概率統(tǒng)計習題帶答案.doc

《概率統(tǒng)計習題帶答案.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《概率統(tǒng)計習題帶答案.doc（67頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習題及題解 沈志軍 盛子寧 第一章 概率論的基本概念 1．設事件及的概率分別為及，試求及 2．若相互獨立，試證明：亦必相互獨立。 3．試驗為擲2顆骰子觀察出現(xiàn)的點數(shù)。每種結果以記之，其中分別表示第一顆、第二顆骰子的點數(shù)。設事件， 事件。試求和 4．某人有5把鑰匙，但忘了開房門的是哪一把，只得逐把試開。問：（1）恰好第三次打開房門鎖的概率？（2）三次內打開的概率？（3）如果5把里有2把房門鑰匙，則在三次內打開的概率又是多少？ 5．設有甲、乙兩袋，甲袋中裝有個白球、個紅球，乙袋中裝有

2、個白球、個紅球。今從甲袋中任意取一個放入乙袋中，再從乙袋中任意取一個，問取到白球的概率是多少？ 6．在時間間隔5分鐘內的任何時刻，兩信號等可能地進入同一收音機，如果兩信號進入收音機的間隔小于30秒，則收音機受到干擾。試求收音機不受干擾的概率？ 7．甲、乙兩船欲?？客淮a頭，它們在一晝夜內獨立地到達碼頭的時間是等可能的，各自在碼頭上停留的時間依次是1小時和2小時。試求一船要等待空出碼頭的概率？ 8．某倉庫同時裝有甲、乙兩種警報系統(tǒng)，每個系統(tǒng)單獨使用的有效率分別為0.92,0.93,在甲系統(tǒng)失靈的條件下乙系統(tǒng)也失靈的概率為0.15。試求下列事件的概率：（1）倉庫發(fā)生意外時能及時發(fā)

3、出警報；（2）乙系統(tǒng)失靈的條件下甲系統(tǒng)亦失靈？ 9．設為兩隨機變量，試求解下列問題： （1） 已知。求：； （2） 已知。求：。 10．先把長為的木棍折斷為兩部分，再把較大的那一部分折斷成兩部分。試求所得三部分能成三角形的概率？ 11．甲、乙、丙三人向同一飛機射擊，假設他們的命中率都是。又若只有一人命中時，飛機墜毀的概率為；若恰有二人命中時，飛機墜毀的概率為；若三人同時命中，則飛機必然墜毀。試求：（1）飛機墜毀的概率；（2）若飛機已經墜毀，則墜毀的飛機是因為恰有二人命中的概率？ 12．今有９門高射炮獨立地向一飛機射擊，每門炮能擊中飛機的概率為。（１）同時各射一彈，試

4、求飛機被擊中的概率；（２）欲以％以上的把握擊中飛機，試問至少要布置多少門炮同時射擊？ 13．某工廠有職工名，每名職工生日在一年中某一天的概率為，試求下列事件的概率：（１）恰有４名職工生日在同一天；（２）至少有４名職工生日在同一天（）？ 14．假設飛機的每個發(fā)動機在飛行中出現(xiàn)故障的概率為，且各發(fā)動機故障與否是相互獨立的。如果至少有的發(fā)動機正常，飛機可成功飛行。問對于多大的，４個發(fā)動機比２個發(fā)動機更為保險？ 15．設事件滿足： 試求三事件至少有一發(fā)生的概率？ 16．某地區(qū)氣象資料表明，鄰近的甲、乙兩城市中的甲市全年雨天比例為，乙市全年雨天比例為９％，甲、乙兩市至少的一城市

5、為雨天比例為，試求下列事件的概率：（１）甲、乙兩市同為雨天；（２）在甲市雨天的條件下乙市亦為雨天；（３）在乙市無雨的條件下甲市亦無雨？ 17．某地以英文字母及阿拉伯數(shù)字組成７位牌照。試求下列事件的概率：（１）牌照的前２位是英文字母、后５位是阿拉伯數(shù)字（）；（２）牌照中有２位是英文字母、另外５位是阿拉伯數(shù)字（）？ 18．甲、乙兩個乒乓球運動員進行單打比賽，如果每賽一局甲勝的概率為，乙勝的概率為，比賽既可采用三局兩勝制，也可以采用五局三勝制，問采用哪種賽制對甲更有利？ 19．平面上畫有平行線若干、其間距交替地等于厘米及8厘米。今任意地向平面投擲一半徑為厘米的圓片。試求該圓與任一平

6、行線不相交的概率？ 20．甲、乙兩人相約于一小時內在某地會面，商定先到者等候10分鐘，過時即可離去。試求他們能會到面的概率？ 21．平面上畫有距離為的平行線若干條。今向此平面任意投一長為的小針。試求小針與平行線之一相交的概率？ 22．若相互獨立，則（1）獨立；（2）獨立；（3）獨立。 23．當擲五枚硬幣時，已知至少出現(xiàn)兩個正面，求正面數(shù)剛好是三個的條件概率？ 24．擲三顆骰子，若已知沒有兩個相同的點數(shù)，試求至少有一個一點的概率？ 25．設事件的概率分別為和，試求下列三種情況下的值： （1）與互斥；（2）；（3） 26．將3個球隨機地放入4個杯子中去，

7、求杯子中球數(shù)的最大值分別為1，2，3的概率？ 27．袋中有12個球，其中8個白球，4個黑球，現(xiàn)從中任取兩個，求：（1）兩個均為白球的概率？（2）兩個球中一個是白的，另一個是黑球的概率？（3）至少有一個黑球的概率？ 28．將10本書隨意放在書架上，求：其中指定的5本書放在一起的概率？ 29．甲、乙二班共有70名同學，其中女同學40名，設甲班有30名同學，而女生15名，求：在碰到甲班同學時，正好碰到一名女同學的概率？ 30．設一倉庫中有10箱同種規(guī)格的產品，其中由甲、乙、丙三廠生產的分別有5箱、3箱、2箱，三廠產品的次品率依次為0.1,0.2,0.3，從這10箱中任取一箱，

