有限元習(xí)題與答案

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1、習(xí)題 2.1 解釋如下的概念：應(yīng)力、應(yīng)變，幾何方程、物理方程、虛位移原理。 解 應(yīng)力是某截面上的應(yīng)力在該處的集度。 應(yīng)變是指單元體在某一個(gè)方向上有一個(gè)ΔU的伸長(zhǎng)量，其相對(duì)變化量就是應(yīng)變。 表示在x軸的方向上的正應(yīng)變，其包括正應(yīng)變和剪應(yīng)變。 幾何方程是表示彈性體內(nèi)節(jié)點(diǎn)的應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系，其完整表示如下： 物理方程：表示應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系的方程某一點(diǎn)應(yīng)力分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系如下： 虛位移原理：在彈性有一虛位移情況下，由于作用在每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的力系，在相應(yīng)的虛位移上虛功總和為零，即為：若彈性體在已知的面力和體力的作用下處于平衡狀態(tài)，那么

2、使彈性體產(chǎn)生虛位移，所有作用在彈性體上的體力在虛位移上所做的工就等于彈性體所具有的虛位能。 2.2說明彈性體力學(xué)中的幾個(gè)基本假設(shè)。 連續(xù)性假設(shè)：就是假定整個(gè)物體的體積都被組成該物體的介質(zhì)所填滿，不存在任何間隙。 完全彈性假設(shè)：就是假定物體服從虎克定律。 各向同性假設(shè)：就是假定整個(gè)物體是由同意材料組成的。 小變形和小位移假設(shè)：就是指物體各點(diǎn)的位移都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體原來的尺寸，并且其應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都小于1。 2.3簡(jiǎn)述線應(yīng)變與剪應(yīng)變的幾何含義。 線應(yīng)變：應(yīng)變和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)與位移導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，剪應(yīng)變表示單元體棱邊之間夾角的變化。 2.4 推到平面應(yīng)變平衡微分方程。 解：對(duì)于單元體而言其平

3、衡方程： 在平面中有 代入上式的 2.5 如題圖2.1所示，被三個(gè)表面隔離出來平面應(yīng)力狀態(tài)中的一點(diǎn)，求和的值。 解：x方向上： 聯(lián)立二式得： 2.6相對(duì)于xyz坐標(biāo)系，一點(diǎn)的應(yīng)力如下 某表面的外法線方向余弦值為，，求該表面的法相和切向應(yīng)力。 解：該平面的正應(yīng)力 全應(yīng)力 該平面的切應(yīng)力 2.7一點(diǎn)的應(yīng)力如下 MP 求主應(yīng)力和每一個(gè)主應(yīng)力方向的方向余弦；球該店的最大剪應(yīng)力。 解：設(shè)主平面方向余弦為，由題知 將代入得 即 ，。 最大剪應(yīng)力 （1）當(dāng)時(shí)代入式（2.21） （2）當(dāng)時(shí)代入式（2.21）且 2.8已知一點(diǎn)

4、P的位移場(chǎng)為，求該點(diǎn)p(1,0,2)的應(yīng)變分量。 解：p點(diǎn)沿坐標(biāo)方向的位移分量為u,v,w 點(diǎn)p(1,0,2)處線應(yīng)變?yōu)?，? 剪應(yīng)變?yōu)? ，， 2.9一具有平面應(yīng)力場(chǎng)的物體，材料參數(shù)為E、v。有如下位移場(chǎng) 其中，a、b、c、d是常量。求討論位移場(chǎng)的相容性 解： 因?yàn)? 所以滿足相容性條件 有廣義胡克定律得 又則 2.10一具有平面應(yīng)力場(chǎng)的物體，材料性質(zhì)是E=210GPa,v=0.3.并且有如下位移場(chǎng) 當(dāng)x=0.050m,y=0.020m時(shí)，求物體的應(yīng)力和應(yīng)變。位移場(chǎng)是否相容？ 解： 由廣義胡克定律 ，，滿

