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1、第14講三角形及其性質遼寧專用 1三角形的基本性質(1)內角和定理：三角形內角和為180；(2)內外角關系：三角形的一個外角_和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角_任何一個與它不相鄰的內角；(3)三邊關系：三角形的任意兩邊之和_第三邊；任意兩邊之差_第三邊等于大于大于小于 相關概念圖形性質角平分線線段AD平分BAC，則AD是ABC的一條角平分線12BAC內心：三條角平分線的交點，它到各邊的距離相等中線D是線段BC的中點，則線段AD是ABC的一條中線BDDC重心：三角形三條中線的交點高線ADBC，則線段AD是ABC的高線ADBC即ADB ADC90垂心：三條高線的交點中位線連接三角形兩邊中
2、點的線段DE/BC且DEBC中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半垂直平分線點D是BC的中點， DEBC，則DE是ABC的一條垂直平分線連接BE，則BEEC外心：三條垂直平分線的交點，它到各頂點的距離相等；銳角三角形的外心在三角形內，鈍角三角形的外心在三角形外，直角三角形的外心在斜邊中點 4.命題(1)命題：判斷一件事情的語句叫做命題命題為題設和結論兩部分題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項(2)真命題和假命題：如果題設成立，那么結論一定成立這樣的命題叫做真命題；如果題設成立時，不能保證結論一定成立，這樣的命題叫做假命題(3)互逆命題：在兩個命題中，如果第一個命題的題設
3、是另一個命題的結論，而第一個命題的結論是另一個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題 5等腰三角形(1)性質：等腰三角形的兩腰相等，兩底角相等；等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線“三線合一”；等腰三角形是軸對稱圖形，底邊上的中線(頂角的平分線，底邊上的高)所在直線是它的對稱軸(2)判定：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；有兩角相等的三角形是等腰三角形 6等邊三角形(1)性質：三邊相等，三個內角都等于60；等邊三角形是軸對稱圖形，有3條對稱軸；(2)判定：三邊相等、三個內角相等或有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形7直角三角形(1)性質：兩銳角之和等于90；斜邊上的中線等于斜邊的
4、一半；30的角所對應的邊等于斜邊的一半；勾股定理：若直角三角形的兩條直角邊分別為a， b，斜邊為c，則有a 2b2c2.(2)判定：有一個角是直角的三角形是直角三角形；有兩個角互余的三角形是直角三角形；勾股定理逆定理：如果三角形三邊長a， b， c滿足關系a2b2c2，那么這個三角形是直角三角形；一條邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形 8等腰直角三角形(1)性質：兩直角邊相等；兩銳角相等且都等于45；(2)判定：有兩邊相等的直角三角形；有一個角為45的直角三角形；頂角為90的等腰三角形；有兩個角是45的三角形 命題點1三角形的邊角關系1 (2015朝陽12題3分)一個三角形的兩邊長
5、分別是2和3，若它的第三邊長為奇數，則這個三角形的周長為_8 命題點2三角形中的重要線段1 (2015鐵嶺7題3分)如 圖 ，點D， E， F分別為ABC各邊中點，下列說法正確的是( )A DEDFB EF ABC SABDSACDD AD平分 BACC 命題點2三角形中的重要線段2 (2016葫蘆島9題3分)如 圖 ，在ABC中，點D、E分別是邊AB、AC的中點， AF BC，垂足為點F， ADE30， DF4，則BF的長為( )A. 4 B. 8 C. 2 D. 4 D 命題點2三角形中的重要線段3 (2016阜新7題3分)如 圖 ， AD為ABC的BC邊上的中線，沿AD將ACD折疊， C
