高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 9.5橢圓課件 理 蘇教版.ppt

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,§9.5 橢 圓,數(shù)學(xué) 蘇（理）,第九章 平面解析幾何,基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí),題型分類·深度剖析,思想方法·感悟提高,練出高分,1.橢圓的概念 平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于F1F2)的點的軌跡叫做 .這兩個定點叫做橢圓的 ，兩焦點間的距離叫做橢圓的 .,橢圓,焦點,焦距,集合P＝{M|MF1＋MF2＝2a}，F(xiàn)1F2＝2c，其中a0，c0，且a，c為常數(shù)： (1)若 ，則集合P為橢圓； (2)若 ，則集合P為線段； (3)若 ，則集合P為空集.,ac,a＝c,ac,2.橢圓的標準方程和幾何性質(zhì),2a,2b,2c,c2＝a2－b2,[知識拓展] 點P(x0，y0)和橢圓的關(guān)系,思考辨析,判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓.( ) (2)橢圓上一點P與兩焦點F1，F(xiàn)2構(gòu)成△PF1F2的周長為2a＋2c(其中a為橢圓的長半軸長，c為橢圓的半焦距).( ) (3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓.( ),×,√,×,(4)方程mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)表示的曲線是橢圓.( ),√,×,√,4或8,16,,解析,所以a＝2，b2＝a2－c2＝3.,例1 (1)已知圓(x＋2)2＋y2＝36的圓心為M，設(shè)A為圓上任一點，且點N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點P，則動點P的軌跡是________.,題型一 橢圓的定義及標準方程,思維點撥,解析,答案,例1 (1)已知圓(x＋2)2＋y2＝36的圓心為M，設(shè)A為圓上任一點，且點N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點P，則動點P的軌跡是________.,題型一 橢圓的定義及標準方程,主要考慮橢圓的定義；,思維點撥,解析,答案,例1 (1)已知圓(x＋2)2＋y2＝36的圓心為M，設(shè)A為圓上任一點，且點N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點P，則動點P的軌跡是________.,題型一 橢圓的定義及標準方程,點P在線段AN的垂直平分線上，故PA＝PN， 又AM是圓的半徑， ∴PM＋PN＝PM＋PA＝AM＝6MN， 由橢圓定義知，P的軌跡是橢圓.,思維點撥,解析,答案,例1 (1)已知圓(x＋2)2＋y2＝36的圓心為M，設(shè)A為圓上任一點，且點N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點P，則動點P的軌跡是________.,題型一 橢圓的定義及標準方程,思維點撥,解析,答案,點P在線段AN的垂直平分線上，故PA＝PN， 又AM是圓的半徑， ∴PM＋PN＝PM＋PA＝AM＝6MN， 由橢圓定義知，P的軌跡是橢圓.,橢圓,例1 (2)已知橢圓以坐標軸為對稱軸，且長軸是短軸的3倍，并且過點P(3,0)，則橢圓的方程為 ____________________.,思維點撥,解析,答案,例1 (2)已知橢圓以坐標軸為對稱軸，且長軸是短軸的3倍，并且過點P(3,0)，則橢圓的方程為 ____________________.,要分焦點在x軸和y軸上兩種情況；,思維點撥,解析,答案,例1 (2)已知橢圓以坐標軸為對稱軸，且長軸是短軸的3倍，并且過點P(3,0)，則橢圓的方程為 ________________.,思維點撥,解析,答案,例1 (2)已知橢圓以坐標軸為對稱軸，且長軸是短軸的3倍，并且過點P(3,0)，則橢圓的方程為 ________________.,思維點撥,解析,答案,例1 (2)已知橢圓以坐標軸為對稱軸，且長軸是短軸的3倍，并且過點P(3,0)，則橢圓的方程為 ____________________.,思維點撥,解析,答案,思維點撥,解析,答案,思維升華,可以用待定系數(shù)法求解.,思維點撥,解析,答案,思維升華,設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m0，n0且m≠n). ∵橢圓經(jīng)過點P1、P2，∴點P1、P2的坐標適合橢圓方程.,思維點撥,解析,答案,思維升華,思維點撥,解析,答案,思維升華,(1)求橢圓的方程多采用定義法和待定系數(shù)法，利用橢圓的定義定形狀時，一定要注意常數(shù)2aF1F2這一條件. (2)求橢圓標準方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過程是先定形，再定量，即首先確定焦點所在位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組.