中考數(shù)學(xué)第一輪知識(shí)點(diǎn)習(xí)題復(fù)習(xí) 銳角三角函數(shù)和解直角三角形課件.ppt

銳角三角函數(shù)和解直角三角形 第五章 圖形的性質(zhì) (一 ) 1 銳角三角函數(shù)的意義 ： Rt ABC中 ， 設(shè) C 90 ， 為 Rt ABC的一個(gè)銳角 ， 則： 的正弦 sin _； 的余弦 cos _； 的正切 tan _ 的對邊 斜邊 的鄰邊 斜邊 的對邊 的鄰邊 2 30 ， 45 ， 60 的三角函數(shù)值 如下表： 正弦 余弦 正切 30 _ 1 2 _ _ 3 2 _ _ 3 3 _ 45 _ 2 2 _ _ 2 2 _ _1 _ 60 _ 3 2 _ _ 1 2 _ _ 3 _ 3.同角三角函數(shù)之間的關(guān)系： sin2 cos2 _； tan _ 互余兩角三角函數(shù)之間的關(guān)系 ：若 90 (0 90 ， 0 90 )， 則 sin cos， cos sin， tantan 1. 函數(shù)的增減性： (0 90 ) (1)sin， tan的值都隨 _； (2)cos隨 _ 1 sin cos 增大而增大 增大而減小 4 解直角三角形的概念、方法： 解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素 ， 求出所有未知 元素的過程叫做解直角三角形 直角三角形中的邊角關(guān)系：在 Rt ABC中 ， C 90 ， A， B， C所對的邊分別為 a， b， c， 則： (1)邊與邊的關(guān)系： _； (2)角與角的關(guān)系： _； (3)邊與角的關(guān)系： _ a2 b2 c2 A B 90 si n A c os B ac ， cos A si n B bc ， ta n A ab ， tan B ba 5 直角三角形的邊角關(guān)系在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用 ， 它經(jīng)常涉 及測量、工程、航海、航空等 ， 其中包括了一些概念 ， 一定要根據(jù)題 意明白其中的含義才能正確解題 (1)鉛垂線：重力線方向的直線； (2)水平線：與鉛垂線垂直的直線 ， 一般情況下 ， 地平面上的兩點(diǎn)確定 的直線我們認(rèn)為是水平線； (3)仰角：向上看時(shí) ， 視線與水平線的夾角； (4)俯角：向下看時(shí) ， 視線與水平線的夾角； ( 5 ) 坡角：坡面與水平面的夾角； ( 6 ) 坡度： 坡面的鉛直高度與水平寬度的比叫做坡度 ( 或坡比 ) ， 一般情況 下 ， 我們用 h 表示坡的鉛直高度 ， 用 l 表示坡的水平寬度 ， 用 i 表示坡 度 ， 即 i h l tan ， 顯然 ， 坡度越大 ， 坡角就越大 ， 坡面也就越陡； (7)方向角：指北或指南的方向線與目標(biāo)方向線所成的小于 90 的銳角 叫做方向角 注意：東北方向指北偏東 45 方向 ， 東南方向指南偏東 45 方向 ， 西 北方向指北偏西 45 方向 ， 西南方向指南偏西 45 方向我們一般畫 圖的方位為“上北下南 ， 左西右東” 1 當(dāng)有些 圖 形不是直角三角形 時(shí) ， 應(yīng) 大膽 嘗試 添加 輔 助 線 ， 把它 們 分 割成一些直角三角形或矩形 ， 把 實(shí)際問題轉(zhuǎn) 化 為 直角三角形 進(jìn) 行解決 2解直角三角形的類型和解法 已知條件 圖 形 解法 一直角 邊 和一 銳 角 ( a ， A ) B 90 A ， c a sin A ， b a tan A 已知斜 邊 和一個(gè) 銳 角 ( c ， A ) B 90 A ， a c si n A, b c cos A 已知兩直角 邊 ( a ， b ) c a 2 b 2 ， 由 t an A a b 求 A ， B 90 A 已知斜 邊 和一條 直角 邊 ( c ， a ) b c 2 a 2 ， 由 si n A a c 求 A ， B 90 A 3.