2017-2018學年秦皇島市海港區(qū)八年級上期末數(shù)學試卷含答案解析.doc

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2017-2018學年河北省秦皇島市海港區(qū)八年級（上）期末數(shù)學試卷 一、選擇題（每題3分，共30分） 1．在實數(shù)范圍內(nèi)，有意義，則x的取值范圍是（　?。? A．x≥1 B．x≤1 C．x＞1 D．x＜1 2．在3.1415926，，，中，無理數(shù)有（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 3．既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　　） A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰直角三角形 D．圓 4．下列根式是最簡二次根式的是（　　） A． B． C． D． 5．若實數(shù)x，y滿足|x﹣4|+=0，則以x，y的值為邊長的等腰三角形的周長為（　?。? A．20 B．16 C．20或16 D．12 6．若分式的值為0，則x的值為（　?。? A．﹣1 B．1 C．±1 D．0 7．使兩個直角三角形全等的條件是（　　） A．一個銳角對應(yīng)相等 B．兩個銳角對應(yīng)相等 C．一條邊對應(yīng)相等 D．兩條邊對應(yīng)相等 8．如圖，OC平分∠MON，P為OC上一點，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分別為A、B，連接AB，得到以下結(jié)論：（1）PA=PB；（2）OA=OB；（3）OP與AB互相垂直平分；（4）OP平分∠APB，正確的個數(shù)是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如圖，△ABC中，∠A=50°，∠C=60°，DE垂直平分AB，則∠DBC的度數(shù)為（　?。? A．10° B．20° C．30° D．40° 10．如圖，在等邊三角形ABC中，BD=CE，將線段AE沿AC翻折，得到線段AM，連結(jié)EM交AC于點N，連結(jié)DM、CM以下說法：①AD=AE=AM，②∠ECA=∠MCA，③CN=EC，④AD=DM中，正確的是（　?。? A．①② B．①②③ C．①②③ D．①②③④ 　 二、填空題（每空2分，共20分） 11．化簡：÷=　 　； =　 ?。? 12．如圖，AD為Rt∠ABC的角平分線，∠B=90°，AC=5，DB=2，則D到AC距離為　 ?。? 13．正方形的邊長為a，它的面積與長為4cm、寬為12cm的長方形的面積相等，則a=　 　cm． 14．已知=2，則=　 ?。? 15．如圖，△ABC中，AB=8，AC=6，BC=5，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點O，過O點作DE∥BC，則△ADE的周長為　 　． 16．某人騎自行車比步行每小時多走8千米，如果他步行12千米所用時間與騎車行36千米所用時間相等，那么他的 步行速度為　 　千米/小時． 17．如圖，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，D點從A出發(fā)以每秒1cm的速度向B點運動，當D點運動到AC的中垂線上時，運動時間為　 　秒． 18．如圖，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC，BE⊥AC，P為AD上一動點，則PE+PC的最小值為　 ?。? 19．如圖，數(shù)軸上A點表示數(shù)7，B點表示數(shù)5，C為OB上一點，當以O(shè)C、CB、BA三條線段為邊，可以圍成等腰三角形時，C點表示數(shù)　 ?。? 　 三、解答題（共50分） 20．（9分）計算 （1）先化簡，再求值+÷，其中a=+1． （2）已知x=2﹣，求代數(shù)式（7+4）x2+（2+）x+的值． 21．（12分）如圖，8×8網(wǎng)格中，每個小正方形邊長為1． （1）分別畫出△ABC繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)90°所得△A1B1C1及△ABC關(guān)于O點的中心對稱圖形； （2）連結(jié)A2B，BB2，判斷△A2B2B形狀并證明； （3）證明C2不在線段A2B上． 22．（10分）我們知道定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，這個定理的逆命題也是真命題． （1）這個定理的逆命題是　 ??； （2）下面我們來證明這個逆命題： 已知：如圖1，CD是△ABC的中線，CD=AB 求證：△ABC為直角三角形． （3）如圖2已知線段AB和直線l，點C是直線l上一點，若△ABC為直角三角形，請你用圓規(guī)和沒有刻度的直尺確定點C位置． 23．