5、足相容性條件 2.11對(duì)于一個(gè)沒有任何體積力的圓盤，處于平面應(yīng)力狀態(tài)。其中 a, b, c, d, e, f, g, h是常量。為了使應(yīng)力滿足平衡方程和相容方程，這些常量的約束條件是什么？ 解：由題意得：，，， 代入平衡方程 根據(jù)廣義胡克定律： 代入相容方程 （2） 代入（1）得 其中 2.13 根據(jù)彈性力學(xué)平面問題的幾何方程，證明應(yīng)變分量滿足下列方程， 并解釋該方程的意義。 證明：彈性力學(xué)平面問題的幾何方程為： ① ， ②， ③， 將方程①，②分別對(duì)y和x求二階偏導(dǎo)并相加得： 等式右端項(xiàng)， 該方程為

6、相容方程中的第一式，其意義為彈性體內(nèi)任一點(diǎn)都有確定的位移，且同一點(diǎn)不可能有連個(gè)不同的位移，應(yīng)變分量應(yīng)滿足相容方程，否則，變形后的微元體之間有可能出現(xiàn)開裂與重疊。 2.14 假設(shè)Airy應(yīng)力函數(shù)為，其中為常數(shù)，求，并求這些變量間的約束關(guān)系。 解：由，對(duì)該應(yīng)力函數(shù)求偏導(dǎo)得; 對(duì)以上兩式的偏導(dǎo)可求得： 考慮相容性條件,將上式代入可得各常量間的關(guān)系如下： 2.15 對(duì)給定的應(yīng)力矩陣，求最大Tresca和Von.Mises應(yīng)力。將Von Mises應(yīng)力和Tresca應(yīng)力 20 10 10 進(jìn)行比較，δ= 10 20 10

7、Mpa。 10 10 20 δz τxy τxz 解：由Tresca準(zhǔn)則：δ= δy τyz 故有δs=20Mpa，τmax=δs/2=10Mpa δz δ1=（δx+δy）/2=30Mpa δ2=10Mpa 由Von Mises準(zhǔn)則：2δs2=6（τxy2+τyz2+τyz2）解得δs=30Mpa 30 -15

8、 20 2.16 一點(diǎn)出的應(yīng)力狀態(tài)由應(yīng)力矩陣給出，即δ= -15 -25 10 Mpa，若E=70Gpa，γ 20 10 40 =0.33，求單位體積的應(yīng)變能。 解：?jiǎn)挝惑w積應(yīng)變能： υ=1/2E{δx2+δy2+δz2-2u(δxδy+δyδz+δzδz)+2(1+u)(τxy2 +τxz2+τyz2)} u=（E-2γ）/2γ γ=0.33帶入可得： υ=420.75J 3.11 如圖3.11所示的平面三角形單元，厚度t=1cm，彈性模量E=2.0*105mpa，泊松比γ=0.3，試求

9、插值函數(shù)矩陣N，應(yīng)變矩陣B，應(yīng)力矩陣S，單元?jiǎng)偠染仃嘖e。 解：此三角形單元可得： 2△=（10-2）*4=32，故有 a1=1/32*（8u1-5u2-16u3） a2=1/32*（4u1-4u2） a3=1/32*（-8u1+8u3） a4=1/32*（56v1-8v2-16v3） a5=1/32*（-4v1+4v2） a6=1/32*（-8v1+8v3） 而b1=y2-y3=-4 b1=x2-x3=-8 b1=y3-y1=4 b1=x3-x1=0 b1=y1-y2=0 b1=x1-x2=8 b1

10、 0 b2 0 b3 0 -4 0 4 0 0 [B]=1/2△* 0 c1 0 c2 0 c3 =1/32* 0 -8 0 0 8 c1 b1 c2 b2 c3 b3 -8 4 0 8 0 1 γ 0 1 0.3 0 [D]=[E/(1-γ2)]* γ 1 0 =[E/0.91]* 0.3 1 0 0 0 (1-γ)/2

