《二次函數(shù)與一元二次方程》練習(xí)一

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1、 二次函數(shù)與一元二次方程 ●基礎(chǔ)鞏固 1.如果拋物線 y=－ 2x2+mx－ 3 的頂點(diǎn)在 x 軸正半軸上，則 m=______. 1 2.二次函數(shù) y=－2x2+x－ 2 ，當(dāng) x=______時(shí)，y有最 ______ 值，為 ______.它的圖象與 x 軸 ______ 交點(diǎn) (填“有”或“沒有” ). 3.已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的圖象如圖 1 所示 . ①這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式是 y=______；②當(dāng) x=______ 時(shí)，y=3 ；③根據(jù)圖象回答： 當(dāng) x______ 時(shí)， y>0.

2、 y y 1 B O 12 x A -1 O x 圖 1 圖 2 4.某一元二次方程的兩個(gè)根分別為 x1=－ 2，x2=5，請(qǐng)寫出一個(gè)經(jīng)過點(diǎn) ( －2，0)，(5，0)兩點(diǎn)二 次函數(shù)的表達(dá)式： ______.(寫出一個(gè)符合要求的即可 ) 5.不論自變量 x 取什么實(shí)數(shù)， 二次函數(shù) y=2x2－ 6x+m 的函數(shù)值總是正值， 你認(rèn)為 m 的取值范圍是 ______，此時(shí)關(guān)于一元二次方程 2x2－ 6x+m=0 的解的情況是 ______( 填“有解”或“無 解” ).

3、 6.某一拋物線開口向下，且與 x 軸無交點(diǎn)，則具有這樣性質(zhì)的拋物線的表達(dá)式可能為 ______(只寫一個(gè) )，此類函數(shù)都有 ______值 (填“最大”“最小” ). 7.如圖 2，一小孩將一只皮球從 A 處拋出去， 它所經(jīng)過的路線是某個(gè)二次函數(shù)圖象的一部分， 如果他的出手處 A 距地面的距離 OA 為 1 m，球路的最高點(diǎn) B(8， 9)，則這個(gè)二次函數(shù)的表 達(dá)式為 ______，小孩將球拋出了約 ______米 (精確到 0.1 m). 8.若拋物線 y=x 2－ (2k+1)x+k 2+2，與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則整數(shù) y

4、 k 的最小值是 ______. 9.已知二次函數(shù) y=ax 2+bx+c(a ≠0) 的圖象如圖 1 所示，由拋物 -1 O 1x 線的特征你能得到含有 a、 b、 c 三個(gè)字母的等式或不等式為 -1 ______(寫出一個(gè)即可 ). 10.等腰梯形的周長(zhǎng)為 60 cm，底角為 60，當(dāng)梯形腰 x=______ 時(shí)，梯形面積最大， 等于 ______. 11.找出能反映下列各情景中兩個(gè)變量間關(guān)系的圖象，并將代號(hào)填在相應(yīng)的橫線上 . (1) 一輛勻速行駛的汽車，其速

5、度與時(shí)間的關(guān)系.對(duì)應(yīng)的圖象是 ______. (2) 正方形的面積與邊長(zhǎng)之間的關(guān)系.對(duì)應(yīng)的圖象是 ______. (3) 用一定長(zhǎng)度的鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的面積與其中一邊的長(zhǎng)之間的關(guān)系 .對(duì)應(yīng)的圖 象是 ______. (4) 在 220 V 電壓下，電流強(qiáng)度與電阻之間的關(guān)系 .對(duì)應(yīng)的圖象是 ______. y y y y O x O x O x O x A B C D 12.將進(jìn)貨單價(jià)為 70 元的某種商品按零售價(jià) 100 元售出時(shí)，每天能賣出 20 個(gè).若這種商品的 零售價(jià)在一定范圍內(nèi)每降價(jià) 1 元，其日銷

6、售量就增加了 1 個(gè)，為了獲得最大利潤(rùn)，則應(yīng)降 價(jià) ______ 元，最大利潤(rùn)為 ______元 . 13.關(guān)于二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的圖象有下列命題，其中是假命題的個(gè)數(shù)是（ ） ①當(dāng) c=0 時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn) ; ②當(dāng) b=0 時(shí)，函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱 ; 4ac b2 ③函數(shù)的圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是 4a ; ④當(dāng) c>0 且函數(shù)的圖象開口向下時(shí)，方程 ax2+bx+c=0 必有兩個(gè)不相等的實(shí)根 () A.0 個(gè) B.1 個(gè) C.2 個(gè) D.3 個(gè) 14.已知拋物線 y=ax2+b

