高中數(shù)學(xué) 2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課件 新人教版選修2-1.ppt

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2.4 拋 物 線 2.4.1 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程,一、拋物線的定義,定點(diǎn)F,定直線l,相等,思考:定義中為什么加上條件“l(fā)不經(jīng)過F”? 提示:若點(diǎn)F在直線l上,滿足條件的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是過點(diǎn)F且垂直于l的直線,而不是拋物線.,二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,(- ,0),x=,(0, ),y=,(0, ),y=,判斷:(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)拋物線的方程都是二次函數(shù).( ) (2)拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是p.( ) (3)拋物線的開口方向由一次項(xiàng)確定.( ),提示:(1)錯(cuò)誤.拋物線的方程不都是二次函數(shù),如開口向右的拋物線的方程為y2=2px(p0),對(duì)任一個(gè)x的值,y的值不唯一,所以不是二次函數(shù). (2)正確.在拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中,p0,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p. (3)正確.一次項(xiàng)是x項(xiàng)時(shí),p0開口向右,p0開口向上,p0開口向下. 答案:(1)× (2)√ (3)√,【知識(shí)點(diǎn)撥】 1.對(duì)拋物線定義的理解 (1)定義條件:直線l不經(jīng)過定點(diǎn)F. (2)一動(dòng)三定: ①“一動(dòng)”,即動(dòng)點(diǎn)P; ②“三定”,即定點(diǎn)F,定直線l和定值,也就是P到定點(diǎn)F與到定直線的距離的比值是定值1.,2.拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn) (1)方程特點(diǎn):拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是關(guān)于x,y的二元二次方程,等號(hào)的左邊是其中一個(gè)變量的平方,另一邊是另一個(gè)變量的一次項(xiàng). (2)參數(shù)p:在拋物線的方程中只有一個(gè)參數(shù)p,它的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,因此p0,p越大,拋物線開口越開闊,反之越扁狹.,(3)四種標(biāo)準(zhǔn)方程的位置的相同點(diǎn): ①原點(diǎn)在拋物線上; ②焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上; ③準(zhǔn)線與焦點(diǎn)在原點(diǎn)兩側(cè),且準(zhǔn)線與其中一條坐標(biāo)軸垂直.,3.拋物線的焦點(diǎn)及開口方向,4.拋物線與二次函數(shù)的關(guān)系 二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0),當(dāng)b,c為0時(shí),y=ax2 表示焦點(diǎn)在y軸上的拋物線,標(biāo)準(zhǔn)方程為x2= y,a0時(shí)拋物線 開口向上,a0時(shí),拋物線開口向下,當(dāng)拋物線的開口方向向 左或向右時(shí),方程為y2=2px,這是一條曲線,不能稱為函數(shù).,類型 一 根據(jù)方程求焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程 【典型例題】 1.(2013·南昌高二檢測(cè))拋物線x=-2y2的準(zhǔn)線方程是( ) A.y= B.y= C.x= D.x= 2.指出下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程. (1)y= x2. (2)x=ay2(a≠0).,【解題探究】1.求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程時(shí),首先要做什么? 2.當(dāng)拋物線方程中含參數(shù)時(shí),如何求焦點(diǎn)和準(zhǔn)線? 探究提示: 1.求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程時(shí),首先應(yīng)把所給方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式,然后找出開口方向再求性質(zhì). 2.如果拋物線方程中含參數(shù),要先把其化成標(biāo)準(zhǔn)方程,對(duì)參數(shù)應(yīng)分類討論.,【解析】1.選D.方程x=-2y2的標(biāo)準(zhǔn)形式是y2=- x, ∴拋物線開口向左且p= ,∴準(zhǔn)線方程為x= . 2.