中考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)聚焦 第5章 圖形的性質(zhì)(一)第22講 矩形、菱形與正方形課件1.ppt

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1、第五章 圖形的性質(zhì) (一 ) 第 22講 矩形、菱形與正方形 1 一個(gè)防范 在判定矩形、菱形或正方形時(shí) , 要明確是在 “ 四邊形 ” 還是在 “ 平行四 邊形 ” 的基礎(chǔ)之上來求證的要熟悉各判定定理的聯(lián)系和區(qū)別 , 解題時(shí)要 認(rèn)真審題 , 通過對(duì)已知條件的分析、綜合 , 最后確定用哪一種判定方法 2 三種聯(lián)系 (1)平行四邊形與矩形的聯(lián)系: 在平行四邊形的基礎(chǔ)上 , 增加 “ 一個(gè)角是直角 ” 或 “ 對(duì)角線相等 ” 的條 件可為矩形;若在四邊形的基礎(chǔ)上 , 則需有三個(gè)角是直角 (第四個(gè)角必是直 角 )則可判定為矩形 (2)平行四邊形與菱形的聯(lián)系: 在平行四邊形的基礎(chǔ)上 ,

2、 增加 “ 一組鄰邊相等 ” 或 “ 對(duì)角線互相垂直 ” 的條件可為菱形;若在四邊形的基礎(chǔ)上 , 需有四邊相等則可判定為菱形 (3)菱形、矩形與正方形的聯(lián)系: 正方形的判定可簡(jiǎn)記為:菱形矩形正方形 , 其證明思路有兩個(gè):先 證四邊形是菱形 , 再證明它有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等 (即矩形 );或先 證四邊形是矩形 , 再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直 (即菱形 ) 1 (2016莆田 )菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是 ( ) A 對(duì)邊相等 B對(duì)角相等 C 對(duì)角線互相平分 D對(duì)角線互相垂直 2 (2016雅安 )如圖 , 四邊形 ABCD的四邊相等 , 且面積為

3、120 cm2, 對(duì)角線 AC 24 cm, 則四邊形 ABCD的周長(zhǎng)為 ( ) A 52 cm B 40 cm C 39 cm D 26 cm D A 3 (2016綏化 )如圖 , 矩形 ABCD的對(duì)角線 AC, BD相交于點(diǎn) O, CE BD, DE AC, 若 AC 4, 則四邊形 OCED的周長(zhǎng)為 ( ) A 4 B 8 C 10 D 12 4 (2016海南 )如圖 , 矩形 ABCD的頂點(diǎn) A, C分別在直線 a, b上 , 且 a b, 1 60 , 則 2的度數(shù)為 ( ) A 30 B 45 C 60 D 75 B C 5 (2016畢節(jié) )如圖 , 正

4、方形 ABCD的邊長(zhǎng)為 9, 將正方形折疊 , 使頂 點(diǎn) D落在 BC邊上的點(diǎn) E處 , 折痕為 GH.若 BE EC 2 1, 則線段 CH的長(zhǎng) 是 ( ) A 3 B 4 C 5 D 6 B 【 例 1】 (2016臺(tái)州 )如圖 , 點(diǎn) P在矩形 ABCD的對(duì)角線 AC上 , 且不與 點(diǎn) A, C重合 , 過點(diǎn) P分別作邊 AB, AD的平行線 , 交兩組對(duì)邊于點(diǎn) E, F 和 G, H. (1)求證: PHC CFP; (2)證明四邊形 PEDH和四邊形 PFBG都是矩形 , 并直接寫出它們面積之 間的關(guān)系 證明: ( 1 ) 四邊形 AB CD 為矩形 , AB CD

5、, AD BC. PF AB , PF CD , CPF PCH . PH AD , PH BC , PCF CPH .在 PHC 和 CFP 中 , CPF PCH , PC CP , PCF CPH , PHC CFP ( ASA ) (2) 四邊形 ABCD為矩形 , D B 90 .又 EF AB CD, GH AD BC, 四邊形 PEDH和四邊形 PFBG都是矩形 EF AB, CPF CAB.在 Rt AGP中 , AGP 90 , PG AGtan CAB. 在 Rt CFP中 , CFP 90

