電磁場與電磁波第3章.ppt

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1、第3章 介質(zhì)中的麥克斯韋方程,本章將討論一般介質(zhì)中的麥克斯韋方程，這首先需要了解介質(zhì)的電與磁的性能以及一些簡單概念。 通過分析發(fā)現(xiàn)，如果引入極化矢量 和磁化矢量 ，就可以很方便地來描述普通介質(zhì)中麥克斯韋方程的一般形式。本章還將引入介質(zhì)中相對介電常數(shù)的定義,而且會看到與介質(zhì)折射率n 之間存在著直接的聯(lián)系。,真空中的麥克斯韋方程,或,介質(zhì)中的麥克斯韋方程預測,極化電荷,極化電流,磁化電流,,,,1. 介質(zhì)特性：電偶極矩 、分子極化率 、極化矢量,4. 一般媒質(zhì)中的麥克斯韋方程,重點：,3. 磁偶極矩、磁化強度矢量 、,2. 介質(zhì)的折射率、相對介電系數(shù),5. 介質(zhì)中的三個物態(tài)方程,6. 場量的邊界

2、條件,3.1 電介質(zhì)及其極化,1. 電介質(zhì),,一般來講電介質(zhì)可分為兩大類：一類是無極分子電介質(zhì)，當沒有外電場作用時，這類電介質(zhì)中正負電荷的中心是重合的，處于電中性狀態(tài)，對外不顯電性，如2、2等氣體物質(zhì)。第二類是有極分子電介質(zhì)，如2O當沒有外電場作用時，這類電介質(zhì)中的正負電荷中心不重合，每個分子可等效為一個電偶極子，但由于分子的無規(guī)則熱運動，使得電偶極子的分布排列是無規(guī)則的。因此，整體仍呈電中性，對外也不顯電性。,3、束縛電荷（bound charge）,不能離開電介質(zhì)，也不能在電介質(zhì)內(nèi)部自由移動的電荷 。,2、電介質(zhì)的極化,在外電場作用下，電介質(zhì)中出現(xiàn)有序排列電偶極子以及表面上出現(xiàn)束縛電荷的現(xiàn)

3、象 。,假設(shè)電場中分子內(nèi)部的電荷q 在電場的作用下從它的平衡位置移動了一段距離x，如果被移動的電荷質(zhì)量為m，其受到的恢復力與位移成正比，那么電荷的受力方程可以表示為,3.2 單個分子的分子偶極矩,,,式中： 為阻尼力， 為彈性恢復力 ， 為加速度。,在時諧電場中,因此有,則電荷位移,式中 虛部與 有關(guān)，這表明我們所討論模型的衰減使得位移與電場力不同相。,定義：分子內(nèi)的電偶極矩,并且,若引入分子極化率,則電偶極矩為,,3.3 極化矢量,對介質(zhì)中的一般分子模型所進行的討論，說明我們可以在兩組不同的條件下來描述介質(zhì)中的電荷特性。根據(jù)電荷偏離其平衡位置時的位移,我們對分子中的電荷特性進行

4、過討論，雖然這時電荷能夠發(fā)生位移,然而它們的移動范圍卻是受到分子約束的。盡管很高的場強會使介質(zhì)中的電荷擺脫這種約束而變成自由電荷并造成介質(zhì)中產(chǎn)生“擊穿”現(xiàn)象,但對這種情況我們暫且不作討論。對屬于介質(zhì)中分子的電荷來說（這種電荷又稱為“束縛電荷”），其它的電荷是被吸引進介質(zhì)的例如自由離子或自由電子,其運動不受分子約束力限制,故被稱為“自由電荷”，于是我們可以將這兩種不同類型的電荷集中表示為,極化矢量的定義,與電荷密度,和電流密度,之間的關(guān)系，,與分子偶極矩,之間的聯(lián)系。,如圖所示，假設(shè)某介質(zhì)的單位體積內(nèi)包含有 個分子，設(shè)每個分子由相距為 的正負電荷 組成，考慮介質(zhì)內(nèi)某曲面 上的一個面 .當偶極子的