8、再從這箱中任取一件產品，求：取得正品的概率？ 31．某工廠有甲、乙、丙三個車間生產同一型號的螺釘，各車間的產量分別占該廠螺釘產品的25%，35%，40%，各車間成品中次品分別為各車間產量的5%，4%，2%，今從該廠的產品中任取一個螺釘經檢查發(fā)現(xiàn)是次品，問它是甲、乙、丙三個車間生產的概率是多少？ 32．有產品100件，其中10件次品，90件正品?，F(xiàn)從中任取3件，求：其中至少有一件次品的概率？ 33．100人參加數(shù)理化考試，其結果是：數(shù)學10人不及格，物理9人不及格，化學8人不及格，數(shù)學、物理兩科都不及格的有5人，數(shù)學、化學兩科都不及格的有4人，物理、化學兩科都不及格的有4人，三

9、科都不及格的有2人。問全部及格的有多少人？ 34．兩臺機器加工同樣的零件，第一臺機器的產品次品率是0.05，第二臺機器的產品次品率是0.02。兩臺機器加工出來的零件放在一起，并且已知第一臺機器加工的零件數(shù)量是第二臺機器加工出來的零件數(shù)量的兩倍。從這些零件中任取一件，求：此零件是合格品的概率？如果任意取出一件，經檢驗是次品，求：它是由第二臺機器生產的概率？ 35．有槍8支，其中5支經過試射校正，3支未經過試射校正。校正過的槍，擊中靶的概率是0.8；未經校正的槍，擊中靶的概率是0.3。今任取一支槍射擊，結果擊中靶，問此槍為校正過的概率是多少？ 36．某射手射擊一發(fā)子彈命中10環(huán)的

10、概率為0.7，命中9環(huán)的概率為0.3。求：該射手射擊三發(fā)子彈而得到不小于29環(huán)成績的概率？ 37．設，試求：及 38．已知，求： 39．某舉重運動員在一次試舉中能打破世界紀錄的概率是，如果在比賽中他試舉三次，求：他打破世界紀錄的概率？ 40．工廠生產的某種產品的一級品率是40%，問需要取多少件產品，才能使其中至少有一件一級品的概率不小于95%？ 41．假設每個人的生日在任何月份內是等可能的，已知某單位中至少有一個人的生日在一月份的概率不小于0.96，問該單位有多少人？ 42．從5雙不同尺碼的鞋子中任取4只，問4只鞋子中至少有兩只配成一雙的概率是多少？ 43

11、．儀器中有三個元件，它們損壞的概率是0.1，并且損壞與否相互獨立。當一個元件損壞時，儀器發(fā)生故障的概率是0.25；當兩個元件損壞時，儀器發(fā)生故障的概率是0.6；當三個元件損壞時，儀器發(fā)生故障的概率是0.95；當三個元件都不損壞時，儀器不發(fā)生故障。求：儀器發(fā)生故障的概率？ 44．在套圈游戲中，甲、乙、丙每投一次套中的概率分別是0.1,0.2,0.3，已知三個人中某一個人投圈4次而套中一次，問此投圈者是誰的可能性最大？ 45．在40個同規(guī)格的零件中誤混入8個次品，必須逐個查出，求：正好查完22個零件時，挑全了8個次品的概率？ 46．設事件與相互獨立，兩事件中只有發(fā)生及只有發(fā)生的概

12、率都是，求與 第二章 隨機變量及其分布 1．一大樓裝有5個同類型的供水設備。調查表明在任一時刻每個設備被使用的概率為，問在同一時刻：（1）恰有2個設備被使用的概率？（2）至少有3個設備被使用的概率？（3）至多有3個設備被使用的概率？ 2．設有一批產品共100件，其中有95件正品，5件次品?，F(xiàn)從中隨機地抽取10件，試以觀察抽得的次品數(shù)為隨機變量，寫出其分布律，并求次品數(shù)不超過3的概率？ 3．設的分布律為 X 0 1 2 p 0.3 0.6 0.1 求的分布函數(shù)？ 4．設隨機變量的分布函數(shù)為。試求：（1）系數(shù)；（2）落在（-1，1）內的概率？

13、（3）的概率密度？ 5．設隨機變量服從的指數(shù)分布，試求：（1）； （2）若要，則應在什么范圍內？ 6．設隨機變量的概率密度為，求的分布函數(shù)？ 7．設隨機變量的概率密度為：求的分布函數(shù)？ 8．設連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為 試求：（1）系數(shù)；（2）的概率密度；（3）。 9．設隨機變量的分布函數(shù)為 試求：（1）的概率密度；（2）落在（3，6）內的概率？ 10．隨機變量的概率密度為 試求：（1）系數(shù) ；（2）；（3）的分布函數(shù)？ 11．某種電子管的使用壽命（單位：小時）的概率密度為 設某儀器內裝有三個這樣的電子管。試求：（1）試用的最初150

14、小時內沒有1個電子管損壞的概率；（2）這段時間內只有1個電子管損壞的概率？ 12．設隨機變量的分布律為 X -1 0 1 2 3 p 1/12 1/4 1/6 1/12 5/12 試求：（1）的分布律；（2）的分布律？ 13．設的概率密度為，求的概率密度？ 14．設隨機變量在（0，1）上服從均勻分布，試求：（1）的概率密度； （2）的概率密度？ 15．設隨機變量在區(qū)間上服從均勻分布。求隨機變量的概率密度？ 16．設隨機變量。試求：的概率密度？ 17．設隨機變量。試求：的概率密度？ 18．設電流是一個隨機變量，它均勻分布在9~

