圓錐曲線知識點與練習(xí).doc

圓錐曲線第1課時橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)班別 姓名 學(xué)號一、橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)橢圓雙曲線定義1到兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)2 a(2 a > | F1F2| )的動點M的軌跡叫橢圓。即 | M F1 | + | M F 2 | = 2 a定點F1、F2叫焦點，| F1F2| 叫焦距。到兩定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)2 a (2 a < | F1F2| )的動點M的軌跡叫雙曲線。即 | M F1 | - | M F 2 | = ±2 a定點F1、F2叫焦點，| F1F2| 叫焦距。定義2到一個定點F1的距離和到一條定直線l的距離的比等于常數(shù)( 0 < e < 1)的動點M的軌跡叫橢圓。定點F1叫做橢圓的焦點，定直線l叫做橢圓的準(zhǔn)線，e叫做橢圓的離心率。到一個定點F1的距離和到一條定直線l的距離的比等于常數(shù)( e > 1)的動點M的軌跡叫雙曲線。定點F1叫做雙曲線的焦點，定直線l叫做雙曲線的準(zhǔn)線，e叫做雙曲線的離心率。標(biāo)準(zhǔn)方程(a > b > 0 )(a > b > 0 )(a > 0 , b > 0 )(a > 0 , b > 0 )判斷焦點位置方法誰的分母大，誰就做a 2，焦點在相應(yīng)字母的坐標(biāo)軸上。（a一定大于b ）（焦點始終在長軸所在的直線上）x 2項的系數(shù)為“+”，則焦點在x軸上，相應(yīng)的項的分母為a 2；y 2項的系數(shù)為“+”，則焦點在y軸上，相應(yīng)的項的分母為a 2。（ a不一定大于b ）（焦點始終在實軸所在的直線上）圖形范圍- a x a - b y b - b x b - a y a x - a或x ay - a或y a頂點坐標(biāo)(±a , 0 ) , (0 , ±b )(±b , 0 ) , ( 0 , ±a )(±a , 0 ) (0 , ±a )焦點坐標(biāo)(±c , 0 ) 焦距長2 c c 2 = a 2 b 2( 0 ,±c ) 焦距長2 cc 2 = a 2 b 2(±c , 0 ) 焦距長2 cc 2 = a 2 + b 2( 0 , ±c ) 焦距長2 cc 2 = a 2 + b 2軸長軸長| A 1 A 2 | = 2 a ，短軸長| B 1 B 2 | = 2 b 實軸長| A 1 A 2 | = 2 a，虛軸長| B 1 B 2 | = 2 b對稱性關(guān)于x軸、y軸、原點對稱關(guān)于x軸、y軸、原點對稱離心率 （ 0 < e < 1 ） （ e > 1 ）準(zhǔn)線方程x = y =x = y =漸近線方程y =y =通徑長練習(xí)1、橢圓與雙曲線方程特征1、已知方程，（1）若方程表示的圖形是圓，則k的取值范圍是_；（2）若方程表示的圖形是橢圓，則k的取值范圍是_；（3）若方程表示的圖形是雙曲線，則k的取值范圍是_。2、若，則“”是“方程表示雙曲線”的( ) （A）充分不必要條件. （B）必要不充分條件. （C）充要條件. （D）既不充分也不必要條件. （06年上海春季）3、若點M到兩定點F 1 (1 , 0 ) , F 2 ( 1 , 0 )的距離之差等于2，則點的軌跡是（ ）(A) 雙曲線 (B) 雙曲線的一支 (C) 兩條射線 (D) 一條射線 4、若點M到兩定點F 1 ( 0 , 1 ) , F 2 ( 0 , 1 )的距離之和等于2，則點的軌跡是（ ）(A) 橢圓 (B) 直線F 1 F 2 (C) 線段F 1 F 2 (D) F 1 F 2的中垂線 5、已知圓錐曲線m x 2 + 4 y 2 = 4 m的離心率e為方程2 x 2 5 x + 2 = 0的兩根，則滿足條件的圓錐曲線有（ ）條(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 6、已知三點P(5,2）,(6,0), (6,0），（）求以、為焦點且過點P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）設(shè)點P、關(guān)于直線yx的對稱點分別為、，求以、為焦點且過點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。