5、負電荷位于圖中的體積中時，其正電荷就穿出界面 外。穿出界面dS外的正電荷為,其中：,故有,上述結(jié)論與介質(zhì)結(jié)構(gòu)的情況無關(guān),具有普遍意義。這樣,我們就可以對任何介質(zhì)寫出其應(yīng)滿足的麥克斯韋方程。,麥克斯韋方程的一般形式為,,對閉合面 積分，得到閉合體積內(nèi)穿出的總的正電荷,用 表示單位體積中的極化電荷，則,,進一步有,在上式中令,又由于,故有,此式稱為反映介質(zhì)極化的物態(tài)方程,相對介電常數(shù),,介電常數(shù),,3.5 高密度介質(zhì)中的電場,當出現(xiàn)外加電場 時，介質(zhì)中的每個分子都被極化，并產(chǎn)生一個電偶極矩，從而在周圍建立自己的電場出于庫侖作用是長程的，每個分子除了受到加電場的作用之外，還要受到其他分子的感應(yīng)電矩

6、的電場的作用；這兩部分電場合起來記作 ，稱為局域場(local field) 為宏觀外加的電場；對于單個分子來說 才是真正的外電場，這里沒有計及來自這個分子本身內(nèi)部電荷的電場，而這個分子以外的所有因素卻都考慮到了因此，極化強度 應(yīng)寫成與 的線性關(guān)系( )而不是與 的線性關(guān)系,氣體中，由于分子的整體旋轉(zhuǎn)熱運動的結(jié)果，使內(nèi)電場的取向隨著分于一起旋轉(zhuǎn)；因此其效應(yīng)在作熱平均值時抵消了，在宏觀上就表現(xiàn)不出來這時，可以簡單地認為分子本身內(nèi)部電荷的電場為零，對于晶體結(jié)論也是成立的。,考察一種介質(zhì),它是由呈氣態(tài)或液態(tài)的中性分子所組成。對于這種流體介質(zhì)，一般可以認為它是各向同性的（isotropic）。

7、由于單個分子中的電荷是分離的，所以如果施加一個電場就會產(chǎn)生介質(zhì)的極化，極化的方向與所施加電場的相同。比如，在靜電場的情況下，介質(zhì)充斥于平行板電容器（parallel-plate Capacitor）的兩個極板之間，介質(zhì)中任一點處的場與下列因素有關(guān)：,（i）金屬板上的電荷與介質(zhì)極化面電荷所構(gòu)成的介質(zhì)外表面的電荷分布；,（ii）所考察的場點周圍分子偶極子所產(chǎn)生的附加影響。,3.5 高密度介質(zhì)中的電場,前面一種因素的作用較為簡單，它可由單位面積上的自由電荷 來確定，其中包括了電解質(zhì)的宏觀效應(yīng)的貢獻，即,在對上述第二種因素的影響進行討論時,我們遵循的是洛倫茲的方法，即作一個包圍場點的半徑為R 的球面，

8、如圖所示，在球面的內(nèi)部,可認為介質(zhì)能夠體現(xiàn)出單個分子的特性,而在球面外部則認為介質(zhì)是呈電中性的。,,球內(nèi)的介質(zhì)在球心產(chǎn)生的電場，且為零,球外的介質(zhì)在球心產(chǎn)生的電場,,,E1歸結(jié)為電介質(zhì)被挖去一個球體后，球腔內(nèi)壁電荷在球心所產(chǎn)生的電場,洛倫茲有效場,3.5,由于全部分子偶極子在球體中心的總的場強矢量和的值為零， 因此,能在球體中心產(chǎn)生電場就只剩下兩個來源了： (i) 介質(zhì)外表面極板上的電荷 (ii)球的內(nèi)表面上的極化電荷。,因此,局部電場可以表示為,,即,此式說明，局部電場的影響可使電場增強,洛倫茲有效場,洛倫茲有效場修正,又因為,比較上面兩式可得,如果不可慮內(nèi)部場加強效應(yīng)，則成為前面的結(jié)果,3

