《三角函數(shù)的概念》示范公開課教學(xué)設(shè)計【高中數(shù)學(xué)人教版】

《《三角函數(shù)的概念》示范公開課教學(xué)設(shè)計【高中數(shù)學(xué)人教版】》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《三角函數(shù)的概念》示范公開課教學(xué)設(shè)計【高中數(shù)學(xué)人教版】（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、D O 正弦，余弦，正切分別是什么？ 《三角函數(shù)的概念》教學(xué)設(shè)計 ◆ 教材分析 本課是《任意角的三角函數(shù)》這一章的概念課，具有核心地位、統(tǒng)領(lǐng)全局的作用． 在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)，弧度制，對三角函數(shù)（正弦，余弦，正切） 有一定的了解，了解了銳角三角函數(shù)在解三角形中的作用．為本節(jié)課的學(xué)習(xí)提供了知識準備． 本節(jié)將學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)的概念、表示及關(guān)系．借用單位圓直觀的表示三角函數(shù)的對 應(yīng)值． ◆ 教學(xué)目標 1．了解任意角三角函數(shù)概念的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生抽象問題的能力； 2．掌握任意角三角函數(shù)的代數(shù)表示，理解任意角三角函數(shù)的正弦，余弦，

2、正切概念， 體會用單位圓進行數(shù)學(xué)研究的一般過程． ◆ 教學(xué)重難點 ◆ 教學(xué)重點：本節(jié)的重點是利用單位圓模型理解任意角三角函數(shù)概念的形成過程． ◆ 課前準備 ◆ 1．教學(xué)問題： （1）學(xué)生在理解用終邊上任意一點的坐標來表示銳角三角函數(shù)是可能會出現(xiàn)障礙，由 于學(xué)生在此之前學(xué)習(xí)了直角三角形中的銳角三角函數(shù)，并習(xí)慣了直觀地用有關(guān)邊長的比來表 示銳角三角函數(shù)，要克服這一點，關(guān)鍵是幫助學(xué)生建立終邊上點的坐標的比值與直角三角形 有關(guān)邊長的比值的聯(lián)系； （2）學(xué)生在理解將終邊上任意一點去在終邊與單位圓的交點這一特殊位置上時，又可 能會形成障礙． （3）學(xué)生在將用單位

3、圓定義銳角三角函數(shù)推廣到定義任意角的三角函數(shù)時，可能會受 初中銳角三角函數(shù)定義的影響，仍然局限在直角三角形中思考問題． 2．教學(xué)支持條件：計算機，幾何畫板，科大訊飛問答系統(tǒng)． ◆ 教學(xué)過程 【問題 1】在初中，我們學(xué)過銳角三角函數(shù)，如圖 1，在直角三角形 OMP 中，DM 那么根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義， 的 1 / 6  是直角， 【設(shè)計意圖】幫助學(xué)生回顧初中學(xué)過的銳角三角函數(shù)的定義． 【預(yù)設(shè)師生活動】教師提出問題，學(xué)生回答． 【問題 2】在上節(jié)課的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)將角的概念推廣到了任意角，現(xiàn)在說說的角可以是 任意大小的正角，負角和零角

4、．那么任意角的三角函數(shù)又該怎么定義呢？ 【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生將銳角三角函數(shù)推廣到任意角三角函數(shù)． 【預(yù)設(shè)師生活動】老師引導(dǎo)學(xué)生： （1）能不能繼續(xù)在直角三角形中定義任意角的三角函數(shù)？ （2）將銳角推廣到任意角時，我們是把角放在哪里進行研究的？ （3）如圖 2：在平面直角坐標系中如何定義任意角a  的三角函數(shù)？ （4）終邊是 OP 的角一定是銳角嗎？如果不是，能用直角三角形的邊長 來定義嗎？當(dāng)  a  的終邊不在第一象限該怎么辦？ （5）我們知道，借助平面直角坐標系，就可以把幾何問題代數(shù)化，大家能不能用平面直角

5、 坐標系中角的終邊上的點的坐標來表示定義式中的一條邊長呢？（滲透數(shù)形結(jié)合的思想） （6）利用平面直角坐標系中角的終邊上的點的坐標來定義有什么好處？ 【問題 3】大家有沒有辦法讓所得到的定義式變得更簡單一點？ 【設(shè)計意圖】為引入單位圓做鋪墊． 【預(yù)設(shè)師生活動】教師提出問題后，課組織學(xué)生展開討論，在學(xué)生不能回到正確時，可啟發(fā) 他們思考： （1）我們在定義 1 弧度的角時，利用了一個什么圖形？所用的圓與半徑大小有關(guān)嗎？用半 徑多大的圓定義起來更簡單易懂？ （2）對于一個三角函數(shù)，比如 y =sin  a  ．它的函數(shù)值是由什么決定的？那么當(dāng)一個角的終

