《常微分方程》知識點(diǎn)整理

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1、 常微分方程復(fù)習(xí)資料 中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué) 統(tǒng)數(shù)學(xué)院信科 1101 陳弄祺 - 1 - 常微分方程復(fù)習(xí)資料 1（變量分離方程）形如()() dy f xy dx （1.1）的方程，稱為變量分離方程，這里(), ()f xy分別是,x y的連續(xù)函數(shù) 解法：（1）分離變量，當(dāng)() 0y 時，將（1.1）寫成() () dy f xdx y ，這樣變量就“分離”了； （2）兩邊積分得() () dy f xdx c y （1.2），由（1.2）所確定的函數(shù)(,)y xc就為（1.1）的解 注：若存在 0 y，使 0 ()0y ，則 0 y y也是（1.1）的解，可能它不包含在方程（1.2）的通解中，必須

2、予以補(bǔ)上 2（齊次方程）形如() dy y g dx x 的方程稱為齊次方程，這里是u的連續(xù)函數(shù) ()gu 解法：（1）作變量代換（引入新變量） y u x ，方程化為 ()du g u u dx x ，（這里由于 dy du x u dx dx ）； （2）解以上的分離變量方程； （3）變量還原 3（一階線性微分方程與常數(shù)變異法）一階線性微分方程() () () 0 dy ax bxy cx dx 在的區(qū)間上可寫成() 0ax () () dy Pxy Qx dx （3.1），這里假設(shè)在考慮的區(qū)間上是(), ()Px Qx x的連續(xù)函數(shù)若，則（3.1）變?yōu)?) 0Qx () dy Pxy d

3、x （3.2），（3.2）稱為一階齊次線性方程若() 0Qx，則（3.1）稱為一階非齊次線性方程 解法：（1）解對應(yīng)的齊次方程() dy Pxy dx ，得對應(yīng)齊次方程解 ()px y ce dx ，為任意常數(shù)； c （2）常數(shù)變異法求解（將常數(shù)變?yōu)閏 x的待定函數(shù)，使它為（3.1）的解）：令為（3.1）的 解，則 ()cx () () pxdx ycxe () ()() () ()p pxdx pxdy dc x ecxxe dx dx dx ，代入（3.1）得 ()() () pxdxdc dx x Qxe ) ，積分得； ()pxdx c () ()cx Qxe （3）故（3. 1）的通

4、解為 () () () pxdx pxdx y eQxe c 4（伯努利方程）形如() () n dy Pxy Qxy dx 的方程，稱為伯努利方程，這里為(), ()Px Qx x的連續(xù)函數(shù) 解法：（1）引入變量變換，方程變?yōu)?1 n zy (1 ) ( ) (1 ) ( ) dz nPxz nQx dx ； （2）求以上線性方程的通解； （3）變量還原 5（可解出的方程）形如y (, ) dy yfx dx (5.1)的方程，這里假設(shè)(, )f xy有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù) 解法：（1）引進(jìn)參數(shù) dy p dx ，則方程（5.1）變?yōu)?, )yfxp（5.2）； （2）將（5.2）兩邊對x求導(dǎo)，并以

5、 dy p dx 代入，得 f fp p x px （5.3），這是關(guān)于變量,x p的一階微分方 程； （3）（i）若求得（5.3）的通解形式為(,)p xc，將它代入（5.2），即得原方程（5.1）的通解(, (,)y fx xc， 為任意常數(shù)； c 常微分方程復(fù)習(xí)資料 中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué) 統(tǒng)數(shù)學(xué)院信科 1101 陳弄祺 - 2 - （ii）若求得（5.3）的通解形式為(,)x pc，則得（5.1）的參數(shù)形式的通解為 (,) (,),) xpc y fpcp ，其中 p是參數(shù)，是任意常數(shù)； c （iii）若求得（5.3）的通解形式為，則得（5.1）的參數(shù)形式的通解為(, ,) 0 xpc (,

6、 ,) 0 (, ) xpc y fxp ，其中p 是參數(shù)，是任意常數(shù) c 6（可解出x的方程）形如(, ) dy xfy dx (6.1)的方程，這里假設(shè)(, )f yy有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù) 解法：（1）引進(jìn)參數(shù) dy p dx ，則方程（6.1）變?yōu)?, )x fyp（6.2）； （2）將（6.2）兩邊對y求導(dǎo)，并以 1dx dy p 代入，得 1 f fp p ypy （6.3），這是關(guān)于變量,y p的一階微分方 程； （3）若求得（6.3）的通解形式為，則得（6.1）的參數(shù)形式的通解為(, ,) 0ypc (, ) (, ,) 0 x fyp ypc ，其中p是 參數(shù)，是任意常數(shù) c 7（不