11、 0 0 0.35 1 0.3 0 -0.125 0 0.125 0 0 [S]=[D]*[B]={E/0.91}* 0.3 1 0 * 0 -0.25 0 0 0.25 0 0 0.35 -0.25 0.125 0 0.25 0 1.4 0 -1.4 -0.7 0 0.7

12、 0 4 -0.6 -4 0 0 [K]①=BT*D*B①*t*△={E/36.4}* -1.4 -0.6 2.4 1.3 0.6 0.7 -0.7 -4 1.3 -0.6 -1 0.35 0 0 0.6 -1 -0.6 0 0.7 0 0.7 -0.35 0 0

13、 1 0 0 0.6 -1 -0.6 0 0.35 0.7 0 -0.7 -0.35 0 0.7 1.4 0 -1.4 -0.7 [K]②=BT*D*B②*t*△={E/36.4}* 0.6 0 0 4 -0.6 -4 1 -0.7 -1.4 -0.6 2.4 1.3

14、 0.6 -0.35 -1.4 -4 1.3 3.5 3.12 求下圖中所示的三角形的單元插值函數(shù)矩陣及應(yīng)變矩陣，u1=2.0mm，v1=1.2mm，u2=2.4mm，v2=1.2mm，u3=2.1mm，v3=1.4mm，求單元內(nèi)的應(yīng)變和應(yīng)力，求出主應(yīng)力及方向。若在單元jm邊作用有線性分布面載荷（x軸），求結(jié)點(diǎn)的的載荷分量。 解：如圖2△=64/3，解得以下參數(shù)： a1=19 a2=-2 a3=6； b1=-3 b2=4 b3=-1；c1=-1 c2=-3 c3=4； N1={64/3}*(19-3x-y) N2={64/3}*(-2-3x-3y)

15、N3={64/3}*(6-x+4y) 故N= Ni 0 Nj 0 Nm 0 0 Ni 0 Nj 0 Nm 1 0 1 0 1 0 = 0 1 0 1 0 1 bi 0 bj 0 bm 0 [B]={1/2△}* 0 ci 0 cj 0 cm ci bi cj bj cm bm -3 0 4 0 -1 0 ={64/3}* 0 -1 0 -3 0 4

16、 -1 -3 -3 4 4 -1 1 γ 0 [D]={E/(1-γ2)}* γ 1 0 0 0 (1-γ)/2 1 γ 0 -3 0 4 0 -1 0 單元應(yīng)力矩陣[S]=[D]*[B]= {E/13(1-γ2)}* γ 1 0 * 0 -1 0 -3 0 4

17、 0 0 (1-γ)/2 -1 -3 -3 4 4 -1 2 1.1 -3 -u 4 3u -1 4u 2.4

18、單元應(yīng)力[δ]=[S]*[q]= {E/13(1-γ2)}* -3u -1 4u -3 -u 4 * 1.2 (u-1)/2 (3u-3)/2 (3u-3)/2 2-2u 2-2u (u-1)/2 2.4 1.4 3.13 解：二維單元在x,y坐標(biāo)平面內(nèi)平移到不同位置，單元?jiǎng)偠染仃囅嗤?，在平面矩?

19、180時(shí)變化，單元作上述變化時(shí)，應(yīng)力矩陣不變化。 （0,1） （2,1） 3.14 （2,0） （0,0） ② ① y x 解：令，，而，， 單元① 單元②： 由和擴(kuò)充KZ（總剛度陣） 而，其中， ，化簡(jiǎn)得： 則， 3.15如圖所示有限元網(wǎng)格，，單元厚度，彈性模量，泊松比?；卮鹣率鰡栴}： （1）結(jié)點(diǎn)如何編號(hào)才能使結(jié)構(gòu)剛度矩陣帶寬最??？ （2）如何設(shè)置位移邊界條件才能約束結(jié)構(gòu)的剛體移動(dòng)？ （3）形成單元?jiǎng)偠染仃嚥⒓山Y(jié)構(gòu)剛度矩陣。 （4）如果施加一定載荷，擬定求解步驟