如果焦點位置不確定，要考慮是否有兩解，有時為了解題方便，也可把橢圓方程設(shè)為mx2＋ny2＝1 (m0，n0，m≠n)的形式.,思維點撥,解析,答案,思維升華,,,由c2＝a2－b2可得b2＝4.,∴其焦點在y軸上，且c2＝25－9＝16.,,∵c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16. ①,由①②得b2＝4，a2＝20，,,(2)(2014·安徽)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2＋ ＝1(0b1)的左，右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點.若AF1＝3F1B，AF2⊥x軸，則橢圓E的方程為__________________.,解析 設(shè)點B的坐標為(x0，y0).,,,例2 (2014·江蘇)如圖，在平面直角坐標系 xOy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓 ＝1(ab0) 的左，右焦點，頂點B的坐標為(0，b)，連結(jié) BF2并延長交橢圓于點A，過點A作x軸的垂線交橢圓于另一點C，連結(jié)F1C.,題型二 橢圓的幾何性質(zhì),思維點撥,解析,根據(jù)橢圓的定義，建立方程關(guān)系即可求出a、b的值.,思維點撥,解析,解 設(shè)橢圓的焦距為2c，則F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0).,思維點撥,解析,例2 (2)若F1C⊥AB，求橢圓離心率e的值.,思維點撥,解析,思維升華,例2 (2)若F1C⊥AB，求橢圓離心率e的值.,求出C的坐標，利用F1C⊥AB建立斜率之間的關(guān)系，解方程即可求出e的值.,思維點撥,解析,思維升華,例2 (2)若F1C⊥AB，求橢圓離心率e的值.,解 因為B(0，b)，F(xiàn)2(c,0)在直線AB上，,思維點撥,解析,思維升華,例2 (2)若F1C⊥AB，求橢圓離心率e的值.,又AC垂直于x軸，由橢圓的對稱性，,思維點撥,解析,思維升華,例2 (2)若F1C⊥AB，求橢圓離心率e的值.,又b2＝a2－c2，整理得a2＝5c2.,思維點撥,解析,思維升華,例2 (2)若F1C⊥AB，求橢圓離心率e的值.,求橢圓的離心率的方法： (1)直接求出a、c來求解e，通過已知條件列方程組，解出a、c的值； (2)構(gòu)造a、c的齊次式，解出e，由已知條件得出a、c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解； (3)通過特殊值或特殊位置，求出離心率.,思維點撥,解析,思維升華,,,2,,解析 如圖，在△ABF中，AB＝10，AF＝6，,設(shè)BF＝m，,∴m2－16m＋64＝0，∴m＝8.,設(shè)橢圓右焦點為F′，連結(jié)BF′，AF′，,,由對稱性，得BF′＝AF＝6， ∴2a＝BF＋BF′＝14.,(1)若直線l的方程為y＝x－4，求弦MN的長.,思維點撥,解析,思維升華,題型三 直線與橢圓位置關(guān)系 的相關(guān)問題,(1)若直線l的方程為y＝x－4，求弦MN的長.,題型三 直線與橢圓位置關(guān)系 的相關(guān)問題,直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，一般可以直接聯(lián)立方程，“設(shè)而不求”，把方程組轉(zhuǎn)化成關(guān)于x或y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式求解.,思維點撥,解析,思維升華,(1)若直線l的方程為y＝x－4，求弦MN的長.,題型三 直線與橢圓位置關(guān)系 的相關(guān)問題,則4x2＋5y2＝80與y＝x－4聯(lián)立，,思維點撥,解析,思維升華,(1)若直線l的方程為y＝x－4，求弦MN的長.,題型三 直線與橢圓位置關(guān)系 的相關(guān)問題,思維點撥,解析,思維升華,(1)若直線l的方程為y＝x－4，求弦MN的長.,題型三 直線與橢圓位置關(guān)系 的相關(guān)問題,思維點撥,解析,思維升華,(1)解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程,解決相關(guān)問題.涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決，往往會更簡單.,(1)若直線l的方程為y＝x－4，求弦MN的長.,題型三 直線與橢圓位置關(guān)系 的相關(guān)問題,思維點撥,解析,思維升華,(2)設(shè)直線與橢圓的交點坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，,提醒：利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進行的，不要忽略判別式.,例3 (2)如果△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F，求直線l方程的一般式.,思維點撥,解析,思維升華,例3 (2)如果△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F，求直線l方程的一般式.,直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，一般可以直接聯(lián)立方程，“設(shè)而不求”，把方程組轉(zhuǎn)化成關(guān)于x或y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式求解.,思維點撥,解析,思維升華,例3 (2)如果△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F，求直線l方程的一般式.,解 橢圓右焦點F的坐標為(2,0)，,設(shè)線段MN的中點為Q(x0，y0)，,又B(0,4)，∴(2，－4)＝2(x0－2，y0)，故得x0＝3，y0＝－2，,即得Q的坐標為(3，－2). 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，,思維點撥,解析,思維升華,例3 (2)如果△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F，求直線l方程的一般式.,則x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，,思維點撥,解析,思維升華,例3 (2)如果△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F，求直線l方程的一般式.,即6x－5y－28＝0.,思維點撥,解析,思維升華,例3 (2)如果△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F，求直線l方程的一般式.,思維點撥,解析,思維升華,(1)解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程,解決相關(guān)問題.涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決，往往會更簡單.,例3 (2)如果△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F，求直線l方程的一般式.,設(shè)直線與橢圓的交點坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，,提醒：利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進行的，不要忽略判別式.,思維點撥,解析,思維升華,,將b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，,,(2)若直線MN在y軸上的截距為2，且MN＝5F1N，求a，b.,解 由題意，得原點O為F1F2的中點，MF2∥y軸， 所以直線MF1與y軸的交點D(0,2)是線段MF1的中點，,由MN＝5F1N得DF1＝2F1N. 設(shè)N(x1，y1)，由題意知y10，,,高頻小考點9 高考中求橢圓的離心率問題,,思 維 點 撥,解 析,溫 馨 提 醒,,利用點差法得出關(guān)于a，b的方程.,思 維 點 撥,解 析,溫 馨 提 醒,,思 維 點 撥,解 析,溫 馨 提 醒,,x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，,∴a2＝2b2.