高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.5 定積分的概念課件 新人教版選修2-2.ppt

§1.5 定積分的概念,第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,1.了解定積分的概念. 2.理解定積分的幾何意義. 3.通過求曲邊梯形面積的過程和解決有關(guān)汽車行駛路程問題的過程，了解“以直代曲”“以不變代變”的思想. 4.能用定積分的定義求簡(jiǎn)單的定積分.,學(xué)習(xí)目標(biāo),欄目索引,知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),題型探究 重點(diǎn)突破,當(dāng)堂檢測(cè) 自查自糾,知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),知識(shí)點(diǎn)一 曲邊梯形的面積和汽車行駛的路程,答案,yf(x),1.曲邊梯形的面積 (1)曲邊梯形：由直線xa，xb(ab)，y0和曲線 所圍成的圖形稱為曲邊梯形(如圖所示).,答案,小曲邊梯形,(2)求曲邊梯形面積的方法 把區(qū)間a，b分成許多小區(qū)間，進(jìn)而把曲邊梯形拆分為一些 ，對(duì)每個(gè) “以直代曲”,即用 的面積近似代替 的面積，得到每個(gè)小曲邊梯形面積的 ，對(duì)這些近似值 ，就得到曲邊梯形面積的 (如圖所示).,小曲邊梯形,小曲邊梯形,矩形,近似值,求和,近似值,(3)求曲邊梯形面積的步驟： ， ， ， . 2.求變速直線運(yùn)動(dòng)的(位移)路程 如果物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，速度函數(shù)vv(t)，那么也可以采用 ， ， ， 的方法，求出它在atb內(nèi)所作的位移s.,答案,分割,近似代替,求和,取極限,分割,近似代替,求和,取極限,思考 (1)如何計(jì)算下列兩圖形的面積？,答案 直接利用梯形面積公式求解. 轉(zhuǎn)化為三角形和梯形求解.,答案,答案,(2)求曲邊梯形面積時(shí)，對(duì)曲邊梯形進(jìn)行“以直代曲”，怎樣才能盡量減小求得的曲邊梯形面積的誤差？,答案 為了減小近似代替的誤差，需要先分割再分別對(duì)每個(gè)小曲邊梯形“以直代曲”，而且分割的曲邊梯形數(shù)目越多，得到的面積的誤差越小.,知識(shí)點(diǎn)二 定積分的概念,答案,定積分,答案,積分下限,其中a與b分別叫做 與 ，區(qū)間a，b叫做 ，函數(shù)f(x)叫做 ，x叫做 ，f(x)dx叫做 .,積分上限,積分區(qū)間,被積函數(shù),積分變量,被積式,思考 (1)如何理解定積分？,答案 定積分是一個(gè)數(shù)值(極限值)，它的值僅僅取決于被積函數(shù)與積分的上、下限，而與積分變量用什么字母表示無關(guān)，,不同的積分區(qū)間，定積分的積分限不同，所得的值也不同，,答案,答案 分割：將區(qū)間a，bn等分，記第i個(gè)小區(qū)間為xi1，xi， 區(qū)間長度xxixi1；,答案,知識(shí)點(diǎn)三 定積分的幾何意義與性質(zhì),1.定積分的幾何意義 由直線xa，xb(ab)，x軸及一條曲線yf(x)所圍成的曲邊梯形的面積設(shè)為S，則有：,答案,答案,答案,返回,答案,題型探究 重點(diǎn)突破,題型一 求圖形的面積問題,解析答案,反思與感悟,例1 用定積分的定義求曲線yx31與x0，x1及y0所圍成的曲邊梯形的面積.,解析答案,反思與感悟,過各區(qū)間端點(diǎn)作x軸的垂線，從而得到n個(gè)小曲邊梯形， 它們的面積分別記為S1，S2，Si，Sn.,解析答案,反思與感悟,求和：SnS1S2Sn,反思與感悟,反思與感悟,對(duì)圖形進(jìn)行分割實(shí)現(xiàn)了把求不規(guī)則的圖形面積化歸為矩形面積，但這僅是近似值，分割得越細(xì)，近似程度就會(huì)越高，這就是“以直代曲”方法的應(yīng)用.,跟蹤訓(xùn)練1 求由直線x0，x1，y0和曲線yx(x1)圍成的圖形的面積.,解析答案,解析答案,解 (1)分割： 將曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形，,解析答案,過各分點(diǎn)作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形， 它們的面積分別記作：S1，S2，Si，Sn. (2)近似代替： 用小矩形面積近似代替小曲邊梯形面積.,為了計(jì)算方便取xi為小區(qū)間的左端點(diǎn)，,解析答案,(3)求和： 因?yàn)槊恳粋€(gè)小矩形的面積都可以作為相應(yīng)的小曲邊梯形面積的近似值，所以n個(gè)小矩形面積的和，就是曲邊梯形面積S的近似值.