7、顯含的方程）形如y (, ) 0 dy Fx dx 的方程，這里假設(shè)(, )Fxy有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù) 解法：（1）設(shè) dy p dx ，則方程變?yōu)椋?(, ) 0Fxp （2）引入?yún)?shù)，將用參數(shù)曲線表示出來，即t (, ) 0Fxp () () x t p t ，（關(guān)鍵一步也是最困難一步）； （3）把()x t，()p t代入dy，并兩邊積分得pdx () ()y ttdt c ； （4）通解為 () () () xt y ttdt c 8（不顯含x的方程）形如(, ) 0 dy Fy dx 的方程，這里假設(shè)(, )Fyy有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù) 解法：（1）設(shè) dy p dx ，則方程變?yōu)椋?(, ) 0

8、Fyp （2）引入?yún)?shù)，將用參數(shù)曲線表示出來，即t (, ) 0Fyp () () y t p t ，（關(guān)鍵一步也是最困難一步）； （3）把()y t，()p t代入 dy dx p ，并兩邊積分得 () () t x dt c t ； （4）通解為 () () () t x dt c t yt 9（型可降階高階方程）特點(diǎn)：不顯含未知函數(shù) () ( 1) (, , , , ) 0( 1) knn Fxy y y k y及 (1) , k yy 解法：令 () () k y zx，則 (1)k y z ，代入原方程，得若能求得， () ( )nn yz k () ( , ( ), ( ), ,

9、( ) 0 nk Fxzx zx z x ()zx 常微分方程復(fù)習(xí)資料 中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué) 統(tǒng)數(shù)學(xué)院信科 1101 陳弄祺 - 3 - 將 () () k y zx () yf 連續(xù)積分次，可得通解 k ,10（型可降階高階方程）特點(diǎn)：右端不顯含自變量 () ( 1) (, , ) nk yy y n x 解法：設(shè)，則()y 2 2 ,( dp dy dP d p dP yPyPP dy dx dy dy dy yp 2 ), ) ，代入原方程得到新函數(shù)的()Py (1n階 方程，求得其解為 1 () (, , , ) n 1 Py yC C dy dx ，原方程通解為 11 (, , , )

10、n n dy x C yC C 11（恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程）特點(diǎn)：左端恰為某一函數(shù)對 (1) (, , , , ) n xyy y x的導(dǎo)數(shù)，即 (1) (, , , , ) 0 n d xyy y dx 解法：類似于全微分方程可降低一階 (1) (, , , , ) n x yy y C ，再設(shè)法求解這個方程 12（齊次方程）特點(diǎn)：（k次齊次函數(shù)） () () (, , , , ) (, , , , ) nk n x ty ty ty t F x y y yF zdx 解法：可通過變換y e 將其降階，得新未知函數(shù)因?yàn)?)zx 2() (1) ,( ), (, zdx zdx zdx nn y ze

11、 y z z e y z z z e (1) (, , , ) 0 n fxzz z ， 代入原方程并消去，得新函數(shù)的階方程 kz e dx ()zx (n1) 13（存在唯一性定理）考慮初值問題 00 (, ) () dy f xy dx y xy （13.1），其中(, )f xy在矩形區(qū)域 00 :,R xx ayy b 上連 續(xù)，并且對滿足Lipschitz條件：即存在，使對所有(,y 0L 12 (, ),x yxy R常成立 121 (, ) (, ) 2 f xy fxy Ly y， 則初值問題（13.1）在區(qū)間 0 x xh上的解存在且唯一，這里 (,) min( ,ha),

12、( , ) xy R MMaxfxy b M 初值問題（13.1）等價(jià)于積分方程 0 0 (, ) x x y yfty dt，構(gòu)造Picard逐步逼近函數(shù)列 0 00 01 () () () (, () x n nn x xy x x yf dx 00 x xx h，n 1, 2, 14（包絡(luò)的求法）曲線族（14.1）的包絡(luò)包含在下列兩方程(, ,) 0 xyc (, ,) 0 (, ,) 0 c xyc xyc 消去參數(shù)而得到的曲線 之中曲線 c (, ) 0Fxy (, ) 0Fxy稱為（14.1）的c判別曲線 15（奇解的直接計(jì)算法）方程(, , ) 0 dy F 15.1）的奇解包含

