《數(shù)學思想方法》復習題三

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1、《數(shù)學思想方法》復習題三 1．為什么說《幾何原本》是一個封閉的演繹體系？ ①因為在《幾何原本》中，除了推導時所需要的邏輯規(guī)則外，每個定理的證明所采用的論據(jù)均是公設(shè)、公理或前面已經(jīng)證明過的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合邏輯上對概念下定義的要求，原則上不再依賴其它東西。因此《幾何原本》是一個封閉的演繹體系。②另外，《幾何原本》的理論體系回避任何與社會生產(chǎn)現(xiàn)實生活有關(guān)的應用問題，因此對于社會生活的各個領(lǐng)域來說，它也是封閉的。③所以，《幾何原本》是一個封閉的演繹體系。 2．為什么說最早使用數(shù)學模型方法的是中國人？ ：①因為在中國漢代的古算書《九章算術(shù)》中就已經(jīng)系統(tǒng)地使用了數(shù)學

2、模型?！毒耪滤阈g(shù)》將246個題目歸結(jié)為九類，即九種不同的數(shù)學模型，分列為九章。②它在每一章中所設(shè)置的問題，都是從大量的實際問題中選擇具有典型意義的現(xiàn)實原型，然后再通過“術(shù)”(即算法)轉(zhuǎn)化成數(shù)學模型。其中有些章就是專門探討某種數(shù)學模型的應用，③例如“勾股”、“方程”等章。這在世界數(shù)學史上是最早的。因此，我們說最早使用數(shù)學模型方法的是中國人。 3．什么是類比猜想？并舉一個例子說明。 ①人們運用類比法，根據(jù)一類事物所具有的某種屬性，得出與其類似的事物也具有這種屬性的一種推測性的判斷，即猜想，這種思想方法稱為類比猜想。②例如，分式與分數(shù)非常相似，只不過是用字母替代數(shù)而已。因此，我們可以猜想，分式與

3、分數(shù)在定義、基本性質(zhì)、約分、通分、四則運算等方面都是對應相似的。 4．簡述表層類比，并用舉例說明。 ：①表層類比是根據(jù)兩個被比較對象的表面形式或結(jié)構(gòu)上的相似所進行的類比。這種類比可靠性較差，結(jié)論具有很大的或然性。②例如，從類比出是錯誤的，而類比出在數(shù)列極限存在的條件下是正確的。③又如，由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)，類比得到三角形外角平分線性質(zhì)，就是一種結(jié)構(gòu)上的類比。 5．數(shù)學思想方法教學為什么要遵循循序漸進原則？試舉例說明。 ：①數(shù)學思想方法的形成難于知識的理解和一般技能的掌握，它需要學生深入理解事物之間的本質(zhì)聯(lián)系。②學生對每種數(shù)學思想方法的認識都是在反復理解和運用中形成的，是從個別到一般，

4、從具體到抽象，從感性到理性，從低級到高級的沿著螺旋式方向上升的。③例如，學生理解數(shù)形結(jié)合方法可從小學的畫示意圖找數(shù)量關(guān)系著手孕育；在學習數(shù)軸時，要求學生會借助數(shù)軸來表示相反數(shù)、絕對值、比較有理數(shù)的大小等。在數(shù)列極限存在的條件下是正確的。③又如，由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)，類比得到三角形外角平分線性質(zhì)，就是一種結(jié)構(gòu)上的類比。 1．為什么說數(shù)學模型方法是一種迂回式化歸？ 正確答案：①運用數(shù)學模型方法解決問題時，不是直接求出實際問題的解，因為這樣做往往是行不通的或者花費過分昂貴。②而是先將實際問題化歸為一個合適的數(shù)學模型，然后通過求數(shù)學模型的解間接求出原實際問題的解，走的是一條迂回的道路。③因此，我

5、們說數(shù)學模型方法是一種迂回式化歸。 2．特殊化在數(shù)學教學中的作用有哪些？ 正確答案：①利用特殊值(圖形)解選擇題。②利用特殊化探求問題結(jié)論。③利用特例檢驗一般結(jié)果。④利用特殊化探索解題思路。 3．為什么數(shù)形結(jié)合方法在數(shù)學中有著非常廣泛的應用？ 正確答案：①數(shù)學研究的是現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式，而現(xiàn)實世界本身是同時兼?zhèn)鋽?shù)與形兩種屬性的，既不存在有數(shù)無形的客觀對象，也不存在有形無數(shù)的客觀對象。②因此，在數(shù)學發(fā)展的進程中，數(shù)和形常常結(jié)合在一起，在內(nèi)容上互相聯(lián)系，在方法上互相滲透，在一定條件下互相轉(zhuǎn)化。③充分運用數(shù)形結(jié)合方法解決數(shù)學問題，對于溝通代數(shù)、三角、幾何各分支之間的聯(lián)系，提高分析問

