數(shù)學(xué)物理方法課件：第3和4章 冪級數(shù)展開

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1、第三章第三章 冪級數(shù)展開冪級數(shù)展開3.2 3.2 冪級數(shù)冪級數(shù)3.3 3.3 泰勒級數(shù)展開泰勒級數(shù)展開3.4 3.4 解析沿拓解析沿拓3.1 3.1 復(fù)數(shù)項級數(shù)復(fù)數(shù)項級數(shù)3.5 3.5 洛朗級數(shù)展開洛朗級數(shù)展開3.6 3.6 孤立奇點的分類孤立奇點的分類稱級數(shù)稱級數(shù)復(fù)數(shù)項級數(shù)和復(fù)數(shù)項級數(shù)和,2,1,0kivuwkkk111kkkkkkviuwnkknkknkkviuw111前前n 項和項和若若Fwnkkn1lim有限有限1kkw收斂于收斂于F這時這時uunkkn1limvvnkkn1lim也收斂也收斂nF3.1 3.1 復(fù)數(shù)項級數(shù)復(fù)數(shù)項級數(shù)1 1、復(fù)數(shù)項級數(shù)復(fù)數(shù)項級數(shù)pnnnnpnwwwFF2

2、1pnnkkw1科西收斂判據(jù)：科西收斂判據(jù)：(級數(shù)收斂必要條件級數(shù)收斂必要條件)對于任意對于任意 0,有有N，使得，使得nN時時p 為任意正整數(shù)為任意正整數(shù)絕對收斂：絕對收斂：1kkw122kkkvu收斂收斂2 2、復(fù)變函數(shù)項級數(shù)、復(fù)變函數(shù)項級數(shù))()()(211zwzwzwkk各項都是各項都是z 的函數(shù)的函數(shù)對于對于B（或（或l 上）任意上）任意z,給定給定 0,有有N，使，使得得nN()時時pnnkkzw1)(稱為級數(shù)在稱為級數(shù)在B上一致收斂上一致收斂此時，若每項連續(xù)，此時，若每項連續(xù)，則和連續(xù)則和連續(xù)20201000)()()(zzazzaazzakkk令：令：1 1、比值判別法、比值判

3、別法3.2 3.2 冪級數(shù)冪級數(shù)討論冪討論冪級數(shù)級數(shù)為以為以z0 為中心的冪級數(shù)為中心的冪級數(shù)202010)()(zzazzaa考慮考慮kkkkkzzazza)()(lim0101)(lim01zzaakkk11limkkkaaRRzz)(0絕對收斂絕對收斂1發(fā)散發(fā)散絕對收斂絕對收斂2 2、根值判別法、根值判別法發(fā)散發(fā)散1)(lim0kkkkzzaRzz)(0絕對收斂絕對收斂1)(lim0kkkkzza發(fā)散發(fā)散kkkaR1limRzz)(0絕對收斂絕對收斂Rzz)(0發(fā)散發(fā)散3 3、收斂圓與收斂半徑收斂圓與收斂半徑的的收斂半徑收斂半徑例：求冪級數(shù)例：求冪級數(shù)1ka以以z0為圓心半徑為為圓心半徑

4、為R的圓內(nèi)級數(shù)絕對收斂，這個圓稱的圓內(nèi)級數(shù)絕對收斂，這個圓稱為為收斂圓。收斂圓。R為收斂半徑為收斂半徑1事實上：事實上：0kkz解：解：收斂圓：收斂圓：以以0為圓心為圓心半徑為半徑為1nkkz0zzn1110kkzzznn11lim11z如如z11)1(z1limkkkaaR1z的的收斂半徑收斂半徑例：求冪級數(shù)例：求冪級數(shù)kka)1(1公比為公比為02)1(kkkz解：解：收斂圓：收斂圓：以以0為圓心為圓心半徑為半徑為102)1(kkkz2z1z如如211z)1(z1limkkkaaR1z的的收斂半徑收斂半徑例：求冪級數(shù)例：求冪級數(shù)02)2/(kkz解：解：kkkaR221limkkk222/

