河南省平頂山市2017屆九年級上期末數(shù)學(xué)試卷含答案解析.doc

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2016-2017學(xué)年河南省平頂山市九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（本題共9個小題，每小題3分，共27分） 1．一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體是（　?。? A．圓錐 B．圓柱 C．三棱柱 D．三棱錐 2．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣1=0時，方程可變形為（　　） A．（x﹣3）2=10 B．（x﹣6）2=37 C．（x﹣3）2=4 D．（x﹣3）2=1 3．如果點（﹣2，3）在反比例函數(shù)y=（k≠0的常數(shù)）的圖象上，那么對于反比例函數(shù)y=下列說法正確的是（　?。? A．在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大 B．在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小 C．y恒為正值 D．y恒為負(fù)值 4．如圖，在△ABC中，點D、E分別在AB、AC邊上，且AD=2，AE=4，BD=10，CE=2，則DE：BC等于（　?。? A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：5 5．鷹城中學(xué)“春雨文學(xué)社”為了便于開展工作，社長將全部社員隨機(jī)分成4組進(jìn)行活動，則小明和小華被分在一組的概率是（　　） A． B． C． D． 6．如圖，△ABC中，點E、F分別為AB、AC中點，△AEF面積為2，則四邊形EBCF面積為（　?。? A．4 B．6 C．8 D．10 7．某超市1月份營業(yè)額為90萬元，1月、2月、3月總營業(yè)額為144萬元，設(shè)平均每月營業(yè)額增長率為x，則下面所列方程正確的是（　　） A．90（1+x）2=144 B．90（1﹣x）2=144 C．90（1+2x）=144 D．90（1+x）+90（1+x）2=144﹣90 8．已知四邊形ABCD的兩條對角線AC與BD互相垂直，則下列結(jié)論正確的是（　?。? A．當(dāng)AC=BD時，四邊形ABCD是矩形 B．當(dāng)AB=AD，CB=CD時，四邊形ABCD是菱形 C．當(dāng)AB=AD=BC時，四邊形ABCD是菱形 D．當(dāng)AC=BD，AD=AB時，四邊形ABCD是正方形 9．反比例函數(shù)y=與一次函數(shù)y=﹣kx﹣k在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（　?。? A． B． C． D． 　 二、填空題（每小題3分，共21分） 10．一元二次方程y2=2y的解為　　． 11．若=，則=　?。? 12．如圖，△ABC和△ADE中， ==，∠BAD=20°，則∠BCD=　　度． 13．已知點C是線段AB的黃金分割點，且AC＞BC，AB=2，則BC=　?。? 14．如圖所示，將兩張等寬的長方形紙條交叉疊放，重疊部分是一個四邊形ABCD，若AD=4cm，∠ABC=30°，則長方形紙條的寬度是　　cm． 15．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點E（﹣6，3）、F（﹣2，﹣2），以原點O為位似中心，按比例尺3：1把△EFO縮小，則點E對應(yīng)點E′的坐標(biāo)為　?。? 16．如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊CD和BC上，且CD=4DE=4a，將矩形沿直線EF折疊，使點C恰好落在AD邊上點P處，則FP=　　． 　 三、解答題（本大題共7小題，70分） 17．某個幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中有關(guān)數(shù)據(jù)，求這個幾何體的各個側(cè)面積之和． 18．已知關(guān)于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0． （1）若該方程有實數(shù)根，求a的取值范圍． （2）若該方程一個根為﹣1，求方程的另一個根． 19．如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE． （1）寫出圖中兩對相似三角形（不得添加字母和線）； （2）請分別說明兩對三角形相似的理由． 20．