6、的對應點為C，已知 ADC45， BC4，那么點B與C的距離為( )A 3 B2 C2 D4B 命題點3等腰三角形性質及其相關計算1 (2015丹東6題3分)如 圖 ，在ABC中， ABAC， A30， E為BC延長線上一點， ABC與 ACE的平分線相交于點D，則 D的度數為( )A 15 B17.5 C20 D22.52 (2014鞍山13題2分)如圖， H是ABC的邊BC的中點， AG平分 BAC，點D是AC上一點，且AG BD于點G.已知AB12， BC15， GH5，則ABC的周長為_A 49 命題點3等腰三角形性質及其相關計算3 (2016沈陽16題3分)如 圖 ，在RtABC中，
7、 A90， ABAC，BC20， DE是ABC的中位線點M是邊BC上一點， BM3，點N是線段MC上的一個動點，連接DN、ME， DN與ME相交于點O.若OMN是直角三角形，則DO的長是_ 命題點3等腰三角形性質及其相關計算 命題點3等腰三角形性質及其相關計算 命題點4直角三角形性質及相關計算D 命題點4直角三角形性質及相關計算2 (2015遼陽15題2分)如 圖 ，在ABC中， BD AC于D，點E為AB的中點， AD6， DE5，則線段BD的長等于_8 【例1】 (2016廣州)如圖，已知ABC中， AB10， AC8， BC6， DE是AC的垂直平分線， DE交AB于點D，連接CD，則C
8、D( )A 3 B4 C4.8 D5【分析】由題意得ABC的三條邊長，則利用勾股定理的逆定理得出ABC是直角三角形，根據線段垂直平分線的性質，得DE AC，則DE是ABC的中位線要求DC的長，根據垂直平分線的性質，求出AD即可D 對應訓練1如圖，在ABC中， AD是角平分線， DE AB于點E，ABC的面積為7，AB4， DE2，則AC的長是( )A 4 B3 C6 D5 B 2如圖，在ABC中，點O是重心， BC10，連接AO并延長交BC于點D，連接BO并延長交AC于點E， AD BE.若BE2OD6， AO6，則AC的值為( )A 8 B4 C12 D14B 【例2】 如 圖 ，在ABC中
9、， ABAC5， A60， BD AC于D，點E在BC的延長線上，要使DEDB，則CE的長應等于_【分析】先根據題意判斷出ABC是等邊三角形，由BD AC想到等腰三角形的三線合一，即可得出CD，根據三角形內角和定理可求出 BDE，進而得出 CDE的度數，由此可知CDCE即可得到CE的長【方法指導】在以等腰三角形為背景求線段長的問題中，最常用的工具為“等腰三角形三線合一”，由此可以找到相應的角度，線段長度以及垂直關系，進而可通過三角形全等、相似、勾股定理等求解，若已知圖形中有兩個中點時，常用中位線的性質得到線段平行和數量關系 對應訓練1如圖，在ABC中， ABAC，點E在CA延長線上， EP B
10、C于點P，交AB于點F，若AF2， BF3，則CE的長度為_7 2如圖，ABC中， DEAC， EFAB，BEDCEF.(1)證明：ABC是等腰三角形；(2)試探索ABAC與四邊形ADEF的周長關系(1)證明： DE AC， BED C， EF AB， CEF B， BED CEF， B C，ABC是等腰三角形；(2)解：ABACC 四邊形ADEF，理由： DE AC， BED C， EF AB， CEF B， BED CEF， C CEF BED B， EFCF， DEDB， ACABCFAFADBDEFAFADDEC四邊形ADEF. 【例3】 如 圖 ， RtABC中， AC BC， AD
11、平分 BAC交BC于點D，DE AD交AB于點E， M為AE中點，連接MD，若BD2， CD1.則MD的長為_ 【分析】由“AD平分 BAC， ACBC”想到角平分線上的點到角兩邊的距離相等，過點D作DF AB于點F.則根據已知條件“BD2， CD1”可以推知 B30；然后在含有30角的直角AFD和AED中即可求出MD的長度【方法指導】解決與直角三角形有關的計算：(1)若直角三角形中含有30角時，可考慮利用30角所對的直角邊是斜邊的一半；(2)若直角三角形出現中線時，可考慮利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半進行求解；(3)計算有關線段長問題，如果所求線段是在直角三角形或可通過作輔助線作出含可求出兩邊的直角三角形中，一般應用勾股定理求解，即直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方之和 D
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