5、11lim200)()(kkkzzazf定理：設(shè)定理：設(shè)f(z)在以在以z0為圓心的為圓心的圓圓CR內(nèi)解析，則對圓內(nèi)的任內(nèi)解析，則對圓內(nèi)的任意意z點，點，f(z)可展開為可展開為其中：其中：3.3 3.3 泰勒級數(shù)展開泰勒級數(shù)展開!)()()(210)(101kzfdzfiakCkkR0zz0zzCR1為為圓圓CR內(nèi)包含內(nèi)包含z且與且與CR同心的圓同心的圓CR1CR證：證：cauch公式公式0zz0zz1)(21)(RCdzfizf)(1100zzzz)/()(111000zzzz20000011zzzzzzz100zzz00001kkzzzz0100)()(kkkzzzCRCR1而由而由ca

6、uch公式公式1)(21)(RCdzfizf1)()()(210100RCkkkdfzzzi1)()(121)(1000RCkkkdfzizzlkkdzfikzf1)()()(2!)(00)()(kkkzzazf!)(0)(kzfakk展開展開例：在例：在z0=0鄰域上把鄰域上把公比為公比為zezf)(解：解：!212kzzzkzkk lim!)(0)(kzfakk0!1zkzkdzedk!1kze1limkkkaaR0!kkkz展開展開例：在例：在z0=0鄰域上把鄰域上把zzfsin)(解：解：z和和zzfcos)()(21sinizizeeiz)!)(!)(2100kkkkkizkizi)

7、!)(!)(2100kkkkkizkizi012)!12()1(kkkkz)(21cosizizeez02)!2()1(kkkkzz展開展開例：在例：在z0=0鄰域上把鄰域上把zzf11)(解：解：1z21zzz110kkz展開展開例：在例：在z0=0鄰域上把鄰域上把211)(zzf211z02kkz1z展開展開例：在例：在z0=1鄰域上把鄰域上把zzfln)(解：解：zzfln)(1ln)1(fin2zzf1)(2!1)(zzf3)3(!2)(zzfkkkzkzf)!1()1()()(1)1(f1)1(f!2)1()3(f)!1()1()1()(kfkkzlnkkzkkzzin)1(!)!1

8、()1()1(!2!1)1(!1122zlnkkzkkzzin)1(!)!1()1()1(!2!1)1(!1122kkzkzzin)1()1()1(21)1(22)11(z3.4 3.4 解析沿拓解析沿拓比較兩個比較兩個函數(shù)：函數(shù)：1zz11201zzzkk除除 z=1 以外以外設(shè)某個區(qū)域設(shè)某個區(qū)域b 上的解析函數(shù)上的解析函數(shù)f(z)，找出另一函數(shù)找出另一函數(shù)F(z),它在它在含有含有b 的一個較大的區(qū)域的一個較大的區(qū)域B上解析，且在區(qū)域上解析，且在區(qū)域b上等于上等于f(z)和和兩者在較小區(qū)域等同兩者在較小區(qū)域等同bB稱稱F(z)為為 f(z)的的解析沿拓解析沿拓1 1、解析沿拓概念、解析沿拓

9、概念設(shè)設(shè)f(z)，F(xiàn)(z)在某個區(qū)域在某個區(qū)域B上解析，若在上解析，若在B的任一的任一子區(qū)域子區(qū)域b 中中f(z)F(z)，則在整個區(qū)域則在整個區(qū)域B上必有上必有f(z)F(z)。2 2、解析沿拓唯一性概念、解析沿拓唯一性概念3.5 3.5 洛朗級數(shù)展開洛朗級數(shù)展開考慮如下冪級數(shù)考慮如下冪級數(shù)202010101202)()()()(zzazzaazzazzakkkzza)(0正冪部分收斂半徑為正冪部分收斂半徑為R1負(fù)冪部分，記負(fù)冪部分，記 =1/(z-z0),級數(shù)級數(shù)33221aaa的收斂圓半徑為的收斂圓半徑為 1/R2=即在即在 z-z0 =R2圓外圓外收斂圓收斂圓kkkaaR/lim)1(