20、。 (1) (2) （3） 解：1、節(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖(2)所示； 2、如圖(3)設(shè)置位移邊界條件才能約束結(jié)構(gòu)的剛體移動(dòng)； 3、如圖(2)所示各節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)為(以m為單位)：1(0,0)，2(0.08,0)，3(0,0.04)，4(0.08,0.04 )，5(0,0.08)，6(0.08,0.08)，7(0,0.12)，8(0.08,0.12) 解：?jiǎn)卧?hào) 1 2 3 4 5 6 相鄰結(jié)點(diǎn) 1 3 4 5 5 7 2 2 5 4

21、 6 6 3 4 3 6 7 8 對(duì)于單元號(hào)1：；；； ；；； 對(duì)于單元號(hào)2：；；； ；；； 對(duì)于單元號(hào)3：；；； ；；； 對(duì)于單元號(hào)4：；；； ；；； 對(duì)于單元號(hào)5：；；； ；；； 對(duì)于單元號(hào)6：；；； ；；； 平面三角形單元的面積均為 彈性矩陣均為 應(yīng)變矩陣 應(yīng)力矩陣 單元?jiǎng)偠染仃? 結(jié)構(gòu)剛度矩陣為： 若施加一定載荷，

22、求解步驟為： 1、對(duì)單元編號(hào)，并列出各單元三個(gè)結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)號(hào)； 2、計(jì)算外載荷的等效結(jié)點(diǎn)力，列出結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)載荷列陣； 3、計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃嚕M集結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣 4、引入邊界條件，即根據(jù)約束情況修正結(jié)構(gòu)有限元方程，特別是消除整體剛度矩陣的 奇異性，得到考慮約束條件的可解的有限元方程。 5、利用線性方程組的數(shù)值解法，對(duì)結(jié)構(gòu)的有限元方程進(jìn)行求解，得到所有各結(jié)點(diǎn)的位 移向量。最后根據(jù)需要求解單元應(yīng)力。 3.16一長(zhǎng)方形薄板如圖所示。其兩端受均勻拉伸。板長(zhǎng)12cm,寬4cm，厚1cm。材料，泊松比。均勻拉力。使用有限元法求解板的內(nèi)應(yīng)力，并和精確解比較（提示：可利用結(jié)構(gòu)對(duì)稱性，并用2個(gè)三角形

23、單元對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散）。 解： 解：結(jié)點(diǎn)編號(hào) 1 2 3 4 單元號(hào) 1 2 X坐標(biāo) 0 12 0 12 相鄰結(jié)點(diǎn) 1 3 Y坐標(biāo) 0 0 4 4 2 2 3 4 平面三角形單元的面積均為 應(yīng)力矩陣為： 單元1的應(yīng)變距陣為： 單元1的單元?jiǎng)偠染仃嚍椋? 單元2的應(yīng)變距陣為： 單元2的單元?jiǎng)偠染仃嚍椋? 總剛度矩陣為： 位移分量為： 載荷列陣為： 因?yàn)? 可以得 單元1的單元應(yīng)力： 單元2的單元應(yīng)力： 長(zhǎng)方形

24、薄板內(nèi)應(yīng)力的精確解為：拉應(yīng)力，用有限元法求解出的結(jié)果與精確解大致相等。 3.17 驗(yàn)證三角形單元的位移差值函數(shù)滿足及。 解：平面三角形形函數(shù)為：，其中，， 分別是行列式2A中的第一行，第二行和第三行各元素的代數(shù)余子式。行列式中，任一行的元素與其相應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和等于行列式的值，而任一行的元素與其它行對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和為零，故有： 當(dāng)，同時(shí)有， 同理也有： ，即。 3.18 推導(dǎo)如圖所示的9節(jié)點(diǎn)矩形單元的形函數(shù)。 解:三維桿單元的形狀函數(shù)， ① 在局部坐標(biāo)系中令節(jié)點(diǎn)1,5,2所對(duì)應(yīng)的帶入①式得到節(jié)點(diǎn)1,5,2僅在x方向上的形函數(shù)： ② 同