(1)拋物線y= x2的標(biāo)準(zhǔn)形式為x2=4y, ∴p=2,∴焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,1),準(zhǔn)線方程是y=-1. (2)拋物線x=ay2(a≠0)的標(biāo)準(zhǔn)形式為y2= x, ∴2p= .,①當(dāng)a0時(shí), 拋物線開口向右, ∴焦點(diǎn)坐標(biāo)是( ,0),準(zhǔn)線方程是x=- ; ②當(dāng)a0時(shí), 拋物線開口向左, ∴焦點(diǎn)坐標(biāo)是( ,0),準(zhǔn)線方程是x=- . 綜上所述,當(dāng)a≠0時(shí),拋物線x=ay2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( ,0), 準(zhǔn)線方程為x=- .,【互動(dòng)探究】題2(2)中,把方程改為x2=ay(a≠0),結(jié)果如何? 【解析】方程x2=ay是拋物線的標(biāo)準(zhǔn)形式,由方程知,其焦點(diǎn) 在y軸上,其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0, ),準(zhǔn)線方程為y=- .,【拓展提升】 1.求焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程的步驟,2.判斷焦點(diǎn)位置及開口方向的記憶口訣 焦點(diǎn)要看一次項(xiàng),符號(hào)確定開口方向, 如果y是一次項(xiàng),負(fù)時(shí)向下,正向上, 如果x是一次項(xiàng),負(fù)時(shí)向左,正向右.,【變式訓(xùn)練】(2013·亳州高二檢測(cè))若拋物線y2=2px的焦點(diǎn) 與橢圓 的右焦點(diǎn)重合,則p的值為 . 【解題指南】求出拋物線的焦點(diǎn)和橢圓的右焦點(diǎn),建立方程求解. 【解析】拋物線的焦點(diǎn)是( ,0),橢圓 中, c2=6-2=4,∴右焦點(diǎn)為(2,0),由 =2得p=4. 答案:4,類型 二 求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 【典型例題】 1.(2013·安陽高二檢測(cè))設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),準(zhǔn)線方程為x=-2,則拋物線的方程是( ) A.y2=-8x B.y2=8x C.y2=-4x D.y2=4x 2.根據(jù)下列條件,求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程: (1)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4. (2)過點(diǎn)(1,2).,【解題探究】1.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)鍵是什么? 2.已知拋物線上一點(diǎn)時(shí),如何確定開口方向? 探究提示: 1.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)鍵是首先明確拋物線焦點(diǎn)的位置. 2.若點(diǎn)在第一象限時(shí),拋物線的開口向右或向上; 若點(diǎn)在第二象限時(shí),拋物線的開口向上或向左; 若點(diǎn)在第三象限時(shí),拋物線的開口向左或向下; 若點(diǎn)在第四象限時(shí),拋物線的開口向下或向右.,【解析】1.選B.∵準(zhǔn)線方程為x=-2,∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0), 故所求方程為y2=8x. 2.(1)p=4,拋物線的方程有四種形式: y2=8x,y2=-8x,x2=8y,x2=-8y.,(2)方法一:點(diǎn)(1,2)在第一象限,要分兩種情形:當(dāng)拋物線的 焦點(diǎn)在x軸上時(shí),設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p0),則22=2p·1, 解得p=2,拋物線方程為y2=4x;當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí), 設(shè)拋物線的方程為x2=2py(p0),則12=2p·2,解得p= , 拋物線方程為x2= y. 方法二:設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=mx或x2=ny,將點(diǎn)(1,2) 代入,得m=4,n= .故所求的方程為y2=4x或x2= y.,【拓展提升】 1.用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟,2.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)需注意的三個(gè)問題 (1)把握開口方向與方程間的對(duì)應(yīng)關(guān)系. (2)當(dāng)拋物線的類型沒有確定時(shí),可設(shè)方程為y2=mx或x2=ny,這樣可以減少討論情況的個(gè)數(shù). (3)注意p與 的幾何意義.,【變式訓(xùn)練】(2013·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)拋物線C:y2=2px (p0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在C上,|MF|=5,若以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0,2),則C的方程為( ) A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x,【解析】選C.