某學(xué)校舉行英語演講賽，九（1）班有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)報名，張老師要從中選出兩位同學(xué)參加比賽． （1）若已確定甲參加，再從其他三位同學(xué)中隨機(jī)選取一位，求恰好選中乙的概率； （2）若從四位同學(xué)中任意選取兩位參加比賽，請用樹狀圖或表格方法，求恰好選中丙和丁的概率． 21．如圖，在平面直角坐標(biāo)中，點O是坐標(biāo)原點，一次函數(shù)y1=﹣x+4與反比例函數(shù)y2=（x＞0）的圖象交于A（1，m）、B（n，1）兩點． （1）求k、m、n的值． （2）根據(jù)圖象寫出當(dāng)y1＞y2時，x的取值范圍． （3）若一次函數(shù)圖象與x軸、y軸分別交于點N、M，則求出△AON的面積． 22．在平頂山鷹城廣場升級改造過程中，需要將如圖矩形花壇改造成菱形花壇，且改造后菱形花壇面積是原矩形面積的一半，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求菱形花壇的邊長． 23．如圖1，點M放在正方形ABCD的對角線AC（不與點A重合）上滑動，連結(jié)DM，做MN⊥DM交直線AB于N． （1）求證：DM=MN； （2）若將（1）中的正方形變?yōu)榫匦?，其余條件不變（如圖2），且DC=2AD，求MD：MN； （3）在（2）中，若CD=nAD，當(dāng)M滑動到CA的延長線上時（如圖3），請你直接寫出MD：MN的比值． 　  2016-2017學(xué)年河南省平頂山市九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（本題共9個小題，每小題3分，共27分） 1．一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體是（　?。? A．圓錐 B．圓柱 C．三棱柱 D．三棱錐 【考點】由三視圖判斷幾何體． 【分析】如圖所示，根據(jù)三視圖的知識可使用排除法來解答． 【解答】解：如圖，俯視圖為三角形，故可排除A、B．主視圖以及側(cè)視圖都是矩形，可排除D， 故選C． 　 2．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣1=0時，方程可變形為（　　） A．（x﹣3）2=10 B．（x﹣6）2=37 C．（x﹣3）2=4 D．（x﹣3）2=1 【考點】解一元二次方程﹣配方法． 【分析】兩邊配上一次項系數(shù)一半的平方，寫成完全平方式即可得． 【解答】解：∵x2﹣6x=1， ∴x2﹣6x+9=1+9，即（x﹣3）2=10， 故選：A． 　 3．如果點（﹣2，3）在反比例函數(shù)y=（k≠0的常數(shù)）的圖象上，那么對于反比例函數(shù)y=下列說法正確的是（　?。? A．在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大 B．在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小 C．y恒為正值 D．y恒為負(fù)值 【考點】反比例函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)點（﹣2，3）在反比例函數(shù)y=（k≠0的常數(shù)）的圖象上，可以求得k的值，從而可以得到反比例函數(shù)的解析式，然后根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷哪個選項是正確的． 【解答】解：∵點（﹣2，3）在反比例函數(shù)y=（k≠0的常數(shù)）的圖象上， ∴3=，得k=﹣6， ∴y=， ∴在每個象限內(nèi)，y隨x得增大而增大，故選項A正確，選項B錯誤， 在第二象限內(nèi)，y恒為正值，在第四象限內(nèi)，y恒為負(fù)值，故選項C、D錯誤， 故選A． 　 4．如圖，在△ABC中，點D、E分別在AB、AC邊上，且AD=2，AE=4，BD=10，CE=2，則DE：BC等于（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：5 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】先根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，得出△ADE∽△ACB，DE：BC=AD：AC=1：3． 【解答】解：∵AD=2，AE=4，BD=10，CE=2， ∴==， ==， ∴=， 又∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ACB， ∴DE：BC=AD：AC=1：3． 故選：B． 　 5．