7、x+c 如圖所示，則關(guān)于 x 的方程 ax2+bx+c－8=0 的根的情況是 A. 有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根 ; B.有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根 ; C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 ; D.沒有實(shí)數(shù)根 . 15.拋物線 y=kx2－7x－ 7 的圖象和 x 軸有交點(diǎn)，則 k 的取值范圍是 ( ) 7 7 A. k>－ 4 ; B. k≥－ 4  7 7 且 k≠ 0; C.k≥－ 4 ; D. k>－ 4 且 k≠ 0 16.如圖 6 所示，在一個(gè)直角三角形的內(nèi)部作一個(gè)長(zhǎng)方形 ABCD ，其中 AB 和 BC 分

8、別在兩直 角邊上，設(shè) AB =x m，長(zhǎng)方形的面積為 y m2，要使長(zhǎng)方形的面積最大，其邊長(zhǎng) x 應(yīng)為 ( ) 24 5 A. 4 m B.6 m C.15 m D. 2 m y 8 y 5m A D 2. 4 O 12 x O x C B 12m 圖 4 圖 5 圖 6 17.二次函數(shù) y=x2－ 4x+3 的圖象交 x 軸于 A、B 兩點(diǎn)，交 y 軸于點(diǎn)

9、 C，△ ABC 的面積為 ( ) A.1 B.3 C.4 D.6 18.無論 m 為任何實(shí)數(shù)，二次函數(shù) y=x2+(2 －m)x+m 的圖象總過的點(diǎn)是 ( ) A.( － 1， 0); B.(1， 0) C.(－ 1， 3) ; D.(1 ，3) 19.為了備戰(zhàn) 2008 奧運(yùn)會(huì)，中國足球隊(duì)在某次訓(xùn)練中，一隊(duì)員在距離球門 12 米處的挑射， 正好從 2.4 米高 (球門橫梁底側(cè)高 )入網(wǎng) .若足球運(yùn)行的路線是拋物線 y=ax2+bx+c(如圖 5 所示 )， 則下列結(jié)論正確的是 ( )

10、 1 1 ①a<－ 60 ②－ 60 A. ①③  0 ④0

11、在 x 軸正半軸上， B 點(diǎn)在 x 軸的負(fù)半軸上，則 m 的取值范圍應(yīng)是 ( ) A.m>1 B.m> －1 C.m< －1 D.m<1 22.如圖 7，一次函數(shù) y=－ 2x+3 的圖象與 x、y 軸分別相交于 A 、C 兩點(diǎn)，二次函數(shù) y=x 2+bx+c 的圖象過點(diǎn) c 且與一次函數(shù)在第二象限交于另一點(diǎn) B ，若 AC ∶CB=1 ∶ 2，那么，這個(gè)二次 函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ( ) 1 11 1 5 1 11 1 11 A.( － 2 ， 4 ) B.( － 2 ， 4 ) C.( 2 ， 4 ) D.(

12、 2 ，－ 4 ) 23.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)現(xiàn)在年產(chǎn)值是 15 萬元，如果每增加 100 元投資，一年增加 250 元產(chǎn)值，那么 總產(chǎn)值 y(萬元 ) 與新增加的投資額 x(萬元 ) 之間函數(shù)關(guān)系為 ( ) A.y=25x+15 B.y=2.5x+1.5 C.y=2.5x+15 D.y=25x+1.5 24.如圖 8，鉛球運(yùn)動(dòng)員擲鉛球的高度 y(m) 與水平距離 x(m) 之間的函數(shù)關(guān)系式是 y= － 1 2 5 12 x2+ 3 x+ 3 ，則該運(yùn)動(dòng)員此次擲鉛球的成績(jī)是 ( )

13、 A.6 m B.12 m C.8 m D.10 m y y M B C A O A x O x O B 圖 7 圖 8 圖 9 25.某幢建筑

14、物，從 10 m 高的窗口 A ，用水管向外噴水，噴出的水流呈拋物線狀 (拋物線所 40 在的平面與墻面垂直，如圖 9，如果拋物線的最高點(diǎn) M 離墻 1 m，離地面 3 m，則水流落 地點(diǎn) B 離墻的距離 OB 是 ( ) A.2 m B.3 m C.4 m D.5 m 26.求下列二次函數(shù)的圖像與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo) ,并作草圖驗(yàn)證 . 1 (1)y= 2 x2+x+1; (2)y=4x 2-8x+4;(

