精編國家開放大學(xué)電大本科《常微分方程》網(wǎng)絡(luò)課形考任務(wù)4試題及答案

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1、國家開放大學(xué)電大本科《常微分方程》網(wǎng)絡(luò)課形考任務(wù)4試題及答案 形考任務(wù)4 常微分方程學(xué)習(xí)活動(dòng)4 第二章基本定理的綜合練習(xí) 本課程形成性考核綜合練習(xí)共3次，內(nèi)容主要分別是第一章初等積分法的綜合練習(xí)、第二章基本定理的綜合練習(xí)、 第三章和第四章的綜合練習(xí)，目的是通過綜合性練習(xí)作業(yè)，同學(xué)們可以檢驗(yàn)自己的學(xué)習(xí)成果，找出掌握的薄弱知識(shí)點(diǎn), 重點(diǎn)復(fù)習(xí)，爭(zhēng)取盡快掌握. 要求：首先請(qǐng)同學(xué)們下載作業(yè)附件文檔并進(jìn)行填寫，文檔填寫完成后請(qǐng)?jiān)诒敬巫鳂I(yè)頁面中點(diǎn)擊“去完成”按鈕進(jìn)入相 應(yīng)網(wǎng)頁界而完成任務(wù)，然后請(qǐng)將所做完的作業(yè)文檔以附件的形式上傳到課程上，隨后老師會(huì)在課程中進(jìn)行評(píng)分。 一、 填空題 1. 方程也

2、 = ^sin(x2 +*2)的任一非零解不能 與*軸相交. dx 2?李普希茲條件是保證一階微分方程初值問題解惟一的充分二條件. 3. 方程V 士 ysinx = e的任一解的存在區(qū)間必是(-8, +8). 4. 一階顯式方程解的最大存在區(qū)間一定是一 開區(qū)間 . 5. 方程也=亍+ 2滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是XOY平面? dx _ 6. 方程^ = sinx-cosj；滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是XOY平面. dx _ 7. 方程華=%2 + siny滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是XOY平而. dx 8. 方程孚=陌+ 1滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的

3、區(qū)域是—D = {(x,y)ER2 y>0}f (或不含*軸的上半平而). dx 9. 方程曳=叫一七滿足解的存在惟一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是全平面. dx 1 + x+y 10. 一個(gè)不可延展解的存在在區(qū)間一定開區(qū)間. 二、 計(jì)算題 1. 判斷下列方程在怎樣的區(qū)域上保證初值解存在且惟一？ (1) yr = x2 +y2 (2) yf = x + siny 1. 解 (1)因?yàn)?(工,力=乂2+；?及= 在整個(gè)xo*平面上連續(xù)，且滿足存在唯一性定理?xiàng)l件，所以 在整個(gè)平面上，初值解存在且唯一. (2)因?yàn)?.(x/) = x + sinv及4(x,j0 = cosv在整個(gè)x。*平而上

4、連續(xù)，且滿足存在唯一性定理?xiàng)l件，所以在 整個(gè)、0*平面上，初值解存在且唯一. 2. 討論方程在怎樣的區(qū)域中滿足定理2. 2的條件.并求通過(0,0)的一切解. dx 2 3 - 1 2 ?解 因?yàn)榉匠蘤(x,y) = -y3在整個(gè)xo*平面上連續(xù)，f；(x,y) = ^ 除x軸外，在整個(gè)x。*平面上有界，所 2 2/ 3 以除x軸外在整個(gè)xoy平面上都滿足定理2.1的條件.而后分離變量并積分可求出方程的通解為* = (x-c)5,x>c, 其中c>0.另外容易驗(yàn)證y = 0是方程的特解.因此通過(0,0)的解有無窮多個(gè)，分別是： \0,x

5、)2,x>c 0,xc 3. 判斷下列方程是否有奇解？如果有奇解，求出奇解. (1) — = -y/y-x (2) — = -x y/x2 +2y dx dx 3. 解 (1)因?yàn)椋?x療)=缶三在半平而y>x連續(xù)，= 當(dāng)* =工時(shí)無界，所以如果存在 2Jy_x 奇解只能是* = x,但y = x不是方程的解，故方程無奇解? 2 ] 2 ⑵ 因?yàn)椋?湛)=一x土在-一的區(qū)域上連續(xù)，r(x^) = J 當(dāng)^ = 一一時(shí)無界，所 2 Jx2+2y 2 以如果方程有奇解，則奇解只能是y = -—.顯然y = -—是方程的解，是否為奇