鷹城中學(xué)“春雨文學(xué)社”為了便于開展工作，社長將全部社員隨機(jī)分成4組進(jìn)行活動，則小明和小華被分在一組的概率是（　?。? A． B． C． D． 【考點】列表法與樹狀圖法． 【分析】利用畫樹狀圖法列出所有等可能結(jié)果，然后根據(jù)概率公式進(jìn)行計算即可求解． 【解答】解：設(shè)四個小組分別記作A、B、C、D， 畫樹狀圖如圖： 由樹狀圖可知，共有16種等可能結(jié)果，其中小明、小華被分到同一個小組的結(jié)果由4種， ∴小明和小華同學(xué)被分在一組的概率是=， 故選：D． 　 6．如圖，△ABC中，點E、F分別為AB、AC中點，△AEF面積為2，則四邊形EBCF面積為（　?。? A．4 B．6 C．8 D．10 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理． 【分析】根據(jù)三角形的中位線得出EF∥BC，推出△AEF∽△ABC，得出比例式，求出△ABC的面積，即可得出答案． 【解答】解：∵E、F分別是AB，AC的中點， ∴EF∥BC，EF=BC， ∴△AEF∽△ABC，相似比為， ∴△AEF的面積：△ABC的面積=1：4， ∵△AEF的面積為2， ∴△ABC的面積=4×2=8， ∴四邊形EBCF的面積=8﹣2=6， 故選B． 　 7．某超市1月份營業(yè)額為90萬元，1月、2月、3月總營業(yè)額為144萬元，設(shè)平均每月營業(yè)額增長率為x，則下面所列方程正確的是（　　） A．90（1+x）2=144 B．90（1﹣x）2=144 C．90（1+2x）=144 D．90（1+x）+90（1+x）2=144﹣90 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【分析】增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量×（1+增長率），由此可以求出第二個月和第三個月的營業(yè)額，而第一季度的總營業(yè)額已經(jīng)知道，所以可以列出一個方程． 【解答】解：設(shè)平均每月營業(yè)額的增長率為x， 則第二個月的營業(yè)額為：90×（1+x）， 第三個月的營業(yè)額為：90×（1+x）2， 則由題意列方程為：90（1+x）+90（1+x）2=144﹣90． 故選D． 　 8．已知四邊形ABCD的兩條對角線AC與BD互相垂直，則下列結(jié)論正確的是（　?。? A．當(dāng)AC=BD時，四邊形ABCD是矩形 B．當(dāng)AB=AD，CB=CD時，四邊形ABCD是菱形 C．當(dāng)AB=AD=BC時，四邊形ABCD是菱形 D．當(dāng)AC=BD，AD=AB時，四邊形ABCD是正方形 【考點】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定． 【分析】根據(jù)平行四邊形、菱形的判定與性質(zhì)分別判斷得出即可． 【解答】解：A、對角線AC與BD互相垂直，AC=BD時，無法得出四邊形ABCD是矩形，故此選項錯誤； B、當(dāng)AB=AD，CB=CD時，無法得到，四邊形ABCD是菱形，故此選項錯誤； C、當(dāng)兩條對角線AC與BD互相垂直，AB=AD=BC時，∴BO=DO，AO=CO， ∴四邊形ABCD是平行四邊形， ∵兩條對角線AC與BD互相垂直， ∴平行四邊形ABCD是菱形，故此選項正確； D、當(dāng)AC=BD，AD=AB時，無法得到四邊形ABCD是正方形，故此選項錯誤； 故選C． 　 9．反比例函數(shù)y=與一次函數(shù)y=﹣kx﹣k在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（　?。? A． B． C． D． 【考點】反比例函數(shù)的圖象；一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系． 【分析】當(dāng)k＞0時，可得出反比例函數(shù)y=的圖象在第一、三象限，一次函數(shù)y=﹣kx﹣k的圖象經(jīng)過第二、三、四象限；當(dāng)k＜0時，可得出反比例函數(shù)y=的圖象在第二、四象限，一次函數(shù)y=﹣kx﹣k的圖象經(jīng)過第一、二、三象限．再對照四個選項即可得出結(jié)論． 【解答】解：當(dāng)k＞0時，∵k＞0，﹣k＜0， ∴反比例函數(shù)y=的圖象在第一、三象限，一次函數(shù)y=﹣kx﹣k的圖象經(jīng)過第二、三、四象限； 當(dāng)k＜0時，∵k＜0，﹣k＞0， ∴反比例函數(shù)y=的圖象在第二、四象限，一次函數(shù)y=﹣kx﹣k的圖象經(jīng)過第一、二、三象限． 故選C． 　 二、填空題（每小題3分，共21分） 10．一元二次方程y2=2y的解為　y1=0，y2=2?。? 