又∵b2＝a2－c2，,思 維 點 撥,解 析,溫 馨 提 醒,,離心率是橢圓的重要幾何性質(zhì)，是高考重點考查的一個知識點.這類問題一般有兩類：一類是根據(jù)一定的條件求橢圓的離心率；另一類是根據(jù)一定的條件求離心率的取值范圍.無論是哪類問題，其難點都是建立關(guān)于a，b，c的關(guān)系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表達，轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的關(guān)系式，這是化解有關(guān)橢圓的離心率問題難點的根本方法.,思 維 點 撥,解 析,溫 馨 提 醒,,思 維 點 撥,解 析,溫 馨 提 醒,,由正弦定理將已知等式轉(zhuǎn)化為PF1、PF2的等量關(guān)系.,思 維 點 撥,解 析,溫 馨 提 醒,,思 維 點 撥,解 析,溫 馨 提 醒,,離心率是橢圓的重要幾何性質(zhì)，是高考重點考查的一個知識點.這類問題一般有兩類：一類是根據(jù)一定的條件求橢圓的離心率；另一類是根據(jù)一定的條件求離心率的取值范圍.無論是哪類問題，其難點都是建立關(guān)于a，b，c的關(guān)系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表達，轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的關(guān)系式，這是化解有關(guān)橢圓的離心率問題難點的根本方法.,思 維 點 撥,解 析,溫 馨 提 醒,,方 法 與 技 巧,1.橢圓的定義揭示了橢圓的本質(zhì)屬性，正確理解、掌握定義是關(guān)鍵，應(yīng)注意定義中的常數(shù)大于F1F2，避免了動點軌跡是線段或不存在的情況.,2.求橢圓方程的方法，除了直接根據(jù)定義外，常用待定系數(shù)法. 當橢圓的焦點位置不明確而無法確定其標準方程時，設(shè)方程為 ＝1 (m0，n0，且m≠n)可以避免討論和煩瑣的計算，也可以設(shè)為Ax2＋By2＝1 (A0，B0，且A≠B)，這種形式在解題中更簡便.,方 法 與 技 巧,3.討論橢圓的幾何性質(zhì)時，離心率問題是重點，求離心率的常用方法有以下兩種： (1)求得a，c的值，直接代入公式e＝ 求得； (2)列出關(guān)于a，b，c的齊次方程(或不等式)，然后根據(jù)b2＝a2－c2，消去b，轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解.,失 誤 與 防 范,1.判斷兩種標準方程的方法為比較標準形式中x2與y2的分母大小.,,2.注意橢圓的范圍，在設(shè)橢圓 ＝1 (ab0)上點的坐標為P(x，y)時，則|x|≤a，這往往在求與點P有關(guān)的最值問題中用到，也是容易被忽略而導(dǎo)致求最值錯誤的原因.,,,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,,,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,1,∴PF2＝6，∴PF1＝2×5－6＝4.,4,2.若橢圓x2＋my2＝1的焦點在y軸上，且長軸長是短軸長的兩倍.則m的值為________.,,,3,4,5,6,7,8,9,1,10,,2,,,2,4,5,6,7,8,9,1,10,,3,解析 如圖所示，,設(shè)以(0,6)為圓心， 以r為半徑的圓的方程為x2＋(y－6)2＝r2(r0)，,,,2,4,5,6,7,8,9,1,10,,3,令Δ＝122－4×9(r2－46)＝0，,,,2,3,5,6,7,8,9,1,10,,4,解析 由題意知AF1＝a－c，F(xiàn)1F2＝2c，F(xiàn)1B＝a＋c，且三者成等比數(shù)列，則 ＝AF1·F1B， 即4c2＝a2－c2，a2＝5c2，,,,2,3,5,6,7,8,9,1,10,,4,,,2,3,4,6,7,8,9,1,10,,5,解析 圓M的方程可化為(x＋m)2＋y2＝3＋m2， 則由題意得m2＋3＝4，即m2＝1(m0)， ∴m＝－1，則圓心M的坐標為(1,0). 由題意知直線l的方程為x＝－c， 又∵直線l與圓M相切，∴c＝1，∴a2－3＝1，∴a＝2. 答案 2,,,2,3,4,6,7,8,9,1,10,,5,,,2,3,4,5,7,8,9,1,10,,6,,,2,3,4,5,7,8,9,1,10,,6,知∠MF1F2＝60°，又∠MF1F2＝2∠MF2F1， 所以∠MF2F1＝30°，MF1⊥MF2，,7.(2014·遼寧)已知橢圓C： ＝1，點M與C的焦點不重合.