6、 邊位置確定后，能不能取終邊任意一點來定義三角函數(shù)？取哪一點可以使得我們的定義式變 得簡單易懂些？怎樣??？（加強與幾何的聯(lián)系）） 【問題 4】大家現(xiàn)在能不能給出任意角三角函數(shù)的定義了？ 【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生在用單位圓定義銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，進一步給出任意角三角函數(shù) 的定義． 【預(yù)設(shè)師生活動】由學(xué)生給出任意角三角函數(shù)的定義，教師進行整理 【問題 5】根據(jù)任意三角函數(shù)的定義，要求角  a  的三個三角函數(shù)值其實就是求什么？ 2 / 6 q 【設(shè)計意圖】讓學(xué)生從中體會，用單位圓上點的坐標定義三角函數(shù)不僅簡化了定義式，還更

7、能突出三角函數(shù)概念的本質(zhì)． 【預(yù)設(shè)師生活動】 在學(xué)生回答問題的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生利用定義求三角函數(shù)值 例1 已知角 a的終邊過點 P（  1 3 ， - 2 2  ），求角 a的正弦、余弦和正切值． 【設(shè)計意圖】從最簡單的問題入手，然后通過變式，讓學(xué)生學(xué)習(xí)如何利用定義求不同情況下 函數(shù)值的問題，進而加深對定義的理解，加強定義應(yīng)用中與幾何的聯(lián)系，體會數(shù)形結(jié)合的思 想． 【預(yù)設(shè)師生活動】在完成本題的基礎(chǔ)上，可通過下列變式引導(dǎo)學(xué)生對三角函數(shù)的概念作進一 步的認識． 變式 1： 求 5p 3  的正弦、余弦和正切值．

8、 變式 2： 已知角 a  的終邊過點 P（－3，－4），求角 a  的正弦、余弦和正切值． 【問題 6】你們能否給出正弦、余弦和正切函數(shù)在弧度制下的定義域？ 【設(shè)計意圖】研究一個函數(shù)，就是要研究其三要素，而三要素中最本質(zhì)的是對應(yīng)法則和定義 域，三角函數(shù)的對應(yīng)法則已經(jīng)有定義式給出，所以在給出定義之后就要研究其定義域，通過 利用定義求定義域，即完善了三角函數(shù)概念的內(nèi)涵，同時又可幫助學(xué)生進一步理解三角函數(shù) 的概念． 【預(yù)設(shè)師生活動】學(xué)生求出定義域，教師進行整理 【問題 7】上述三種函數(shù)的值在各象限的符號會怎么樣？ 【設(shè)計意圖】通

9、過定義的應(yīng)用，讓學(xué)生了解三種函數(shù)值在各象限的符號的變化規(guī)律，并從中 進一步理解三角函數(shù)的概念，體會數(shù)形結(jié)合的思想． 【預(yù)設(shè)師生活動】 學(xué)生回答，教師進行整理． ì 例2. 求證：（1）當(dāng)不等式組 í ?  sin tan  q<0 q>0  成立時，角q為第三象限角； ì （2） 當(dāng)角 為第三象限角時，不等式組 í ? 3 / 6  sin q<0 tan q>0  成立． sin a cosa tan a tan 【設(shè)計意圖】通過問題的解決，熟悉和記憶函數(shù)值在各象限的符號的變化規(guī)律，并進一步 理

10、解三角函數(shù)的概念． 【預(yù)設(shè)師生活動】在完成本題的基礎(chǔ)上，可視情況改變題目的條件或結(jié)論，作變式訓(xùn)練； 【問題 8】三角函數(shù)的函數(shù)值是由角的終邊的位置決定的，那么角的終邊每繞原點旋轉(zhuǎn)一周， 它的大小將會怎樣變化？它所對應(yīng)的三角函數(shù)值又將怎樣變化？ 【設(shè)計意圖】引出公式一，突出函數(shù)周期變化的特點，以及數(shù)形結(jié)合的思想． 【預(yù)設(shè)師生活動】 在教師的引導(dǎo)下，由學(xué)生討論完成． 例3 先確定下列三角函數(shù)值的符號，然后再求出它們的值； (1) sin 9p 11p ; (2) cos 3p; (3) tan( - ); (4) cos( -672 4 6 