13、在由方程組 去參數(shù)xy dx （消 (, , ) 0 (, , ) 0 c Fxyp Fxyp p而 之 得到的曲 線(,中，此曲線稱為（15 .1）的) 0 xy p別曲線，這里(,F判, )xyp 0是,x yp的連續(xù)可微函數(shù) 注：p判別曲線是否為方程的奇解，尚需進(jìn)一步討論 16（克萊羅方程）形如 dy dy yx f dx dx （16.1）的方程，稱為克萊羅方程，這里 () 0fp 常微分方程復(fù)習(xí)資料 中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué) 統(tǒng)數(shù)學(xué)院信科 1101 陳弄祺 - 4 - 解法：令 dy p dx ，得兩邊對()yxpfp x求導(dǎo)，并以 dy p dx 代入，即得() dp dp px pfp

14、dx dx ，經(jīng)化簡， 得()0 dp xfp dx 如果0 dp dx ，則得到p c于是，方程（16.1）的通解為：()ycxfc 如果，它與等式() 0 xfp ()y xp f p聯(lián)立，則得到方程（16.1）的以p為參數(shù)的解： () 0 () xfp y xp f p 或 () 0 () xfc y xc f c 其中為參數(shù)消去參數(shù)c p便得方程的一個解 17（函數(shù)向量組線性相關(guān)與無關(guān)）設(shè) 12 (), (), , () m x txt xt atb 是一組定義在區(qū)間,上的函數(shù)列向量，如果存在一組不 全為0的常數(shù)，使得對所有，有恒等式 ab c 12 , m cc c 11 2 2 (

15、) () () 0 mm cx t cx t x t ， 則稱 12 (), (), , () m x txt xt在區(qū)間,上線性相關(guān)；否則就稱這組向量函數(shù)在區(qū)間,上線性無關(guān) ab ab 18（W ronsky行列式）設(shè)有n個定義在at上的向量函數(shù)b n 11 12 1 21 22 2 12 12 () () () () () () () , () , , () () () () n n n nn x txt xt x xt xt xt x txt xt ， 由這n個向量函數(shù)所構(gòu)成的行列式 11 12 1 21 22 2 12 (), ( 12 () () () () () () ), ()

16、() () () () n n n nn n x txt xt x txt xt Wx x t Wtt x t x txt xt 稱為這個向量函數(shù) 所構(gòu)成的Wronsky行列式 n 如果向量函數(shù) 12 (), (), , () n x txt xt在at上線性相關(guān)，則它們的Wronsky行列式 b () 0, tWt a b 19（基解矩陣的計(jì)算公式） （1）如果矩陣具有個線性無關(guān)的特征向量，它們相應(yīng)的特征值為A n 12 , , n vv v 12 , n （不必互不相同），那 么矩陣是常系數(shù)線性微分方程組 12 tt e 12 () , , , , n t n vv ev te x x A

17、x的一個基解矩陣； （2）矩陣的特征值、特征根出現(xiàn)復(fù)根時（略）； A （3）矩陣的特征根有重根時（略） A 20（常系數(shù)齊線性方程）考慮方程 1 1 1 0 nn n nn dx d x Lx a ax dt dt （20.1），其中為常數(shù)，稱（20. 1） 為階常系數(shù)齊線性方程 12 , n aa a n 解法：（1）求（20.1）特征方程的特征根 12 , k ； （2）計(jì)算方程（20.1）相應(yīng)的解： （i）對每一個實(shí)單根 k ，方程有解 k t e ； （ii）對每一個重實(shí)根1m k ，方程有個解：m 21 , , kk k tt t m etete te k t ； 常微分方程復(fù)習(xí)資料

18、 中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué) 統(tǒng)數(shù)學(xué)院信科 1101 陳弄祺 - 5 - （iii）對每一個重?cái)?shù)是1的共軛復(fù)數(shù)i ，方程有兩個解：cos , sin tt ete t ； （iv）對每一個重?cái)?shù)是的共軛復(fù)數(shù)1m i ，方程有個解：2m 1 1 cos , cos , , cos ; sin , sin , , sin tt mt tt mt ettettet ettettet ； （3）根據(jù)（2）中的（i）、（ii）、（iii）、（iv）情形，寫出方程（20.1）的基本解組及通解 21（常系數(shù)非齊次線性方程）()y py qy f x 二階常系數(shù)非齊次線性方程對應(yīng)齊次方程，通解 結(jié)構(gòu) 0ypyqy y Yy 設(shè)非齊次方程特解() x y Qxe 代入原方程 2 () (2 ) () ( ) () () m Q x pQ x p qQx P x （1）若不是特征方程的根，可設(shè) 2 0pq () () m Qx Q x，() x m y Qxe ； （2）若是特征方程的單根，20 2 0pq p ，可設(shè)() () m Qx xQ x，() x m y xQ x e ； （3）若是特征方程的重根，20 2 0pq p ，可設(shè)， 2 () () m Qx xQ x 2 () x m y xQ xe () kx 綜上討論，設(shè)y m xe Q x ， 0 1 2 k 不是根 是單根 是重根