀態(tài)量在各計算步距點上的數(shù)值，它們是一些時間離散點的數(shù)值。前面主要從數(shù)值積分法的角度討論數(shù)字仿真問題，沒有顯式地涉及到“離散”這個概念。史密斯從控制和工程的概念出發(fā)提出離散相似問題，并導出離散相似法。,基本原理,將連續(xù)系統(tǒng)進行離散化處理，得到一個與該連續(xù)系統(tǒng)等價的離散模型。以后的每一步計算均在這個模型基礎上進行，而原來的連續(xù)模型不再參與計算。對比數(shù)值積分法，雖然也進行了離散化處理，但在離散化過程中每一步都用到連續(xù)系統(tǒng)的模型(導函數(shù)力，離散一步計算一步。 用周期為T的采樣開關(虛擬的)將連續(xù)模型的輸入、輸出分別離散化，要求離散化后的輸出y(t)在采樣時刻的值等同于原輸出在同一時刻的值。,離散相似法的步驟,(1)畫出連續(xù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。 (2)在適當?shù)牡胤揭胩摂M采樣開關，選擇合適的信號保持器。 (3)將所引進的信號保持器傳遞函數(shù)與連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)串聯(lián)，通 過z變換求得系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。 (4)通過z逆變換得系統(tǒng)的差分方程，即離散模型。 (5)根據(jù)差分方程編制仿真程序。,5.6 轉(zhuǎn)移矩陣法,典型環(huán)節(jié)的離散狀態(tài)空間模型,圖5-10,圖5-10,圖5-11,圖5-11,圖5-12,圖5-12,圖5-13,圖5-13,用轉(zhuǎn)移矩陣法仿真下圖所示系統(tǒng)。,