6、題、解決問題的能力具有重要作用。 4．什么是公理方法和公理體系？ 正確答案：簡要地說就是從初始概念和公理出發(fā)，按照一定的規(guī)律定義出其他所有的概念，推導出其他一切命題的一種演繹方法（5分）。公里體系由初始命題、公理、邏輯規(guī)則、定理等構(gòu)成（5分）。 5．簡述數(shù)學思想方法教學的幾個主要階段。 正確答案： ① 潛意識階段——在這個階段學生只注意數(shù)學知識的學習，注意知識積累，而未曾注意到對這些知識起到橫向聯(lián)系和固定作用的思想方法，或者只是處于一種“朦朦朧朧”、“若有所悟”的狀況；（3分） ②明朗化階段——隨著運用同一種數(shù)學思想方法解決不同的數(shù)學問題的實踐機會的增多，隱藏在數(shù)學知識后面的思想方

7、法就會逐漸引起學生的注意和思考，直至產(chǎn)生某種程度的領(lǐng)悟。當經(jīng)驗和領(lǐng)悟積累到一定程度時，這種事實上已經(jīng)被應用多次的思想方法就會凸現(xiàn)出來，學生開始理解解題過程中所使用的方法與策略，并且概括總結(jié)出這一思想方法；（3分） ③深刻理解階段——在這個階段，學生基本上能正確運用某種數(shù)學思想方法進行探索和思考，以求得問題的解決。同時，在解決問題的實踐過程中，學生又將加深了對數(shù)學思想方法的理解，并養(yǎng)成了有意識地、自覺地運用數(shù)學思想方法解決問題的思維習慣。（4分） 1．模型化的方法、開放性的歸納體系及算法化的內(nèi)容之間的關(guān)系 正確答案：模型化的方法與開放性的歸納體系及算法化的內(nèi)容之間是互相適應并且互相促進的。

8、（2分）雖然，各個數(shù)學模型之間也有一定的聯(lián)系，但是它們更具有相對獨立性。一個數(shù)學模型的建立與其它數(shù)學模型之間并不存在邏輯依賴關(guān)系。正因為如此，所以可以根據(jù)需要隨時從社會實踐中提煉出新的數(shù)學模型（3分）。另一方面，由于運用模型化的方法研究數(shù)學，新的數(shù)學模型從何產(chǎn)生？只有尋找現(xiàn)實原型、立足于現(xiàn)實問題的研究，這就不可能產(chǎn)生封閉式的演繹體系（2分）。解決實際問題還提出了這樣的要求：對由模型化方法求得的結(jié)果必須能夠檢驗其正確性和合理性，為了能夠求得實際可用的結(jié)果，于是算法化的內(nèi)容也就應運而生（3分）。 2．算術(shù)與代數(shù)的解題方法基本思想有何區(qū)別？ 正確答案：區(qū)別在于算術(shù)解題參與的量必須是已知的量，而代

9、數(shù)解題允許未知的量參與運算（5分）；算術(shù)方法的關(guān)鍵之處是列算式，而代數(shù)方法的關(guān)鍵之處列方程（5分）。 3．簡單說明社會科學數(shù)學化的主要原因？ 正確答案：第一，社會管理需要精確化的定量依據(jù)（2.5分）；第二，社會科學理論體系的發(fā)展需要精確化（2.5分）；第三，出現(xiàn)了一些適合研究社會歷史現(xiàn)象的新的數(shù)學分支（2.5分）；第四，電子計算機的發(fā)展與應用（2.5分）。 4．第一次數(shù)學危機最終如何解決了？ 正確答案：第一次數(shù)學危機并沒有輕易地很快解決。最后約在公元前370年，才由柏拉圖的學生歐多克斯解決了（5分）。他創(chuàng)立了新的比例理論，微妙地處理了可公度和不可公度。他處理不可公度的方法，被歐幾里得《

10、幾何原本》第二卷(比例論)收錄。這個問題到19世紀戴德金及康托爾等人建立了現(xiàn)代實數(shù)理論才算徹底解決（5分）。 5．何謂化歸方法？它遵循哪三個原則？ 正確答案：所謂化歸方法，就是將一個問題進行變形，使其歸結(jié)為另一已能解決的問題，既然已可解決，那么也就解決了（5分）。化歸方法遵循三個原則：簡單化原則、熟悉化原則、和諧化原則（5分）。 1．我國數(shù)學教育存在哪些問題？ 正確答案：①數(shù)學教學重結(jié)果，輕過程；重解題訓練，輕智力、情感開發(fā)；不重視創(chuàng)新能力培養(yǎng)，雖然學生考試分數(shù)高，但是學習能力低下；②重模仿，輕探索，學習缺少主動性，缺乏判斷力和獨立思考能力；③學生學業(yè)負擔過重。原因是課堂教學效益不高，