25、理可得： 由，即節(jié)點(diǎn)2,6,3，可得到沿著全局坐標(biāo)系y軸的形狀函數(shù)(通過變量輪換)，節(jié)點(diǎn)1的形函數(shù)即x，y方向的乘積： 由此可得： 同理可整理得： ，，， ，，， 3.19 如圖所示為一個(gè)桁架單元，端點(diǎn)力為[U1，U2]，端點(diǎn)位移為[u1，u2]，設(shè)內(nèi)部任一點(diǎn)的軸向位移u是坐標(biāo)x的線性函數(shù)： 推導(dǎo)其形函數(shù)矩陣N。 解：軸向位移u是坐標(biāo)x的線性函數(shù)，，寫成向量形式為，設(shè)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入向量形式的位移函數(shù)解得： 則由位移函數(shù)可得形函數(shù)為： 4.1 答：軸對(duì)稱三角形環(huán)單元不是常應(yīng)變單元，如果彈性體的幾何形狀、約束條件及載荷都對(duì)稱于某一軸

26、，則所有的位移應(yīng)變及應(yīng)力也是對(duì)稱于此軸，這樣問題稱為軸對(duì)稱。軸對(duì)稱三角形環(huán)單元與平面常應(yīng)變單元是不同的，軸對(duì)稱三角形環(huán)單元的應(yīng)變不是常數(shù)矩陣，其應(yīng)變矩陣B=[B B B],其中B=，（i,j,m）。應(yīng)變分量，，都是常量，但環(huán)向應(yīng)變不是常量，它與，，中的r和z有關(guān)。 4.2 答：軸對(duì)稱問題中，剛度自由度：環(huán)向位移，徑向位移，軸向位移。以三角環(huán)單元平均半徑、平均高度進(jìn)行計(jì)算的單元?jiǎng)偠染仃?，配合以精確積分所得的等效結(jié)點(diǎn)載荷矩陣，計(jì)算的結(jié)果還是不錯(cuò)的！ 4.3 軸對(duì)稱問題的兩個(gè)單元a和b，設(shè)材料的彈性模量為E，泊松比為μ = 0.15，試手算這兩個(gè)單元的剛度矩陣。

27、 解：對(duì)于單元，由題可知： 單元a的截面面積為 單元a的剛度矩陣寫成分塊矩陣形式為： 其中子矩陣可寫為： 所以的剛度矩陣為 對(duì)于單元，由題可知 單元的截面面積為 單元的剛度矩陣寫成分塊矩陣形式為： 其中子矩陣可寫為： 所以單元的剛度矩陣為 5.1 答：桿件受到縱向（平行于桿軸）載荷的作用，這樣

28、桿件的拉壓?jiǎn)栴}；桿件受到橫向（垂直于桿軸）載荷的作用，這是梁的彎曲問題。桿件受到力相似到薄板就有，薄板受到縱向載荷的作用，這是平面應(yīng)力問題；薄板受到橫向載荷的作用，這是薄板的彎曲問題。薄板的彎曲可以認(rèn)為是梁彎曲的推廣，是雙向的彎曲問題，中面法線在變形后保持不伸縮，并且成為彈性曲面的法線，中面在變形后，其線段和面積的投影形狀保持不變（小撓度薄板）。已知中面的撓度，而縱向位移、，主要應(yīng)力分量，，。 某一點(diǎn)的位移：，，。 某一點(diǎn)的應(yīng)力：,, 彈性曲面微分方程,其中……板的抗撓剛度。 5.2 答：矩形薄板單元：薄板單元位移函數(shù)并不滿足連續(xù)性或相容性要求，采用這種位移函數(shù)的單元是非協(xié)調(diào)單元，這種