（06年江蘇）練習(xí)2、橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)7、已知橢圓，請?zhí)顚懴卤恚洪L軸長短軸長焦距焦點坐標(biāo)離心率準(zhǔn)線方程8、已知橢圓，請?zhí)顚懴卤恚洪L軸長短軸長焦距焦點坐標(biāo)離心率準(zhǔn)線方程9、已知雙曲線，請?zhí)顚懴卤恚簩嵼S長虛軸長焦距焦點坐標(biāo)離心率準(zhǔn)線方程漸近線方程10、已知雙曲線，請?zhí)顚懴卤恚簩嵼S長虛軸長焦距焦點坐標(biāo)離心率準(zhǔn)線方程漸近線方程練習(xí)3、雙曲線中與漸近線有關(guān)的問題（1）由雙曲線方程求漸近線方程步驟：把雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程右邊常數(shù)1換成0，則并化簡可得到漸近線方程.（2）若已知漸近線方程為，變形得，則可設(shè)雙曲線方程為，其中為待定系數(shù).若能判斷焦點的位置時，可進一步設(shè)雙曲線方程為（焦點在x軸上）或（焦點在y軸上）. （3）與共漸近線雙曲線的方程可設(shè)為.11、與雙曲線有共同漸近線，并且過點M (3 , 2)的雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離是（ ）(A) 8 (B) 4 (C) 2 (D) 1 12、焦點為F ( 0 , 10 )，漸近線為4 x + 3 y = 0的雙曲線方程為_ 13、焦距為10，漸近線為x±2 y = 0的雙曲線方程為_ 練習(xí)4、求橢圓與雙曲線的離心率。14、(03年北京)直線過橢圓的左焦點和一個頂點B，該橢圓的離心率為（ ）A. B. C. D. 15、在給定雙曲線中，過焦點垂直于實軸的弦長為，焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，則該雙曲線的離心率為（ ）(A) (B)2 (C) (D)216、過雙曲線(a0，b0)的左焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于M、N兩點，以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點，則雙曲線的離心率等于_17、設(shè)橢圓的兩個焦點分別為F1、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（ ）(05年全國卷III)（A） （B） （C） （D）18、雙曲線的中心在原點，實軸長為4，一條準(zhǔn)線方程是x =，則雙曲線的離心率是_19、已知雙曲線的一條漸近線方程為yx，則雙曲線的離心率為（ ）（06年全國卷II）（A） (B) (C) (D)20、已知雙曲線,則雙曲線右支上的點P到右焦點的距離與點P到右準(zhǔn)線的距離之比等于（ ）A. B. C. 2 D.4 （2006年廣東卷）21、已知a > b > 0，e1 , e2分別為圓錐曲線和的離心率，則lg e1 +lg e2的值（ ）(A) 一定是正數(shù) (B) 一定是負(fù)數(shù) (C) 一定是零 (D) 以上答案均不正確 練習(xí)5、利用橢圓的第一定義，求焦點三角形的邊長、周長和面積22、已知ABC的頂點B、C在橢圓 y21上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則ABC的周長是（ ） （2006年全國卷II）（A）2 （B）6 （C）4 （D）1222、已知雙曲線的實軸長為2 a，AB為左支上過焦點F 1的弦，| AB| = m ，F(xiàn)2為雙曲線的另一個焦點，則ABF2的周長是_ 23、如圖，把橢圓的長軸分成等份，過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個點，是橢圓的一個焦點，則_（06年四川卷）24、若雙曲線(a > 0 , b > 0 )與橢圓( m > n > 0 )有相同的焦點F 1 , F 2，P是兩曲線的一個交點，則| P F 1 |·| P F 2 | 等于（ ）(A) m a (B) ( m a ) (C) m 2 a 2 (D) 25、橢圓的焦點F 1, F 2在x軸上，焦距為2，橢圓上的點到兩焦點的距離之和為8，（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）設(shè)點M在橢圓上，且求F1MF2的面積。