《《數(shù)學(xué)物理方法》第10講》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《《數(shù)學(xué)物理方法》第10講（13頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、8. Bessel 函數(shù)的性質(zhì) 2009. 4. 9 一 . Bessel方程的引出 設(shè)有半徑為 b 的薄圓盤(pán) , 其側(cè)面絕熱 , 若圓盤(pán)邊界 例： 溫度分布。 上溫度恒為零度 , 且初始溫度已知 , 求圓盤(pán)內(nèi)瞬時(shí) 解： 此問(wèn)題可以歸結(jié)為如下二維方程的定解問(wèn)題： . ),(| 0| ) ( ), ( 0 2222 222 yxfu u byxuuau t byx yyxxt 用分離變量法求解 , 先將 t 分離出來(lái) , 設(shè)方程的解為 . )( ) ,( tTyxvu 帶入原方程得 . )( 2 TvvaTv yyxx 即 2 v vv Ta T yyxx . 由此可得 , 0 2 TaT 前一
2、方程的通解為 ,)( 2 taAetT 其中 A 為常數(shù)。 . 0 vvv yyxx 后一方程稱(chēng)為 Helmholtz 方程。 它須滿(mǎn)足條件 . 0| 222 byxv 為求其解， 將方程 和條件寫(xiě)成極坐標(biāo)形式。 .0| )( , 0 11 2 bv bvvvv 再令 , )( )( Rv 代入上式得 )( 0 )( . 0 ) ( 22 RRR 由 (*)式及周期條件 )2( 得特征值 , 2m . Zm 對(duì)應(yīng)特征函數(shù)為 . s i nc o s mDmC mmm 將 2m 代入 (*)式得 . 0 ) ( 222 RmRR 據(jù)此得 (*)的通解為 作變換 r 將上方程化為標(biāo)準(zhǔn) Bessel
3、 . 0 )( 222 RmrRrRr . ) () ()( mmmm YQJPR 由定解條件及溫度有限知 . )0( 0)( R bR 此為第一類(lèi)邊界條件下 Bessel函數(shù)的本征值問(wèn)題， 進(jìn)一步的討論涉及 Bessel 函數(shù)的零點(diǎn)等問(wèn)題。 若 ,0 方程： 若 ,0 (*)式化為 . 0 22 RmRR 因此 , 0mQ ) ( .0)( )(0 ) ()( bR b JPR mm 且 其通解為 ; ) 0 ( , ln00 mQPR . ) 0 ( , mQPR mmmm 由定解條件及溫度條件得 ).,2 ,1 ,0( , 0 mQP mm 此時(shí)方程 (*)只有零解。 若 ,0 令 ,
4、2k 方程 (*)化為 . 0 )( 2222 RmkRR 稱(chēng)此方程為修正的 Bessel 方程， 將在后面討論。 圖 4.1.1 （ a） 圖 4.1.1（ b） 0Jx 1Jx x x 0Yx 1Yx )2()1( ! )1()( 0 2 k mk k m x kmkxJ si n )(c o s)(lim)( xJxJxY mm 二 . Bessel函數(shù)的性質(zhì) 二 . Bessel函數(shù)的性質(zhì) Bessel 函數(shù)具有如下性質(zhì)： 1.原點(diǎn)處 )(xJm 有有限值， )(xYm 無(wú)有限值。 2.函數(shù) )(xJm 和 )(xYm 都有無(wú)窮多個(gè)單重實(shí)零點(diǎn)。 的零點(diǎn)在實(shí)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)分布。 )(x
5、Jm 3.函數(shù) )(xJm 和 )(xYm 的零點(diǎn)相間分布 , 以 )(mnx 表示 )(xJm 的第 n 個(gè)正零點(diǎn) , 則 . )1()( mnmn xx 4. ,) (lim )()( 1 mnmnn xx 且 , )42 c o s () 2()(lim 21 mx xxJ mx . )42 si n () 2()(lim 21 mx xxY mx 由上述關(guān)于 Bessel 函數(shù)零點(diǎn)的討論 , 本征值問(wèn)題 ) ( .0)( )(0 ) ()( bR b JPR mm 應(yīng)該為 . 0 ) ( bJP mm 因 , 0mP 必有 , )( m nxb ). ,2 ,1 ( , 2 )( n
6、b x mn n 對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)是 . ) ,2 ,1 ( , ) ()( )( n b xJPR mn mmm 一般地 , Bessel 函數(shù)的本征值問(wèn)題為 . 0|) ( 0 ) ( 222 RRR RmRR 0 和 0 分別對(duì)應(yīng)第一類(lèi)和第二類(lèi)邊界條件。 三 . Bessel函數(shù)的遞推公式 整數(shù)階 Bessel 函數(shù)是 它滿(mǎn)足如下遞推公式： 1. ; )( )( d d 1 m m m m x xJ x xJ x 2. 3. ; )()()( 1 xxJxmJxxJ mmm . )2()!( ! )1()( 0 2 k mk k m x kmkxJ ; )( )( d d 1 xJxxJx
7、x mmmm 4. ; )()()( 1 xxJxmJxxJ mmm 5. ;)( )( 2)( 11 xJxJ xxmJ mmm 6. . )( )( 2 1)( 11 xJxJxJ mmm 證明 . )( )( d d 1 m m m m x xJ x xJ x . )21()!( ! )1()( 0 22 k kmk k m m x kmkx xJ 1 122 ) 2 1( )!( ! )1( 2)( d d k kmk k m m x kmk k x xJ x 0 1222 ) 2 1( )!1( ! )1( )1( )1(21 l mlml l m xlml l x 0 12 ) 2
8、()!1( ! )1( 1 l ml l m x lmlx . )1 m m x xJ 特別地 , )()( 10 xJxJ 或 . )(d )( 01 CxJxxJ 證明 . )21()!( ! )1()( 0 222 k mkmk k m m x kmkxJx 0 1222 ) 2 1( )!( ! )1( )(2)( d d k mkmk k m m x kmk mkxJx x 0 12 ) 2()!1( ! )1( k mk k m x kmkx . )(1 xJx mm . )( )( d d 1 xJxxJxx mmmm 第二類(lèi) Bessel 函數(shù) 有類(lèi)似的遞推公式： 1. ; )( )( d d 1 m m m m x xY x xY x 2. 3. ; )()()( 1 xxYxmYxxY mmm ; )( )( d d 1 xYxxYxx mmmm 4. ; )()()( 1 xxYxmYxxY mmm 5. ;)( )( 2)( 11 xYxY xxmY mmm 6. . )( )( 2 1)( 11 xYxYxY mmm si n )(c o s)(lim)( xJxJxY mm 作業(yè) P98 . 3.
《數(shù)學(xué)物理方法》第10講
