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1、 第四章 定積分3.2 簡單幾何體的體積 一個平面圖形繞平面內(nèi)的一條定直線旋一個平面圖形繞平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所成的立體叫轉(zhuǎn)一周所成的立體叫旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)體，這條定直線叫，這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)軸。圓柱、圓錐、圓臺、球體、球冠做旋轉(zhuǎn)軸。圓柱、圓錐、圓臺、球體、球冠都是都是旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)體。計算由區(qū)間計算由區(qū)間a、b上的連續(xù)曲線上的連續(xù)曲線 、兩直線兩直線x=a與與x=b及及x軸所圍成的曲邊梯形軸所圍成的曲邊梯形繞繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積。)(xfy 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積復(fù)習(xí)回顧 由微元法，取由微元法，取x為積分變量，其變化范圍為區(qū)間為積分變量，其變化范圍為區(qū)
2、間a,b。在區(qū)間。在區(qū)間a,b的任意一個小區(qū)間的任意一個小區(qū)間x,x+dx上，相上，相應(yīng)的薄旋轉(zhuǎn)體的體積可以用以點應(yīng)的薄旋轉(zhuǎn)體的體積可以用以點x處的函數(shù)值處的函數(shù)值f(x)為底為底面半徑，以面半徑，以dx為高為高 的扁圓柱體的體積近似代替，的扁圓柱體的體積近似代替，從而得到體積元素從而得到體積元素 dxxfdV2)(dxxfVba2)(所以，所求旋轉(zhuǎn)所以，所求旋轉(zhuǎn)體的體積體的體積 類似地可得，由區(qū)間類似地可得，由區(qū)間c,d上的連續(xù)曲線上的連續(xù)曲線 ,兩直線兩直線y=c與與y=d及及y軸所圍成的曲邊梯形繞軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為)(yx
3、dyyVdc2)(例例1 給定直角邊為給定直角邊為1的等腰直角三角形，繞一條直的等腰直角三角形，繞一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周，得到一個圓錐體角邊旋轉(zhuǎn)一周，得到一個圓錐體.求它的體積求它的體積.分析分析 在直角坐標(biāo)系中，直角邊為在直角坐標(biāo)系中，直角邊為1的等腰直角三的等腰直角三角形可以看成是由直線角形可以看成是由直線y=x，x=1以及以及x軸所圍成的軸所圍成的平面圖形平面圖形.012101iinxxxxxx在區(qū)間在區(qū)間0,1內(nèi)插入內(nèi)插入n-1個分點，使個分點，使把這個三角形分割成把這個三角形分割成n個垂直于個垂直于x軸的小梯形，設(shè)第軸的小梯形，設(shè)第I個小梯形的寬是個小梯形的寬是xi=xi-xi-1，i=
4、1,2，n，這個小梯形，這個小梯形繞繞x軸旋轉(zhuǎn)一周就得到一個厚度是軸旋轉(zhuǎn)一周就得到一個厚度是xi的小圓臺當(dāng)?shù)男A臺當(dāng)xi很小時，第很小時，第i個小圓臺近似于底面半徑為個小圓臺近似于底面半徑為xi的小圓柱，的小圓柱，因此，第因此，第i個小圓臺的體積近似為個小圓臺的體積近似為解解 圓錐的體積為圓錐的體積為120Vx dx130133x 圓錐的體積就等于所有小圓臺的體積和，圓錐的體積就等于所有小圓臺的體積和，這個問題就是定積分問題這個問題就是定積分問題.2iiiVxx例例2、求由曲線求由曲線 142 xxy,所圍成的圖形繞所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。2410 dx
5、xVxyox=1xy42 分析：分析：（1）分割）分割;(2)以直代曲；以直代曲；（3）求和；）求和；(4)逼近。逼近。xye0 x 12x xx)(12e求曲線求曲線，直線，直線，與與軸圍成的平面圖形繞軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體的體積。體的體積。答案：答案：1.練習(xí)練習(xí)例例 3求由橢圓求由橢圓12222 byax解解利用圖形的對稱性利用圖形的對稱性,只需考慮第一象限內(nèi)只需考慮第一象限內(nèi)(一一)繞繞x軸：選取積分變量為軸：選取積分變量為 x 0,a，所圍圖形分別繞所圍圖形分別繞x 軸和軸和y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積.任取一個子區(qū)間任取一個子
6、區(qū)間 x,x+dx 0,a，的曲邊梯形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積的曲邊梯形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積，所求體積為該體積的所求體積為該體積的2倍倍。在子區(qū)間在子區(qū)間 x,x+dx 上旋轉(zhuǎn)體的微元為：上旋轉(zhuǎn)體的微元為：于是于是 dV1=y2 dx，12VV xyad202 xaxbad)1(22202 .34)3(2203222abxxaaba yxOx x+dx(二二)繞繞y y軸：軸：選積分變量選積分變量 y 0,b，任取，任取子區(qū)間子區(qū)間 y,y+dy 0,b.在子區(qū)間在子區(qū)間 y,y+dy 上體積的微元為上體積的微元為 則則yxVVbd22021.34d)(22222022
7、bayybbab yxO y+dyyxxdyxdV212.2.求求 y=x2 與與 y2=x 所圍圖形繞所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)所軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體體積成的旋轉(zhuǎn)體體積.解解選積分變量選積分變量 x 0,1 (兩曲線的交點為兩曲線的交點為(0,0)和和(1,1)，任取子區(qū)間任取子區(qū)間 x,x+dx 0,1，其上的體積的微元為其上的體積的微元為,d)(d2221xyyV xyyVd)(102221 .103d)(104 xxxx x+dx(1,1)y2=x2xy 21yxO練習(xí)練習(xí)3.曲線曲線 與直線與直線 所成的圖形所成的圖形的面積為的面積為 （）xxeyey,1x2)(AeB2)(eC22)(21)(eeD4.將第一象限內(nèi)由將第一象限內(nèi)由x軸和曲線軸和曲線 與直線與直線所圍成的平面圖形繞所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積等于等于 ()54)(A72)(B108)(C144)(Dxy626x練習(xí)練習(xí)D C yf x 2baVfx dx課堂小結(jié)：課堂小結(jié)：求體積的過程就是對定積分概念的進一步求體積的過程就是對定積分概念的進一步理解過程，總結(jié)求旋轉(zhuǎn)體體積公式步驟如理解過程，總結(jié)求旋轉(zhuǎn)體體積公式步驟如下：下：1 1先求出先求出 的表達式；的表達式；2 2代入公式代入公式 ，即可求旋轉(zhuǎn)體體積的值。即可求旋轉(zhuǎn)體體積的值。
高中數(shù)學(xué)第四章 3_2 簡單幾何體的體積 課件