15、3)y=-3x 2-6x-3; (4)y=-3x 2 -x+4 27.一元二次方程 x2+7x+9=1 的根與二次函數(shù) y=x 2+7x+9 的圖像有什么關(guān)系 ? 試把方程的根 在圖像上表示出來 . 28.利用二次函數(shù)的圖像求下列一元二次方程的根 . (1)4x 2-8x+1=0; (2)x 2-2x-5=0; (3)2x 2-6x+3=0; (3)x 2-x-1=0. 29.已知二次函數(shù) y=-x 2+4x-3,

16、其圖像與 y 軸交于點(diǎn) B,與 x 軸交于 A, C 兩點(diǎn) . 求△ ABC 的周 長(zhǎng)和面積 . ●能力提升 30.某商場(chǎng)以每件 20 元的價(jià)格購進(jìn)一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)，這種商品每天的銷售量 m(件 )與 每件的銷售價(jià) x(元 )滿足關(guān)系： m=140－ 2x. (1) 寫出商場(chǎng)賣這種商品每天的銷售利潤(rùn) y 與每件的銷售價(jià) x 間的函數(shù)關(guān)系式 ; (2) 如果商場(chǎng)要想每天獲得最大的銷售利潤(rùn)，每件商品的售價(jià)定為多少最合適？最大銷售利潤(rùn)為多少？

17、 1 31.已知二次函數(shù) y=(m2 －2)x2－ 4mx+n 的圖象的對(duì)稱軸是 x=2，且最高點(diǎn)在直線 y= 2 x+1 上， 求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式 . 32.如圖，要建一個(gè)長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻，如果用  50 m  長(zhǎng)的籬笆圍成中間有一道 籬笆隔墻的養(yǎng)雞場(chǎng)，設(shè)它的長(zhǎng)度為  x m. (1) 要使雞場(chǎng)面積最大，雞場(chǎng)的長(zhǎng)度應(yīng)為多少m？ (2)

18、如果中間有 n(n 是大于 1 的整數(shù) )道籬笆隔墻， 要使雞場(chǎng)面積最大， 雞場(chǎng)的長(zhǎng)應(yīng)為多少 m？比較 (1)(2) 的結(jié)果，你能得到什么結(jié)論？ x 33.當(dāng)運(yùn)動(dòng)中的汽車撞到物體時(shí)，汽車所受到的損壞程度可以用“撞擊影響”來衡量 .某型汽 車的撞擊影響可以用公式 I=2v2 來表示，其中 v(千米 /分 )表示汽車的速度 ; (1) 列表表示 I 與 v 的關(guān)系 . (2) 當(dāng)汽車的速度擴(kuò)大為原來的2 倍時(shí)，撞擊影響擴(kuò)大為原來的多少倍？

19、 34.如圖 7，一位運(yùn)動(dòng)員在距籃下 4 米處跳起投籃， 球運(yùn)行的路線是拋物線， 當(dāng)球運(yùn)行的水平 距離為 2.5 米時(shí)，達(dá)到最大高度 3.5 米，然后準(zhǔn)確落入籃圈 .已知籃圈中心到地面的距離為3.05 米. (1) 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求拋物線的表達(dá)式 ; (2) 該運(yùn)動(dòng)員身高 1.8 米，在這次跳投中，球在頭頂上方 0.25 米處出手，問：球出手時(shí)，他 跳離地面的高度是多少 . y (0,3.5) 3.05 m O x 4 m 35.某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品，年初上市后，公司經(jīng)

20、歷了從虧損到盈利的過程， 下面的二次函數(shù)的圖象  (部分 )刻畫了該公司年初以來累積利潤(rùn)  S(萬元 )與銷售時(shí)間  t(月 )之間 的關(guān)系  (即前  t 個(gè)月的利潤(rùn)總和  S 與  t 之間的關(guān)系  ). (1) 根據(jù)圖象你可獲得哪些關(guān)于該公司的具體信息？(至少寫出三條 ) (2) 還能提出其他相關(guān)的問題嗎？若不能，說明理由；若能，進(jìn)行解答，并與同伴交流 . S ( 萬元 ) 5 4 ? 3 2 月 1 份