6、解還需要進(jìn)一步討論.為此先求 2f 1 出方程的通解y = cx + -c2.由此可見對(duì)于％軸上點(diǎn)(0,0),存在通過該點(diǎn)的兩個(gè)解：y = -一及y = 0.故 2 2 X2 y = 一~-是奇解. 三、證明題 1.試證明：對(duì)于任意的X。及滿足條件Ovyvl的坊，方程二*的解y = y(x)在(-00, + 00)上存在. dr 1 + x +y 2-設(shè)/(")在整個(gè)平面上連續(xù)有界，對(duì)，有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試證明方程*=/(")的任—解、="在區(qū)間 (-00, + 00)上有定義. 3.設(shè)0(x)在區(qū)間(-oo,+ oo)上連續(xù).試證明方程 也 dx =e(x)siny

7、 的所有解的存在區(qū)間必為(-00, + 00)? 4. 在方程中，已知7*3)，伊3在(-? + oo)連續(xù)，旦仞(1) = 0.求證：對(duì)任意x0^n|y0| <1, 滿足初值條件y(x()) = y0的解y(x)的存在區(qū)間必為(-oo, + oo)? 5. 假設(shè)方程^ = f(x,y)在全平而上滿足解的存在惟一性定理?xiàng)l件，且M(x),歹2(》)是定義在區(qū)間/上的兩個(gè)解?求 dx 證：若M(Xo)<*2(Xo)，氣仁/，則在區(qū)間/上必有y} (x)

8、的非零解，其中p(x),q(x)在(yo, + oo)上連續(xù).求證：當(dāng)齡0)=0時(shí)，必有孚 dr 7.設(shè)八*)在(Y0, + 00)上連續(xù)可微，求證：對(duì)任意的Xo€(F, + 8)，go|vl，方程 *=(53) 滿足初值條件y(x() ) = yQ的解必在(-co,+ 8)上存在? 8.證明：一階微分方程 的任一解的存在區(qū)間必是(Y0,+O。). 1.證明 首先y = l和y = 0是方程在(Y。,*。)的解.易知方程的右端函數(shù)滿足解的延展定理以及存在唯一性 定理的條件.現(xiàn)在考慮過初值(X。,月)(0

9、 可能向左右兩側(cè)延展，從而該初值解應(yīng)在(yo,+oo)上存在. 2 .證明 不妨設(shè)| f (x, y) |< M, V(x? y) e R2.過點(diǎn)(xM)分別作直線 4 ：T = No+M(x-Xo)和 A ：V = Vo_"(x_Xo)? 設(shè)過點(diǎn)(x()M)的初值解為V = V(x)?因?yàn)槌?o)|vAf,故在天)的某一右鄰域內(nèi)，積分曲線y = y(x)位于4之 下證曲線y = y(x\x>xQ不能與直線"相交.若不然，>Xo使得= 且 Xx)<^0+M(x-x0)?xe(x0?x1),但由拉格郎日中值定理，龍(%工］),使得V() =)二-伐)=M .矛 而一工0 盾.此矛盾證

10、明曲線y = y(x\x>x.不能與直線"相交.同理可證，當(dāng)X>XO時(shí)，它也不能與匕相交.故當(dāng)x>x0 時(shí)解曲線V = v(x)位于直線"，A之間? 同理可證，當(dāng)x

11、 l,下方不能穿過y = -l,否則與惟一性矛盾.故該解 的存在區(qū)間必為(-00, 4- 00). 4. 證明由已知條件可知，該方程在整個(gè)時(shí)平而上滿足解的存在惟一及延展定理?xiàng)l件，又存在常數(shù)解 y = kv,上=0, 1, 2, ? ? ?? 對(duì)平而內(nèi)任一點(diǎn)(工0，>\))，若yQ =k7r 9則過該點(diǎn)的解是y = k/r,顯然是在(-oo, + oo)上有定義. 若;Vo。Avr ,則Vo g (kji. (k + l)/r),記過該點(diǎn)的解為y = v(x),那么一方而解y = v(x)可以向平而的無窮遠(yuǎn)無限 延展；另一方而在條形區(qū)域-oo