15、11安之間。若此電流通過2歐的電阻，試求功率的概率密度？ 19．設隨機變量的概率密度為，求的概率密度；若隨機變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布，求的概率密度？ 20．某種商品一周內的需要量是一個隨機變量，其概率密度為，設各周的需要量是相互獨立的，求：（1）兩周；（2）三周的需要量的概率密度？ 21．設是一個隨機變量，在（-1，1）上服從均勻分布，求的概率密度？ 22．設求：（1）；（2）使的？ 注： 23．同時擲兩顆骰子，觀察它們出現(xiàn)的點數(shù)。記為兩顆骰子出現(xiàn)的最大點數(shù)，試求的分布律？ 24．某批產品的次品率為1/4，現(xiàn)對這批產品進行測試，以表示首次測得正品的測試次數(shù)

16、，求的分布律？ 25．設連續(xù)型隨機變量的概率密度為 試求：（1）常數(shù)；（2）；（3）的分布函數(shù)？ 26．電話總機在1小時內平均接到60次呼喚，試問在30秒內1次呼喚也沒有接到的概率有多大？ 27．對某一目標進行射擊，直到擊中時為止。若每次射擊的命中率為，試求射擊次數(shù)的分布律？ 28．設盒中有5個球，其中3個黑球、2個白球，從中隨機抽取3個球，求：“抽得白球個數(shù)”的概率分布？ 29．某射手每次射擊打中目標的概率都是，現(xiàn)在他連續(xù)射擊30次，求：他至少打中兩次的概率？ 30．某射手每次打中目標的概率都是，現(xiàn)在他連續(xù)向一個目標射擊，直到第一次擊中目標為止。求：

17、他射擊次數(shù)不超過5次就能把目標擊中的概率？ 31．設隨機變量的概率分布為 試求：（1）常數(shù)（2）。 32．已知隨機變量的分布律為 試求：的分布律？ 33．設某商店每月銷售某種商品的數(shù)量服從參數(shù)為7的泊松分布，問在月初進貨時應進多少件此種商品，才能保證當月此種商品不脫銷的概率為？ 34．設隨機變量服從參數(shù)為的二項分布，問當為何值時能使最大？ 35．同時投擲兩顆骰子，直到至少有一顆骰子出現(xiàn)六點為止，試求：投擲次數(shù)的分布？ 36．一臺儀器在10000個工作小時內平均發(fā)生10次故障，試求：在100個工作小時內故障不多于兩次的概率？ 37．設隨機變量的概率密

18、度函數(shù)為 試求：（1）系數(shù)；（2）落在的概率；（3）的分布函數(shù)。 38．設隨機變量的分布函數(shù)為 試求：常數(shù)及。 39．設隨機變量服從正態(tài)分布，為使，問允許的最大值是多少？ 40．設測量兩地間的距離時帶有隨機誤差，其概率密度函數(shù)為 試求：（1）測量誤差的絕對值不超過30的概率；（2）接連測量三次，每次測量相互獨立進行，求至少有一次誤差不超過30的概率。 41．設隨機變量分別服從與區(qū)間上的均勻分布，試求：的概率密度函數(shù)。 42．已知隨機變量只取-1，0，1，2四個數(shù)值，其相應的概率依次是： ，試求：常數(shù) 43．設連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為

19、 試求：（1）常數(shù)；（2）隨機變量落在內的概率；（3）的概率密度函數(shù)。 44．將三封信逐封隨機地投入編號分別為1，2，3，4的四個空郵筒，設隨機變量表示“不空郵筒中的最小號碼”（例如，“”表示第1，2號郵筒中未投入信，而第3號郵筒中至少投入了一封信），試求：（1）隨機變量的分布律；（2）的分布函數(shù)。 45．設隨機變量的概率密度函數(shù)為 試證明：隨機變量與服從同一分布。 46．轟炸機共帶三顆炸彈去轟炸敵方鐵路。如果炸彈落在鐵路兩旁40米內，就可以使鐵路交通遭到破壞，已知在一定投彈準確度下炸彈落點與鐵路距離的概率密度為

20、 如果三顆炸彈全部投下去，問敵方鐵路被破壞的概率是多少？ 47．設隨機變量服從標準正態(tài)分布，，試求：的概率密度函數(shù)。 第三章 多維隨機變量及其分布 1．袋中裝有四個球，分別編號為1，2，2，3，現(xiàn)不放回地任取兩次，每次抽取一個球，以分別記第一次和第二次所取球的編號，求的分布律？ 2．設二維連續(xù)型隨機變量的概率密度為 求：（1）常數(shù)的值；（2） 3．將一硬幣連擲三次，以表示三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)與出現(xiàn)反面的次數(shù)的差的絕對值，試求二維隨機變量的分布律？

21、4．已知二維隨機變量的聯(lián)合概率密度為 試求：（1）常數(shù)的值；（2）；（3）的分布函數(shù)？ 5．設在矩形區(qū)域內服從均勻分布。求的概率密度與分布函數(shù)？ 6．設的概率密度為 求：（1）常數(shù)；（2） 7．設在由軸、軸及直線所圍成的三角形區(qū)域上服從均勻分布。求關于及關于的邊緣概率密度？ 8．設的概率密度為 求：（1）常數(shù)；（2）關于及關于的邊緣概率密度？ 9．設的聯(lián)合分布律如表所示： 0 1 0 0．56 0．24

22、1 0．14 0．06 判斷與是否相互獨立？ 10．一電子器件包含兩個部分，分別以，記這兩部分的壽命（單位：小時），設的分布函數(shù)為 問：（1）與是否相互獨立？（2）求 11．設二維隨機變量的概率密度為 問：（1）與是否相互獨立？（2）求 12．設和是兩個相互獨立的隨機變量，在上服從均勻分布，的概率密度為，求：（1）的聯(lián)合概率密度；（2） 13．設在三角形區(qū)域上服從均勻分布。 求的概率密度？ 14．對某種電子裝置的輸出測量5次，設觀察值是相互獨立且服從同一分布，其概率密度為 求： 15．設是相互獨立的隨機變