11、 0  )  ． 【設(shè)計意圖】將確定函數(shù)值的符號與求函數(shù)值這兩個問題結(jié)合在一起，通過應(yīng)用公式一解決 問題，讓學(xué)生熟悉和記憶公式一，并進一步理解三角函數(shù)的概念． 【預(yù)設(shè)師生活動】先完成題（1），再通過改變函數(shù)名稱和角，逐步完成其他各題． 練習(xí) （1）填表． 角  a  0  0  30  0  45  0  60  0  90  0  180  0  270  0  360  0 角  a  的弧度制 sin a a

12、 cos a tan （2 ）設(shè)  a  是三角形的一個內(nèi)角，在 ， ， ，  a 2  中，有可能取負值的 是  ． （3）選擇“>”，“<”，“=”填空： sin( - 4p 3  ) _____ 0; tan 556 0 _____ 0;  cos(-4500 ) _____ 0; 17p tan( - ) _____ 0; 8 （4）選擇  (1) sin  a >0; (2) sin  a <0; (3) cos  a >0; (4) tan

13、  a >0; (5) tan  a <0  中適當(dāng)?shù)年P(guān) 系式的序號填空： 4 / 6 a a a a 6 q （1）當(dāng)角 為第一象限角時， ，反之也成立； （2）當(dāng)角 為第二象限角時， ，反之也成立； （3）當(dāng)角 為第三象限角時， ，反之也成立； （4）當(dāng)角 為第四象限角時， ，反之也成立； 7p （5）求 的正弦，余弦和正切值．  P （6）已知角 的終邊經(jīng)過點 P （-12，5），求角 的正弦，余弦和正切值． （7）求下列三角函數(shù)值：  O  A cos1

14、109  0  ; tan 19p 31p ;sin( -1050 0 ); tan( - ); 3 4  圖 1 例 4（備選） 如圖 1 是一個摩天輪，假設(shè)它的中心離地面的高度為 h0，它的直徑為 2R，逆 時針方向勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動一周需要 360 秒，若現(xiàn)在你坐在座艙中，從初始位置OA 出發(fā)（如 圖 1 所示），過了 30 秒后，你離地面的高度為多少？過了 t0 秒呢？ 【設(shè)計意圖】通過應(yīng)用三角函數(shù)定義，熟悉和記憶特殊角的三角函數(shù)值，三角函數(shù)值的符號， 公式一，以及求三角函數(shù)值，加強對三角函數(shù)概念的理解． 【預(yù)設(shè)師生活動】根據(jù)教學(xué)的實際情

15、況，對練習(xí)題的數(shù)量和內(nèi)容做具體調(diào)整． 5. 小結(jié) 【問題 9】從銳角三角函數(shù)的定義推廣到任意角的三角函數(shù)的定義，你能回顧一下我們是 如何借助單位圓給出任意角的三角函數(shù)的定義的嗎？ 銳角三角函數(shù)與解直角三角形相關(guān)，在初中我們是利用直角三角形邊的比值來表示銳角 的三角函數(shù)．通過今天的學(xué)習(xí)，我們知道任意角的三角函數(shù)雖然是銳角三角函數(shù)的推廣，但 它與解三角形已經(jīng)沒有什么關(guān)系了，我們是利用單位圓來定義任意角的三角函數(shù)．借助平面 直角坐標系中的單位圓，我們建立了角的變化與單位圓上點的變化之間的對應(yīng)關(guān)系，進而利 用單位圓點的坐標或坐標的比值來表示圓心角的三角函數(shù)． 【設(shè)計意圖】回顧和總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容． 【預(yù)設(shè)師生活動】 在學(xué)生給出定義后，教師進一步強調(diào)用單位圓定義三角函數(shù)的優(yōu)點． 【問題 10】今天我們不僅學(xué)習(xí)了任意角三角函數(shù)的定義，還接觸了定義的一些應(yīng)用，能不 能歸納一下，今天我們利用定義解決了那些問題？ 【設(shè)計意圖】回顧和總結(jié)三角函數(shù)在本節(jié)課中的應(yīng)用． 5 / 6 【預(yù)設(shè)師生活動】 在學(xué)生回顧與總結(jié)的基礎(chǔ)上，教師有意識地引導(dǎo)學(xué)生定義應(yīng)用過程中所蘊含的數(shù)形結(jié)合的思 想． 6 / 6