（9分）銳角△ABC中，E、D分別為AB，AC上一點，BD與CE相交于點M，BD=CE． （1）若∠BDC=∠CEB=90°，如圖① ①求證：△BDC≌△CEB； ②求證：AM平分∠BAC． （2）若∠BDC≠90°，∠CEB≠90°，AB=AC，當BD=CE時，AM不一定平分∠BAC，請你在圖②中尺規(guī)畫圖舉例，并直接寫出當AM不平分∠BAC時，∠BDC與∠CEB的關(guān)系． 24．（10分）取一張長方形紙片ABCD（如圖①），AB=8，BC=a． （1）當a=16時，按下列步驟操作 ①將圖①紙片對折，使較長的兩邊BC，AD重合，折痕為EF，再打開紙片，如圖②． ②再折疊，使點A落在EF上的點G處，折痕為BH，如圖③ ③連接AG，BG． 請證明△ABG是等邊三角形． （2）小明認為當a＜8時，折不出邊長為8的等邊三角形．你認為他的說法正確嗎？若不正確請通過計算說明，a滿足什么條件時能折出一個邊長為8的等邊三角形？ （3）當a足夠大時，請你利用折紙，折出一個面積最大的等邊三角形，并寫出折法． 　  2017-2018學年河北省秦皇島市海港區(qū)八年級（上）期末數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（每題3分，共30分） 1．（3分）在實數(shù)范圍內(nèi)，有意義，則x的取值范圍是（　?。? A．x≥1 B．x≤1 C．x＞1 D．x＜1 【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件列出關(guān)于x的不等式，求出x的取值范圍即可． 【解答】解：∵在實數(shù)范圍內(nèi)，有意義， ∴x﹣1≥0，解得x≥1． 故選：A． 【點評】本題考查的是二次根式有意義的條件，即被開方數(shù)大于等于0． 2．（3分）在3.1415926，，，中，無理數(shù)有（　　） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【分析】無理數(shù)常見的三種類型：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，③含有π的數(shù)，如分數(shù)π2是無理數(shù)，因為π是無理數(shù)． 【解答】解：3.1415926是有限小數(shù)，是有理數(shù)， =2，是有理數(shù)， =4，是有理數(shù)， 是開方開不盡的二次根式，是無理數(shù)． 故選：A． 【點評】本題主要考查的是無理數(shù)的概念，掌握無理數(shù)的常見類型是解題的關(guān)鍵． 3．（3分）既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　?。? A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰直角三角形 D．圓 【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念判斷即可． 【解答】解：A、直角三角形不一定是軸對稱圖形，也不一定是中心對稱圖形； B、等邊三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形； C、等腰直角三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形； D、圓是軸對稱圖形，是中心對稱圖形； 故選：D． 【點評】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合． 4．（3分）下列根式是最簡二次根式的是（　?。? A． B． C． D． 【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義即可求出答案． 【解答】解：（A）原式=，故A不是最簡二次根式； （C）原式，故C不是最簡二次根式； （D）原式=2，故D不是最簡二次根式； 故選：B． 【點評】本題考查最簡二次根式，解題的關(guān)鍵是理解最簡二次根式，本題屬于基礎(chǔ)題型． 5．（3分）若實數(shù)x，y滿足|x﹣4|+=0，則以x，y的值為邊長的等腰三角形的周長為（　　） A．20 B．16 C．20或16 D．12 【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出x、y，再分情況討論求解． 【解答】解：根據(jù)題意得，x﹣4=0，y﹣8=0， 解得x=4，y=8， ①4是腰長時，三角形的三邊分別為4、4、8， ∵4+4=8， ∴不能組成三角形； ②4是底邊時，三角形的三邊分別為4、8、8， 能組成三角形， 周長=8+8+4=20． 綜上所述，等腰三角形的周長是20． 故選：A． 【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，難點在于要分情況討論． 6．（3分）若分式的值為0，則x的值為（　?。? A．﹣1 B．1 C．±1 D．0 【分析】直接利用分式的值為零則分子為零進而得出答案． 【解答】解：∵分式的值為0， ∴x2﹣1=0，x≠0， 解得：x=±1． 故選：C． 【點評】此題主要考查了分式的值為零的條件，正確把握定義是解題關(guān)鍵． 7．（3分）使兩個直角三角形全等的條件是（　?。? A．