23、量，其分布律分別為 證明隨機變量的分布律為 16．在一簡單電路中，兩電阻和串聯(lián)聯(lián)接。設和相互獨立，它們的概率密度分別為 求總電阻的概率密度？ 17．設的概率密度為 求的概率密度？ 18．設隨機變量相互獨立，在（0，1）上服從均勻分布，在（0，2）上服從均勻分布。求和的概率密度？ 19．將三個球隨機地放入三個盒子內，每個球可放入任一盒子中，記分別為放入第一個、第二個盒子中球的個數(shù)，求二維隨機變量的分布律？ 20．設隨機變量的概率密度為 求：（1）；（2）的分布函數(shù)；（3）關于及關于的邊緣概率密度；（4）判斷與是否相互獨立？ 21．設的概率密度為

24、 求：關于及關于的邊緣概率密度？ 22．設，是相互獨立的隨機變量，分別服從參數(shù)為的泊松分布， 證明：服從參數(shù)為的泊松分布。 23．設表示平面上的區(qū)域，它是由拋物線和直線所夾的區(qū)域。 服從上的均勻分布，求聯(lián)合概率密度與邊緣概率密度，并問與是否相互獨立？ 24．離散型隨機變量的概率分布如下表所示，試求邊緣分布，并問與是否相互獨立？ 0 1 2 3 4 5 6

25、 0 0.202 0.174 0.113 0.062 0.049 0.023 0.004 1 0 0.099 0.064 0.040 0.031 0.020 0.006 2 0 0 0.031 0.025 0.018 0.013 0.008 3 0 0 0 0.00

26、1 0.002 0.004 0.011 25．設隨機變量為連續(xù)型的，其聯(lián)合概率密度為 試求：（1）常數(shù)；（2）邊緣密度函數(shù)；（3）問與是否相互獨立？ 26．設與是兩個相互獨立的隨機變量，服從[0，2]上均勻分布，服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，試求 27．設與是兩個相互獨立的隨機變量，服從[0，1]上均勻分布，服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，試求的概率密度函數(shù)。 28．設二維隨機變量的聯(lián)合概率密度為 試求：（1）常數(shù)；（2）的聯(lián)合分布函數(shù)。 29．設隨機變量與是相互獨立，都服從標準正態(tài)分布，試求 30

27、．設二維隨機變量的聯(lián)合概率密度為 試求：（1）常數(shù)；（2）證明與相互獨立。 31．箱子里裝有件正品和件次品，依次從箱子中任取一件，取兩次，每次取后不放回。隨機變量與如下定義： 試寫出隨機變量的聯(lián)合分布律，邊緣分布律，并問與是否相互獨立？ 32．隨機地擲兩顆骰子，設表示第一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)，表示這兩顆骰子出現(xiàn)點數(shù)的最大值。試寫出二維隨機變量的聯(lián)合分布，的邊緣分布？ 33．袋中有個球，其中個紅球，個白球，個黑球。每次從袋中任取一球，共取次。設分別表示取出的個球中紅球與白球的個數(shù)，試求下列兩種情況下的聯(lián)合分布： （1） 每次取出的球仍放回去（有

28、放回抽樣）； （2） 每次取出的球不放回去（無放回抽樣）。 34．已知隨機變量的聯(lián)合分布律為 試求邊緣分布。 35．設二維隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為，求的概率密度函數(shù)？ 36．設二維隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為，求的概率密度函數(shù)？ 37．設隨機變量與相互獨立，并且概率密度函數(shù)分別為 試求的概率密度函數(shù)？ 38．隨機變量與相互獨立，且， 試證明： 39．設隨機變量與相互獨立，都服從[0，1]上的均勻分布，求的分布？ 40．設隨機變量與相互獨立，都服從上的均勻分布，求的概率密度函數(shù)？ 41．設隨機變量與相互獨立，都服從參數(shù)為1的指數(shù)

29、分布，求的概率密度函數(shù)？ 42．若隨機變量只取一個值，試證明：與任何隨機變量都相互獨立。 第四章 數(shù)字特征、大數(shù)定律和中心極限定理 1．設隨機變量的概率密度為 求：（1）常數(shù)；（2） 2．設隨機變量的概率密度為 求及 3．設是兩個相互獨立的隨機變量，其概率密度分別為 求： 4．已知隨機變量的數(shù)學期望與方差分別為和，令 ，求 5．已知，求 6．證明：的充要條件是為常數(shù)。 7．設在圓域內服從均勻分布，求，并判斷是否相互獨立？ 8．設二維隨機變量的分布律為 -1 0 1 -1

30、 0 0 1 驗證：和不相關，但和不是相互獨立的 9．設二維隨機變量的概率密度為 求，并判斷是否相互獨立？ 10．設二維隨機變量在平面區(qū)域上服從均勻分布，求 11．設相互獨立，且在（0，1）上服從均勻分布，試利用中心極限定理計算的近似值？ （注：） 12．把三個球隨機地放入三個盒子中去，每個球可投入任一盒子中，記為空盒子的個數(shù)，求 13．設隨機變量的分布律為，其中是常數(shù)，則稱服從參數(shù)為的幾何分布，求 14．一本書500頁中有100個印刷錯誤，設每頁錯誤個數(shù)服從泊松分布：（1）隨機地取一頁，

31、求這一頁上錯誤不少于2個的概率？（2）隨機地取4頁，求這4頁上錯誤不少于5個的概率？（3）隨機地取8頁，求這8頁上錯誤不少于5個的概率？ 15．共有把看上去樣子相同的鑰匙，其中只有一把能打開上的鎖。用它們去試開門上的鎖，設抽取鑰匙是相互獨立且等可能的，若每把鑰匙經試開一次后除去，試用下面兩種方法求試開次數(shù)的數(shù)學期望：（1）寫出的分布律；（2）不寫出的分布律。 16．設二維隨機變量的概率密度為 求： 17．設二維隨機變量的分布律為 0 1 2 3 1 0 0 3 0 0 求 18．