解直角三角形小口 訣 ： 有斜用弦 ， 無斜用切 ，寧乘毋除，取原避中 有斜用弦：已知斜邊時(shí)用正弦或余弦； 無斜用切：與直角邊有關(guān)，沒斜邊時(shí)用正切； 寧乘毋除：能用乘法時(shí)盡量回避除法運(yùn)算，減小計(jì)算量和誤差； 取原避中：計(jì)算時(shí)盡量使用原始數(shù)據(jù)，少用計(jì)算過程中得到的近似數(shù) 以減小誤差 1 ( 2014 錦州 ) 計(jì)算： tan 45 1 3 ( 3 1) 0 _ 2 ( 2014 本溪 ) 在 ABC 中 ， B 45 ， cos A 1 2 ， 則 C 的度數(shù)是 _ _ _ 3 ( 2013 鞍山 ) ABC 中 ， C 90 ， AB 8 ， c os A 3 4 ， 則 BC 的長 _ _ _ 4 ( 2015 阜新 ) 如圖 ， 為了測量樓的高度 ， 自樓的頂部 A 看地面上的一點(diǎn) B ， 俯角為 30 ， 已知地面上的這點(diǎn)與樓的水平距離 BC 為 30 m ， 那么樓 的高度 AC 為 _ _ _ _ _ m ( 結(jié)果保留根號(hào) ) 2 3 75 2 7 10 3 5 (2015大連 )如圖 ， 從一個(gè)建筑物的 A處測得 對面樓 BC的頂部 B的仰角為 32， 底部 C的俯角 為 45 ， 觀測點(diǎn)與樓的水平距離 AD為 31 m， 則 樓 BC的高度約為 _m (結(jié)果取整數(shù) ， 參考 數(shù)據(jù)： sin32 0.5， cos32 0.8， tan32 0.6) 6 (2015撫順 )如圖 ， 在 A處看建筑物 CD的頂 端 D的仰角為 ， 且 tan 0.7， 向前行進(jìn) 3米到達(dá) B處 ， 從 B處看 D的仰角為 45 (圖中各點(diǎn)均在同 一平面內(nèi) ， A， B， C三點(diǎn)在同一條直線上 ， CD AC)， 則建筑物 CD的高度為 _米 50 7 7 (2014撫順 )如圖 ， 河流兩岸 a， b互相平行 ， 點(diǎn) A， B是河岸 a上的兩 座建筑物 ， 點(diǎn) C， D是河岸 b上的兩點(diǎn) ， A， B的距離約為 200米 ， 某人在 河岸 b上的點(diǎn) P處測得 APC 75 ， BPD 30 ， 則河流的寬度約為 _米 100 8 (2014阜新 )如圖 ， 將矩形 ABCD沿 AE折疊 ， 點(diǎn) D恰好落在 BC邊 上的點(diǎn) F處 ， 如果 AB AD 2 3， 那么 tan EFC值是 _ 52 9 ( 2015 盤錦 ) 如圖 ， 小明家小區(qū)空地上有兩棵筆直的樹 CD ， EF ， 一天 ， 他在 A 處測得樹頂 D 的仰角 DAC 30 ， 在 B 處測得樹頂 F 的仰角 FBE 45 ， 線段 BF 恰好經(jīng)過樹頂 D ， 已知 A ， B 兩處的距離為 2 米 ， 兩棵樹之間的距離 CE 3 米 ， A ， B ， C ， E 四點(diǎn)在一條直線上 ， 求樹 EF 的高度 ( 3 1.7 ， 2 1.4 ， 結(jié)果保留一位小數(shù) ) 解：設(shè) CD x 米 ， 在 Rt BCD 中 ， DBC 45 ， BC CD x ， 在 Rt D AC 中 ， D AC 30 ， ta n DAC CD AC ， x 2 3 