階常系數(shù)齊次線性方程

n 一 、 定 義 )(1)1(1)( xfyPyPyPy nnnn n階 常 系 數(shù) 線 性 微 分 方 程 的 標(biāo) 準(zhǔn) 形 式0 qyypy二 階 常 系 數(shù) 齊 次 線 性 方 程 的 標(biāo) 準(zhǔn) 形 式)(xfqyypy 二 階 常 系 數(shù) 非 齊 次 線 性 方 程 的 標(biāo) 準(zhǔn) 形 式 二 、 二 階 常 系 數(shù) 齊 次 線 性 方 程 解 法-特 征 方 程 法,rxey 設(shè) 將 其 代 入 上 方 程 , 得0)( 2 rxeqprr ,0rxe故 有 02 qprr 特 征 方 程,2 422,1 qppr 特 征 根 0 qyypy 有 兩 個(gè) 不 相 等 的 實(shí) 根 ,2 421 qppr ,2 422 qppr ,11 xrey ,22 xrey 兩 個(gè) 線 性 無(wú) 關(guān) 的 特 解得 齊 次 方 程 的 通 解 為 ;21 21 xrxr eCeCy )0( 特 征 根 為 有 兩 個(gè) 相 等 的 實(shí) 根 ,11 xrey ,221 prr )0( 一 特 解 為得 齊 次 方 程 的 通 解 為 ;)( 121 xrexCCy 代 入 原 方 程 并 化 簡(jiǎn) ，將 222 yyy ,0)()2( 1211 uqprrupru ,0u知 ,)( xxu 取 ,12 xrxey 則,)( 12 xrexuy 設(shè) 另 一 特 解 為特 征 根 為 有 一 對(duì) 共 軛 復(fù) 根 ,1 jr ,2 jr ,)(1 xjey ,)(2 xjey )0( 重 新 組 合 )(21 211 yyy ,cos xe x )(21 212 yyjy ,sin xe x 得 齊 次 方 程 的 通 解 為 ).sincos( 21 xCxCey x 特 征 根 為 定 義 由 常 系 數(shù) 齊 次 線 性 方 程 的 特 征 方 程 的 根確 定 其 通 解 的 方 法 稱 為 特 征 方 程 法 .044 的 通 解求 方 程 yyy解 特 征 方 程 為 ,0442 rr解 得 ,221 rr故 所 求 通 解 為 .)( 221 xexCCy 例 1 .052 的 通 解求 方 程 yyy解 特 征 方 程 為 ,0522 rr解 得 ,2121 jr ，故 所 求 通 解 為 ).2sin2cos( 21 xCxCey x 例 2 三 、 n階 常 系 數(shù) 齊 次 線 性 方 程 解 法01)1(1)( yPyPyPy nnnn 特 征 方 程 為 0111 nnnn PrPrPr 特 征 方 程 的 根 通 解 中 的 對(duì) 應(yīng) 項(xiàng)rk重 根若 是 rxkk exCxCC )( 1110 jk復(fù) 根 重 共 軛若 是 xkk kk exxDxDD xxCxCC sin)( cos)( 1110 1110 注 意n次 代 數(shù) 方 程 有 n個(gè) 根 , 而 特 征 方 程 的 每 一 個(gè)根 都 對(duì) 應(yīng) 著 通 解 中 的 一 項(xiàng) , 且 每 一 項(xiàng) 各 一 個(gè)任 意 常 數(shù) . nn yCyCyCy 2211 特 征 根 為 ,1 54321 jrrjrrr 故 所 求 通 解 為 .sin)(cos)( 54321 xxCCxxCCeCy x 解 ,0122 2345 rrrrr特 征 方 程 為 ,0)1)(1( 22 rr .022 )3()4()5( 的 通 解求 方 程 yyyyyy例 3 四 、 小 結(jié)二 階 常 系 數(shù) 齊 次 微 分 方 程 求 通 解 的 一 般 步 驟 :（ 1） 寫 出 相 應(yīng) 的 特 征 方 程 ;（ 2） 求 出 特 征 根 ;（ 3） 根 據(jù) 特 征 根 的 不 同 情 況 ,得 到 相 應(yīng) 的 通 解 . (見(jiàn) 下 表 ) 02 qprr0 qyypy 特 征 根 的 情 況 通 解 的 表 達(dá) 式 實(shí) 根 21 rr 實(shí) 根 21 rr 復(fù) 根 ir 2,1 xrxr eCeCy 21 21 xrexCCy 2)( 21 )sincos( 21 xCxCey x 思 考 題求 微 分 方 程 的 通 解 . yyyyy ln22 思 考 題 解 答,0y ,ln2 2 yy yyy ,ln yyy ,ln yyy x ,lnln yy 令 yz ln 則 ,0 zz 特 征 根 1通 解 xx eCeCz 21 .ln 21 xx eCeCy 一 、 求 下 列 微 分 方 程 的 通 解 : 1、 04 yy ； 2、 025204 22 xdtdxdt xd ； 3、 0136 yyy ； 4、 0365)4( yyy . 二 、 下 列 微 分 方 程 滿 足 所 給 初 始 條 件 的 特 解 : 1、 0,2,044 00 xx yyyyy ； 2、 3,0,0134 00 xx yyyyy . 三 、 求 作 一 個(gè) 二 階 常 系 數(shù) 齊 次 線 性 微 分 方 程 ,使3,2,1 xxx eee 都 是 它 的 解 . 四 、 設(shè) 圓 柱 形 浮 筒 ,直 徑 為 m5.0 ,鉛 直 放 在 水 中 ,當(dāng) 稍向 下 壓 后 突 然 放 開(kāi) ,浮 筒 在 水 中 上 下 振 動(dòng) 的s2周 期 為 ,求 浮 筒 的 質(zhì) 量 . 練 習(xí) 題 練 習(xí) 題 答 案 一 、 1、 xeCCy 421 ； 2、 tetCCx 2521 )( ； 3、 )2sin2cos( 213 xCxCey x ； 4、 xCxCeCeCy xx 3sin3cos 432221 . 二 、 1、 )2(2 xey x ； 2、 xey x 3sin2 .三 、 0 yy . (提 示 : 為 兩 個(gè)xe,1 線 性 無(wú) 關(guān) 的 解 ) 四 、 195M kg.