32、設的概率密度為 求 19．對于隨機變量，已知 ， 求： 20．某校報名選修心理學課的學生人數(shù)是服從均值為100的泊松分布的隨機變量。教務部門決定，如報名人數(shù)不少于120人，就分成兩個班講授；如果少于120人，就集中在一個班講授。試問此課程將分兩個班講授的概率是多少？ （注：） 21．對圓的直徑作近似測量，設其值均勻地分布在內，求圓面積的數(shù)學期望？ 22．設隨機變量的概率密度為，試求隨機變量的方差？ 23.一批零件中有9個合格品3個次品，在安裝機器時從這批零件中任取一個。如果每次取出的次品就不再放回去，求在取得合格品前，已經取出的次品個數(shù)的期望及方差？

33、 24.由統(tǒng)計物理學知道，氣體分子運動的速率服從麥克斯威爾分布，其概率密度函數(shù)為 這里，是參數(shù)。試求分子運動速率的期望及方差？ 25.自動生產線在調整之后出現(xiàn)次品的概率為，生產中若出現(xiàn)次品時立即進行調整，求兩次調整之間生產的合格品數(shù)的數(shù)學期望及方差？ 26.已知連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)為 試求的數(shù)學期望及方差？ 27.設為隨機變量，為常數(shù)且，試證明： 28.設某校車上有50名職工，自校門開出，有10個停車點，如果某停車點沒人下車，則不停車。設每位職工在每個停車點下車是等可能的，表示停車次數(shù)，試求的數(shù)學期望？ 29.設隨機變量與相互獨立，且，求： 。

34、 30.設隨機變量相互獨立，且都服從參數(shù)為1的泊松分布，試利用中心極限定理計算 31.船舶在某海區(qū)航行，已知每遭受一次波浪的沖擊，縱搖角度大于的概率為，若船舶遭受了90000次波浪沖擊，問其中有29500~30500次縱搖角度大于的概率是多少？ 32.袋裝茶葉用機器裝袋，每袋的凈重為隨機變量，其期望值為，一大盒內裝200袋，求一大盒茶葉凈重大于的概率？ 33.電冰箱的壽命服從指數(shù)分布，每臺電冰箱平均壽命是10年。現(xiàn)工廠生產了1000臺電冰箱，問10年之內，這些電冰箱出現(xiàn)故障的臺數(shù)小于600臺的概率？ 34.設隨機變量的概率密度函數(shù)為 并且已知，求常數(shù) 35.

35、把4只球隨機地投到4個盒子中去，求空盒子個數(shù)的期望及方差？ 36.擲兩顆骰子，設表示第一顆出現(xiàn)的點數(shù)，表示兩顆中出現(xiàn)的較大的點數(shù)，試求： 37.設隨機變量與相互獨立，且它們的概率密度分別為 試求的均值？ 38.設隨機變量與相互獨立，且它們的概率密度分別為 試求的數(shù)學期望 39.已知隨機變量與的方差及相關系數(shù)分別為 ,試求 40.設隨機變量與之間存在線性關系：，這里為常數(shù)。試證明：它們之間的相關系數(shù)為 41.將只球（分別標號為號）隨機地放入只盒子（分別標號為號）。將某號碼球裝入同號碼的盒子中，稱為一個配對，用表示配對的數(shù)目，求。 42.設隨機變量與

36、相互獨立，且 求： 43.設隨機變量與相互獨立，并且都服從正態(tài)分布， 令,這里，為常數(shù)。試求與的相關系數(shù)？ 44.設隨機變量表示由四個數(shù)字1，2，3，4中任意選取的數(shù)字，隨機變量表示由其中任意選的不小于的數(shù)字，試求： 45.獨立試驗序列中，設事件在各次試驗中發(fā)生的概率為，求事件發(fā)生次時已進行的試驗次數(shù)的數(shù)學期望？ 46.一個工人負責臺同類型機床的維修。這臺機床從左到右排列在一條直線上。相鄰兩臺之間的距離都等于，工人對某一臺機床檢修完畢，再到另一臺先要求檢修的機床去進行檢修。假定臺機床中任何一臺機床發(fā)生故障的概率相等，且相互獨立。試計算這個工人檢修一臺機床要走的平均路

37、程？ 47.有五個相互獨立的電子裝置，它們的壽命都服從參數(shù)為的指數(shù)分布。（1）如果將它們串聯(lián)成整機，則其中任一裝置發(fā)生故障，整機就不能工作；（2）如果將它們并聯(lián)成整機，則當所有裝置都發(fā)生故障時，整機才不能工作。在上述兩種情況下，分別求整機壽命的數(shù)學期望？ 第五章 樣本、抽樣分布及參數(shù)估計 1．設總體的概率密度為其中是未知參數(shù)。求的矩估計量？ 2．設有總體，且存在，試求的矩估計量？ 3．設總體在上服從均勻分布，未知；為的樣本值。求的極大似然估計值？ 4．對容量為的樣本，求密度函數(shù)為中參數(shù)的矩估計量？ 5．在密度函數(shù)為中，參數(shù)的極大似然估計量是什么？矩

38、估計量是什么？ 6．設總體的概率密度為，求參數(shù)的極大似然估計值？ 7．設總體的概率密度為 ,其中為已知常數(shù)，未知參數(shù)，試求的極大似然估計量？ 8．設總體的均值為為的樣本。試證和 都是的無偏估計量。 9．設是總體的樣本。試證下列統(tǒng)計量都是的無偏估計量： ，，，并說明其中哪一個最有效？ 10．設總體。證明的極大似然估計是一致無偏估計量 11．設總體在上服從均勻分布，未知；的樣本值為 ，試求的矩估計值？ 12．設總體服從二點分布，為它的樣本，試求成功的概率的矩估計量？ 13．隨機地抽取7只軸承，測得它們直徑（單位：）為 ，試求總體均值及方差的矩估