10、2kkkzza)(0在圓環(huán)在圓環(huán) R2 z-z0 R1內(nèi)絕對一致內(nèi)絕對一致收斂圓收斂圓kkkzzazf)()(0定理：設(shè)定理：設(shè)f(z)在圓環(huán)在圓環(huán) R2 z-z0 0),可令可令 n=l+h hlhllxzhlxzl)21()!(1)21(!110令令-h=m,n=l hlhllxzhlxzl)21()!(1)21(!110hhlhllhzxhll102)21()!()1(!1)1(mmnmnnmzxmnn102)21()!()1(!1)1(mmnnmnzxnnmzf 002)2(!)!()1()(mmnmnnmzxmnn102)21()!()1(!1)1(z0mmmzzxzJezf)1(2

11、1)(Jm為為m階貝塞爾函數(shù)階貝塞爾函數(shù) 3.6 3.6 孤立奇點的分類孤立奇點的分類kkkzzazf)()(0f(z)在某點在某點z0 不可導(dǎo)，而在不可導(dǎo)，而在z0的任意小鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，的任意小鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，稱稱z0為為f(z)的的孤立奇點孤立奇點f(z)正冪部分稱為正冪部分稱為解析部分解析部分，負(fù)冪部分稱為，負(fù)冪部分稱為主要部分主要部分(z-z0)-1的系數(shù)的系數(shù)a-1稱為稱為f(z)在在 奇點奇點z0的的留數(shù)留數(shù)202010)()()(zzazzaazf若若稱稱z0為為f(z)的的可去奇點可去奇點)()()()(0101010zzaazzazzazfmmmm若若稱稱z0為為f(z)的

12、的本性奇點本性奇點m為為z0的階，一階極點簡稱為的階，一階極點簡稱為單極點單極點第四章第四章 留數(shù)定理留數(shù)定理4.2 4.2 利用留數(shù)定理計算實變函數(shù)定積分利用留數(shù)定理計算實變函數(shù)定積分4.1 4.1 留數(shù)定理留數(shù)定理4.1 4.1 留數(shù)定理留數(shù)定理kkkzzazf)()(0若若l所圍區(qū)域解析，則所圍區(qū)域解析，則考慮積分考慮積分ldzzf)(0)(ldzzf若若l所圍區(qū)域包圍一個奇所圍區(qū)域包圍一個奇點點z0，展開，展開f(z)，則則0zl0ldzzzadzzfklkkl0)()(00)()(lldzzfdzzf1n0ldzzi12110)(21lndzzi由由(l不包圍不包圍)(l包圍包圍)d

13、zzzadzzfklkkl0)()(00zl0l12ia)(Re20zsfi)(Re01zsfaa-1稱為稱為f(z)在在 奇點奇點z0的的留數(shù)留數(shù)若若l所圍區(qū)域包圍所圍區(qū)域包圍n個奇?zhèn)€奇點點b1 b2 b3.，bn,則則321)()()()(lllldzzfdzzfdzzfdzzf1l2l2bl1b3b3l)(Re)(Re)(Re2321bsfbsfbsfinjjbsfi1)(Re2稱為留數(shù)定理稱為留數(shù)定理如何求如何求a-1？若若z0為為單極點單極點)()(01001zzaazzazf)()(01001zzaazzazf2010010)()()()(zzazzaazfzz10)()(lim0

14、azfzzzz若若)()()(zQzPzf)()()(lim00zQzPzzzz)()(00zQzP)()()(lim00zQzPzzzz若若z0為為f(z)的的m階階極點極點)()()()(010011010zzaazzazzazzazfmmmmmmmmmzzazzazzaazfzz)()()()()(00101010)()()!1(1lim)(Re01100zfzzdzdmzsfmmmzz)()(lim)(Re000zfzzzsfzzm階階極點極點單單極點極點njjlbsfidzzf1)(Re2)(留數(shù)定理留數(shù)定理求求 Resf(0)例：例：zezf1)(解：解：211!2111zzez1