6、 , CF PFtan CPF.S矩形 DEPH DEEP CFEP PFEPtan CPF; S矩形 PGBF PGPF AGPFtan CAB EPPFtan CAB. tan CPF tan CAB, S矩形 DEPH S矩形 PGBF. 【 點(diǎn)評(píng) 】 本題考查了矩形的判定及性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)以 及平行線的性質(zhì) , 解題的關(guān)鍵是: (1)通過平行找出相等的角; (2)利用矩 形的判定定理來證明四邊形為矩形 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1 (導(dǎo)學(xué)號(hào): 01262210)(2016揚(yáng)州 )如圖 , AC為矩形 ABCD的對(duì)角線 , 將邊 AB沿 AE折疊 , 使點(diǎn) B落在 AC上的點(diǎn) M處 ,

7、 將邊 CD沿 CF折疊 , 使 點(diǎn) D落在 AC上的點(diǎn) N處 (1)求證:四邊形 AECF是平行四邊形; (2)若 AB 6, AC 10, 求四邊形 AECF的面積 ( 1 ) 證明: 折疊 , AM AB , CN CD , FNC D 90 , AM E B 90 , ANF 90 , CME 90 , 四邊形 AB CD 為矩形 , AB CD , AD BC , AM CN , AM MN CN MN , 即 AN CM , 在 ANF 和 CME 中 , F AN ECM , AN CM ,

8、 ANF CME , ANF CME ( ASA ) , AF CE , 又 AF CE , 四邊形 AE CF 是平行四邊形 ( 2 ) 解: AB 6 , AC 10 , BC 8 , 設(shè) CE x , 則 EM 8 x , CM 10 6 4 , 在 Rt CEM 中 , ( 8 x ) 2 4 2 x 2 , 解得: x 5 , 四邊形 AE CF 的面積的面積為: EC AB 5 6 30. 【 例 2】 (2016聊城 )如圖 , 在 Rt ABC中 , B 90 , 點(diǎn) E是 AC的 中點(diǎn) , AC 2AB,

9、 BAC的平分線 AD交 BC于點(diǎn) D, 作 AF BC, 連接 DE 并延長(zhǎng)交 AF于點(diǎn) F, 連接 FC. 求證:四邊形 ADCF是菱形 證明: AF CD , AFE CDE , 在 AFE 和 CD E 中 , AFE CDE , AEF CED , AE CE , AEF CED ( AAS ) , AF CD , AF CD , 四 邊形 AD CF 是平行四邊形 , B 90 , AC 2AB , ACB 30 , CAB 60 , AD 平分 CAB , DAC DAB 30 ACD

10、, DA DC , 四邊形 ADC F 是菱形 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 2 (導(dǎo)學(xué)號(hào): 01262211)(2016濱州 )如圖 , BD是 ABC的角平分線 , 它的垂直平分線分別交 AB, BD, BC于點(diǎn) E, F, G, 連接 ED, DG. (1)請(qǐng)判斷四邊形 EBGD的形狀 , 并說明理由; (2)若 ABC 30 , C 45 , ED 2, 點(diǎn) H是 BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) , 求 HG HC的最小值 解: ( 1 ) 四邊形 EBGD 是菱形 理由: EG 垂直平分 BD , EB ED , GB GD , EBD EDB , EBD DBC , ED

11、F GBF , 在 EFD 和 GFB 中 , EDF GBF , DF BF , EFD GFB , EFD GFB ( ASA ) , ED BG , BE ED DG GB , 四邊形 EBG D 是菱形 (2) 作 EM BC 于 M , DN BC 于 N , 連接 EC 交 BD 于點(diǎn) H , 此時(shí) HG HC 最小 , 在 Rt EBM 中 , EMB 90 , EBM 30 , EB ED 2 10 , EM 1 2 BE 10 , DE BC , EM BC , DN BC ,

12、 EM DN , EM DN 10 , MN DE 2 10 , 在 Rt DNC 中 , DNC 90 , DCN 45 , NDC NCD 45 , DN NC 10 , MC 3 10 . 在 R t EMC 中 , EMC 90 , EM 10 , MC 3 10 , EC EM 2 MC 2 ( 10 ) 2 ( 3 10 ) 2 10. HG HC EH HC EC , HG HC 的最小值為 10. 【 例 3】 (2016貴陽 )如圖 , 點(diǎn) E是正方形 ABCD外一點(diǎn) , 點(diǎn) F是線段 AE