39、計值，并求樣本方差？ 14．設隨機變量服從參數(shù)為的泊松分布，為未知， 是樣本觀測值，試求的矩法估計值？ 15．已知某種白熾燈泡壽命服從正態(tài)分布，在某星期所生產的該種燈泡中隨機抽取10只，測得其壽命（單位：）為：1067，919，1196，785，1126，936，918，1156，920，948。設總體期望與方差均未知，試用最大似然估計來估計該星期生產燈泡能使用以上的概率？ 16．設隨機變量服從參數(shù)為的0—1分布，為未知參數(shù)，為樣本觀測值，試求參數(shù)的極大似然估計值？ 17．設總體服從參數(shù)為的指數(shù)分布，為未知， 是樣本觀測值，試求矩法估計值？ 18．設為來自正態(tài)總體

40、的樣本觀測值，已知，試求的極大似然估計值？ 19．設總體服從參數(shù)為的二項分布，其中，已知而未知。 為樣本觀測值，求參數(shù)的極大似然估計值？ 20．設總體的概率密度函數(shù)為，又 為來自的容量為的樣本，試求未知參數(shù)的（1）矩估計，（2）極大似然估計？ 21．設為來自總體的容量為的樣本，是未知參數(shù)。試證明： ,都是的無偏估計，哪個更有效？ 22．設是參數(shù)的兩個相互獨立的無偏估計量，且，試求常數(shù) 使也是的無偏估計量，并且使它在所有這種形狀的估計量中方差最??？ 23．設總體服從上的均勻分布，即，其中是未知參數(shù)（正整數(shù)），試求的矩估計量？ 24．設服從標準正態(tài)分布，是來自

41、總體的容量為5的樣本。試求常數(shù)，使統(tǒng)計量服從分布，并問自由度是多少？ 25．設總體是來自的容量為2的樣本，試求常數(shù)，使 26．設總體的均值與方差都存在，為來自的容量為的樣本， 為樣本均值。對于，試求： 27．現(xiàn)有兩批導線，從批導線中隨機地抽取4根，從批導線中隨機地抽取5根，測得它們的電阻（單位：）為 批導線 0.143, 0.142, 0.143, 0.137 批導線 0.140, 0.142, 0.136, 0.138, 0.140 設這兩批導線的電阻分別服從正態(tài)分布，并且它們相互獨立，均未知，試求的95%置信區(qū)間？ 28．設總體，

42、均未知。為來自的容量為的樣本，，試求：的極大似然估計，這里，是給定的數(shù)。 29．在正態(tài)總體中隨機抽取一個容量為36的樣本，試求樣本均值落在50.8到53.8之間的概率？ 30．由正態(tài)總體分別得到容量為10與15的相互獨立的樣本，求其樣本均值差的絕對值大于的概率？ 31．設總體為未知。由總體得樣本觀測值， ，試求總體數(shù)學期望的置信度為的置信區(qū)間？ 32．設總體，均未知。由得到容量為16的樣本觀測值 算得，試求總體標準差的置信度為的置信區(qū)間？ 33．設來自正態(tài)總體的一容量為15的樣本均值，來自正態(tài)總體 的一容量為20的樣本均值，并且兩樣本相互獨立，試求：的90

43、%置信區(qū)間？ 第六章 假設檢驗 1．所生產的某零件重量，其中。采用新工藝后，所生產的零件重量的方差不變，為考察均值是否變化，隨機抽取6個樣品，測得重量（單位：）如下：14.7, 15.1, 14.8, 15.0, 15.2, 14.6 問平均重量是否仍可以認為是15？ 2．正常人的脈搏平均為72次/分。某醫(yī)生測得10例慢性中毒患者的脈搏為：54，67，68，78，70，66，67，70，65，69（次/分）。已知中毒患者的脈搏仍服從正態(tài)分布，問中毒患者與正常人的脈搏有無顯著差異？ 3．某輪胎廠宣稱所生產的汽車輪胎的平均使用壽命不低于5萬公里。假設輪

44、胎的壽命服從正態(tài)分布，并隨機地抽取12只輪胎試用，它們的壽命為（單位：萬公里） 4.61, 5.02, 4.38, 5.2, 4.85, 4.6, 4.58, 4.7, 5.1, 4.68, 4.72, 4.32. 問從中能得出什么結論？ 4．比較甲、乙兩種安眠藥的療效，將20個患者分成兩組，每組10人。甲組病人服用甲種安眠藥，乙組病人服用乙種安眠藥。已知服藥后延長睡眠時間近似服從正態(tài)分布，延長睡眠時間如表中所示，并且可以認為它們的方差相等。問這兩種安眠藥的療效有無顯著差異？ 序號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 安眠藥甲 1.

45、9 0.8 1.1 0.1 -0.1 4.4 5.5 1.6 4.6 3.4 安眠藥乙 0.7 -1.6 -0.2 1.2 -0.1 3.4 3.7 0.8 0 2.0 5．某種作物有甲、乙兩種品種。為了比較它們的優(yōu)劣，兩個品種各種10畝。假設畝產量服從正態(tài)分布。收獲后測定甲品種畝產量（）均值為，標準差為 ；乙品種畝產量均值為，標準差為，取顯著性水平為，問能否認為兩種品種的產量沒有顯著差異？ 6．測定某溶液中的水份，得10個測定值，由它們得出 ，。設測定值總體服從正態(tài)分布，，均未知。對于顯著性水平,試檢驗 7．要求某種導線電阻標準差不

46、超過（單位：）。今在所生產的導線中隨機抽取9根，測得電阻為，經計算得 ， 設電阻總體服從正態(tài)分布。問在顯著性水平下，能認為這批導線電阻的標準差顯著偏大嗎？ 8．檢查部門從甲乙兩燈泡廠各取30個燈泡進行取檢，甲廠燈泡平均壽命為1500h,樣本標準差為80h；乙廠燈泡平均壽命為1450h，樣本標準差為94h。設各廠燈泡壽命都服從正態(tài)分布。問是否可斷定甲廠燈泡比乙廠的好？ 9．根據(jù)1963年的觀察資料，某地每年夏季（5~9月）發(fā)生暴雨天數(shù)的記錄如下： 暴雨天數(shù) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 年 份 數(shù) 4 8 14 1