【考點】解一元二次方程﹣因式分解法． 【分析】利用因式分解法解方程． 【解答】解：y2﹣2y=0， y（y﹣2）=0， y=0或y﹣2=0， 所以y1=0，y2=2． 故答案為y1=0，y2=2． 　 11．若=，則=　　． 【考點】代數(shù)式求值． 【分析】對已知式子分析可知，原式可根據(jù)比例合比性質(zhì)可直接得出比例式的值． 【解答】解：根據(jù)=得3a=5b，則=．故答案為：． 　 12．如圖，△ABC和△ADE中， ==，∠BAD=20°，則∠BCD=　20　度． 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】先證明△ABC∽△ADE，得出∠B=∠D，再由對頂角相等和三角形內(nèi)角和定理得出∠BCD=∠BAD=20°即可． 【解答】解：∵△ABC和△ADE中， ==， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠B=∠D， ∵∠AFB=∠CFD， ∴∠BCD=∠BAD=20°； 故答案為：20． 　 13．已知點C是線段AB的黃金分割點，且AC＞BC，AB=2，則BC=　3﹣　． 【考點】黃金分割． 【分析】把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值（）叫做黃金比． 【解答】解：∵點C是線段AB的黃金分割點，且AC＞BC， ∴AC=AB=﹣1， BC=AB﹣AC=3﹣． 故本題答案為：3﹣． 　 14．如圖所示，將兩張等寬的長方形紙條交叉疊放，重疊部分是一個四邊形ABCD，若AD=4cm，∠ABC=30°，則長方形紙條的寬度是　2　cm． 【考點】菱形的判定與性質(zhì)． 【分析】證出該四邊形是一個菱形，再由直角三角形的性質(zhì)即可得出答案． 【解答】解：∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四邊形ABCD是平行四邊形， 分別作CD，BC邊上的高為AE，AF，如圖所示： ∵兩紙條相同， ∴紙條寬度AE=AF． ∵平行四邊形的面積為AE×CD=BC×AF， ∴CD=BC． ∴平行四邊形ABCD為菱形， ∴AB=AD=4cm， ∵∠ABC=30°， ∴AE=AB=2cm； 故答案為：2． 　 15．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點E（﹣6，3）、F（﹣2，﹣2），以原點O為位似中心，按比例尺3：1把△EFO縮小，則點E對應(yīng)點E′的坐標(biāo)為　（﹣2，1）或（2，﹣1）?。? 【考點】位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)． 【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)計算即可． 【解答】解：∵點E的坐標(biāo)為（﹣6，3），以原點O為位似中心，按比例尺3：1把△EFO縮小， ∴點E對應(yīng)點E′的坐標(biāo)為（﹣6×，3×）或（﹣6×（﹣），3×（﹣））， 即（﹣2，1）或（2，﹣1）． 故答案為：（﹣2，1）或（2，﹣1）． 　 16．如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊CD和BC上，且CD=4DE=4a，將矩形沿直線EF折疊，使點C恰好落在AD邊上點P處，則FP=　3a　． 【考點】翻折變換（折疊問題）；矩形的性質(zhì)． 【分析】作PM⊥BC于M，則MP=DC=4a，由矩形的性質(zhì)得出∠C=∠D=90°．由折疊的性質(zhì)得出PE=CE=3a=3DE，∠EPF=∠C=90°，得出∠DPE=∠FPM，在Rt△MPF中，由三角函數(shù)求出FP即可． 【解答】解：作PM⊥BC于M，如圖所示： 則MP=DC=4a， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠C=∠D=∠MPD=90°． ∵DC=4DE=4a， ∴CE=3a，DE=a， 由折疊的性質(zhì)得：PE=CE=3a=3DE，∠EPF=∠C=90°， ∴∠EPF=∠MPD ∴∠DPE=∠FPM， DP===2a， 在Rt△MPF中，∵cos∠MPF=， ∴FP=====3a； 故答案為：3a． 　 三、解答題（本大題共7小題，70分） 17．某個幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中有關(guān)數(shù)據(jù)，求這個幾何體的各個側(cè)面積之和． 【考點】由三視圖判斷幾何體． 【分析】首先根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀，然后根據(jù)尺寸和側(cè)面積計算方法求得答案即可． 