29、四節(jié)點(diǎn)矩形彎曲單元變形后，其撓度面在單元間雖然互相連續(xù)，但其法向?qū)?shù)并不連續(xù)，單元間在變形后是不連續(xù)光滑（有棱）的，當(dāng)單元逐漸取小的時(shí)候，還能夠收斂于精確解。 三角形薄板單元：常使用面積坐標(biāo)，分析表明，只以撓度 及其一階導(dǎo)數(shù) 作為節(jié)點(diǎn)的位移函數(shù)用一般的形狀函數(shù)是不可能構(gòu)造滿足相容性的薄板單元，需再加上二階導(dǎo)數(shù)，就可以實(shí)現(xiàn)。在相鄰單元之間，撓度是連續(xù)的，但法向的斜率是不連續(xù)的，這種位移模式是非協(xié)調(diào)單云，收斂不如矩形單元，單元足夠小，節(jié)點(diǎn)增多，如六節(jié)點(diǎn)三角形，九節(jié)點(diǎn)三角形等。 5.3談?wù)撛谄矫鎽?yīng)力和彎曲狀態(tài)組合的情況下，三角形剛度矩陣的特點(diǎn) （1） 平面內(nèi)的作用力產(chǎn)生的變形不影響彎曲

30、變形，反之亦然 （2） 節(jié)點(diǎn)把轉(zhuǎn)向 在兩種應(yīng)力狀態(tài)下都不加入到變形中，相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)力也不存在，將平面應(yīng)力狀態(tài)和彎曲狀態(tài)加以組合后，單元的每個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移向量和節(jié)點(diǎn)力向量是 要指出的是，在局部坐標(biāo)系中，節(jié)點(diǎn)位移不包括 ，但為了下一步將局部坐標(biāo)系的單元?jiǎng)偠汝嚀Q到總體坐標(biāo)系下進(jìn)行集成，由于平面應(yīng)力狀態(tài)下的節(jié)點(diǎn)力和平面應(yīng)力狀態(tài)下的節(jié)點(diǎn)位移 互不影響，彎曲應(yīng)力狀態(tài)下的節(jié)點(diǎn)與平面應(yīng)力狀態(tài)下的節(jié)點(diǎn)位移互不影響，所以組合應(yīng)力狀態(tài)下的平板、薄板單元的單元?jiǎng)偠染仃嚾缦拢海? 其中矩陣和分別是平面應(yīng)力問題和薄板彎曲問題的相應(yīng)子矩陣，三角形單元的單元?jiǎng)偠染仃囀?818矩陣。 6.1 結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性：結(jié)構(gòu)的固有

31、頻率及其相應(yīng)的模型，以及在隨著時(shí)間而變形的外加激振力的激勵(lì)下，機(jī)器或結(jié)構(gòu)被激起的位移，應(yīng)力或稱被激起的動(dòng)力響應(yīng)，機(jī)械產(chǎn)品的動(dòng)態(tài)性能是其重要的性能指標(biāo)，尤其對(duì)現(xiàn)代復(fù)雜、高速、重載精密機(jī)械系統(tǒng)，動(dòng)態(tài)性能是影響其工作性能及產(chǎn)品指標(biāo)的關(guān)鍵技術(shù)指標(biāo)，機(jī)械結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性問題早在上個(gè)世紀(jì)30年代就引起人們的重視，動(dòng)態(tài)特性的發(fā)展為機(jī)械動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。 6.2 結(jié)構(gòu)離散后，在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)各節(jié)點(diǎn)的動(dòng)力平衡為：其中,,分別以慣性力、阻尼力和動(dòng)力載荷均為矢量，為彈性力，彈性力矢量可用節(jié)點(diǎn)位移和剛度矩陣表示為：=式中剛度矩陣的元素為節(jié)點(diǎn)j的單位位移在節(jié)點(diǎn)i引起的彈性力，根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，可利用質(zhì)量矩陣和節(jié)點(diǎn)加速