15、)0(Resf求求 Resf(1)例：例：)1/(1)(nzzf解：解：)()1(lim)1(Re1zfzsfz)1/()1(lim1nzzz)/(1lim11nznzn/1的極點，求的極點，求留數(shù)留數(shù)例：確定函數(shù)例：確定函數(shù))4/()2()(35zzizzf解：解：)()2(lim)2(Re2zfizisfiz)4(2422335zzizzziz)2)(2(23izizziz)2(13izz321limzizi 818i)()!13(1lim)0(Re3220zfzdzdsfz)21(!21lim220izdzdz)2(1lim30izz8i例：計算回路積分例：計算回路積分解：解：)()11

16、(lim)(Re200zfzzsfzz)10(211z1221zdzzz被積函數(shù)的奇點為被積函數(shù)的奇點為單位圓單位圓 z =1 內(nèi)的內(nèi)的奇點為奇點為2011z211)1)(1(11)1(1)11(1lim20zzzzzzzz21)11(lim220)()11(lim)(Re200zfzzsfzz21211221zdzzz)(Re20zsfi21i4.2 4.2 利用留數(shù)定理計算實變函數(shù)定積分利用留數(shù)定理計算實變函數(shù)定積分(1)、無窮積分、無窮積分dxxf)(若若f(z)在實軸上無奇點，在上半平面除有限個孤立奇在實軸上無奇點，在上半平面除有限個孤立奇點點bk(k=1,2,n)外處處解析；在包括實

17、軸在內(nèi)的上外處處解析；在包括實軸在內(nèi)的上半平面中，當(dāng)半平面中，當(dāng)z 無窮時，無窮時，zf(z)一致趨于零，一致趨于零，則則dxxf)(nkzkbsfi10Im)(Re2kbo-RRCR)(/)()(xxxf)(x)(x則則至少高于至少高于 兩階兩階證明：證明：dxxf)()()(lim)(RCRRRldzzfdxxfdzzfnkzkbsfi10Im)(Re2kbo-RRCRRCRdzzf)(limRCRzdzzzf)(limRRzzfR)(maxlim0nkzkbsfi10Im)(Re2例：計算積分例：計算積分解：解：21xdxI上半平面奇點為上半平面奇點為z0=i211)(zzf)(1izi

18、z)(Re2isfiI)()(lim2zfiziizii212例：計算積分例：計算積分解：解：nxdxI)1(2被積函數(shù)的奇點為被積函數(shù)的奇點為上半平面為上半平面為n階極點階極點z0=inzzf)1(1)(2nniziz)()(1n為整數(shù)為整數(shù))()()!1(1lim)(Re11zfizdzdnisfnnniz)()!1(1lim11nnnizizdzdniznniznnnnn)1()()!1()11()1)()(Re2isfiI)(Reisfiznniznnnnn)1()()!1()11()1)(12)2()!1()22()1)(ninnnnnnninnnn)1(2)!1()22()1()1

19、(121innnnn 122)!1()22()1(222)!1()22()1(nnnnn(2)、三角函數(shù)有理積分積分、三角函數(shù)有理積分積分20)sin,(cosdR若若R(cos,sin)為為 cos,sin 的有理函數(shù)，且在的有理函數(shù)，且在0，2 上上連續(xù)，連續(xù)，則則nkzzsfi11)(Re2)2,2(1)(11izzzzRzizf其中其中20)sin,(cosdR表示表示f(z)在單位圓內(nèi)所在單位圓內(nèi)所有有奇點的留數(shù)和奇點的留數(shù)和nkzzsf11)(Re證明：證明：2/)(cosiieeiez)2/()(sinieeii2/)(1zz)2/()(1izzdiedzi201z20)sin,