【解答】解：由三視圖可知，這個幾何體是三棱柱； ∵底面是直角三角形，一直角邊長是4，斜邊長是6， ∴另一直角邊長是=2， ∴三棱柱的側(cè)面積之和為：（4+6+2）×10=100+20． 　 18．已知關(guān)于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0． （1）若該方程有實數(shù)根，求a的取值范圍． （2）若該方程一個根為﹣1，求方程的另一個根． 【考點】根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式． 【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的定義結(jié)合根的判別式即可得出關(guān)于a的一元一次不等式組，解之即可得出結(jié)論； （2）將x=﹣1代入原方程求出a的值，設(shè)方程的另一個根為m，將a代入原方程結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系即可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論． 【解答】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有實數(shù)根， ∴， 解得：a≥1且a≠5． ∴a的取值范圍為a≥1且a≠5． （2）∵方程一個根為﹣1， ∴（a﹣5）×（﹣1）2﹣4×（﹣1）﹣1=a﹣2=0，解得：a=2． 當(dāng)a=2時，原方程為3x2+4x+1=0， 設(shè)方程的另一個根為m， 由根與系數(shù)的關(guān)系得：﹣m=， 解得：m=﹣． ∴方程的另一個根為﹣． 　 19．如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE． （1）寫出圖中兩對相似三角形（不得添加字母和線）； （2）請分別說明兩對三角形相似的理由． 【考點】相似三角形的判定． 【分析】（1）△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE； （2）∠BAD=∠CAE，在此等式兩邊各加∠DAC，可證∠BAC=∠DAE，再結(jié)合已知中的∠ABC=∠ADE，可證△ABC∽△ADE；利用△ABC∽△ADE，可得AB：AD=AC：AE，再結(jié)合∠BAD=∠CAE，也可證△BAD∽△CAE． 【解答】解：（1）△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE （2）①證△ABC∽△ADE， ∵∠BAD=∠CAE， ∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC， 即∠BAC=∠DAE． 又∵∠ABC=∠ADE， ∴△ABC∽△ADE． ②證△ABD∽△ACE， ∵△ABC∽△ADE， ∴． 又∵∠BAD=∠CAE， ∴△ABD∽△ACE． 　 20．某學(xué)校舉行英語演講賽，九（1）班有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)報名，張老師要從中選出兩位同學(xué)參加比賽． （1）若已確定甲參加，再從其他三位同學(xué)中隨機(jī)選取一位，求恰好選中乙的概率； （2）若從四位同學(xué)中任意選取兩位參加比賽，請用樹狀圖或表格方法，求恰好選中丙和丁的概率． 【考點】列表法與樹狀圖法． 【分析】（1）由題意得出從其余3名同學(xué)中選取1名共有3種等可能結(jié)果，其中選中乙同學(xué)的只要1種結(jié)果，根據(jù)概率公式可得； （2）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與恰好選中丙、丁兩位同學(xué)的情況，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：（1）已確定甲同學(xué)參加比賽，再從其余3名同學(xué)中選取1名，共有3種等可能結(jié)果， 其中選中乙同學(xué)的只要1種結(jié)果， ∴恰好選中乙同學(xué)的概率為； （2）畫樹狀圖為： 共有12種等可能結(jié)果，其中選取2名同學(xué)恰好是丙和丁的結(jié)果數(shù)為2， ∴P（選中丙和?。?=． 　 21．如圖，在平面直角坐標(biāo)中，點O是坐標(biāo)原點，一次函數(shù)y1=﹣x+4與反比例函數(shù)y2=（x＞0）的圖象交于A（1，m）、B（n，1）兩點． （1）求k、m、n的值． （2）根據(jù)圖象寫出當(dāng)y1＞y2時，x的取值范圍． （3）若一次函數(shù)圖象與x軸、y軸分別交于點N、M，則求出△AON的面積． 