32、度表示慣性如下：=式中質(zhì)量矩陣為節(jié)點(diǎn)j的單位加速度在節(jié)點(diǎn)i引起的慣性力，設(shè)結(jié)構(gòu)阻尼（滯粘），可用阻尼矩陣C和節(jié)點(diǎn)速度，表示阻尼如下：=，將各式帶入：++=，記=，=。則運(yùn)動(dòng)方程：++= 6.3單元的質(zhì)量矩陣：= 質(zhì)量矩陣是對(duì)稱陣，各節(jié)點(diǎn)的質(zhì)量互相耦合，即平動(dòng)慣性和轉(zhuǎn)動(dòng)慣性之間耦合，如果把單元的一致質(zhì)量集中的分配在它們的節(jié)點(diǎn)上，則此質(zhì)量矩陣成為集中質(zhì)量矩陣質(zhì)量分配原則：按靜力學(xué)平行力的分配法則，將單元的一致質(zhì)量矩陣用集中于節(jié)點(diǎn)外的質(zhì)量來代替，形函數(shù)計(jì)算所得的[M]稱為一致質(zhì)量矩陣。 6.5 結(jié)構(gòu)阻尼（只與結(jié)構(gòu)本身材料性質(zhì)有關(guān)） 結(jié)構(gòu)在自由振動(dòng)過程中，如果沒有能量的耗散，振動(dòng)將永遠(yuǎn)保持由

33、初始條件決定的振幅持續(xù)不停，但實(shí)際上，結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)的振幅都會(huì)隨時(shí)間而衰減，經(jīng)過一定時(shí)間后，這是因?yàn)橄到y(tǒng)的能量因某些原因而消耗，這種能量的耗散作用稱阻尼，由阻尼使振動(dòng)衰減的系統(tǒng)稱為阻尼系統(tǒng)。 在結(jié)構(gòu)內(nèi)部阻尼是非粘線的，但它近似于線性的，彈性材料，特別是金屬材料表示一種結(jié)構(gòu)阻尼的性質(zhì)，這種阻尼是由于材料受力變形而產(chǎn)生的內(nèi)摩擦力和變形之間產(chǎn)生了相位滯后。 產(chǎn)生能量耗散的原因有結(jié)構(gòu)的內(nèi)摩擦（或粘性）構(gòu)件接口處的摩擦、周圍介質(zhì)（如空氣、建筑物地基）的阻尼影響等，但有關(guān)阻尼的作用機(jī)理，目前尚未完全研究清楚。 1.推導(dǎo)橫截面積為A的一維桁架架構(gòu)單元?jiǎng)偠染仃嚒? 解：設(shè)桿件兩端點(diǎn)位i，j，ξ，η為單元局

34、部坐標(biāo)，ξ表示單元任一截面的位置，則其發(fā)生的位移：u=a0+b1ξ，v=b0+b1ξ+b2ξ2+b3ξ3，即： u 1 0 0 ξ 0 0 = *（a0 b0 b1 a1 b2 b3）T v 1 0 ξ 0 ξ2 ξ2 [H] [α] 記{U}=[u,v]=[H]* [α]， 由i，j兩端的位移分量可得：{ζ}=[G]*[ α], 1 0

35、 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 其中[G]= 0 0 1 0 0 0 給上式左乘[G]-1,則有 1 0 0 L 0 0 0 1 L 0 L2 L3 0 0 1 0 2L 3L2 {u}=[H]* [G]-1*{ζ},令[N]= [H]* [G]-1 N1=[1-ξ/L 0 0 ξ/L 0 0], N2=[0 1-3[ξ/L]2+2[

36、ξ/L]3 ξ*（1-ξ/L）2 0 3[ξ/L]2+2[ξ/L]3 ξ*（ξ/L-1）*ξ/L]， 應(yīng)用幾何物理方程可得：[ε]= ξn = *[ζ]=[B]* [ζ] ζn 利用虛功原理推得：[K]e=E*= EA/L 0 12EIZ/L3 對(duì) 0 6EIZ/L2 4EIZ/L 稱