21、 O t -1 -2 36.把一個(gè)數(shù) m 分解為兩數(shù)之和，何時(shí)它們的乘積最大？你能得出一個(gè)一般性的結(jié)論嗎？ ●綜合探究 37.有一種螃蟹，從海上捕獲后不放養(yǎng)，最多只能存活兩天 .如果放養(yǎng)在塘內(nèi)，可以延長(zhǎng)存活 ，但每天也有一定數(shù)量的蟹死去 .假 放養(yǎng)期內(nèi)蟹的個(gè)體 量基本保持不 ， 有一 商，按市 價(jià)收 種活蟹 1000 kg 放養(yǎng)在塘內(nèi)，此 市 價(jià) 每千克 30 元，據(jù) 算， 此后每千克活蟹的市 價(jià)每天可上升 1 元，但是，放養(yǎng)一天需支出各種 用 400 元，且平

22、 均每天 有 10 kg 蟹死去，假定死蟹均于當(dāng)天全部 售出，售價(jià)都是每千克 20 元 . (1) 設(shè) x 天后每千克活蟹的市 價(jià) p 元，寫出 p 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式 ; (2) 如果放養(yǎng) x 天后將活蟹一次性出售，并 1000 kg 蟹的 售 Q 元，寫出 Q 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式 . (3) 商將 批蟹放養(yǎng)多少天后出售，可 最大利 (利 =Q－收 )？ 38. 中 a 是棱 a 的小正方體， b、 c 由 的小正方體 放而成，按照 的方法 放， 自上而下分 叫

23、第一 ， 第二 ??， 第 n ，第 n 的小正方形的個(gè)數(shù) S， 解答下列 ： a b c (1) 按照要求填表： n 1 2 3 4 ? S 1 3 6 ? (2) 寫出當(dāng) n=10 ， S=______; (3) 根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)， 把 S 作 坐 ， n 作 橫坐 ， 在平面直角坐 系中描出相 的各點(diǎn); (4) 你猜一猜上述各點(diǎn)會(huì)在某一個(gè)函數(shù) 象上 ？如果在某一函數(shù)的 象上，求出 函數(shù) 的表達(dá)式；若不在， 明理由 .

24、 S O n 參考答案 1 3 1.2 6 2. 4 大 － 8 沒有 3.① x2－ 2x ② 3 或－ 1 ③ <0 或 >2 4. y=x2－ 3x－ 10 9 5. m> 2 無解 6.y=－ x2+x－ 1 最大 1 7.y=－ 8 x2+2x+1 16.5 8. 2 9.b2－ 4ac>0(不唯一 ) 225 3

25、 10 . 15 cm 2 cm2 11.(1)A (2)D (3)C (4)B 12. 5 625 13.B 14.C 15.B 16.D 17.B 18.D 19.B 20.B 21.B 22.A 23.C 24.D 25.B 〔提示：設(shè)水流的解析式為 y=a(x－ h)2 +k, 40 ∴ A(0 ， 10)，M(1 ， 3 ). 40 40 ∴ y=a(x － 1)2+ 3 ， 10=a+ 3 . 10 ∴ a

26、=－ 3 . 10 40 ∴ y= － 3 (x－ 1)2+ 3 . 令 y=0 得 x=－ 1 或 x=3 得 B(3 ，0), 即 B 點(diǎn)離墻的距離 OB 是 3 m 4 26.(1) 沒有交點(diǎn) ;(2)有一個(gè)交點(diǎn) (1,0);(3) 有一個(gè)交點(diǎn) (-1,0);(4) 有兩個(gè)交點(diǎn) ( 1,0),( 3 ,0),草圖略 . 27.該方程的根是該函數(shù)的圖像與直線 y=1 的交點(diǎn)的橫坐標(biāo) . 28.(1)x ≈ 1.9,x ≈ 0.1;(2)x ≈ 3.4,x 2 ≈-1.4;(3)x

27、1 ≈ 2.7,x 2 ≈ 0.6;(4)x 1 ≈ 1.6,x 2 ≈-0 .6 1 2 1 29.令 x=0, 得 y=-3, 故 B 點(diǎn)坐標(biāo)為 (0,-3). 解方程 -x2+4x-3=0, 得 x1=1,x 2=3. 故 A 、 C 兩點(diǎn)的坐標(biāo)為 (1,0),(3,0). 所以 AC=3-1=2,AB= 12 32 10 ,BC= 32 32 3 2 , OB= │ -3│ =3. C△ ABC =AB+BC+AC= 2 10 3 2 . 1 1