一個銳角對應(yīng)相等 B．兩個銳角對應(yīng)相等 C．一條邊對應(yīng)相等 D．兩條邊對應(yīng)相等 【分析】利用全等三角形的判定來確定．做題時，要結(jié)合已知條件與三角形全等的判定方法逐個驗證． 【解答】解：A、一個銳角對應(yīng)相等，利用已知的直角相等，可得出另一組銳角相等，但不能證明兩三角形全等，故A選項錯誤； B、兩個銳角相等，那么也就是三個對應(yīng)角相等，但不能證明兩三角形全等，故B選項錯誤； C、一條邊對應(yīng)相等，再加一組直角相等，不能得出兩三角形全等，故C選項錯誤； D、兩條邊對應(yīng)相等，若是兩條直角邊相等，可利用SAS證全等；若一直角邊對應(yīng)相等，一斜邊對應(yīng)相等，也可證全等，故D選項正確． 故選：D． 【點評】本題考查了直角三角形全等的判定方法；三角形全等的判定有ASA、SAS、AAS、SSS、HL，可以發(fā)現(xiàn)至少得有一組對應(yīng)邊相等，才有可能全等． 8．（3分）如圖，OC平分∠MON，P為OC上一點，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分別為A、B，連接AB，得到以下結(jié)論：（1）PA=PB；（2）OA=OB；（3）OP與AB互相垂直平分；（4）OP平分∠APB，正確的個數(shù)是（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得PA=PB，再利用“HL”證明Rt△APO和Rt△BPO全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠APO=∠BPO，全等三角形對應(yīng)邊相等可得OA=OB 【解答】解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB， ∴PA=PB，故（1）正確； 在Rt△APO和Rt△BPO中， ， ∴Rt△APO≌Rt△BPO（HL）， ∴∠APO=∠BPO，OA=OB，故（2）正確， ∴PO平分∠APB，故（4）正確， OP垂直平分AB，但AB不一定垂直平分OP，故（3）錯誤， 故選：C． 【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)與判定方法是解題的關(guān)鍵． 9．（3分）如圖，△ABC中，∠A=50°，∠C=60°，DE垂直平分AB，則∠DBC的度數(shù)為（　?。? A．10° B．20° C．30° D．40° 【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC的度數(shù)，再由線段垂直平分線的性質(zhì)求出∠ABD的度數(shù)，進而可得出結(jié)論． 【解答】解：∵∠A=50°，∠C=60°， ∴∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°． ∵DE垂直平分AB， ∴∠ABD=50°， ∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70﹣50°=20°． 故選：B． 【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等是解答此題的關(guān)鍵． 10．（3分）如圖，在等邊三角形ABC中，BD=CE，將線段AE沿AC翻折，得到線段AM，連結(jié)EM交AC于點N，連結(jié)DM、CM以下說法：①AD=AE=AM，②∠ECA=∠MCA，③CN=EC，④AD=DM中，正確的是（　?。? A．①② B．①②③ C．①②③ D．①②③④ 【分析】只要證明△ABD≌△ACE，△ADM是等邊三角形，AC垂直平分線段EM即可一一判斷； 【解答】解：∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=AC，∠B=∠ACE=∠BAC=60°， ∵BD=CE， ∴△ABD≌△ACE， ∴AD=AE，∠BAD=∠CAE， ∵線段AE沿AC翻折，得到線段AM， ∴AE=AM，CE=CM，∠ACE=∠ACM，故②正確， ∴AD=AE=AM，故①正確， ∴AC垂直平分線段EM， ∵∠ECN=60°，∠CNE=90°， ∴∠CEN=30°， ∴CN=EC，故③正確， ∵∠CAE=∠CAM，∠BAD=∠CAE， ∴∠BAD=∠CAM， ∴∠DAM=∠BAC=60°， ∴△ADM是等邊三角形， ∴AD=AM，故④正確， 故選：D． 【點評】本題考查翻折變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形就解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題． 　 二、填空題（每空2分，共20分） 11．（4分）化簡：÷=　2??； =　，2?。? 【分析】直接利用二次根式的乘除運算法則計算得出答案． 【解答】解：÷==2； =5． 故答案為：2，2． 【點評】此題主要考查了二次根式的乘除運算，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵． 