26、已知雙曲線的焦點為F1、F2，點M在雙曲線上且則點M到x軸的距離為（ ）（A） （B） （C） （D）(05年全國卷III) 答案：（C） 圓錐曲線第1課時橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)班別 姓名 學(xué)號一、橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)橢圓雙曲線定義1到兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)2 a(2 a > | F1F2| )的動點M的軌跡叫橢圓。即 | M F1 | + | M F 2 | = 2 a定點F1、F2叫焦點，| F1F2| 叫焦距。到兩定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)2 a (2 a < | F1F2| )的動點M的軌跡叫雙曲線。即 | M F1 | - | M F 2 | = ±2 a定點F1、F2叫焦點，| F1F2| 叫焦距。定義2到一個定點F1的距離和到一條定直線l的距離的比等于常數(shù)( 0 < e < 1)的動點M的軌跡叫橢圓。定點F1叫做橢圓的焦點，定直線l叫做橢圓的準(zhǔn)線，e叫做橢圓的離心率。到一個定點F1的距離和到一條定直線l的距離的比等于常數(shù)( e > 1)的動點M的軌跡叫雙曲線。定點F1叫做雙曲線的焦點，定直線l叫做雙曲線的準(zhǔn)線，e叫做雙曲線的離心率。標(biāo)準(zhǔn)方程(a > b > 0 )(a > b > 0 )(a > 0 , b > 0 )(a > 0 , b > 0 )判斷焦點位置方法誰的分母大，誰就做a 2，焦點在相應(yīng)字母的坐標(biāo)軸上。（a一定大于b ）（焦點始終在長軸所在的直線上）x 2項的系數(shù)為“+”，則焦點在x軸上，相應(yīng)的項的分母為a 2；y 2項的系數(shù)為“+”，則焦點在y軸上，相應(yīng)的項的分母為a 2。（ a不一定大于b ）（焦點始終在實軸所在的直線上）圖形范圍- a x a - b y b - b x b - a y a x - a或x ay - a或y a頂點坐標(biāo)(±a , 0 ) , (0 , ±b )(±b , 0 ) , ( 0 , ±a )(±a , 0 ) (0 , ±a )焦點坐標(biāo)(±c , 0 ) 焦距長2 c c 2 = a 2 b 2( 0 ,±c ) 焦距長2 cc 2 = a 2 b 2(±c , 0 ) 焦距長2 cc 2 = a 2 + b 2( 0 , ±c ) 焦距長2 cc 2 = a 2 + b 2軸長軸長| A 1 A 2 | = 2 a ，短軸長| B 1 B 2 | = 2 b 實軸長| A 1 A 2 | = 2 a，虛軸長| B 1 B 2 | = 2 b對稱性關(guān)于x軸、y軸、原點對稱關(guān)于x軸、y軸、原點對稱離心率 （ 0 < e < 1 ） （ e > 1 ）準(zhǔn)線方程x = y =x = y =漸近線方程y =y =通徑長練習(xí)1、橢圓與雙曲線方程特征1、已知方程，（1）若方程表示的圖形是圓，則k的取值范圍是_；（2）若方程表示的圖形是橢圓，則k的取值范圍是_；（3）若方程表示的圖形是雙曲線，則k的取值范圍是_。答案：（1） （2）1 < k < 2 且k （3）k < 1或k > 22、若，則“”是“方程表示雙曲線”的( ) （A）充分不必要條件. （B）必要不充分條件. （C）充要條件. （D）既不充分也不必要條件. （2006年上海春卷）答案： A3、若點M到兩定點F 1 (1 , 0 ) , F 2 ( 1 , 0 )的距離之差等于2，則點的軌跡是（ ）(A) 雙曲線 (B) 雙曲線的一支 (C) 兩條射線 (D) 一條射線 答案：(D)4、若點M到兩定點F 1 ( 0 , 1 ) , F 2 ( 0 , 1 )的距離之和等于2，則點的軌跡是（ ）(A) 橢圓 (B) 直線F 1 F 2 (C) 線段F 1 F 2 (D) F 1 F 2的中垂線 答案：(C)5、已知圓錐曲線m x 2 + 4 y 2 = 4 m的離心率e為方程2 x 2 5 x + 2 = 0的兩根，則滿足條件的圓錐曲線有（ ）條(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 答案：(C)解：易知e = 2或 ，由e = 2得焦點在x軸上的雙曲線一條，由得焦點在x軸上的橢圓一條或焦點在y軸上的橢圓一條，選(C)6、已知三點P（5，2）、（6，0）、（6，0）. （）求以、為焦點且過點P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）設(shè)點P、關(guān)于直線yx的對稱點分別為、，求以、為焦點且過點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。