由題意知： 準(zhǔn)線方程為x= 則由拋物 線的定義知，xM=5- 設(shè)以ＭＦ為直徑的圓的圓心為 所以圓方程為 又因?yàn)檫^點(diǎn)(0,2)，所以 yM=4，又因?yàn)辄c(diǎn)Ｍ在Ｃ上，所以16= 解得p=2或p=8， 所以拋物線Ｃ的方程為y2=4x或y2=16x.,類型 三 拋物線的實(shí)際應(yīng)用 【典型例題】 1.汽車前燈反射鏡與軸截面的交線是拋物線的一部分,燈口所在的圓面與反射鏡的軸垂直,燈泡位于拋物線焦點(diǎn)處,已知燈口的直徑是24cm,燈深10cm,那么燈泡與反射鏡頂點(diǎn)(即截得拋物線頂點(diǎn))間的距離是 . 2.一輛卡車高3m,寬1.6m,欲通過斷面為拋物線形的隧道,已知拱口AB寬恰好是拱高CD的4倍,若拱寬為am,求能使卡車通過的a的最小整數(shù)值.,【解題探究】1.對(duì)于實(shí)際問題的拋物線模型,建系有什么原則? 2.解答實(shí)際問題應(yīng)注意什么? 探究提示: 1.一般地,遇拋物線模型的實(shí)際問題時(shí),要注意把拋物線建在標(biāo)準(zhǔn)位置,即頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)建在坐標(biāo)軸上. 2.解答本類題時(shí),一要合理畫出圖形;二要建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系;三要關(guān)注點(diǎn)的坐標(biāo)和圖形中線段的對(duì)應(yīng)關(guān)系.,【解析】1.取反射鏡的軸即拋物線的對(duì)稱軸為x軸,拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立直角坐標(biāo)系xOy,如圖所示. 因燈口直徑|AB|=24,燈深|OP|=10, 所以點(diǎn)A的坐標(biāo)是(10,12). 設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p0),由點(diǎn)A(10,12)在拋物線上,得122=2p×10,所以p=7.2. 所以拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(3.6,0).因此燈泡與反射鏡頂點(diǎn)間的距離是3.6cm. 答案:3.6cm,2.以拱頂為原點(diǎn),拱高所在直線為y軸, 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系. 設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p0), 則點(diǎn)B的坐標(biāo)為( ),由點(diǎn)B在拋物線上, ∴( )2=-2p·(- ),p= , ∴拋物線方程為x2=-ay.,將點(diǎn)E(0.8,y)代入拋物線方程,得y=- ∴點(diǎn)E到拱底AB的距離為 解得a12.21,∵a取整數(shù), ∴a的最小整數(shù)值為13.,【拓展提升】求解拋物線實(shí)際應(yīng)用題的五個(gè)步驟,【變式訓(xùn)練】某隧道橫斷面由拋物線及矩 形的三邊組成,尺寸如圖所示,某卡車空車 時(shí)能通過此隧道,現(xiàn)載一集裝箱,箱寬3m, 車與箱共高4.5m,問此車能否通過該隧道? 說明理由.,【解析】在以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以過頂點(diǎn)的水平直線為x軸建立的直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,-3), 設(shè)拋物線方程為x2=-2py, ∴拋物線方程為x2=-3y. 如果此車能通過隧道,卡車和集裝箱應(yīng)處于以y軸為對(duì)稱軸的對(duì)稱位置, ∴把點(diǎn)(x,-0.5)代入x2=-3y得x2=-3×(-0.5), ∴x≈±1.22. 因此,高度為4.5m處,允許的寬度約為2×1.22=2.443, ∴此車不能通過該隧道.,與拋物線有關(guān)的軌跡問題 【典型例題】 1.(2013·唐山高二檢測(cè))已知定點(diǎn)A(0,1),直線l1:y=-1,記過點(diǎn)A且與直線l1相切的圓的圓心為點(diǎn)C.則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的方程為 . 2.(2013·瑞金高二檢測(cè))點(diǎn)M到點(diǎn)F( ,0)的距離比到直線 x=- 的距離小1,求點(diǎn)M滿足的方程.,【解析】1.根據(jù)條件可知,動(dòng)圓的圓心C到點(diǎn)(0,1)的距離與 到直線y=-1的距離相等,所以滿足拋物線的定義,這里 =1, 焦點(diǎn)為(0,1),所以動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為x2=4y. 答案:x2=4y,2.