12．（2分）如圖，AD為Rt∠ABC的角平分線，∠B=90°，AC=5，DB=2，則D到AC距離為　2　． 【分析】過D作DE⊥AC，利用角平分線的性質(zhì)解答即可． 【解答】解：過D作DE⊥AC， ∵AD為Rt∠ABC的角平分線，∠B=90°， ∴DE=BD=2， 即D到AC距離為2， 故答案為：2 【點評】此題考查角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用角平分線的性質(zhì)解答． 13．（2分）正方形的邊長為a，它的面積與長為4cm、寬為12cm的長方形的面積相等，則a=　4　cm． 【分析】根據(jù)題意可得方程a2=4×12，再利用開平方法解出a的值即可． 【解答】解：由題意得：a2=4×12， a=±， a=±4， ∵a＞0， ∴a=4， 故答案為：4． 【點評】此題主要考查了算術(shù)平方根，關(guān)鍵是掌握如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根． 14．（2分）已知=2，則=　﹣1?。? 【分析】根據(jù)已知得：a=2b，代入所求分式，將所有的a換成2b，化簡可得結(jié)論． 【解答】解：∵ =2， ∴a=2b， 則， =， =， =﹣1． 故答案為：﹣1． 【點評】此題主要考查了分式的值，正確得出a，b的關(guān)系是解題關(guān)鍵． 15．（2分）如圖，△ABC中，AB=8，AC=6，BC=5，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點O，過O點作DE∥BC，則△ADE的周長為　14?。? 【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得∠DBO與∠OBC的關(guān)系，∠ECO與∠OCB的關(guān)系，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠DOB與∠BOC的關(guān)系，∠EOC與∠OCB的關(guān)系，根據(jù)等腰三角形的判定，可得OD與BD的關(guān)系，OE與CE的關(guān)系，根據(jù)三角形的周長公式，可得答案． 【解答】解：由∠ABC與∠ACB的平分線相交于點O，得 ∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB． 由DE∥BC，得 ∠DOB=∠BOC，∠EOC=∠OCB， ∠DOB=∠DBO，∠EOC=∠ECO， ∴DO=BD，OE=EC． C△ADE=AD+DE+AE=AD+BD+AE+CE=AB+AC=14． 故答案為14． 【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，利用等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵，又利用了角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)． 16．（2分）某人騎自行車比步行每小時多走8千米，如果他步行12千米所用時間與騎車行36千米所用時間相等，那么他的 步行速度為　4　千米/小時． 【分析】設(shè)他的步行速度為x千米/小時，則他騎自行車的速度為（x+8）千米/小時，根據(jù)題意得出方程=，求出方程的解即可． 【解答】解：設(shè)他的步行速度為x千米/小時，則他騎自行車的速度為（x+8）千米/小時， 方程為=， 方程兩邊都乘以x（x+8）得：12（x+8）=36x， 解得：x=4， 經(jīng)檢驗x=4是所列方程的解， 即他的步行速度為4千米/小時， 故答案為：4． 【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，能根據(jù)題意列出方程是解此題的關(guān)鍵． 17．（2分）如圖，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，D點從A出發(fā)以每秒1cm的速度向B點運動，當D點運動到AC的中垂線上時，運動時間為　　秒． 【分析】畫出圖形，根據(jù)勾股定理解答即可． 【解答】解：如圖所示： ∵Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm， ∴AC=， ∵ED'是AC的中垂線， ∴CE=5， 連接CD'， ∴CD'=AD'， 在Rt△BCD'中，CD'2=BD'2+BC2， 即AD'2=62+（8﹣AD'）2， 解得：AD'=， ∴當D點運動到AC的中垂線上時，運動時間為秒， 故答案為： 【點評】此題考查勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理構(gòu)建直角三角形進行解答． 18．（2分） 如圖，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC，BE⊥AC，P為AD上一動點，則PE+PC的最小值為　?。? 