【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題． 【分析】（1）把A（1，m）、B（n，1）兩點的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式即可求出m、n的值，再把B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式即可求出k的值； （2）根據(jù)函數(shù)的圖象和A、B的坐標(biāo)即可得出答案； （3）先根據(jù)一次函數(shù)的解析式求出N的坐標(biāo)，再利用三角形面積公式即可求出△AON的面積． 【解答】解：（1）把A（1，m）、B（n，1）兩點的坐標(biāo)代入y1=﹣x+4， 得m=﹣1+4=3，﹣n+4=1，n=3， 則A（1，3）、B（3，1）． 把B（3，1）代入y2=， 得k=3×1=3； （2）∵A（1，3）、B（3，1）， ∴由函數(shù)圖象可知，y1＞y2時，x的取值范圍是1＜x＜3； （3）∵一次函數(shù)y1=﹣x+4的圖象與x軸交于點N， ∴N（4，0），ON=4， ∵A（1，3）， ∴△AON的面積=×4×3=6． 　 22．在平頂山鷹城廣場升級改造過程中，需要將如圖矩形花壇改造成菱形花壇，且改造后菱形花壇面積是原矩形面積的一半，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求菱形花壇的邊長． 【考點】一元二次方程的應(yīng)用；菱形的性質(zhì)． 【分析】設(shè)菱形邊長為x米，連結(jié)AC、BD，交于O，根據(jù)菱形花壇面積是原矩形面積的一半，列出方程求解即可求解． 【解答】解：設(shè)菱形邊長為x米，連結(jié)AC、BD，交于O， ∵∠BCD=60°， ∴∠BCO=30°， 在Rt△BCO中，BO=x，OC=x， 則AC=x， ∴菱形ABCD面積為x2， ∵在Rt△EFG中，∠EGF=30°，EF=8米 ∴FG=8， ∴矩形面積為64， ∵菱形花壇面積是原矩形面積的一半， ∴x2=×64， 解得：x1=8，x2=﹣8（舍去）． 答：菱形花壇的邊長8米． 　 23．如圖1，點M放在正方形ABCD的對角線AC（不與點A重合）上滑動，連結(jié)DM，做MN⊥DM交直線AB于N． （1）求證：DM=MN； （2）若將（1）中的正方形變?yōu)榫匦?，其余條件不變（如圖2），且DC=2AD，求MD：MN； （3）在（2）中，若CD=nAD，當(dāng)M滑動到CA的延長線上時（如圖3），請你直接寫出MD：MN的比值． 【考點】相似形綜合題；全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】（1）過M作MQ⊥AB于Q，MP⊥AD于P，則∠PMQ=90°，∠MQN=∠MPD=90°，根據(jù)ASA即可判定△MDP≌△MNQ，進(jìn)而根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出DM=MN； （2）過M作MS⊥AB于S，MW⊥AD于W，則∠WMS=90°，根據(jù)∠DMW=∠NMS，∠MSN=∠MWD=90°，判定△MDW∽MNS，得出MD：MN=MW：MS=MW：WA，再根據(jù)△AWM∽△ADC，DC=2AD，即可得出MD：MN=MW：WA=CD：DA=2； （3）過M作MX⊥AB于X，MR⊥AD于R，則易得△NMX∽△DMR，得出MD：MN=MR：MX=AX：MX，再由AD∥MX，CD∥AX，易得△AMX∽△CAD，得出AX：MX=CD：AD，最后根據(jù)CD=nAD，即可得出MD：MN=CD：AD=n． 【解答】解：（1）證明：過M作MQ⊥AB于Q，MP⊥AD于P，則∠PMQ=90°，∠MQN=∠MPD=90°， ∵∠DMN=90°， ∴∠DMP=∠NMQ， ∵ABCD是正方形， ∴AC平分∠DAB， ∴PM=MQ， 在△MDP和△MNQ中， ， ∴△MDP≌△MNQ（ASA）， ∴DM=MN； （2）過M作MS⊥AB于S，MW⊥AD于W，則∠WMS=90°， ∵M(jìn)N⊥DM， ∴∠DMW=∠NMS， 又∵∠MSN=∠MWD=90°， ∴△MDW∽MNS， ∴MD：MN=MW：MS=MW：WA， ∵M(jìn)W∥CD， ∴∠AMW=∠ACD，∠AWM=∠ADC， ∴△AWM∽△ADC， 又∵DC=2AD， ∴MD：MN=MW：WA=CD：DA=2； （3）MD：MN=n， 理由：過M作MX⊥AB于X，MR⊥AD于R，則易得△NMX∽△DMR， ∴MD：MN=MR：MX=AX：MX， 由AD∥MX，CD∥AX，易得△AMX∽△CAD， ∴AX：MX=CD：AD， 又∵CD=nAD， ∴MD：MN=CD：AD=n． 　  2017年3月1日 第24頁（共24頁）