《數(shù)學(xué)物理方法》課程二.ppt

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1、主講教師 :冉揚(yáng)強(qiáng) 數(shù)學(xué)物理方法 第二章 解析函數(shù) 主要內(nèi)容 (1)、復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念 (2)、哥西 黎曼條件及復(fù)變函數(shù)可微 的充要條件 (3)、解析函數(shù)的定義，已知解析函數(shù) 的實(shí)部 (或虛部 )求該解析函數(shù)的方法 (4)、共軛調(diào)和函數(shù)的概念，解析函數(shù) 的幾何意義 (5)、初等函數(shù)的定義和基本性質(zhì) 重點(diǎn) ：哥西 黎曼條件；解析函數(shù)的定義； 已知解析函數(shù)的實(shí)部 (或虛部 )求該解析函 數(shù)的方法；共軛調(diào)和函數(shù)的概念及其幾何 意義；初等函數(shù)的定義和基本性質(zhì) 難點(diǎn) ：初等多值函數(shù)及其支點(diǎn)，支割線的概 念；已知解析函數(shù)的實(shí)部 (或虛部 )求該解 析函數(shù)的方法 重點(diǎn)和難

2、點(diǎn) 第一節(jié) 解析函數(shù)的概念及哥西 黎曼條件 一、導(dǎo)數(shù)的定義 設(shè)函數(shù) 在區(qū)域 D上有定義，且 ， ，如果極限 存在，則稱此極限為函數(shù)在 z 點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，記為： 或 ，這時(shí)稱函數(shù) 在 z 點(diǎn)可微 (或可導(dǎo)） . 顯然，函數(shù) 必須在點(diǎn) z 連續(xù)，才 有可能在 z 點(diǎn)可導(dǎo) . 討論： 1) 復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義，在形式上跟實(shí)變函 數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義一樣，因而實(shí)變函數(shù)論中的關(guān) z zfzzf z )()(lim 0 于導(dǎo)數(shù)的規(guī)則和公式可用于復(fù)變函數(shù)。例如：

3、 2)復(fù)變函數(shù)和實(shí)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的定義，雖然形式 上相同，實(shí)質(zhì)上卻有很大的區(qū)別，這是因?yàn)閷?shí) 變函數(shù) 只沿實(shí)軸逼近零，而復(fù)變函數(shù) 卻可以沿復(fù)平面上的任一曲線逼近零，因此復(fù) 變函數(shù)可導(dǎo)的要求比實(shí)變函數(shù)可導(dǎo)的要求要嚴(yán) 格得多 . 二、哥西 -黎曼條件 下面討論復(fù)變函數(shù)可微的充分必要條件 1、必要條件： 若 在 處可 微，即 若記 , 其中 , 0 ( ) ( )l i m ( ) z f z z f z fz z

4、 則前式可變?yōu)? 由于無(wú)論按何方式趨于零，上式總成立。先看 沿實(shí)軸趨于零的情況。此時(shí) 再讓 沿虛軸趨于零。此時(shí) 0 0 l i m ( ) x y u i v fz x i y 0 0 0 ( ) l im l im l im x x x u i v u v u vf z i i x x x x x 比較兩式得 哥西 -黎曼條件 (CR條件 ) 討論： 1) C--R條件為復(fù)變函數(shù)可微的

5、必要條件， 凡不滿足 C--R條件的函數(shù)，它在該點(diǎn)一定不可 微 . 例如 ，所以： 由于 由于偏導(dǎo)數(shù)雖然存在，但不滿足 C--R條件，因 而 在復(fù)平面上處處不可微 . 2) C--R條件不是復(fù)變函數(shù)可微的充分條件 . 例如：函數(shù) 在 z = 0點(diǎn)滿足 C--R條 件，但不可微。由于 ， ，于是 0),( yxv 顯然滿足 C--R條件，但在 z=0點(diǎn)并不可微，因?yàn)? 當(dāng) 沿射線

6、 趨于零時(shí)， ( 0 , 0 )y k x k x 與 k 有關(guān)，沿不同的射線， k 值不同，所以該 極限不存在，從而函數(shù)在 z = 0點(diǎn)不可微 . 2、充分必要條件 如果 C--R條件加上一附加條件，就可得到可 微的充分條件。 定理： 在 可微 ， 在點(diǎn)（ x , y）處 可微，并滿足 C--R條件 . 由上述定理可得：復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)的 導(dǎo)數(shù)有本質(zhì)上的差別，復(fù)變函數(shù)可微，不但要 求復(fù)變函數(shù)的實(shí)部與虛部可微，而且還要求其 實(shí)部與虛部通過(guò) C--R條件聯(lián)系起來(lái)。

7、 在極坐標(biāo)系中， ， 哥西 -黎曼條件為 三、解析函數(shù)的定義 定義：如果函數(shù) 在區(qū)域 D上處處 可微，則稱 是區(qū)域 D上的解析函數(shù)，或稱 在 D上解析 討論： 1)有時(shí)說(shuō)：“函數(shù) 在某點(diǎn)解析”，是指 在該點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)處處可微 . 2)“函數(shù) 在閉區(qū)域 上解析”，是指 它在包含 的某個(gè)區(qū)域上解析 . 3)如果 在 點(diǎn)不解析，則稱為 的 奇點(diǎn) . 4)解析函數(shù)的實(shí)部和虛部通過(guò) C--R方程相互 聯(lián)系，

8、并不獨(dú)立，只要知道解析函數(shù)的虛部 (或 實(shí)部 )，就可求出相應(yīng)的實(shí)部 (或虛部 ). 下面舉 例說(shuō)明 : 例 1：已知解析函數(shù)的實(shí)部 ， 求該解析函數(shù) . 解：先計(jì)算 的偏導(dǎo)數(shù) 由哥西 -黎曼條件得 求 v 的另一種求法：由 得 即 故： 四 、 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 1、調(diào)和函數(shù)的定義 定義：如果實(shí)變函數(shù) 在某區(qū)域 D上有 二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足方程 則稱 為區(qū)域 D上的調(diào)和函數(shù) ， 方程稱 為拉普拉

9、斯方程 . 2、解析函數(shù)的實(shí)部和虛部是調(diào)和函數(shù) 設(shè) 在區(qū)域 D上解析，則 C--R條 件成立 ， . 下一章將證明，某個(gè)區(qū)域上的解析函數(shù)在該 區(qū)域上必有任意階的導(dǎo)數(shù)，因此可對(duì)上式求偏 導(dǎo)數(shù) , 兩式相加可得 同理可得 即 , 都滿足拉普拉斯方程，是 調(diào)和函數(shù)。 注意：反過(guò)來(lái)定理不一定成立，如果 是調(diào)和函數(shù)， 不一定解析，因?yàn)榻馕?函數(shù)必須滿足 C--R條件 . 由 C--R條件聯(lián)系著的調(diào)和函數(shù)

10、 u 與 v 稱為 共軛調(diào)和函數(shù)，這樣上述定理可表述為： 定理：任何一個(gè)在區(qū)域 D上的解析函數(shù)，其實(shí) 部與虛部在該區(qū)域上互為共軛調(diào)和函數(shù)。 3、共軛調(diào)和函數(shù)的幾何意義 設(shè) 是區(qū)域 D上的解析 函數(shù)，則 ， 兩式相乘得 即 所以 就是說(shuō)，梯度 跟梯度 正交 . 我們知道， 和 分別是曲線族 “ ”和“ ” 的法向矢量，因而上式表示 “ ”與 “ ”兩族曲線相互正交 . 這 就 解析函數(shù)實(shí)部與虛部的幾何意義 .