9、.6 折射率與相對介電常數(shù),介質(zhì)的折射率(refractive index) n定義為,其中c是電磁波在真空中的速度，v則是電磁波在折射率為n的介質(zhì)中的速度。,前面我們已經(jīng)定義了一個反映介質(zhì)特性的量相對介電常數(shù),下面我們來尋求折射率n與 之間的關(guān)系：,令,則介質(zhì)中的麥克斯韋方程變?yōu)?方程4則為,對方程4兩端取旋度，并代入 方程2和方程3，可得,,這是一個關(guān)于B的波動方程,波速為,因為,,所以,3.7 磁化的概念,介質(zhì)的磁化（Magnetization）和介質(zhì)的極化一樣，也是和物質(zhì)的結(jié)構(gòu)緊密相關(guān)的。根據(jù)原子的簡單模型，電子沿圓形軌道圍繞原子核旋轉(zhuǎn)，其就像一閉合的圓電流，具有一定的磁矩，電子和原子

10、核還在自旋，也存在磁效應(yīng)。所有的磁效應(yīng)可等效為一個圓電流，這個圓電流成為分子電流。即磁偶極子(magnetic dipole)。由于熱運動等原因，物質(zhì)中的圓電流的磁場常?；ハ嗟窒?，因而總體對外并不顯示磁性。 介質(zhì)中的電子和原子核都是束縛電荷，它們進行的軌道運動和自旋運動都是微觀運動，由束縛電荷的微觀運動形成的電流，稱為束縛電流(bound current)，也稱磁化電流（Magnetization current）。在沒有外加磁場的作用下，絕大部分材料中所有原子的磁偶極矩(magnetic dipole moment)的取向是雜亂無章的，結(jié)果總的磁矩為，對外不呈現(xiàn)磁性。,在外磁場的作用下，物

11、質(zhì)中的原子磁矩將受到一個力矩的作用，所有原子磁矩都趨于與外磁場方向一致的排列，彼此不再抵消，結(jié)果對外產(chǎn)生磁效應(yīng)，影響磁場分布，這種現(xiàn)象稱為物質(zhì)的磁化。,,可以證明，磁介質(zhì)磁化后對磁場的影響，可用磁化電流密度 來等效,磁化電流不同于自由電流，其電荷運動是被束縛在媒質(zhì)內(nèi)部的，因而也叫束縛電流。,為了描述及衡量介質(zhì)的磁化程度，我們定義磁化強度矢量,式中,是一個分子電流的磁矩，也稱磁偶極矩，,3.8 磁化電流與磁化矢量,可以證明，磁介質(zhì)磁化后對磁場的影響，可用磁化電流密度 來等效,磁化電流不同于自由電流， 其電荷運動是被束縛在媒質(zhì)內(nèi)部的，因而也叫束縛電流。,3.9 磁場強度,引入磁化電流后，磁介質(zhì)

12、中安培環(huán)路定律的微分形成可寫成,即,令,則,稱 為磁場強度，它也是描述磁場的一個物理量。,對于各向同性及線性磁介質(zhì)，由實驗可證明,式中 為磁化率（Magnetic susceptibility），是一個 標量常數(shù)。,可得,稱此式為反映介質(zhì)磁化的物態(tài)方程。,式中 為磁介質(zhì)的磁導率，,為磁介質(zhì)的相對磁導率。,3.10 磁介質(zhì),所謂磁介質(zhì)，就是在外加磁場的作用下，能產(chǎn)生磁化現(xiàn)象，并能影響外磁場分布的物質(zhì)。事實上，除了真空外，其它任何物質(zhì)都是可磁化的磁介質(zhì)，只不過磁化效應(yīng)的強弱存在差別而已。根據(jù)物質(zhì)的磁效應(yīng)的不同，磁介質(zhì)通常可分為：抗磁質(zhì)、順磁質(zhì)、鐵磁質(zhì)、亞鐵磁質(zhì)等。,抗磁質(zhì),主要是電子軌道磁矩產(chǎn)