x ， 解得 x 3 1 ， BC CD 3 1 ， 在 Rt FBE 中 ， DBC 45 ， FE BE BC CE 3 1 3 5.7 ， 答：樹 EF 的高度約 為 5.7 米 10 (2015本溪 )張老師利用休息時(shí)間組織學(xué)生測量山坡上一棵大樹 CD 的高度 ， 如圖 ， 山坡與水平面成 30 角 (即 MAN 30 )， 在山坡底部 A處測得大樹頂端點(diǎn) C的仰角為 45 ， 沿坡面前進(jìn) 20米 ， 到達(dá) B處 ， 又測 得樹頂端點(diǎn) C的仰角為 60 (圖中各點(diǎn)均在同一平面內(nèi) )， 求這棵大樹 CD 的高度 (結(jié)果精確到 0.1米 ， 參考數(shù)據(jù)： 1.732) 解：如圖 ， 過 B 作 BE CD 交 CD 延長線于 E ， CAN 45 ， MAN 30 ， C AB 15 ， CBE 60 ， DBE 30 ， CBD 30 ， CBD CAB ACB ， CAB A CB 15 ， AB BC 20 ， 在 Rt BCE 中 ， CBE 60 ， BC 20 ， CE BC sin CBE 20 3 2 10 3 ， BE BC c os CBE 20 0.5 10 ， 在 Rt DB E 中 ， DBE 30 ， BE 10 ， DE BE tan DBE 10 3 3 10 3 3 ， CD CE DE 10 3 10 3 3 20 3 3 1 1.5 ， 答：這棵大樹 CD 的高度大約為 1 1. 5 米 11 ( 201 5 錦州 ) 如圖 ， 三沙市一艘海監(jiān)船某天在黃巖島 P 附近海域由南向北巡航 ， 某一時(shí)刻航行到 A 處 ， 測得 該島在北偏東 30 方向 ， 海監(jiān)船以 20 海里 / 時(shí)的速度繼 續(xù)航行 ， 2 小時(shí)后到達(dá) B 處 ， 測得該島在北偏東 75 方 向 ， 求此時(shí)海監(jiān)船與黃巖島 P 的距離 BP 的長 ( 參考數(shù) 據(jù)： 2 1.41 4 ， 結(jié)果精確到 0 .1) 解：過 B 作 BD AP 于 D ， 由已知條件得： AB 20 2 40 ， P 75 30 45 ， 在 Rt AB D 中 ， AB 40 ， A 30 ， BD 1 2 AB 20 ， 在 Rt BDP 中 ， P 45 ， PB 2 BD 20 2 28.3 ( 海 里 ) 答：此時(shí)海監(jiān)船與黃巖島 P 的距離 BP 的長約為 28. 3 海里 12 ( 2015 葫蘆 島 ) 如圖 ， 小島 A 在港口 B 的北偏東 50 方向 ， 小島 C 在港口 B 的北偏西 25 方向 ， 一艘輪船以 每小時(shí) 20 海里的速度從港口 B 出發(fā)向小島 A 航行 ， 經(jīng)過 5 小時(shí)到達(dá)小島 A ， 這時(shí)測得小島 C 在小島 A 的北偏西 70 方向 ， 求小島 A 距離小島 C 有多少海里？ ( 最后結(jié)果精確到 1 海里 ， 參考數(shù)據(jù)： 2 1.1 414 ， 3 1.7 32 ) 解：由題意得 ， ABC 25 50 75 ， B AC 180 70 50 60 ， 在 ABC 中 ， C 45 ， 過點(diǎn) B 作 BD AC ， 垂足為點(diǎn) D ， AB 20 5 100 ， 在 Rt AB D 中 ， BAD 60 ， BD AB s in 60 100 3 2 50 3 ， AD AB c os 60 100 1 2 50 ， 在 Rt BCD 中 ， C 45 ， CD BD 50 3 ， AC AD CD 50 50 3 137 ( 海 里 ) ， 答：小島 A 距離小島 C 約是 137 海里 銳角三角函數(shù)的定義 【 例 1】 ABC中 ， a， b， c分別是 A， B， C的對邊 ， 如果 a2 b2 c2， 那么下列結(jié)論正確的是 ( ) A csinA a B bcosB c C atanA b D ctanB b 【 點(diǎn)評 】 本題 主要考查了三角函數(shù)的定義和勾股定理的逆定理 解決本題 的關(guān)鍵是掌握好三角函數(shù)的定義 A 對應(yīng)訓(xùn)練 1 ( 2014 武漢 ) 如圖 ， PA ， PB 切 O 于 A ， B 兩點(diǎn) ， CD 切 O 于點(diǎn) E ， 交 PA ， PB 于 C ， D. 若 O 的半徑為 r ， PC D 的周長等于 3r ， 則 tan AP B 的值是 ( ) A . 5 12 13 B . 12 5 C . 3 5 13 D . 2 3 13 B 銳角三角函數(shù)的計(jì)算 【 例 2】 (1)tan30 sin60 cos230 sin245 tan45 . 解：原式 33 32 ( 32 ) 2 12 12 34 12 34 (2) ( 遼陽模擬 ) 已知 ， 均為銳角 ， 且滿足 | si n 12 | （ tan 1 ） 2 0 ， 則 _ _ _ _ 75 【 點(diǎn)評 】 利用特殊角的三角函數(shù) 值進(jìn) 行數(shù)的運(yùn)算 ， 往往與 絕對值 、 乘方、開方、二次根式相 結(jié) 合 準(zhǔn)確地 記 住三角函數(shù) 值 是解決此 類題 目的關(guān) 鍵 ， 所以必 須 熟 記 對應(yīng)訓(xùn)練 2 計(jì)算： c os 2 60 cos 6 01 si n 3 0 tan 2 45 si n 2 45 . 解：原式 ( 12 ) 2 1 2 1 12 1 12 14 解直角三角形 【例 3 】 ( 2 0 15 襄陽 ) 如圖 ， AD 是 ABC 的中線 ， ta n B 1 3 ， c os C 2 2 ， AC 2 . 求： (1)BC 的長； (2) si n A DC 的值 解：過點(diǎn) A 作 AE BC 于點(diǎn) E ， co s C 2 2 ， C 45 ， 在 Rt ACE 中 ， CE AC c os C 1 ， AE CE 1 ， 在 Rt ABE 中 ， tan B 1 3 ， 即 AE BE 1 3 ， BE 3AE 3 ， BC BE CE 4 ( 2) AD 是 ABC 的中線 ， CD 1 2 BC 2 ， DE CD CE 1 ， AE BC ， DE AE ， A DC 45 ， sin A DC 2 2 【 點(diǎn)評 】 將三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形時(shí)，注意盡量不要破壞所給條件 對應(yīng)訓(xùn)練 3 ( 錦州模擬 ) 在 ABC 中 ， AD 是 BC 邊上的高 ， C 45 ， si n B 1 3 ， AD 1. 求 BC 的長 解：在 Rt ABD 中 ， si n B AD AB 1 3 ， 又 AD 1 ， AB 3 ， BD 2 AB 2 AD 2 ， BD 3 2 1 2 2 2 . 在 Rt A DC 中 ， C 45 ， CD AD 1. BC BD DC 2 2 1 解直角三角形的實(shí)際運(yùn)用 【例 4 】 ( 20 14 廣安 ) 為鄧小平誕辰 1 10 周年獻(xiàn)禮 ， 廣安市政府對城市建 設(shè)進(jìn)行了整改 ， 如圖 ， 已知斜坡 AB 長 60 2 米 ， 坡角 ( 即 BAC) 為 45 ， BC AC ， 現(xiàn)計(jì)劃在斜坡中點(diǎn) D 處挖去部分斜坡 ， 修建一個(gè)平行于水平線 CA 的休閑平臺(tái) DE 和一條新的斜坡 BE( 下面兩個(gè)小題結(jié)果都保留根號(hào) ) (1) 若修建的斜坡 BE 的坡比為 3 1 ， 求休閑平臺(tái) DE 的長是多少米？ (2) 一座建筑物 GH 距離 A 點(diǎn) 33 米遠(yuǎn) ( 即 AG 33 米 ) ， 小亮在 D 點(diǎn)測得建 筑物頂部 H 的仰角 ( 即 H DM) 為 30 . 點(diǎn) B ， C ， A ， G ， H 在同一個(gè)平面 內(nèi) ， 點(diǎn) C ， A ， G 在同一條直線上 ， 且 HG CG ， 問建筑物 GH 高為多少 米？ 解： ( 1) FM CG ， B DF BAC 45 ， 斜坡 AB 長 60 2 米 ， D 是 AB 的中點(diǎn) ， BD 30 2 米 ， DF BD cos BD F 30 2 2 2 30( 米 ) ， BF DF 30 米 ， 斜坡 BE 的坡比為 3 1 ， BF EF 3 1 ， 解得 EF 10 3 ( 米 ) ， DE DF EF ( 30 10 3 ) 米答：休閑平臺(tái) DE 的長 是 (30 10 3 ) 米 (2) 設(shè) GH x 米 ， 則 MH GH GM (x 30) 米 ， DM AG AP 33 30 63 ( 米 ) ， 在 Rt D MH 中 ， t an 30 MH DM ， 即 x 30 63 3 3 ， 解得 x 30 21 3 ， 答：建筑物 GH 的高為 ( 30 21 3 ) 米 【 點(diǎn)評 】 此 題 考 查 了坡度、坡角 問題 以及俯角、仰角的定 義 要注意 根據(jù) 題 意構(gòu)造直角三角形 ， 并解直角三角形；注意掌握數(shù)形 結(jié) 合思想與 方程思想的 應(yīng) 用 對應(yīng)訓(xùn)練 4 ( 2015 鞍山 ) 如圖 ， 一艘海上巡邏船在 A 地巡航 ， 測得 A 地在觀測站 B 的南偏東 45 方向上 ， 在觀測站 C 的南偏西 60 方向上 ， 觀測站 B 在觀 測站 C 的正西方向 ， 此時(shí) A 地與觀測站 B 的距離為 20 2 n mile / h . ( 1 ) 求 A 地與觀測站 C 的距離是多少海里 ( 2 ) 現(xiàn)收到故障船 D 的求救信號(hào) ， 要求巡邏船從 A 地馬上前去救援 ( C ， A ， D 共線 ) ， 已知 D 船位于觀測站 B 的南偏西 15 方向上 ， 巡邏船的速度是 12 n mile / h ， 求巡邏船從 A 地到達(dá)故障船 D 處需要多長時(shí)間 ( 結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位 ， 參考數(shù)據(jù)： 2 1.41 ， 3 1.73 ， 5 2.2 4 ) 解： ( 1 ) 過點(diǎn) A 作 AE BC 于點(diǎn) E ， 由題意可知 ABE 45 ， A CE 30 ， 在 Rt AEB 中 ， AB 20 2 n mile ， 所以 AE AB sin ABE 20 2 2 2 20 ( n mile ) ， 在 Rt AE C 中 ， AC AE sin ACE 20 1 2 40 ( n mile ) ， 所 以 A 地與觀測站 C 的距離是 40 n mile ( 2 ) 過點(diǎn) A 作 AF BD 于點(diǎn) F ， 由題意可知 ABF 45 15 60 ， 在 Rt AF B 中 ， AF AB sin ABF 20 2 3 2 10 6 ( n mile ) ， 因?yàn)?BAC 180 45 30 105 ， 所以 D 105 60 45 ， 在 Rt A F D 中 ， AD AF sin D 10 6 2 2 20 3 ( n mile ) ， 20 3 12 5 3 3 2.9 ( h ) ， 所以巡邏船從 A 地到達(dá)故障船 D 處需要 2.9 h 7.