即,(4)取極限： 當(dāng)分點(diǎn)數(shù)目愈多，即x愈小時(shí)，和式的值就愈接近曲邊梯形的面積S， 因此，當(dāng)n，即x0時(shí)，和式的逼近值就是所求曲邊梯形的面積.,題型二 求汽車行駛的路程,解析答案,例2 汽車以速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)過時(shí)間t所行駛的路程為svt.如果汽車做變速直線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻t的速度為v(t)t22(v的單位：km/h，t的單位：h)，那么它在1t2這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程s(單位：km)是多少？,反思與感悟,解 將區(qū)間1,2等分成n個(gè)小區(qū)間，,解析答案,反思與感悟,反思與感悟,利用類比轉(zhuǎn)化的思想，把求汽車行駛的路程轉(zhuǎn)化為求時(shí)間速度坐標(biāo)系中的曲邊梯形的面積，再用求曲邊梯形的面積方法來解決此問題.,反思與感悟,解析答案,跟蹤訓(xùn)練2 一物體自200 m高空自由落下，求它在開始下落后的第3秒至第6秒之間的距離.(g9.8 m/s2),解析答案,解 自由落體的下落速度為v(t)gt.,以左端點(diǎn)函數(shù)值作為該區(qū)間的速度.,故該物體在下落后第3 s至第6 s之間的距離是132.3 m.,題型三 由定積分的幾何意義求定積分,解析答案,例3 利用定積分的幾何意義，求：,解析答案,反思與感悟,解 在坐標(biāo)平面上，f(x)2x1為一條直線.,x0，x3圍成的直角梯形OABC的面積，如圖(2)所示.,利用定積分的幾何意義求定積分，關(guān)鍵是準(zhǔn)確確定被積函數(shù)的圖象，以及積分區(qū)間，正確利用相關(guān)的幾何知識(shí)求面積，求不規(guī)則圖形的面積常用分割法，注意分割點(diǎn)的選取.,反思與感悟,解析答案,跟蹤訓(xùn)練3 利用定積分的幾何意義計(jì)算.,解 如圖所示，定積分為圖中陰影部分面積A減去B.,解析答案,解 如圖所示，定積分為圖中陰影部分面積，,解析答案,因?qū)Χǚe分的幾何意義理解不準(zhǔn)確致誤,例4 如圖所示，f(x)在區(qū)間a，b上，則陰影部分的面積S為( ),返回,易錯(cuò)易混,防范措施,錯(cuò)解 錯(cuò)選A或B或C. 錯(cuò)因分析 錯(cuò)誤的原因在于對(duì)定積分的幾何意義不理解或理解不夠透徹.,若在a，c上，f (x)0，在c，b上，f (x)0，,故選D.,防范措施,定積分的幾何意義是在x軸上半部計(jì)算的面積取正值，在x軸下半部計(jì)算的面積取負(fù)值.,返回,防范措施,當(dāng)堂檢測(cè),1,2,3,4,1.把區(qū)間1,3n等分，所得n個(gè)小區(qū)間的長度均為( ),解析 區(qū)間1,3的長度為2，,B,解析答案,1,2,3,4,A.與f (x)和積分區(qū)間a，b有關(guān)，與i的取法無關(guān) B.與f (x)有關(guān)，與區(qū)間a，b以及i的取法無關(guān) C.與f (x)以及i的取法有關(guān)，與區(qū)間a，b無關(guān) D.與f (x)、積分區(qū)間a，b和i的取法都有關(guān),A,答案,1,2,3,4,解析答案,1.02,1,2,3,4,4.根據(jù)定積分的幾何意義，用不等號(hào)連接下列式子：,答案,課堂小結(jié),1.求曲邊梯形面積和汽車行駛的路程的步驟： (1)分割：n等分區(qū)間a，b； (2)近似代替：取點(diǎn)ixi1，xi；,也可以用較大的矩形來代替曲邊梯形，為了計(jì)算方便，可以取區(qū)間上的一些特殊點(diǎn)，如區(qū)間的端點(diǎn)(或中點(diǎn)).,返回,3.可以利用“分割、近似代替、求和、取極限”求定積分；對(duì)于一些特殊函數(shù)，也可以利用幾何意義求定積分. 4.定積分的幾何性質(zhì)可以幫助簡(jiǎn)化定積分運(yùn)算.,