13、生磁化現(xiàn)象引起的，自旋磁矩可忽略，在外磁場的作用下，電子軌道磁矩的方向和外磁場的方向相反。這時磁化率,，相對磁導率 ， 與 的方向相反，磁介質(zhì)內(nèi) 變小。,順磁質(zhì),主要是電子自旋磁矩引起的。軌道磁矩的抗磁效應(yīng)不能完全抵消它，在外磁場作用下電子的自旋磁矩和外磁場方向一致, 這時磁化率,，相對磁導率 ， 與 的方向 相同。,鐵磁質(zhì),在外磁場的作用下，呈現(xiàn)強烈的磁化，能明顯地影響磁場的分布。在鐵磁材料中，存在許多天然小磁化區(qū)，即磁疇。每個磁疇由多個磁矩陣方向相同的原子組成，在無外磁場作用時，各磁疇排列混亂，總磁矩相互抵消，對外不顯示磁性。但在外磁場作用下，磁疇企圖轉(zhuǎn)向外磁場方向排列，形成強烈磁化。

14、因此，鐵磁性物質(zhì)的磁化，是由于外磁場與磁疇作用的結(jié)果。撤去外磁場后，部分磁疇的取向仍保持一致，對外仍然呈現(xiàn)磁性，稱為剩余磁化。時間長了，或溫度升高，會消失。鐵磁材料是一種非線性磁介質(zhì)，其曲線與磁化歷史有關(guān)，形成了一個磁滯回線。,亞鐵磁質(zhì),是指其中某些分子（或原子）的磁矩與磁疇平行，但方向相反。在外磁場作用下，這類材料也是呈現(xiàn)較大磁效應(yīng)，但由于部分反向磁矩的存在，其磁性比鐵磁材料要小。在工程技術(shù)上用得較多的是鐵氧體，其最大特點是磁導率是各向異性的，而介電常數(shù)則呈各向同性。,3.11 介質(zhì)中的麥克斯韋方程組,引入反映介質(zhì)極化的物態(tài)方程,引入反映介質(zhì)磁化的物態(tài)方程,可寫出一般媒質(zhì)中的麥克斯韋方程,從

15、物理本質(zhì)上看，E和B是場的基本物理量，D和H是輔助物理量,另外，還有電流連續(xù)性方程,可以證明:由麥克斯韋方程組中的兩個旋度方程及電流連續(xù)性方程，可導出麥克斯韋方程組中的兩個散度方程。也就是說，麥克斯韋方程組的四個方程，再加上電流連續(xù)性方程這5個方程，事實上只有三個方程是獨立的。為了獲得電磁場的解，還需要利用三個物態(tài)方程：,才可得到一般媒質(zhì)中完整的麥克斯韋方程組的解。,3.12 電磁場的邊界條件,研究邊界條件的出發(fā)點仍然是麥克斯韋方程組，但在不同媒質(zhì)的交界面處，由于媒質(zhì)不均勻，媒質(zhì)的性質(zhì)發(fā)生了突變，使得場量也可能產(chǎn)生突變，因此，微分形式的方程可能不再適用，而只能從麥克斯韋方程組的積分形式出發(fā)，推

16、導出邊界條件。 電磁場的邊界條件通常包括 邊界面上場量的法向分量（Normal component） 切向分量（Tangential component）,1、一般媒質(zhì)界面的邊界條件,如圖為兩種一般媒質(zhì)的交界面，第一種媒質(zhì)的介電常數(shù)、磁導率、電導率分別為 ， ， ；第二種媒質(zhì)的分別為 , ,,（1）D 的邊界條件,如圖所示，在分界面上取一個小的柱形閉合面，其上下底面與分界面平行.,在柱形閉合面上應(yīng)用高斯定律：,則,此式即為 的法向邊界條件，它表明： 的法向分量在分界面處產(chǎn)生了突變,或,,面電荷C/m2,同樣的道理可以得出P的邊界條件,或,與上圖類似，應(yīng)用高斯定律得：,（2）B 的