若M關(guān)于C的焦點的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在C上，則AN＋BN＝________.,,,2,3,4,5,6,8,9,1,10,,7,如圖，設(shè)MN的中點為D，,則DF1＋DF2＝2a＝6.,∵D，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為MN，AM，BM的中點， ∴BN＝2DF2，AN＝2DF1， ∴AN＋BN＝2(DF1＋DF2)＝12. 答案 12,,,2,3,4,5,6,8,9,1,10,,7,8.橢圓 ＋y2＝1的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓上一動點，若∠F1PF2為鈍角，則點P的橫坐標的取值范圍是________.,,,2,3,4,5,6,7,9,1,10,,8,解析 設(shè)橢圓上一點P的坐標為(x，y)，,即x2－3＋y20， ①,,,2,3,4,5,6,7,9,1,10,,8,,,2,3,4,5,6,7,8,1,10,,9,(1)求橢圓C的方程；,(2)若直線y＝x＋m與橢圓C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點M在圓x2＋y2＝1上，求m的值.,,,2,3,4,5,6,7,8,1,10,,9,解 設(shè)點A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 線段AB的中點為M(x0，y0)，,,,2,3,4,5,6,7,8,1,10,,9,∵點M(x0，y0)在圓x2＋y2＝1上，,,,2,3,4,5,6,7,8,9,1,,10,(1)求橢圓的標準方程；,解 設(shè)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中c2＝a2－b2.,,,2,3,4,5,6,7,8,9,1,,10,,,2,3,4,5,6,7,8,9,1,,10,(2)設(shè)圓心在y軸上的圓與橢圓在x軸的上方有兩個交點，且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點，求圓的半徑.,,,2,3,4,5,6,7,8,9,1,,10,P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是兩個交點，,解 如圖，設(shè)圓心在y軸上的圓C與橢圓 ＋y2＝1相交，,y10，y20，F(xiàn)1P1，F(xiàn)2P2是圓C的切線，且F1P1⊥F2P2.,,,2,3,4,5,6,7,8,9,1,,10,由圓和橢圓的對稱性，易知x1＝－x2，y1＝y(tǒng)2，P1P2＝2|x1|. 由(1)知F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，,,,2,3,4,5,6,7,8,9,1,,10,當x1＝0時，P1，P2重合，此時題設(shè)要求的圓不存在.,由F1P1，F(xiàn)2P2是圓C的切線，且F1P1⊥F2P2，,知CP1⊥CP2，又CP1＝CP2，,,,2,3,4,5,6,7,8,9,1,,10,,,,2,3,4,5,1,6,,,,2,3,4,5,1,6,,,,2,3,4,5,1,6,解析 由題意可設(shè)P(－c，y0)(c為半焦距)，,,,,2,3,4,5,1,6,,,,2,3,4,5,1,6,3.已知F1、F2是橢圓C的左、右焦點，點P在橢圓上，且滿 足PF1＝2PF2，∠PF1F2＝30°，則橢圓的離心率為______.,解析 在三角形PF1F2中，由正弦定理得,,,,2,3,4,5,1,6,解析 PF1＋PF2＝10，F(xiàn)1F2＝6，,,,,2,3,4,5,1,6,5.設(shè)F1、F2分別是橢圓 ＝1的左、右焦點，P為橢圓上任一點，點M的坐標為(6,4)，則PM＋PF1的最大值為________.,解析 PF1＋PF2＝10，PF1＝10－PF2， PM＋PF1＝10＋PM－PF2， 易知M點在橢圓外，連結(jié)MF2并延長交橢圓于P點，,,,,2,3,4,5,1,6,此時PM－PF2取最大值MF2，,答案 15,,,,2,3,4,5,1,6,(1)求橢圓C的方程；,,,,2,3,4,5,1,6,,,,2,3,4,5,1,6,解 假設(shè)存在直線l1且由題意得斜率存在， 設(shè)滿足條件的方程為y＝k1(x－2)＋1，代入橢圓C的方程得，,,,,2,3,4,5,1,6,因為直線l1與橢圓C相交于不同的兩點A，B， 設(shè)A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，,,,,2,3,4,5,1,6,,,,2,3,4,5,1,6,,,,2,3,4,5,1,6,