（06年江蘇）解：（1）由題意可設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a>b>0),其半焦距c=6,b2=a2-c2=9.所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）點P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)關(guān)于直線y=x的對稱點分別為點P，(2，5)、F1，(0，-6)、F2，(0，6).設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為由題意知，半焦距c1=6,b12=c12-a12=36-20=16. 所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為練習(xí)2、橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)7、已知橢圓，請?zhí)顚懴卤恚洪L軸長短軸長焦距焦點坐標(biāo)離心率準(zhǔn)線方程1086( 0 , ±3 )y =±8、已知橢圓，請?zhí)顚懴卤恚洪L軸長短軸長焦距焦點坐標(biāo)離心率準(zhǔn)線方程1086(±3 , 0)x =±9、已知雙曲線，請?zhí)顚懴卤恚簩嵼S長虛軸長焦距焦點坐標(biāo)離心率準(zhǔn)線方程漸近線方程8102(0 ,± )10、已知雙曲線，請?zhí)顚懴卤恚簩嵼S長虛軸長焦距焦點坐標(biāo)離心率準(zhǔn)線方程漸近線方程8102(±, 0)練習(xí)3、雙曲線中與漸近線有關(guān)的問題（1）由雙曲線方程求漸近線方程步驟：把雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程右邊常數(shù)1換成0，則并化簡可得到漸近線方程.（2）若已知漸近線方程為，變形得，則可設(shè)雙曲線方程為，其中為待定系數(shù).若能判斷焦點的位置時，可進一步設(shè)雙曲線方程為（焦點在x軸上）或（焦點在y軸上）. （3）與共漸近線雙曲線的方程可設(shè)為.11、與雙曲線有共同漸近線，并且過點M (3 , 2)的雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離是（ ）(A) 8 (B) 4 (C) 2 (D) 1 答案： (C)（晨練題十二練習(xí)4）12、焦點為F (, 0 )，漸近線為y =±3 x的雙曲線方程為_答案：（05年上海） (同步44頁練習(xí)6)解：設(shè)所求的雙曲線方程為，即 ，+ 9= 10 ， = 1 所求的雙曲線方程為12、焦點為F ( 0 , 10 )，漸近線為4 x + 3 y = 0的雙曲線方程為_ 答案：（晨練題十二練習(xí)1）解：設(shè)所求的雙曲線方程為，即 ， 16+ 9= 100 ， = 4 所求的雙曲線方程為 即13、焦距為10，漸近線為x±2 y = 0的雙曲線方程為_ 答案：或解：（1）當(dāng)焦點在x軸上時，設(shè)所求的雙曲線方程為，即 4+= 25 ， = 5 所求的雙曲線方程為，即（2）當(dāng)焦點在y軸上時，設(shè)所求的雙曲線方程為，即 4+= 25 ， = 5 所求的雙曲線方程為，即練習(xí)4、求橢圓與雙曲線的離心率。