【分析】作E關(guān)于AD的對稱點M，連接CM交AD于P，連接EF，過C作CN⊥AB于N，根據(jù)三線合一定理求出BD的長和AD⊥BC，根據(jù)勾股定理求出AD，根據(jù)三角形面積公式求出CN，根據(jù)對稱性質(zhì)求出CP+EP=CM，根據(jù)垂線段最短得出CP+EP≥，即可得出答案． 【解答】解： 作E關(guān)于AD的對稱點M，連接CM交AD于P，連接EP，過C作CN⊥AB于N， ∵AB=AC=13，BC=10，AD是BC邊上的中線， ∴BD=DC=5，AD⊥BC，AD平分∠BAC， ∴M在AB上， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD==12， ∴S△ABC=×BC×AD=×AB×CN， ∴CN=， ∵E關(guān)于AD的對稱點M， ∴EP=PM， ∴CP+EP=CP+PM=CM， 根據(jù)垂線段最短得出：CM≥CN， 即CP+EP≥， 即CP+EP的最小值是， 故答案為： 【點評】本題考查了平面展開﹣最短路線問題，關(guān)鍵是畫出符合條件的圖形，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目． 19．（2分）如圖，數(shù)軸上A點表示數(shù)7，B點表示數(shù)5，C為OB上一點，當以O(shè)C、CB、BA三條線段為邊，可以圍成等腰三角形時，C點表示數(shù)　2或2.5或3　． 【分析】根據(jù)等腰三角形的兩邊相等進行解答即可． 【解答】解：∵數(shù)軸上A點表示數(shù)7，B點表示數(shù)5， ∴BA=2， ∵以O(shè)C、CB、BA三條線段為邊圍成等腰三角形時， 若CB=BA=2，則OC=5﹣2=3，所以C點表示數(shù)為3， 若OC=BA=2，所以C點表示數(shù)為2， 若OC=CB，則OC=5÷2=2.5，所以C點表示數(shù)為2.5， 故答案為：2或2.5或3． 【點評】本題考查了等腰三角形兩邊相等的性質(zhì)，注意分類討論得出是解題關(guān)鍵． 　 三、解答題（共50分） 20．（9分）計算 （1）先化簡，再求值+÷，其中a=+1． （2）已知x=2﹣，求代數(shù)式（7+4）x2+（2+）x+的值． 【分析】（1）先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則計算可得； （2）根據(jù)x的值，可以求得題目中所求式子的值． 【解答】解：（1）原式=+? =+ =， 當a=+1時， 原式==1+； （2）∵x=2﹣， ∴x2=（2﹣）2=7﹣4， ∴（7+4）x2+（2+）x+ =（7+4）（7﹣4）+（2+）（2﹣）+ =1+1+ =2+． 【點評】本題考查分式與二次根式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確分式與二次根式化簡求值的方法． 21．（12分）如圖，8×8網(wǎng)格中，每個小正方形邊長為1． （1）分別畫出△ABC繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)90°所得△A1B1C1及△ABC關(guān)于O點的中心對稱圖形； （2）連結(jié)A2B，BB2，判斷△A2B2B形狀并證明； （3）證明C2不在線段A2B上． 【分析】（1）利用網(wǎng)格特點和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出△A1B1C1和△A2B2C2； （2）先計算出B2B2=20，A2B22=5，A2B2=25，然后根據(jù)勾股定理的逆定理進行判斷； （3）計算A2C2+BC2≠A2B可判斷C2不在線段A2B上． 【解答】（1）解：如圖，△A1B1C1和△A2B2C2為所作； （2）解：△A2B2B為直角三角形． 理由如下：∵B2B2=22+42=20，A2B22=22+12=5，A2B2=32+42=25， ∴B2B2+A2B22=A2B2， ∴△A2B2B為直角三角形； （3）證明：∵A2C2==，BC2==，A2B=5， ∴A2C2+BC2≠A2B， ∴C2不在線段A2B上 【點評】本題考查了作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．也考查了勾股定理的逆定理． 22．（10分）我們知道定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，這個定理的逆命題也是真命題． （1）這個定理的逆命題是　如果一個三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形??； （2）下面我們來證明這個逆命題： 已知：如圖1，CD是△ABC的中線，CD=AB 求證：△ABC為直角三角形． （3）如圖2已知線段AB和直線l，點C是直線l上一點，若△ABC為直角三角形，請你用圓規(guī)和沒有刻度的直尺確定點C位置． 【分析】（1）直接得出它的逆命題； （2）先判斷出∠A=∠1，∠B=∠2，最后用三角形的內(nèi)角和定理，即可求出∠1+∠2=90°，即可得出結(jié)論； （3）過點A，B作線段AB的垂線交直線l于C，C，再以線段AB為直徑作圓，即可得出結(jié)論． 