中考數(shù)學總復習 第一章 數(shù)與式 第4講 分式及其運算課件.ppt

第 4講 分式及其運算 浙江專用 1 分式的基本概念 (1) 形如 的式子叫做分式 如： n 2m ， 3 x y ， x x 1 都是分式； (2) 當 _ 時 ， 分式 A B 有意義；當 _ 時 ， 分式 A B 無意義； 當 時 ， 分式 A B 的值為 0. 2 分式的基本性質 分式的分子與分母都乘 ( 或除以 ) ， 分式的值不變 ， 用式 子表示為 A B (A ， B 是整式 ， 且 B 中含有字母 ， B 0 ) B0 B 0 A 0且 B0 同一個不等于零的整式 A B A M B M ， A B A M B M (M 是不等于零的整式 ) 3 分式的運算法則 4 最簡分式 如果一個分式的分子與分母沒有公因式 ， 那么這個分式叫做最簡分式 5 分式的約分、通分 把分式中分子與分母的公因式約去 ， 這種變形叫做約分 ， 約分的根據(jù)是分式的 基本性質 把幾個異分母分式化為與原分式的值相等的同分母分式 ， 這種變形叫做分式的 通分 ， 通分的根據(jù)是分式的基本性質通分的關鍵是確定幾個分式的最簡公分母 6 分式的混合運算 在分式的混合運算中 ， 應先算乘方 ， 再將除法化為乘法 ， 進行約分化簡 ， 最后 進行加減運算若有括號 ， 先算括號里面的靈活運用運算律 ， 運算結果必須是 最簡分式或整式 1 分式與分數(shù)有許多類似的地方 ， 因此在分式的學習中 ， 要注意與分數(shù)進行類 比學習理解 2 分式運算中的常用技巧 分式運算題型多 ， 方法活 ， 要根據(jù)特點靈活求解如： 分組通分；分步通 分；先 “ 分 ” 后 “ 通 ” ；重新排序；整體通分；化積為差 ， 裂項相消 3 分式求值中的常用技巧 分式求值可根據(jù)所給條件和求值式的特征進行適當?shù)淖冃?、轉化主要有以下 技巧：整體代入法；參數(shù)法；平方法；代入法；倒數(shù)法但對分式求值 問題 ， 通常先化簡后求值 1 ( 2016 衡陽 ) 如果分式 3 x 1 有意義 ， 則 x 的取值范圍是 ( ) A 全體實數(shù) B x 1 C x 1 D x 1 2 ( 2016 溫州 ) 若分式 x 2 x 3 的值為 0 ， 則 x 的值是 ( ) A 3 B 2 C 0 D 2 B D 3 ( 2016 濱州 ) 下列分式中 ， 最簡分式是 ( ) A. x 2 1 x 2 1 B. x 1 x 2 1 C. x 2 2 xy y 2 x 2 xy D. x 2 36 2 x 12 4 ( 2016 麗水 ) 1 a 1 b 的運算結果正確的是 ( ) A. 1 a b B. 2 a b C. a b ab D a b A C 5 ( 2015 衢州 ) 先化簡 ， 再求值： (x 2 9) x 3 x ， 其中 x 1 . 解：原式 (x 3)(x 3) xx 3 x(x 3) x 2 3x ， 當 x 1 時 ， 原式 1 3 2 【例 1 】 (1) ( 2016 北京 ) 如果分式 2 x 1 有意義 ， 那么 x 的取值范圍是 _ (2) ( 20 16 鹽城 ) 當 x _ 時 ， 分式 x 1 3x 2 的值為 0. 【點評】 (1) 分式有意義就是使分母不為 0 ， 解不等式即可求出 ， 有時 還要考慮二次根式有意義； (2) 首先求出使分子為 0 的字母的值 ， 再檢驗這個 字母的值是否使分母的值為 0 ， 當它使分母的值不為 0 時 ， 這就是所要求的 字母的值 x1 1 對應訓練 1 (1) 如果代數(shù)式 x x 1 有意義 ， 那么 x 的取值范圍是 ( ) A x 0 B x 1 C x 0 D x 0 且 x 1 (2) 當 x _ _ 時 ， 分式 | x | 3 x 3 的值為 0. D 3 【例 2 】 (1) 如果把 5 x x y 的 x 與 y 都擴大 10 倍 ， 那么這個代數(shù)式的值 ( ) A 不變 B 擴大 50 倍 C 擴大 10 倍 D 縮小到原來的 1 10 (2) ( 20 15 益陽 ) 下列等式成立的是 ( ) A. 1 a 2 b 3 a b B. 2 2 a b 1 a b C. ab ab b 2 a a b D. a a b a a b A C (3) 已知 x y xy ， 求代數(shù)式 1 x 1 y (1 x )(1 y ) 的值 【點評】 (1) 分式的基本性質是分式變形的理論依據(jù) ， 所有分式變形都 不得與此相違背 ， 否則分式的值將改變； (2) 將分式化簡 ， 即約分 ， 要先找出 分子、分母的公因式 ， 如果分子、分母是多項式 ， 要先將它們分別分解因式 ， 然后再約分 ， 約分應徹底； (3) 巧用分式的性質 ， 可以解決某些較復雜的計算 題 ， 可應用逆向思維 ， 把要求的算式和已知條件由兩頭向中間湊的方式來求 代數(shù)式的值 解： x y xy ， 1 x 1 y (1 x )(1 y ) y x xy (1 x y xy ) x y xy 1 x y xy 1 1 0 0 對應訓練 2 (1) 下列計算錯誤的是 ( ) A. 0.2 a b 0.7 a b 2 a b 7 a b B. x 3 y 2 x 2 y 3 x y C. a b b a 1 D. 1 c 2 c 3 c (2) ( 20 16 臺州 ) 化簡 x 2 y 2 （ y x ） 2 的結果是 ( ) A 1 B 1 C. x y y x D. x y x y A D 【例 3 】 ( 2016 玉林 ) 化簡： ( a a 2 4 a 2 2a ) a 2 a . 