高中數(shù)學 情境互動課型 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 3.1.1 方程的根與函數(shù)的零點課件 新人教版必修1

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1、第三章 函數(shù)的應(yīng)用 3.1 函數(shù)與方程 3.1.1 方程的根與函數(shù)的零點,我國古代數(shù)學家已比較系統(tǒng)地解決了部分方程的求解的問題.如約公元50100年編成的九章算術(shù)，就給出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具體方法,11世紀，北宋數(shù)學家賈憲給出了三次及三次以上的方程的解法. 13世紀，南宋數(shù)學家秦九韶給出了求任意次代數(shù)方程的正根的解法,今天我們來學習方程的根與函數(shù)的零點！,你會求什么方程的根呢？,1.理解函數(shù)零點的概念，了解函數(shù)零點與方程根的關(guān)系.（難點） 2.掌握函數(shù)零點的判斷方法并會判斷函數(shù)零點的個數(shù).(易錯點） 3.會求函數(shù)的零點.（重點）,探究：求出下列一元二次方程的根并作出相應(yīng)的二次

2、 函數(shù)的圖象，觀察二者有何聯(lián)系？ （1）方程x2-2x-3=0與函數(shù)y=x2-2x-3 （2）方程x2-2x+1=0與函數(shù)y=x2-2x+1 （3）方程x2-2x+3=0與函數(shù)y=x2-2x+3,你知道方程對應(yīng)的函數(shù)是怎么找的嗎？,方程,x2-2x+1=0,x2-2x+3=0,y=x2-2x-3,y=x2-2x+1,函數(shù),函 數(shù) 的 圖 象,方程的實數(shù)根,x1=-1,x2=3,x1=x2=1,無實數(shù)根,(-1,0)、(3,0),(1,0),無交點,x2-2x-3=0,y=x2-2x+3,函數(shù)的圖象 與x軸的交點,x,y,1,3,2,1,1,2,1,2,3,4,.,.,.,.,0,.,方程ax2

3、+bx+c =0(a0)的根,函數(shù)y=ax+bx +c(a0)的圖象,判別式= b24ac,0,=0,0,函數(shù)的圖象 與x軸的交點,有兩個相等的 實數(shù)根x1=x2,沒有實數(shù)根,(x1,0),(x2,0),(x1,0),沒有交點,兩個不相等 的實數(shù)根x1、 x2,一般結(jié)論,一般地，方程f(x)=0的實數(shù)根，也就是其對應(yīng)函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標.,即方程f(x)0有實數(shù)根 函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點,對于函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實數(shù)x 叫做函數(shù)y=f(x)的零點.,函數(shù)零點的定義：,零點指的是一個實數(shù)， 不是一個點,方程f(x)0有實數(shù)根 函數(shù)yf(x)的圖象

4、與x軸有交點 函數(shù)yf(x)有零點,現(xiàn)在知道如何求沒有公式的方程的根了嗎？,.無數(shù)個,（）,【即時訓練】,例1 函數(shù)f(x)=x(x4)的零點為（ ） A(0，0)，(2，0) B0 C(4，0)，(0，0)， D4，0,D,解析：由x(x4)=0得x=0或x=4. 注意：函數(shù)的零點是實數(shù)，而不是點.,解方程是求函數(shù)零點的一種方法,（ ）,【變式練習】,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,x,y,O,-1,-2,-1,-4,-3,-2,探究：對于不能通過求方程根的方法確定零點的函 數(shù)該如何確定零點呢？,觀察二次函數(shù)f(x)x22x3的圖象： 在區(qū)間-2，1上有零點_； f(-2)=_，f(

5、1)=_， f(-2)f(1)_0(填“”或“”) 在區(qū)間(2，4)上有零點_； f(2)f(4)_0（填“”或 “”）,x=1,4,5,x=3,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,x,y,O,-2,-1,-4,-3,-2,-1,思考：觀察圖象填空,有,有,有,在區(qū)間(a,b)上,f(a)f(b)_0(填“”或 “”)在區(qū)間(a,b)上,_(填“有”或“無”)零 點； 在區(qū)間(b,c)上,f(b)f(c) _0(填“”或 “”)在區(qū)間(b,c)上,_(填“有”或“無”)零 點； 在區(qū)間(c,d)上f(c)f(d) _0(填“”或 “”)在區(qū)間(c,d)上,_(填“有”或“無”) 零點；,a

6、,b,c,函數(shù)零點存在的判斷,如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點，即存在c(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的一個根.,方程lnx= 必有一個根的區(qū)間是( ) A.(1,2) B.(2,3) C.( ,1) D.(3,+),B,【解題關(guān)鍵】 將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用零點的存在性定理判斷,【即時訓練】,例2 判斷正誤，若不正確，請使用函數(shù)圖象舉出反例 （1）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(a) f(b)0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有且僅有一個零點.（ ） （