【解答】解：（1）∵“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”， ∴它逆命題是：如果一個三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形， 故答案為：如果一個三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形； （2）如圖， ∵CD是△ABC的中線， ∴AD=BD=AB， ∵CD=AB， ∴AD=CD=BD， ∴∠A=∠1，∠B=∠2， 在△ABC中，∠A+∠B+∠1+∠2=180°， ∴∠1+∠2+∠1+∠2=180°， ∴∠1+∠2=90°， ∴∠ACB=90°， ∴△ABC為直角三角形； （3）如圖2所示，△ABC和△ABC'為所求作的圖形， 【點評】此題是三角形綜合題，主要考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，尺規(guī)作圖，掌握基本作圖是解本題的關(guān)鍵． 23．（9分）銳角△ABC中，E、D分別為AB，AC上一點，BD與CE相交于點M，BD=CE． （1）若∠BDC=∠CEB=90°，如圖① ①求證：△BDC≌△CEB； ②求證：AM平分∠BAC． （2）若∠BDC≠90°，∠CEB≠90°，AB=AC，當BD=CE時，AM不一定平分∠BAC，請你在圖②中尺規(guī)畫圖舉例，并直接寫出當AM不平分∠BAC時，∠BDC與∠CEB的關(guān)系． 【分析】（1）①根據(jù)直角三角形全等的判定定理得到Rt△ADB≌Rt△AEC； ②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ABD=∠ACE，得到MB=MC，證明△AMB≌△AMC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論； （2）根據(jù)題意畫出圖形，由②的結(jié)論解答． 【解答】（1）①證明：在Rt△ADB和Rt△AEC中， ， ∴Rt△ADB≌Rt△AEC； ②證明：∵Rt△ADB≌Rt△AEC， ∴∠ABD=∠ACE， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠MBC=∠MCB， ∴MB=MC， 在△AMB和△AMC中， ∴△AMB≌△AMC， ∴∠BAM=∠CAM，即AM平分∠BAC； （2）如圖②AB=AC，BD=CE， AM不平分∠BAC， 以C為圓心，CE為半徑作弧，交AB于H，作CF⊥AB于F，BG⊥AC于G， 則CH=CE=BD， ∴∠CHE=∠CEH， 由②得，△HCF≌△DBG， ∴∠BDC=∠CHB， ∵∠BEC+∠CEH=180°， ∴∠BEC+∠BDC=180°． 【點評】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵． 24．（10分）取一張長方形紙片ABCD（如圖①），AB=8，BC=a． （1）當a=16時，按下列步驟操作 ①將圖①紙片對折，使較長的兩邊BC，AD重合，折痕為EF，再打開紙片，如圖②． ②再折疊，使點A落在EF上的點G處，折痕為BH，如圖③ ③連接AG，BG． 請證明△ABG是等邊三角形． （2）小明認為當a＜8時，折不出邊長為8的等邊三角形．你認為他的說法正確嗎？若不正確請通過計算說明，a滿足什么條件時能折出一個邊長為8的等邊三角形？ （3）當a足夠大時，請你利用折紙，折出一個面積最大的等邊三角形，并寫出折法． 【分析】（1）由折疊的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論； （2）先判斷出BM=EG，再利用勾股定理求出EG，即可得出結(jié)論； （3）根據(jù)折疊的性質(zhì)即可得出結(jié)論． 【解答】解：（1）證明： ∵折疊，使點A落在EF上的點G處，折痕為BH， ∴AB=BG， ∵將長方形ABCD沿EF折疊，較長的兩邊BC，AD重合，折痕為EF， ∴EF⊥AB，AE=BE， ∴AG=BG， ∴AB=BG=AG， ∴△ABG是等邊三角形； （2）如圖③，過點G作GM⊥BC于M， ∴四邊形BEGM是長方形， ∴EG=BM， 由（1）知，EG是等邊三角形ABG的高， ∵AB=8， ∴BG=8，BE=4， 根據(jù)勾股定理得，EG==4， ∴BM=4＜8， ∴當a＜8時，折不出邊長為8的等邊三角形的說法是錯誤的， 即：a≥4時能折出一個邊長為8的等邊三角形； （3）如圖②， ①將圖①紙片對折，使較長的兩邊BC，AD重合，折痕為EF，再打開紙片， ②再折疊，使點A落在EF上的點G處，折痕為BH， ③將△BGH沿著BG折疊，得到△BGM， 則△BHM是等邊三角形． 【點評】此題是四邊形綜合題，主要考查了折疊的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，長方形的判定，勾股定理，掌握折疊的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．