47、9 10 4 2 1 1 0 問能否由此表明該地夏季發(fā)生暴雨的天數(shù)服從泊松分布？ 10．按孟德爾遺傳定律，讓開粉紅花的豌豆隨機交配，子代可分成開紅花、粉紅花和白花三類，比例為1：2：1，為檢驗這個理論進行了試驗，結果是：100株豌豆中開紅花30株，開粉紅花48株，開白花22株。問這些數(shù)據(jù)與孟德爾遺傳定律是否符合？ 第七章 填空題與選擇題(綜合) 填空題 1.設二事件相互獨立，且已知 則 。 2.某射手在3次射擊中至少命中1次的概率為0.875，則此射手在1次射擊中命

48、中的概率為 。 3.設10件產品中有4件不合格品，6件合格品，從中任取2件。已知所取2件產品中有1件是不合格品，則另一件也是不合格品的概率是 。 4. 4個人獨立地猜一謎語，他們能夠猜破的概率都是，則此謎語被猜破的概率是 。 5.已知則 。 6.某市有50%住戶訂日報，65%住戶訂晚報，85%住戶至少訂這兩種報紙中的一種，則同時訂這兩種報紙的住戶所占的百分比是 。 7.甲，乙2人投藍，命中率分別為0.7與0.6，每人投3次，則甲比乙進球數(shù)多

49、的概率是 。 8.設隨機變量服從上的均勻分布，則方程有實根的概率是 。 9.某電路是由元件與兩個并聯(lián)元件串聯(lián)而成，若斷路與否相互獨立，且它們斷路的概率分別為，則此電路斷路的概率是 。 10.同時拋擲三枚質地均勻的硬幣，出現(xiàn)三個正面的概率是 ，恰出現(xiàn)一個正面的概率是 。 11.設某批電子元件的正品率為，次品率為?，F(xiàn)從中任取一個對其測試，如果是次品，再取一個進行測試，直至測得正品為止， 則測試次數(shù)的分布律是

50、 。 12.若隨機變量的分布為 則應滿足的條件是 ，若相互獨立，則 。 。 13.設隨機變量服從參數(shù)為的兩點分布，隨機變量，則的分布函數(shù)為 ，的分布函數(shù)為 。 14.設隨機變量的分布函數(shù)在數(shù)軸某區(qū)間的表達式為，而在其它部分為常數(shù)，試寫出此分布函數(shù)的下述完整表達式：

51、 ，當 = ，當 15.已知隨機變量的分布函數(shù)為，則 ， ， ，概率密度 。 16.已知隨機變量且，則 。 17.設二維隨機變量的聯(lián)合概率密度為 則的邊緣密度 ， 。 18.已知服從正態(tài)分布，，則

52、 。 19.若是正態(tài)總體的容量為的簡單隨機樣本，則其均值為 服從 。 20.設，則的協(xié)方差矩陣為 ， 相互獨立當且僅當 。 21.設隨機變量相互獨立，且，則 。 22.設隨機變量且與相互獨立，，則 。 23.設二維隨機變量的概率密度為 則 ， 。 24.隨機變量則此二項分布中參數(shù) ， 。 25.設與是兩個相互獨立的隨機變量，且

53、在上服從均勻分布，服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，則= ， 。 26.投擲枚骰子，則出現(xiàn)的點數(shù)之和的數(shù)學期望是 。 27.設隨機變量服從標準正態(tài)分布，為正整數(shù)，則與的相關系數(shù) = 。 28.設隨機變量與相互獨立，且則 。 29.設隨機變量且與相互獨立，則 ， 。 30.設隨機變量與相互獨立，，則 的概率密度函數(shù)是 。 31.設隨機

54、變量與相互獨立，其概率密度分別為 則 。 32.設隨機變量相互獨立，其中服從上的均勻分布，服從正態(tài)分布，服從參數(shù)為的泊松分布，令， 則 ， 。 33.設隨機變量的數(shù)學期望與方差分別為與，則由契比雪夫不等式，有 。 34.設是來自總體的容量為的簡單隨機樣本， ，則由契比雪夫不等式得到 。 35.設每次試驗中事件出現(xiàn)的概率為，現(xiàn)獨立重復進行次試驗，表示事件出現(xiàn)的次數(shù)，利用中心極限定理得 。

55、36.設是來自正態(tài)總體的容量為的樣本，為樣本均值，則服從 。 37.設是來自正態(tài)總體的容量為的樣本，為樣本均值，則 ， 。 38.設總體，且已知，設是來自的容量為的樣本，為樣本均值，總體均值的置信度為的置信區(qū)間 是，則 。 39.設是來自正態(tài)總體的容量為的樣本，其中參數(shù)和 均未知，設，則檢驗假設所用的統(tǒng)計量是 ， 它服從 分布，自由度是 。 40.設是來自正態(tài)總體的容量為的樣本，其中

56、參數(shù)和 均未知，設，為檢驗假設，則（1）所用的統(tǒng)計量是 ，（2）對于顯著性水平相應的拒絕域是 。 41.設隨機變量且與相互獨立， 且均未知。由的樣本為，由得到的樣本為 ，為檢驗假設，應選取 檢驗，相應的統(tǒng)計量是 。 選擇題 1.設則 （ ） 事件與互不相容 事件與互相對立 事件與互不獨立 事件與相互獨立 2.設兩個相互獨立的隨機變量和的方差分別是和，則隨機變量的方差是

57、 （ ） 8 16 28 44 3.設與是任意兩個不相容的事件，且概率都不為0，則下列結論中肯定正確的是 （ ） 與不相容 與相容 4.對任意兩個隨機變量，若，則 （ ） 與相互獨立

58、 與相互不獨立 5.設與是任意兩個事件，且，則下列結論肯定正確的是 （ ） 6.設與是任意兩個事件，，且，下列結論中肯定正確的是 （ ） 事件與互不相容 7.設離散隨機變量的分布律為 0

59、1 2 0.3 0.5 0.2 其分布函數(shù)為，則為 ( ) 0 0.3 0.8 1 8.設與為兩個互斥事件，且，則結論正確的是（ ） 9.設與為兩個隨機事件，且有則結論正確的是（ ）