【點評】 (1) 分式的加減運算要把分子作為一個整體進行加減 ， 當分子 是多項式時 ， 一定要添加括號； (2 ) 分式化簡時 ， 分子分母能因式分解的一定 先因式分解 ， 既可方便確定最簡公分母 ， 又有利于約 分達到簡化運算的效果； ( 3) 乘除法是同級運算 ， 必須嚴格按照從左到右的順序 ， 切不可先乘后除 ， 如 a b 1 b a 是錯誤的 解：原式 1 對應訓練 3 (1) ( 2016 重慶 ) 計算： x 2 4x 4 x 2 2x (2x 4 x 2 x ) ； (2) ( 20 16 聊城 ) 計算： ( x 8 x 2 4 2 x 2 ) x 4 x 2 4x 4 . 解：原式 1x 2 解：原式 x 2x 2 【例 4 】 ( 2016 營口 ) 先化簡 ， 再求值： ( x 2 3x 6 x 2 1) x 2 4 x 2 4x 4 ， 其中 x 2 5 . 【點評】 此題主要考查了分式的化簡求值問題 ， 要熟練掌握 ， 解答此 題的關鍵是要明確在化簡過程中的運算順序 ， 注意化簡的最后結果分子、分 母要進行約分 ， 要化成最簡分式或整式 解：原式 x 2 ， 當 x 2 5 時 ， 原式 5 對應訓練 4 (1) ( 2016 舟山 ) 先化簡 ， 再求值： (1 1 x 1 ) x 2 ， 其中 x 20 16. (2) ( 20 16 西寧 ) 化簡： 2x x 1 2x 4 x 2 1 x 2 x 2 2x 1 ， 然后在不等式 x 2 的非負 整數(shù)解中選擇一個適當?shù)臄?shù)代入求值 解：原式 2x 1 ， 當 x 2016 時 ， 原式 22016 1 22015 解：原式 2 x 1 ， 不等式 x 2 的非負整數(shù)解是 0 ， 1 ， 2 ， (x 1)(x 1) 0 ， x 2 0 ， x 1 且 x 2 ， 把 x 0 代入 2 x 1 2 試 題 先化簡 ， 再求值： x 2 1 x 2 x (2 x 2 1 x ) ， 其中 x 2 1 . 審題視角 本題考查分式的化簡及求值 ， 針對本題 ， 應從運算順序上入 手即先計算括號里的分式加法 ， 再將除法轉化為乘法 ， 最后約分化簡 ， 代入 x 的值進行計算 規(guī)范答題 解：原式 （ x 1 ）（ x 1 ） x （ x 1 ） ( 2x x 2 1 x ) （ x 1 ）（ x 1 ） x （ x 1 ） x （ x 1 ） 2 1 x 1 當 x 2 1 時 ， 原式 1 2 1 1 2 2 答題思路 分式化簡求值的一般步驟 第一步：若有括號的 ， 先計算括號內(nèi)的運算 ， 括號內(nèi)如果是異分母加減運算時 ， 需將異分母分式通分化為同分母分式運算 ， 然后將分子 合并同類項 ， 把括號去掉 ， 簡稱： 去括號 ； 第二步：若有除法運算的 ， 將分式中除號 ( )后面的式子分子、分母顛倒 ， 并把 這個式子前的 “ ” 變?yōu)?“ ” ， 保證幾個分式之間除了 “ 、 ” 就只有 “ 或 ” ， 簡稱： 除法變乘法 ； 第三步：分式乘法運算 ， 利用因式分解、約分來計算 ， 簡稱： 先算乘法 ； 第四步：最后按照式子順序 ， 從左到右計算分式加減運算 ， 直到化為最簡形式 ， 簡稱： 再算加減 ； 第五步：將所給數(shù)值代入求值 ， 代入數(shù)值時要注意使原分式有意義 ， 簡稱： 代入 求值 . 試題 ( 2015 煙臺 ) 先化簡： x 2 x x 2 2x 1 ( 2 x 1 1 x ) ， 再從 2 x 3 的范圍 內(nèi)選取一個你最喜歡的值代入 ， 求值 錯解 解：原式 x （ x 1 ） （ x 1 ） 2 2x x 1 x （ x 1 ） x （ x 1 ） （ x 1 ） 2 x （ x 1 ） x 1 x 2 x 1 ， 當 x 0 時 ， 原式 0 剖析 (1) 由于 x 的值是根據(jù)自己的理解情況給出的 ， 所以此題是一道開 放型的試題 ， 但在選擇 x 的值時 ， 一定注意所選擇的 x 的值要保證原分式有意 義； (2) 在選擇 x 的值時 ， 注意 x 除了不能取 0 ， 1 外 ， 取其他值均可 正解 解：原式 x （ x 1 ） （ x 1 ） 2 2x x 1 x （ x 1 ） x （ x 1 ） （ x 1 ） 2 x （ x 1 ） x 1 x 2 x 1 ， 當 x 2 時 ， 原式 4