20、(cosdRizd111)2,2(zizdzizzzzR1)(zdzzfnkzzsfi11)(Re2例：計算積分例：計算積分解：解：20cos1adI令令有兩個一有兩個一階極點階極點(a 1)2u1221)12(22zzazdziaiuez 20222sin21uaaduI202cos12uaadu有兩個一有兩個一階極點階極點1)12()12(2221aaz1)12()12(2222aaz為單極點為單極點，在圓內(nèi)，在圓內(nèi)1)12()12(2221aaz1)12()12(2222aaz1)(Re22zsfiI21)12()12(122222zzaaziia21a1221)12(22zzazdzi

21、aI20221sinaaad例：計算積分例：計算積分解：解：202cosxdxIn令令(a1)122)21(znizdzzzIixez 有一個奇有一個奇點點z=0,為為2n+1階極點階極點121222)1(21znnndzzzi)0(Re2212sfiin)()0()!2(1lim)0(Re12220zfzdzdnsfnnnz121222)1(21znnndzzziI)()0()!2(1lim)0(Re12220zfzdzdnsfnnnz)1()!2(1lim22220nnnzzdzdn)()!2(!)!2()!2(1lim2220220knnknnzzknkndzdnnknknknknknk

22、n224)!2(!)1224()124)(24()()0()!2(1lim)0(Re12220zfzdzdnsfnnnznknknknknknkn224)!2(!)1224()124)(24(nk!)!2()0(Rennnsf)0(Re2212sfiiIn!)!2(222nnnn121222)1(21znnndzzziI(3)、含三角函數(shù)的無窮積分、含三角函數(shù)的無窮積分0cos)(mxdxxF其中其中F(z)為偶數(shù)，為偶數(shù)，G(x)為奇數(shù)為奇數(shù)0sin)(mxdxxG若若f(z)在實軸上無奇點，在上半平面除有限個孤立奇點在實軸上無奇點，在上半平面除有限個孤立奇點bk(k=1,2,n)外處處解析

23、；在包括實軸在內(nèi)的上半平外處處解析；在包括實軸在內(nèi)的上半平面中，當(dāng)面中，當(dāng) z 無窮時，無窮時，f(z)一致趨于零，且一致趨于零，且m0則則0cos)(mxdxxFnkzimbkkebFsi10Im)(Re0sin)(mxdxxGnkzimbkkebGs10Im)(Re證明：證明：0cos)(mxdxxF02)(dxeexFimximx)()(2100dxexFdxexFimximxdxexFimx)(21kbo-RRCR)()(lim)(RCimxRRimxRlimzdzezFdxexFdzezFnkzimbkkebFsi10Im)(Re2kbo-RRCR)()(lim)(RCimxRRim

24、xRlimzdzezFdxexFdzezFnkzimbkkebFsi10Im)(Re20)(limRCimxRdzezFdxexFimx)(0cos)(mxdxxFnkzimbkkebFsi10Im)(Re由約定當(dāng)引理由約定當(dāng)引理0sin)(mxdxxGnkzimbkkebGs10Im)(Rekbo-RRCR0)(limRCimxRdzezF由約定當(dāng)引理由約定當(dāng)引理 z 無窮時，無窮時，f(z)在包括實軸在內(nèi)的上半平面中，在包括實軸在內(nèi)的上半平面中，一致一致趨于零，趨于零，則則例：計算積分例：計算積分解：解：022cosaxmxdxI有兩個一有兩個一階極點階極點aizmaeaisFiI)(ReimzimzeazezF221)(上半平面極點上半平面極點 z=aimaeai21nkzimbkkebFs10Im)(Reimzaizeazaiz221)(limimzaizeaiz1lim)2/(aema例：計算積分例：計算積分解：解：0222)(sinaxmxdxxI有兩個一有兩個一階極點階極點aizimzimzeazzezG222)()(上半平面極點上半平面極點 z=aimaeam4nkzimbkkebFs10Im)(Reimzaizeazzaizdzd2222)()(!11lim)4/(aemIma