高中數(shù)學(xué) 情境互動(dòng)課型 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 3.1.1 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)課件 新人教版必修1

第三章 函數(shù)的應(yīng)用 3.1 函數(shù)與方程 3.1.1 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn),我國(guó)古代數(shù)學(xué)家已比較系統(tǒng)地解決了部分方程的求解的問(wèn)題.如約公元50100年編成的九章算術(shù)，就給出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具體方法,11世紀(jì)，北宋數(shù)學(xué)家賈憲給出了三次及三次以上的方程的解法. 13世紀(jì)，南宋數(shù)學(xué)家秦九韶給出了求任意次代數(shù)方程的正根的解法,今天我們來(lái)學(xué)習(xí)方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)！,你會(huì)求什么方程的根呢？,1.理解函數(shù)零點(diǎn)的概念，了解函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系.（難點(diǎn)） 2.掌握函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法并會(huì)判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(易錯(cuò)點(diǎn)） 3.會(huì)求函數(shù)的零點(diǎn).（重點(diǎn)）,探究：求出下列一元二次方程的根并作出相應(yīng)的二次 函數(shù)的圖象，觀察二者有何聯(lián)系？ （1）方程x2-2x-3=0與函數(shù)y=x2-2x-3 （2）方程x2-2x+1=0與函數(shù)y=x2-2x+1 （3）方程x2-2x+3=0與函數(shù)y=x2-2x+3,你知道方程對(duì)應(yīng)的函數(shù)是怎么找的嗎？,方程,x2-2x+1=0,x2-2x+3=0,y=x2-2x-3,y=x2-2x+1,函數(shù),函 數(shù) 的 圖 象,方程的實(shí)數(shù)根,x1=-1,x2=3,x1=x2=1,無(wú)實(shí)數(shù)根,(-1,0)、(3,0),(1,0),無(wú)交點(diǎn),x2-2x-3=0,y=x2-2x+3,函數(shù)的圖象 與x軸的交點(diǎn),x,y,1,3,2,1,1,2,1,2,3,4,.,.,.,.,0,.,方程ax2+bx+c =0(a0)的根,函數(shù)y=ax+bx +c(a0)的圖象,判別式= b24ac,0,=0,0,函數(shù)的圖象 與x軸的交點(diǎn),有兩個(gè)相等的 實(shí)數(shù)根x1=x2,沒(méi)有實(shí)數(shù)根,(x1,0),(x2,0),(x1,0),沒(méi)有交點(diǎn),兩個(gè)不相等 的實(shí)數(shù)根x1、 x2,一般結(jié)論,一般地，方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根，也就是其對(duì)應(yīng)函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).,即方程f(x)0有實(shí)數(shù)根 函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(diǎn),對(duì)于函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x 叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).,函數(shù)零點(diǎn)的定義：,零點(diǎn)指的是一個(gè)實(shí)數(shù)， 不是一個(gè)點(diǎn),方程f(x)0有實(shí)數(shù)根 函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(diǎn) 函數(shù)yf(x)有零點(diǎn),現(xiàn)在知道如何求沒(méi)有公式的方程的根了嗎？,.無(wú)數(shù)個(gè),（）,【即時(shí)訓(xùn)練】,例1 函數(shù)f(x)=x(x4)的零點(diǎn)為（ ） A(0，0)，(2，0) B0 C(4，0)，(0，0)， D4，0,D,解析：由x(x4)=0得x=0或x=4. 注意：函數(shù)的零點(diǎn)是實(shí)數(shù)，而不是點(diǎn).,解方程是求函數(shù)零點(diǎn)的一種方法,（ ）,【變式練習(xí)】,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,x,y,O,-1,-2,-1,-4,-3,-2,探究：對(duì)于不能通過(guò)求方程根的方法確定零點(diǎn)的函 數(shù)該如何確定零點(diǎn)呢？,觀察二次函數(shù)f(x)x22x3的圖象： 在區(qū)間-2，1上有零點(diǎn)_； f(-2)=_，f(1)=_， f(-2)f(1)_0(填“”或“”) 在區(qū)間(2，4)上有零點(diǎn)_； f(2)f(4)_0（填“”或 “”）,x=1,4,5,<,x=3,<,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,x,y,O,-2,-1,-4,-3,-2,-1,思考：觀察圖象填空,有,<,有,<,有,<,在區(qū)間(a,b)上,f(a)f(b)_0(填“”或 “”)在區(qū)間(a,b)上,_(填“有”或“無(wú)”)零 點(diǎn)； 在區(qū)間(b,c)上,f(b)f(c) _0(填“”或 “”)在區(qū)間(b,c)上,_(填“有”或“無(wú)”)零 點(diǎn)； 在區(qū)間(c,d)上f(c)f(d) _0(填“”或 “”)在區(qū)間(c,d)上,_(填“有”或“無(wú)”) 零點(diǎn)；,a,b,c,函數(shù)零點(diǎn)存在的判斷,如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c(a,b),使得f(c)=0,這個(gè)c也就是方程f(x)=0的一個(gè)根.,方程lnx= 必有一個(gè)根的區(qū)間是( ) A.(1,2) B.(2,3) C.( ,1) D.(3,+),B,【解題關(guān)鍵】 將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用零點(diǎn)的存在性定理判斷,【即時(shí)訓(xùn)練】,例2 判斷正誤，若不正確，請(qǐng)使用函數(shù)圖象舉出反例 （1）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(a) f(b)<0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).（ ） （2）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(a) f(b)0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn).（ ） （3）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上滿(mǎn)足f(a)f(b)<0， 則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)一定存在零點(diǎn).