28、 S△ ABC = 2 AC OB= 2 2 3=3. 30． (1)y=－ 2x2+180x－ 2800. (2) y=－ 2x2+180x－ 2800 =－2(x2－90x)－ 2800 =－2(x－ 45)2+1250. 當(dāng) x=45 時(shí)， y 最大 =1250. ∴每件商品售價(jià)定為 45 元最合適，此銷售利潤(rùn)最大，為 1250 元 . 1 31．∵二次函數(shù)的對(duì)稱軸 x=2，此圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 2，

29、此點(diǎn)在直線 y= 2 x+1 上. 1 ∴ y= 2 2+1=2. ∴ y=(m2－ 2)x2－ 4mx+n 的圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (2， 2). b 4m ∴－ 2a =2.∴－ 2( m2 2) =2. 解得 m=－ 1 或 m=2. ∵最高點(diǎn)在直線上，∴ a<0, ∴m=－1. ∴ y=－ x2+4x+n 頂點(diǎn)為 (2， 2). ∴ 2= － 4+8+n.∴ n=－ 2. 則 y=－ x2+4x+2. 32(1) 依題意得 1 x2 50 x. 面

30、y=－ 3 3 1 50 1 ∵y=－ 3 x2+ 3 x= 3 (x2－ 50x) 1 625 =－ 3 (x－ 25)2+ 3 , 625 ∴當(dāng) x=25 ， y 最大 = 3 , 625 即 的 度 25 m ，其面 最大 3 m2. 50 x (2) 如中 有幾道隔 ， 隔 n m. 50 x 1 50 ∴

31、y= n x=－ n x2+ n x 1 1 625 =－ n (x2 －50x) = － n (x－ 25)2+ n , 625 當(dāng) x=25 ， y 最大 = n , 625 即 的 度 25 m ， 面 n m2. ：無 中 有多少道 笆隔 ，要使 面 最大，其 都是 25 m. 33(1) 如下表 v ? － 2 － 1 1 0 － 2

32、 I ? 8 2 1 0 2 (2) I=2 (2v)2=4 2v2.  1 1 2 3 ? 2 1 2 8 18 ? 2 當(dāng)汽 的速度 大 原來的 2 倍 ，撞 影響 大 原來的 4 倍 . 34(1) 拋物 的表達(dá)式 y=ax2+bx+c. 由 知 象 以下點(diǎn)： (0， 3.5)， (1.5，3.05). b 0, a 0.2, 2a c 3.5, 得 b 0, 3.05 1.52 a 1.5b

33、c, c 3.5. ∴拋物 的表達(dá)式 y=－ 0.2x2+3.5. (2) 球出手 ，他跳離地面的高度 h m， 球出手 ，球的高度 h+1.8+0.25=( h+2.05) m, ∴ h+2.05= －0.2 (－ 2.5)2+3.5, ∴ h=0.2(m). 35 (1) 信息： ①1、 2 月份 最多達(dá) 2 萬元 . ②前 4 月份 盈吃平 . ③前 5 月份盈利 2.5 萬元 . ④1~2 月份呈 增加 . ⑤2 月份以后開始回升 .(盈利 ) ⑥4 月份以后 利

34、. ?? (2) ： 6 月份利 和是多少萬元？由 可知，拋物 的表達(dá)式 1 y= 2 (x－ 2)2－2, 當(dāng) x=6 ， y=6( 萬元 )( 不唯一 ). 36． m=a+b y=a b, m a 2 ∴ y=a(m － a)=－ a2+ma= －(a－ 2 )2+ 4 , m a2 當(dāng) a= 2 ， y 最大 4 . ：當(dāng)兩個(gè)數(shù)的和一定， 兩個(gè)數(shù) 它 和的一半 ，兩個(gè)數(shù)的 最大 . 37． (1) 由 意知： p=30+x, (2) 由 意知 活蟹

35、的 售 (1000 －10x)(30+x) 元 , 死蟹的銷售額為 200x 元 . ∴ Q=(1000 － 10x)(30+x)+200x= － 10x2+900x+30000. (3) 設(shè)總利潤(rùn)為 L=Q － 30000－ 400x= － 10x2+500x =－10(x 2－ 50x) = － 10(x－ 25)2+6250. 當(dāng) x=25 時(shí)，總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為 6250 元 . 38． (1)10 (2)55 (3)( 略). (4) 經(jīng)猜想，所描各點(diǎn)均在某二次函數(shù)的圖象上 . 設(shè)函數(shù)的解析式為 S=an2+bn+c. 由題意知 a 1 , a b c 1, 2 4a 2b c 3,解得 b 1 , 9a 3b c 6, 1 n2 1 n. ∴S= 2 2  2 c 0.