運(yùn)用三角函數(shù)解決實(shí)際應(yīng)用問題 試題 ( 2015 鐵嶺 ) 如圖 ， 大樓 AN 上懸掛一條幅 AB ， 小穎在坡面 D 處 測得條幅頂部 A 的仰角為 30 ， 沿坡面向下走到坡腳 E 處 ， 然后向大樓 方向繼續(xù)行走 10 米來到 C 處 ， 測得條幅的底部 B 的仰角為 45 ， 此時(shí) 小穎距大樓底端 N 處 20 米 ， 已知坡面 DE 20 米 ， 山坡的坡度 i 1 3 ( 即 tan DEM 1 3 ) ， 且 D ， M ， E ， C ， N ， B ， A 在同一平面內(nèi) ， E ， C ， N 在同一條直線上 ， 求條幅的長度 ( 結(jié)果精確到 1 米 ， 參考數(shù)據(jù)： 3 1.7 3 ， 2 1.4 1 ) 審題視角 (1)分清已知條件和未知條件 (待求 )； (2)將問題集中到一個(gè)直角三角形中； (3)利用直角三角形的邊角之間關(guān)系 (三角函數(shù) )求解 規(guī)范解題 解：過點(diǎn) D 作 DH AN 于 H ， 過點(diǎn) E 作 FE DH 于 F ， 坡面 DE 20 米 ， 山坡的坡度 i 1 3 ， EF 10 米 ， DF 10 3 米 ， DH DF EC CN (10 3 3 0) 米 ， A DH 30 ， AH 3 3 DH (10 10 3 ) 米 ， AN AH EF (20 10 3 ) 米 ， BCN 45 ， CN BN 20 米 ， AB AN BN 10 3 1 7( 米 ) ， 答：條幅的長度是 17 米 答題思路 解直角三角形 應(yīng) 用 題 的一般步 驟為 ： 第一步：分析 理解 題 意 ， 分清已知與未知 ， 畫出示意 圖 ； 第二步：建模 根據(jù)已知條件與求解目 標(biāo) ， 把已知條件與求解量盡量 集中在有關(guān)的三角形中 ， 建立一個(gè)解直角三角形的數(shù)學(xué)模型； 第三步：求解 利用三角函數(shù)有序地解出三角形 ， 求得數(shù)學(xué)模型的解 ； 第四步： 檢驗(yàn) 檢驗(yàn) 上述所求的解是否符合 實(shí)際 意 義 ， 從而得出 實(shí)際 問題 的解 . 20.忽略直角三角形出錯(cuò) 試題 在 A B C 中 ， A ， B ， C 的對邊分別為 a ， b ， c ， 且 a b c 3 4 5 ， 求證： si n A si n B 75 . 錯(cuò)解 設(shè) a 3k ， b 4k ， c 5k ， 則 si n A ac 3k5k 35 ， si n B bc 4k5k 45 ， si n A si n B 35 45 75 . 剖析 本題中沒有說明 C 90 ，而直接應(yīng)用正弦、余弦函數(shù)的定 義是錯(cuò)誤的，應(yīng)先證明 ABC為直角三角形，且 C 90 后才能用 定義 正解 設(shè) a 3k ， b 4k ， c 5k ( k 0 ) ， a 2 b 2 ( 3k ) 2 ( 4k ) 2 25k 2 c 2 ， ABC 是以 c 為斜邊的直角三角形 C 90 ， 則 si n A a c 3k 5k 3 5 ， si n B b c 4k 5k 4 5 ， si n A si n B 3 5 4 5 7 5