12、}內(nèi)y(x)不能上、下穿過解y = (k-\-1)^和 y = k7T,否則與解的惟一性矛盾.因此解的存在區(qū)間必為(-00, + 00). 5. 證明 僅證x>x0方向，(反之亦然). 假設(shè)存在x>xQ，使得yx (x) > y2(x) ( ^(x)=y2(x)不可能出現(xiàn),否則與解惟一矛盾). 令y(x) = y}(x)-y2(x)9 那么 yM=y}M-y2M< ， y(x)=y}(x)-y2(x)> o 由連續(xù)函數(shù)介值定理，存在x* g(x0?x),使得 V()=Vi(X*)-、2(X*)= 0 即 Vi(x*) 二 %(『) 這與解惟一矛盾 6. 證明 由已知條件知方程

13、存在零解.該方程滿足解的存在惟一性定理?xiàng)l件. 設(shè)*(x)是方程的一個(gè)非零解，假如它滿足 ”0)=0, 孚=0, 位心。 由于零解也滿足上述條件，以及方程有零解存在，那么由解的惟一性有又x)三0,這與貝x)是非零解矛盾. 7. 證明該方程在全平面上滿足解的存在惟一性定理及解的延展定理. 又* = 1是該方程的兩個(gè)常數(shù)解. 現(xiàn)取XoC(yo, + oo), [yo|vl，記過點(diǎn)(Xo，*o)的解為y(x)?一方面該解可向平面的無窮遠(yuǎn)無限延展，另一方面又 不能上下穿越* = 1,否則將破壞解的惟一性.因此，該解只能在區(qū)域G = {(xj)|M

14、無限延展，顯然其定義區(qū)間必是(q), + oo)? 8. 證明 方程在全平而上滿足解的存在唯一性定理的條件，又y = EM = 0,l,2,…,是方程的常數(shù)解. 對(duì)平而上任取的Oo，%) 若yQ=k7T則對(duì)應(yīng)的是常數(shù)解y = k兀其存在區(qū)間顯然是(70,"0) 若％ 6(々,。+ 1)力)則過該點(diǎn)的解可以向平面無窮遠(yuǎn)無限延展，但是上下又不能穿越y(tǒng) = M和v = a + l)7T ,于是 解的存在區(qū)間必是（Y0,+O＞）? 四、應(yīng)用題 1. 求一曲線，具有如下性質(zhì)：曲線上任一點(diǎn)的切線，在X,*軸上的截距之和為1. 2. 求一曲線，此曲線的任一切線在兩個(gè)坐標(biāo)軸間的線段長等于常數(shù)〃?

15、 1.解 首先，由解析幾何知識(shí)可知，滿足a + h = \的直線 3 = 1 a h 都是所求曲線. 設(shè)（x, y）為所求曲線上的點(diǎn)，0, D為其切線上的點(diǎn)，則過（*, y）的切線方程為 Y-y = y\X-X）. 顯然有a = x-X^ = y-xy^此處a與b分別為切線在Ox軸與Oy軸上的截距.故 解出y, 得到克萊洛方程 C^l. 通解為 為所求曲線方程. y = Cx + —^— C-l x 5 = 0 (C-l)2 y = Cx + - C-l 1 X = 5 (C-l)2 2. 解設(shè)（x, y）為所求曲線上的點(diǎn)，（X, Y）為其切線上的點(diǎn)，則過（x, y）的切線方程為 K_V = j/(X_x). 顯然有a = x-^,b = y-xy\此處a與b分別為切線在Ox軸與Oy軸上的截距.故 / 、2 即 X-—f 3-時(shí))2 = y） 故曲線的方程為 1+A (y-xyf)2=a2 屏.解出*得y = xy,-T^= + Z ac y = cx —== Jl + 凌 _ a x = . (1+凌滬 2 2 2 消去c即的曲線方程為