11、教學圍繞升學考試指揮棒轉(zhuǎn)，不斷重復訓練各種題型和模擬考試，不少教師心存以量求質(zhì)的想法，造成學生學業(yè)負擔過重。 2．《幾何原本》貫徹哪兩條邏輯要求？ 正確答案：《幾何原本》貫徹了兩條邏輯要求。①第一，公理必須是明顯的，因而是無需加以證明的，其是否真實應受推出的結(jié)果的檢驗，但它仍是不加證明而采用的命題；初始概念必須是直接可以理解的，因而無需加以定義。②第二，由公理證明定理時，必須遵守邏輯規(guī)律與邏輯規(guī)則；同樣，通過初始概念以直接或間接方式對派生概念下定義時，必須遵守下定義的邏輯規(guī)則。 3．簡述數(shù)學抽象的特征。 正確答案：數(shù)學抽象有以下特征：①數(shù)學抽象具有無物質(zhì)性；②數(shù)學抽象具有層次性；③數(shù)學

12、抽象過程要憑借分析或直覺；④數(shù)學的抽象不僅有概念抽象還有方法抽象 4．什么是算法的有限性特點？試舉一個不符合算法有限性特點的例子。 ①算法得有限性是指一個算法必須在有限步之內(nèi)終止。②例如，對初始數(shù)據(jù)20和3，計算過程無論怎樣延續(xù)這個過程都不能結(jié)束，同時也不會出現(xiàn)中斷。如果在某一處中斷過程，我們只能得到一個近似的、不準確的結(jié)果。而且如果在某一步中斷計算過程已經(jīng)不是執(zhí)行原來的算法?？梢?，十進小數(shù)除法對于20和3這組數(shù)不符合算法的“有限性”特點。 5．簡述將“化隱為顯”列為數(shù)學思想方法教學的一條原則的理由。 正確答案：①由于數(shù)學思想方法往往隱含在知識的背后，知識教學雖然蘊含著思想方法，但是如

13、果不是有意識地把數(shù)學思想方法作為教學對象，在數(shù)學學習時，學生常常只注意到處于表層的數(shù)學知識，而注意不到處于深層的思想方法。②因此，進行數(shù)學思想方法教學時必須以數(shù)學知識為載體，把隱藏在知識背后的思想方法顯示出來，使之明朗化，才能通過知識教學過程達到思想方法教學之目的。 1、簡述《國家數(shù)學課程標準》的幾個主要特點。 答： 2001年6月教育部推行了試用的九年義務教育階段《國家數(shù)學課程標準》(實驗稿)，充分體現(xiàn)了數(shù)學課程改革與發(fā)展的內(nèi)涵、特點和具體目標，并呈現(xiàn)下列八個特點： 1）、把“現(xiàn)實數(shù)學”作為數(shù)學課程的一項內(nèi)容。即為學生準備的數(shù)學應該是與現(xiàn)實世界密切聯(lián)系的數(shù)學，且能夠在實際中得到應用的數(shù)學

14、。 2）、把“數(shù)學化”作為數(shù)學課程的一個目標。學生學習數(shù)學化的過程是將學生的現(xiàn)實數(shù)學進一步提高、抽象的過程。 3）、把“再創(chuàng)造”作為數(shù)學教育的一條原則。把“已完成的數(shù)學”當成是“未完成的數(shù)學”來教，給學生提供“再創(chuàng)造”的機會。 4）、把“問題解決”作為數(shù)學教學的一種模式?！稊?shù)學課程標準》在“學段目標”中的“解決問題”方面的具體闡述，實際上提出了“問題解決”的教學模式，即：情境—問題—探索—結(jié)論—反思。 5）、把“數(shù)學思想方法”作為課程體系的一條主線。要求學生掌握基本的數(shù)學思想方法。 6）、把“數(shù)學活動”作為數(shù)學課程的一個方面。強調(diào)學生的數(shù)學活動，注重“向?qū)W生提供充分從事數(shù)學活動的機會”，幫助他