17、邊界條件,即,此式即為 的法向邊界條件， 它表明： 的法向分量在分界面處 總是連續(xù)的。,或,與上圖類似，由電流連續(xù)性原理,故,說明：當分界面處電荷面密度發(fā)生變化時， 其電流密度的法向分量產(chǎn)生突變，突變量 為電荷面密度的變化率。,（3）J 的邊界條件,得,即,或,如圖，電場強度的邊界條件通常用電場的切向分量來表示，h為無限小量。,可得,說明：電場強度的切向分量是連續(xù)的。,由麥克斯韋第二個方程：,（4） E 的邊界條件,得,或,故可得,說明：當分界面處存在傳導電流時，磁場強度的切向方向?qū)l(fā)生突變；當分界面處不存在傳導電流時，磁場強度的切向方向是連續(xù)的。,與上圖類似，由安培環(huán)路定律知,（5） H

18、 的邊界條件,左邊,右邊,或,說明：當分界面處存在傳導電流時，磁場強度的切向方向?qū)l(fā)生突變；當分界面處不存在傳導電流時，磁場強度的切向方向是連續(xù)的。,（5） H 的邊界條件,在上式的兩邊同時叉乘 并注意到,可得,故,同樣的道理可以得出M的邊界條件,或,邊界條件總結(jié),理解與記憶！,,,法向分量,切向分量,思考,2、幾種特殊介質(zhì)的邊界條件 在研究電磁場問題時，下述分界面的討論經(jīng)常出現(xiàn)： （1）兩種無損耗線性介質(zhì)的分界面，也就是兩種理想介質(zhì)的分界面 理想介質(zhì)屬無損耗介質(zhì)，其電導率,這時有,理想介質(zhì)中沒有傳導電流。,對于無源的情況，因為,所以有,這說明：在無源空間，理想介質(zhì)分界面上，各場量連續(xù)。,

19、（2）理想介質(zhì)與理想導體的界面,理想介質(zhì)的電導率,理想導體的電導率,可知：理想導體內(nèi)部不存在電場。,根據(jù),根據(jù)電場旋度方程可知，理想導體內(nèi)部不存在電場，也不會存在 單獨的磁場；根據(jù)磁場旋度方程可知內(nèi)部不存在時變電流密度；根據(jù)磁通連續(xù)性定律，理想導體表面外的法向磁場必然等于零，即磁場永遠切于理想導體表面，電流只集中于理想導體表面無窮薄的一層。,這時有,這說明：對于時變電磁場中的理想導體，電場總是與導體表面相垂直；而磁場總是與導體表面相切；導體內(nèi)部既沒有電場，也沒有磁場。,（3）靜態(tài)電磁場的邊界條件,靜態(tài)電磁場是時變電磁場的特殊情況，在靜態(tài)場中，場量不隨時間發(fā)生變化，從上面所得到的結(jié)論中可得，靜態(tài)

20、電磁場的邊界條件為,靜電場,穩(wěn)恒磁場,例題1,例題2,例題3,本章要點,1、在介質(zhì)中，電偶極矩,其中，分子極化率,2、極化矢量與電荷密度的關(guān)系為,極化矢量與電流密度的關(guān)系為,3、電介質(zhì)的介電系數(shù)為,其中相對介電系數(shù)與折射率的關(guān)系為,4、洛倫茲局部電場的表達式為,5、介質(zhì)的折射率定義為,6、磁化矢量定義為,磁化矢量與磁化電流密度的關(guān)系為,在各向同性及線性磁介質(zhì)中,7、 反映介質(zhì)磁化的物態(tài)方程為,8、綜合考慮介質(zhì)極化與磁化效應(yīng)時，可得一般媒質(zhì)中的麥克斯韋方程組為,9、介質(zhì)中的電流連續(xù)性方程,10、介質(zhì)中的三個物態(tài)方程,11、五個場量的邊界條件,習題,1 . 有一個內(nèi)外半徑分別為r1和r2的空心介質(zhì)球，介質(zhì)的介電常數(shù)為 ，使介質(zhì)內(nèi)均勻帶靜止自由電荷f ，求 （1）空間各點的電場 （2）極化體電荷和極化面電荷分布,習題,2 . 有一個內(nèi)外半徑分別為r1和r2的無窮長中空導體圓柱，沿軸向流有穩(wěn)恒均勻自由電流 Jf,, 導體的磁導率為.求 （1）空間各點的磁感應(yīng)強度 （2）磁化面電流和磁化線電流,