14、(03年北京)直線過橢圓的左焦點和一個頂點B，該橢圓的離心率為（ ）A. B. C. D. 15、在給定雙曲線中，過焦點垂直于實軸的弦長為，焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，則該雙曲線的離心率為（ ）(A) (B)2 (C) (D)2(06年山東文科)（五年131頁練習(xí)2） 答案：(C)解： 由得 由得 => ×得 16、過雙曲線(a0，b0)的左焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于M、N兩點，以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點，則雙曲線的離心率等于_(05年浙江)（五年131頁練習(xí)12） 答案：2解：易知MNA為等腰直角三角形，且MAN為直角 => b 2 = a 2 + a c => c 2 a 2 = a 2 + a c => c 2 a c 2 a 2 = 0 => e 2 e 2 = 0=> ( e 2 ) ( e + 1 ) = 0 => e = 217、設(shè)橢圓的兩個焦點分別為F1、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（ ）(05年全國卷III)答案：（D）（A） （B） （C） （D）18、雙曲線的中心在原點，實軸長為4，一條準(zhǔn)線方程是x =，則雙曲線的離心率是_答案：419、已知雙曲線的一條漸近線方程為yx，則雙曲線的離心率為（ ）（06年全國卷II）答案： (A )（A） (B) (C) (D)20、已知雙曲線,則雙曲線右支上的點P到右焦點的距離與點P到右準(zhǔn)線的距離之比等于（ ）A. B. C. 2 D.4 （2006年廣東卷）答案：C21、已知a > b > 0，e1 , e2分別為圓錐曲線和的離心率，則lg e1 +lg e2的值（ ）(A) 一定是正數(shù) (B) 一定是負(fù)數(shù) (C) 一定是零 (D) 以上答案均不正確 答案：(B)解： ， lg e1 +lg e2 = lg e1 e2 < 0 選(B)練習(xí)5、利用橢圓的第一定義，求焦點三角形的邊長、周長和面積22、已知ABC的頂點B、C在橢圓 y21上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則ABC的周長是（ ） （2006年全國卷II）答案：(C )（A）2 （B）6 （C）4 （D）1222、已知雙曲線的實軸長為2 a，AB為左支上過焦點F 1的弦，| AB| = m ，F(xiàn)2為雙曲線的另一個焦點，則ABF2的周長是_ 答案：4 a + 2 m 23、如圖，把橢圓的長軸分成等份，過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個點，是橢圓的一個焦點，則_（06年四川卷）答案：3524、若雙曲線(a > 0 , b > 0 )與橢圓( m > n > 0 )有相同的焦點F 1 , F 2，P是兩曲線的一個交點，則| P F 1 |·| P F 2 | 等于（ ）(A) m a (B) ( m a ) (C) m 2 a 2 (D) 答案：(A)25、橢圓的焦點F 1, F 2在x軸上，焦距為2，橢圓上的點到兩焦點的距離之和為8，（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）設(shè)點M在橢圓上，且求F1MF2的面積。（10分）解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( a > b > 0 ) （1分）由題意知，a = 4（2分） , c =（3分） , 則 b 2 = a 2 c 2 = 16 15 = 1（4分） 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（5分）（2）解法1：設(shè)M ( x , y )， F 1 ( , 0 )，F(xiàn) 2 ( , 0 )則= (，y ) , = (，y ) （6分）·= ()() + y 2 = x 2 15 + y 2 = 0（7分）（8分） => （9分） | F 1 F 2 | = 2 F1MF2的面積S = = 1（10分）（2）解法2： MF 1MF 2（6分） MF 1+ MF 2 = 8 （7分） MF 12 + MF 22 + 2 MF 1 MF 2 = 64 MF 12 + MF 22 = （8分） 60 + 2 MF 1 MF 2 = 64 MF 1 MF 2 = 2 （9分） F1MF2的面積S = MF 1 MF 2 = 1 （10分）26、已知雙曲線的焦點為F1、F2，點M在雙曲線上且則點M到x軸的距離為（ ）（A） （B） （C） （D）(05年全國卷III) 答案：（C）17