37、 -EA/L 0 0 -EA/L 0 -12EIZ/L3 -6EIZ/L2 0 -12EIZ/L3 0 -6EIZ/L2 2EIZ/L 0 -6EIZ/L2 -EA/L 2.如圖2為一個(gè)平面超靜定桁架結(jié)構(gòu)，在載荷P的作用下，求各個(gè)桿的軸力。此結(jié)構(gòu)可以看成由14,24,34三個(gè)桿組成的，每個(gè)桿單元的兩端為桿單元的結(jié)點(diǎn)，各結(jié)點(diǎn)的水平，鉛直位移分別用u、v表示。 解：由題意可得：各桿件在局部坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚕? 1 0 -1 0

38、 0 0 0 0 [k]e=EA/L -1 0 1 0 e=(14, 24, 34) 0 0 0 0 圖2 桁架超靜定結(jié)構(gòu) ①對(duì)于14桿轉(zhuǎn)角γ=π/2+θ，cosγ=-cosθ，sinγ=sinθ， sinθ -cosθ 0 0 cosθ sinθ 0 0 故[T]14= 0 0 sinθ -cosθ 0 0 cosθ sinθ sin2θ si

39、nθ* cosθ -sin2θ -sinθ* cosθ 對(duì)于[K]14=[T]14 T*[K]14 *[T]14=EA/L* -sinθ* cosθ cos2θ sinθ* cosθ -cos2θ -sin2θ -sinθ* cosθ sin2θ sinθ* cosθ sinθ* cosθ -cos2θ -sinθ* cosθ cos2θ ②對(duì)于24桿轉(zhuǎn)角γ=90，則有： 0 0 0 0

40、 0 1 0 -1 [K]24= EA/L* 0 0 0 0 0 -1 0 1 ③對(duì)于34桿轉(zhuǎn)角γ=π/2-θ，cosγ=cosθ，sinγ=-sinθ， cosθ -sinθ 0 0 -sinθ cosθ 0 0 故[T]34= 0 0 -cosθ sinθ 0 0 -sinθ cosθ 對(duì)于[K]34=[T]34 T*[K]34 *[T]34 -sin2θ sinθ* cosθ

41、 -sin2θ -sinθ* cosθ 0 0 0 0 sinθ* cosθ cos2θ -sinθ* cosθ cos2θ 0 0 0 0 sin2θ sinθ* cosθ 0 0 0 0 -sin2θ -sinθ* cosθ [K]e=[K]14+[K]24+[K]34=EA/L* -sinθ* cosθ cos2θ 0 -1 0 -1 -sinθ* cosθ cos2θ 0 0

42、 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 0 0 -sin2θ -sinθ* cosθ 0 0 sin2θ sinθ* cosθ 0 0 -sinθ* cosθ -cos2θ 0 0 sinθ* cosθ cos2θ 利用[K]*{0 0 u v 0 0 0 0}={

43、0 0 0 P 0 0 0 0}，可以解得u，v的值。 對(duì)于桿單元14時(shí)，{}14=[K]14*{q}14可以求得； 對(duì)于桿單元24時(shí)，{}24=[K]24*{q}24可以求得； 對(duì)于桿單元34時(shí)，{}34=[K]34*{q}34可以求得。 3.如圖3所示的鋼架中，兩桿為尺寸相等的等截面桿件，橫截面積為A=0.5m2，截面慣性矩為I=1/24m4，E=3*107kpa，求解此結(jié)構(gòu)。 圖3 鋼架 解：將桿件單元標(biāo)出單元號(hào)碼及結(jié)點(diǎn)號(hào)碼（如圖所示），鋼架的單元參數(shù)如下： 單元數(shù)為2，結(jié)點(diǎn)數(shù)為3，各桿件子局部坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚕? -1 0

44、 -1 0 [K]e=EA/L* 0 0 0 0 e=1,2 -1 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 -1 0 對(duì)于單元①轉(zhuǎn)角γ=0，故[K] ①=EA/L* 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0

45、 0 0 0 0 對(duì)于單元②轉(zhuǎn)角γ=90，故[K] ②= EA/L* 0 1 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 1 1 0 0 0 -1 0 0 1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 [K]=[K] ①+[K] ②=EA/L* 0 -1 0 1 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 由[K]*{u v 0 0 0 0}=[14 -22 0 0 0 0],可以求得u，v。