（ ）,解析：（1）已知函數(shù)y=f (x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，且 f(a)f(b)< 0 ，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有且僅有一 個(gè)零點(diǎn). （ ）,如圖,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有3個(gè)零點(diǎn),故“在區(qū)間(a,b) 內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)”的說(shuō)法是錯(cuò)誤的.,滿(mǎn)足條件一定有零點(diǎn)，但不確定有幾個(gè),可知，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，f(a)f(b)0，但f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn). 故論斷不正確.,（2）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，且 f(a)f(b) 0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn). （ ）,a,b,O,x,y,如圖,雖然函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上滿(mǎn)足f(a)f(b)< 0,但是圖象不是連續(xù)的曲線，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)不一定存在零點(diǎn)，故論斷不正確.,（3）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上滿(mǎn)足f(a)f(b)<0， 則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)一定存在零點(diǎn).（ ）,如圖,若函數(shù)y=5x2-7x-1在區(qū)間a,b上的圖象 是連續(xù)不斷的曲線，且函數(shù)y=5x2-7x-1在(a, b)內(nèi)有零點(diǎn)，則f(a)f(b)的值( ) A.大于0 B.小于0 C.無(wú)法判斷 D.等于0,C,【變式練習(xí)】,f(a)f(b)<0,則函數(shù)y=f(x)在(a,b)上一定有零點(diǎn)， 但是函數(shù)y=f(x)在(a,b)上有零點(diǎn)，f(a)f(b)<0不一定成立.,由表可知f(2)0，,由于函數(shù)f(x)在定義域(0,+)內(nèi)是增函數(shù)，所以它僅有一個(gè)零點(diǎn),用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出x，f(x)的對(duì)應(yīng)值表和圖象；,例3.求函數(shù)f(x)=lnx+2x6的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).,解：,-4,-1.306 9,1.098 6,3.386 3,5.609 4,7.791 8,9.945 9,12.079 4,14.197 2,方法一,f(x)=lnx+2x6,從而f(2)f(3)<0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點(diǎn),10,8,6,4,2,-2,-4,5,1,2,3,4,6,x,y,O,y=2x+6,y=lnx,即求方程lnx+2x-6=0的根的個(gè)數(shù)，即求lnx=6-2x的根的個(gè)數(shù)，即判斷函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=6-2x的交點(diǎn)個(gè)數(shù).,如圖可知，只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程只有一根，函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).,方法二：,轉(zhuǎn)化,求方程2-x =x的根的個(gè)數(shù)，并確定根所在的區(qū)間 n，n+1(nZ),解析：求方程 的根的個(gè)數(shù)，即求方程 的根的個(gè)數(shù)，即判斷函數(shù) 與 的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù).由圖可 知只有一個(gè)解.,【變式練習(xí)】,數(shù)形結(jié)合,估算f(x)在各整數(shù)處的取值的正負(fù)：,令,由上表可知，方程的根所在區(qū)間為,+,可根據(jù)圖象確定大體區(qū)間,1.在二次函數(shù) 中，ac<0,則其零點(diǎn)的個(gè) 數(shù)為（） .不存在,2.若不是常數(shù)函數(shù)且最小值為，則 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（）,.,.,.或,.不確定,D,B,.已知函數(shù) 是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且 在 上有一個(gè)零點(diǎn)，則 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ( ) . . . .不確定,A,4.若abc，則函數(shù)f（x）=（x-a）（x-b）+ （x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間（） A.（a，b）和（b，c）內(nèi) B.（-，a）和（a，b）內(nèi) C.（b，c）和（c，+）內(nèi) D.（-，a）和（c，+）內(nèi) 提示：由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知：在區(qū)間（a，b），（b，c）內(nèi)分別存在一個(gè)零點(diǎn)；又函數(shù)f（x）是二次函數(shù)，最多有兩個(gè)零點(diǎn)，即可判斷出,A,5.若方程ax2-x-1=0在（0，1）內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 【解析】 （1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-x-1，其零點(diǎn)為 -1（0，1），所以a0；（2）當(dāng)a0時(shí)，因?yàn)榉匠蘟x2-x-1=0在（0，1）內(nèi)恰有一解，即二次函數(shù)函數(shù)f（x）=ax2-x-1在（0，1）內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，所以f（0）f（1）0，即-1（a-2）0，解得a2 故a的取值范圍為（2，+）,三個(gè)等價(jià)關(guān)系,零點(diǎn),代數(shù)法,圖象法,零點(diǎn)的求法,零點(diǎn)的存在性定理,二次函數(shù)的零點(diǎn)與二次方程的實(shí)根的關(guān)系,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象,一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的零點(diǎn),有兩相異實(shí)根x1,x2(x1<x2),有兩相等實(shí)根x1=x2,沒(méi)有實(shí)根,有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,有一個(gè)二重零點(diǎn)x1=x2,沒(méi)有零點(diǎn),如果你不知道你要到哪兒去，那通常你哪兒也去不了.,