13、上一點(diǎn) , EBF是等腰直角三角形 , 其中 EBF 90 , 連接 CE, CF. (1)求證: ABF CBE; (2)判斷 CEF的形狀 , 并說明理由 ( 1 ) 證明: 四邊形 AB CD 是正方形 , AB CB , ABC 90 , EBF 是等腰直角三角形 , 其中 EBF 90 , BE BF , A BC CBF EBF CBF , ABF CBE . 在 ABF 和 CBE 中 , AB CB , ABF CBE , BF BE , ABF CBE ( SAS ) (2)解: CEF

14、是直角三角形理由如下: EBF是等腰直角三角形 , BFE FEB 45 , AFB 180 BFE 135 , 又 ABF CBE, CEB AFB 135 , CEF CEB FEB 135 45 90 , CEF是直角三角形 【 點(diǎn)評(píng) 】 本題考查了正方形的性質(zhì) , (1)根據(jù)判定定理 SAS證明 ABF CBE; (2)通過角的計(jì)算得出 CEF 90 .解決該題型題目時(shí) , 通過正方形和等腰三角形的性質(zhì)找出相等的邊 , 再通過角的計(jì)算找出 相等的角 , 以此來證明兩三角形全等是關(guān)鍵 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 3 (導(dǎo)學(xué)號(hào): 01262212)(201

15、6杭州 )如圖 , 已知四邊形 ABCD和四邊形 DEFG為正方形 , 點(diǎn) E在線段 DE上 , 點(diǎn) A, D, G在同一直線上 , 且 AD 3 , DE 1, 連接 AC, CG, AE, 并延長(zhǎng) AE交 CG于點(diǎn) H. (1)求 sin EAC的值 (2)求線段 AH的長(zhǎng) 解: (1) 作 EM AC 于 M. 四邊形 ABC D 是正方形 , ADC 90 , AD DC 3 , DCA 4 5 , 在 Rt ADE 中 , ADE 90 , AD 3 , DE 1 , AE AD 2 DE 2 10 , 在 Rt EMC 中 , EMC

16、 90 , ECM 45 , EC 2 , EM CM 2 , 在 Rt AEM 中 , sin EAM EM AE 2 10 5 5 , sin EAC 5 5 (2) 在 GDC 和 EDA 中 , DG DE , GDC EDA , DC DA , GDC EDA ( S AS ) , GCD EAD , GC AE 10 , EHC EDA 90 , AH GC , S AGC 1 2 AG DC 1 2 GC AH , 1 2 4 3 1 2 10 AH , A

17、H 6 5 10 . 試題 在 ABC的兩邊 AB, AC上向形外作正方形 ABEF, ACGH, 過點(diǎn) A作 BC的垂線分別交 BC于點(diǎn) D, 交 FH于點(diǎn) M, 求證: FM MH. 錯(cuò)解 證明:如圖 , 四邊形 ABEF與四邊形 ACGH都是正方形 , AF AB, AH AC.又 FAH BAC, AFH ABC, 5 2. 3 1 90 , 3 2 90 , 1 2, 1 5. 1 4, 4 5. AM FM.同理 , AM MH, 故 FM MH. 剖析 上述解法錯(cuò)在將 BAC畫成了直角 (題中沒有這個(gè)條件 ), 從而導(dǎo) 致 FAH, BAC和 1, 4分別成為對(duì)頂角 , 不認(rèn)真畫圖 , 匆匆忙忙進(jìn) 行推理 , 就很容易犯錯(cuò)誤 正解 證明:分別過 F, H作 FK MD, HL MD, 垂足為 K, L. 四邊 形 ACGH是正方形 , AC AH, CAH 90 , 1 2 90 , AD BC, 2 3 90 , 1 3.又 HLA ADC 90 , AHL CAD, HL AD.同理: AFK BAD, FK AD, FK HL.又 FMK HML, FKM HLM 90 , FMK HML, FM MH.

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