15、們“獲得廣泛的數(shù)學活動的經(jīng)驗”。 7）、把“合作交流”看成學生學習數(shù)學的一種方式。要讓學生在解決問題的過程中“學會與他人合作”，并能“與他人交流思維的過程和結(jié)果”。 8）、把“現(xiàn)代信息技術(shù)”作為學生學習數(shù)學的一種工具。 1、 論述社會科學數(shù)學化的主要原因。 答：從整個科學發(fā)展趨勢來看，社會科學的數(shù)學化也是必 然的趨勢，其主要原因可以歸結(jié)為有下面四個方面： 第一，社會管理需要精確化的定量依據(jù)，這是促使社會科學 數(shù)學化的最根本的因素。 第二，社會科學的各分支逐步走向成熟，社會科學理論體系 的發(fā)展也需要精確化。 第三，隨著數(shù)學的進一步發(fā)展，它出現(xiàn)了一些適合研究社會 歷史現(xiàn)象的新的數(shù)學分支。 第

16、四，電子計算機的發(fā)展與應用，使非常復雜社會現(xiàn)象經(jīng)過 量化后可以進行數(shù)值處理。 2、 論述數(shù)學的三次危機對數(shù)學發(fā)展的作用。 答：第一次數(shù)學危機促使人們?nèi)フJ識和理解無理數(shù)，導致 了公理幾何與邏輯的產(chǎn)生。 第二次數(shù)學危機促使人們?nèi)ド钊胩接憣崝?shù)理論，導致了分析 基礎(chǔ)理論的完善和集合論的產(chǎn)生。 第三次數(shù)學危機促使人們研究和分析數(shù)學悖論，導致了數(shù)理 邏輯和一批現(xiàn)代數(shù)學的產(chǎn)生。 由此可見，數(shù)學危機的解決，往往給數(shù)學帶來新的內(nèi)容，新 的進展，甚至引起革命性的變革，這也反映出矛盾斗爭是事物發(fā) 展的歷史動力這一基本原理。整個數(shù)學的發(fā)展史就是矛盾斗爭的 歷史，斗爭的結(jié)果就是數(shù)學領(lǐng)域的發(fā)展 簡述公理方法歷史發(fā)

17、展的各個階段 答：公理方法經(jīng)歷了具體的公理體系、抽象的公理體系和形式化的公理體系三個階段。第一個具體的公理體系就是歐幾里得的《幾何原本》。非歐幾何是抽象的公理體系的典型代表。希爾伯特的《幾何基礎(chǔ)》開創(chuàng)了形式化的公理體系的先河，現(xiàn)代數(shù)學的幾乎所有理論都是用形式公理體系表述出來的，現(xiàn)代科學也盡量采用形式公理法作為研究和表述手段。 在實施數(shù)學思想方法教學時應注意哪些問題？p205 答：（1）要把數(shù)學思想方法的學習納入教學目標，并在教案中設(shè)計好數(shù)學思想方法的教學內(nèi)容和教學過程，這就要求教師具備較高的數(shù)學修養(yǎng)，具備數(shù)學方法論、數(shù)學發(fā)展史、數(shù)學思想方法的基礎(chǔ)知識，更需要教師更新教學觀念，不斷提高對教

18、學重要性的認識。 （2）重視數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展的過程，認真設(shè)計數(shù)學思想方法教學的目標；（3）做好數(shù)學思想方法教學的鋪墊工作和鞏固工作； （4）不同類型的數(shù)學思想方法應有不同的教學要求； （5）注意不同數(shù)學思想方法的綜合運用。 簡述計算機在數(shù)學方面的三種新用途。p119.3 答：（1）電子計算機把數(shù)學家從繁重的、單調(diào)的、重復性的腦力勞動中解放出來，讓他們有更多的時間從事更富創(chuàng)造性的抽象思維工作，從而更有利于數(shù)學理論的發(fā)展； （2）借助電子計算機的計算，人們可以得到一些新的猜想，并據(jù)此進一步作出理論證明；也可以對已有的結(jié)論進行驗證；還可以用計算機來證明某些理論問題； （3）電子計算機的發(fā)展本身也提出了許多數(shù)學理論問題。 簡述計算工具的發(fā)展。p114-116 答：計算工具的發(fā)展大致經(jīng)歷了：古代的計算工具；機械式計算工具；電動式計算機；機電式計算機；電子計算機。 33．簡述小學數(shù)學加強數(shù)學思想方法教學的重要性，具體表現(xiàn)？p185（p307） 答：（1）數(shù)學思想方法是知識向能力過渡的橋梁； （2）人的數(shù)學智能依賴于數(shù)學思想方法的掌握； （3）數(shù)學思想方法能有效地提高人的思維品質(zhì)； （4）數(shù)學思想方法能有效地促進人的全面發(fā)展。