60、 習題解答 第一章 1． 3． 4． 5． 6．設=“收音機不受干擾”，記為兩信號進入收音機的時刻。于是，樣本空間為：，有利于事件的區(qū)域為： 7．設=“一船要等待空出碼頭”。記甲、乙兩船一晝夜內到達碼頭的時刻分別為，于是： 有利于的區(qū)域為 8．總設=“甲系統(tǒng)有效”，=“乙系統(tǒng)有效” 則， 9． 10．設為木棍的兩個分點，且記，于是能構成三角形}，于是，樣本空間為： 11．設“第人射擊命中飛機”，1（甲），2（乙），３（丙）； ＝“恰有人命中”＝“飛機墜毀”。 12．設

61、＝“第門炮擊中飛機”，；＝“飛機被擊中”， 故至少應有６門炮同時射擊才能有以上的把握擊中飛機。 13．本題原是的重貝努里試驗，在的轉換下，將使用泊松分布近似地完成計算。（１） 14．由題設可知，４個發(fā)動機下，飛機成功飛行的概率為： ，題設在２個發(fā)動機下，飛機成功飛行的概率為： 這就是說，當每個發(fā)動機不發(fā)生故障的概率不小于時，４個發(fā)動機更為保險些。否則，當時，２個發(fā)動機更保險些。 15． 16．設＝“甲市為雨天”，＝“乙市為雨天”。 于是，由題設可知： 17． 18．（１）采用三局兩勝制。設＝“甲凈勝二局”，＝“前兩局甲、乙各勝一局，第三局甲勝”，＝“甲勝”，則 由

62、于與互斥，所以， （２）采用五局三勝制。設＝“甲勝”，＝“前三局甲勝”，＝“前三局中甲勝兩局，乙勝一局，第四局甲勝”， “前四局中甲、乙各勝兩局，第五局甲勝”，則，，互不相容，且＋＋ 所以，采用五局三勝制時甲勝的概率，要大于采用三局兩勝制時甲勝的概率，所以，采用五局三勝制對甲更有利。 19．設={圓O與任一平行線不相交}。選擇與圓O緊靠的三條直線作為來考察。這樣，樣本空間S由垂直于諸平行線的線段EF構成。有 ，有 20．設={甲、乙兩人能會到面} 21．設={小針與平行線之一相交} 22．證明： 相互獨立。其它類似（略）。 23．設=“擲五枚硬幣至少出現(xiàn)兩個正面”

63、，=“擲五枚硬幣剛好出現(xiàn)個正面”，則有是互不相容的， 24．樣本空間樣本點總數(shù)是，設=“擲三顆骰子出現(xiàn)點數(shù)沒有相同的”，則包含個樣本點，則，設=“擲三顆骰子出現(xiàn)點數(shù)至少有一個是一點”，則=“擲三顆骰子出現(xiàn)點數(shù)沒有一點的”，=“擲三顆骰子出現(xiàn)點數(shù)不同而且沒有一點的”，則， 25．（1）由于與互斥，故； （2）由于，而且； （3）因為互斥， 26．將3個球放入4個杯子中，總共有種放法，故樣本空間所含基本事件總數(shù)為，設=“杯子中數(shù)最大值為”，所以 27．“從12個球中任取2個”包含個基本事件，設“從12個球中任取2個均為白球”，“從12個球中任取2個其中一個是白的，另一個是黑的”

64、， “至少有一個是黑球” 28．基本事件總數(shù)是10！設“指定的5本書排在一起” 29．設“碰到甲班同學”，“碰到女同學”則： 30．設“取到產品為正品”=“取得甲廠的產品”“取得乙廠的產品” =“取得丙廠的產品”則構成完備事件組，由全概率公式得： 31．設=“任取一螺釘是甲車間生產的”“任取一螺釘是乙車間生產的” =“任取一螺釘是丙車間生產的”則構成完備事件組，設“任取一螺釘為次品”，由貝葉斯公式得： =，=，= 32．設“取3件產品至少有1件次品”則有 33．設“數(shù)學不及格”，“物理不及格”，“化學不及格”則有 ，全及格人數(shù)為84人 34．設=“取

65、出的零件是由機器甲加工的”“取出的零件是由機器乙加工的”，則構成完備事件組，設“取出的零件是次品”，則有 ，由貝葉斯公式得：= 35．設“取出的槍是經校正過的”，“擊中靶”，則有貝葉斯公式得 = 36．設=“射1發(fā)子彈命中10環(huán)”，=“射1發(fā)子彈命中9環(huán)”由于 =“射3發(fā)子彈命中10環(huán)的有次”， 則：，{“射3發(fā)命中環(huán)數(shù)不小于29”}= {“射3發(fā)命中29環(huán)”}{“射3發(fā)命中30環(huán)”}，則有 37． 38． 39．設=“第次打破世界紀錄”，“能打破世界紀錄”，各次試舉打破世界紀錄是相互獨立的，有： 40． 41． 42． 43．設“儀器中有個元件損壞”（），“儀

66、器發(fā)生故障” 顯然，構成完備事件組，由全概率公式得：=0.0728 44．設=“投圈者是第個人”（），“投4次圈套中一次” ，可見丙的可能性最大。 45．設“逐個不放回檢查21次查出7個次”，“第22次檢查出一個次品” 46．可證：  第二章 1．設同一時刻被使用的供水設備數(shù)為隨機變量，則。于是 （1），（2） 2．的分布律為 0 1 2 3 `4 5 0.5837 0.3394 0.0702 0.0064 0.0003 0.0000 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12．（1）的分布律為 -1 1 3 5 7 （2）的分布律為 0 1 4 13．的概率密度為 14．（1） 15．隨機變量的概率密度為 16． 17． 18．設功率的概率密度為，的概率密度為，則據(jù)題意有 ，所以 19． 20．兩周的需要量的概率密度為： 三周的需要量的概率密