∵點(diǎn)M到點(diǎn)F( ,0)的距離比到直線x=- 的距離小1, ∴點(diǎn)M到點(diǎn)F( ,0)的距離與到直線x=- 的距離相等, ∴點(diǎn)M軌跡為以F( ,0)為焦點(diǎn),x=- 為準(zhǔn)線的拋物線, 設(shè)拋物線方程為y2=2px(p0),則由題意知:p=3, ∴所求拋物線的方程為:y2=6x.,【拓展提升】定義法求拋物線方程的關(guān)鍵 拋物線的軌跡問題,既可以用軌跡法直接求解,也可以轉(zhuǎn)化為拋物線的定義求解.后者的關(guān)鍵是找到條件滿足動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離,有時(shí)需要依據(jù)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化.,【易錯(cuò)誤區(qū)】求拋物線焦點(diǎn)和弦長(zhǎng)時(shí)的誤區(qū) 【典例】(2013·南昌高二檢測(cè))從拋物線y2=4x上一點(diǎn)P引拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足為M,且|PM|=5,設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,則△MPF的面積為 .,【解析】∵拋物線方程為y2=4x,則準(zhǔn)線方程為x=-1.① 令P點(diǎn)坐標(biāo)為P(x0,y0),由圖可知, |PM|=x0+1=5.②∴x0=4.把x0=4代入y2=4x,解得y0=±4, ∴△MPF的面積為 |PM|×|y0|= ×5×4=10. 答案:10,【誤區(qū)警示】,【防范措施】 1.準(zhǔn)確記住拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線 在拋物線方程中,一次項(xiàng)系數(shù)與焦點(diǎn)的橫或縱坐標(biāo)間是“4倍關(guān)系”,要牢記公式,不能失誤,如本例中準(zhǔn)線方程為x=-1.,2.加強(qiáng)圖形之間的聯(lián)系與直觀性 在解析幾何的解題中,要加強(qiáng)圖形的直觀,對(duì)結(jié)論性的知識(shí)應(yīng)利用圖形加強(qiáng)記憶,避免運(yùn)算中使用錯(cuò)誤結(jié)論,如本例中PM的長(zhǎng)可表示為x0+1=5. 3.注意拋物線定義的應(yīng)用 拋物線的定義比較靈活,要注意靈活應(yīng)用,往往是“看到焦點(diǎn),想到準(zhǔn)線;看到準(zhǔn)線,想到焦點(diǎn)”,這有利于問題的解決.,【類題試解】(2013·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋 物線C：y2= 的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，若|PF|= 則 △POF的面積為( ) 【解析】選C.設(shè)P(x1,y1)，則|PF|= 解 得 因?yàn)镻為C上一點(diǎn)，則 得|y1|= 所以S△POF=,1.拋物線x=4y2的準(zhǔn)線方程是( ) A.y= B.y=-1 C.x=- D.x= 【解析】選C.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2= x,這里p= , 所以準(zhǔn)線方程為x=- .,2.拋物線y2=8x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是( ) A.1 B.2 C.4 D.8 【解析】選C.拋物線y2=8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),準(zhǔn)線方程為x=-2,所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.,3.點(diǎn)P為拋物線y2=2px上任一點(diǎn),F為焦點(diǎn),則以P為圓心,以|PF|為半徑的圓與準(zhǔn)線l( ) A.相交 B.相切 C.相離 D.位置由F確定 【解析】選B.根據(jù)拋物線的定義,|PF|等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離,即圓心P到直線l的距離等于半徑|PF|,所以半徑為|PF|的圓P與準(zhǔn)線l相切.,4.設(shè)拋物線y2=4x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是2,則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】選C.由y2=4x可知,點(diǎn)P在y軸的右側(cè),且準(zhǔn)線方程為x=-1,∵P到y(tǒng)軸的距離為2,∴P到準(zhǔn)線的距離為3,根據(jù)定義可知,P到焦點(diǎn)的距離是3.,5.若直線ax-y+1=0經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn),則實(shí)數(shù)a= . 【解析】把y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)(1,0)代入ax-y+1=0得a+1=0,即a=-1. 答案:-1,6.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱軸是x軸,拋物線上的點(diǎn) M(-3,m)到焦點(diǎn)的距離等于5,求拋物線的方程和m的值. 【解析】設(shè)拋物線方程為y2=-2px(p0), 則焦點(diǎn)F(- ,0),由題意可得 解得 或 故所求的拋物線方程為 y2=-8x.∴m的值為±2 .,