7、2）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(a) f(b)0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)沒有零點.（ ） （3）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上滿足f(a)f(b)0， 則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)一定存在零點.（ ）,解析：（1）已知函數(shù)y=f (x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，且 f(a)f(b) 0 ，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有且僅有一 個零點. （ ）,如圖,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有3個零點,故“在區(qū)間(a,b) 內(nèi)有且僅有一個零點”的說法是錯誤的.,滿足條件一定有零點，但不確定有幾個,可知，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，f(a)f(b)0，但f(x)在區(qū)間(a

8、,b)內(nèi)有零點. 故論斷不正確.,（2）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，且 f(a)f(b) 0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)沒有零點. （ ）,a,b,O,x,y,如圖,雖然函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上滿足f(a)f(b) 0,但是圖象不是連續(xù)的曲線，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)不一定存在零點，故論斷不正確.,（3）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上滿足f(a)f(b)0， 則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)一定存在零點.（ ）,如圖,若函數(shù)y=5x2-7x-1在區(qū)間a,b上的圖象 是連續(xù)不斷的曲線，且函數(shù)y=5x2-7x-1在(a, b)內(nèi)有零點，則f(a)f(b)的值( ) A.大于

9、0 B.小于0 C.無法判斷 D.等于0,C,【變式練習】,f(a)f(b)0,則函數(shù)y=f(x)在(a,b)上一定有零點， 但是函數(shù)y=f(x)在(a,b)上有零點，f(a)f(b)0不一定成立.,由表可知f(2)0，,由于函數(shù)f(x)在定義域(0,+)內(nèi)是增函數(shù)，所以它僅有一個零點,用計算器或計算機作出x，f(x)的對應(yīng)值表和圖象；,例3.求函數(shù)f(x)=lnx+2x6的零點的個數(shù).,解：,-4,-1.306 9,1.098 6,3.386 3,5.609 4,7.791 8,9.945 9,12.079 4,14.197 2,方法一,f(x)=lnx+2x6,從而f(2)f(3)0,函數(shù)

10、f(x)在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點,10,8,6,4,2,-2,-4,5,1,2,3,4,6,x,y,O,y=2x+6,y=lnx,即求方程lnx+2x-6=0的根的個數(shù)，即求lnx=6-2x的根的個數(shù)，即判斷函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=6-2x的交點個數(shù).,如圖可知，只有一個交點，即方程只有一根，函數(shù)f(x)只有一個零點.,方法二：,轉(zhuǎn)化,求方程2-x =x的根的個數(shù)，并確定根所在的區(qū)間 n，n+1(nZ),解析：求方程 的根的個數(shù)，即求方程 的根的個數(shù)，即判斷函數(shù) 與 的圖象交點個數(shù).由圖可 知只有一個解.,【變式練習】,數(shù)形結(jié)合,估算f(x)在各整數(shù)處的取值的正負：,令,由上表可知，方程的根所

11、在區(qū)間為,+,可根據(jù)圖象確定大體區(qū)間,1.在二次函數(shù) 中，ac0,則其零點的個 數(shù)為（） .不存在,2.若不是常數(shù)函數(shù)且最小值為，則 的零點個數(shù)（）,.,.,.或,.不確定,D,B,.已知函數(shù) 是定義域為的奇函數(shù)，且 在 上有一個零點，則 的零點個數(shù)為 ( ) . . . .不確定,A,4.若abc，則函數(shù)f（x）=（x-a）（x-b）+ （x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）的兩個零點分別位于區(qū)間（） A.（a，b）和（b，c）內(nèi) B.（-，a）和（a，b）內(nèi) C.（b，c）和（c，+）內(nèi) D.（-，a）和（c，+）內(nèi) 提示：由函數(shù)零點存在性定理可知：在區(qū)間（a，b），（b，c）內(nèi)分別存

12、在一個零點；又函數(shù)f（x）是二次函數(shù)，最多有兩個零點，即可判斷出,A,5.若方程ax2-x-1=0在（0，1）內(nèi)恰有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍 【解析】 （1）當a=0時，f（x）=-x-1，其零點為 -1（0，1），所以a0；（2）當a0時，因為方程ax2-x-1=0在（0，1）內(nèi)恰有一解，即二次函數(shù)函數(shù)f（x）=ax2-x-1在（0，1）內(nèi)恰有一個零點，所以f（0）f（1）0，即-1（a-2）0，解得a2 故a的取值范圍為（2，+）,三個等價關(guān)系,零點,代數(shù)法,圖象法,零點的求法,零點的存在性定理,二次函數(shù)的零點與二次方程的實根的關(guān)系,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象,一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的零點,有兩相異實根x1,x2(x1x2),有兩相等實根x1=x2,沒有實根,有兩個零點x1,x2,有一個二重零點x1=x2,沒有零點,如果你不知道你要到哪兒去，那通常你哪兒也去不了.,