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1、1 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 第 八 節(jié) 方 程 的 近 似 解一 、 問 題 的 提 出二 、 二 分 法三 、 切 線 法四 、 小 結(jié) 思 考 題 2 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 一 、 問 題 的 提 出【 求 近 似 實(shí) 根 的 步 驟 】 確 定 根 的 大 致 范 圍 根 的 隔 離 根 的 隔 離 區(qū) 間 稱 為 所 求 實(shí)間區(qū) 間 內(nèi) 的 唯 一 實(shí) 根 區(qū)使 所 求 的 根 是 位 于 這 個(gè)確 定 一 個(gè) 區(qū) 間 , baba【 問 題 】 高 次 代 數(shù) 方 程 或 其 他 類 型 的 方 程 求 精確 根 一 般 比 較 困
2、難 ,希 望 尋 求 方 程 近 似 根 的 有 效計(jì) 算 方 法 3 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 軸 交 點(diǎn) 的 大 概 位 置 定 出 它 與 的 圖 形 ， 然 后 從 圖 上如 圖 ， 精 確 畫 出x xfy )( 以 根 的 隔 離 區(qū) 間 的 端 點(diǎn) 作 為 根 的 初 始 近 似值 ， 逐 步 改 善 根 的 近 似 值 的 精 確 度 ， 直 至 求 得滿 足 精 確 度 要 求 的 近 似 實(shí) 根 【 常 用 方 法 】 二 分 法 和 切 線 法 （ 牛 頓 法 ） 4 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 二 、 二 分 法 區(qū) 間 即 是
3、 這 個(gè) 根 的 一 個(gè) 隔 離 ， 于 是內(nèi) 僅 有 一 個(gè) 實(shí) 根在 且 方 程 ，上 連 續(xù) ，在 區(qū) 間設(shè), ),()( 0)()(,)(ba baxf bfafbaxf ；， 那 末如 果 11 0)( f【 作 法 】 ).(2, 11 fbaba ， 計(jì) 算的 中 點(diǎn)取 5 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 ,)()( 1111 bbaaff 同 號(hào) ， 那 末 取與如 果 );(21 0)()(11 1111 abab babfaf ， 且， 即 知由 ,)()( 1111 baabff 同 號(hào) ， 那 末 取與如 果 );(211111 ababba 及也 有
4、總 之 ， );(211111 ababba 且時(shí) ， 可 求 得當(dāng) 6 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 );(21 )(21, 222 2211211 abab bababa 且時(shí) ， 可 求 得當(dāng) 復(fù) 上 述 做 法 ，作 為 新 的 隔 離 區(qū) 間 ， 重以 ).(21 , abab bannnn nn 且可 求 得次如 此 重 復(fù) 小 于 的 近 似 值 ， 那 末 其 誤 差作 為或如 果 以 )(21 ab ban nn 7 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 .10, 04.19.01.1 323 使 誤 差 不 超 過的 實(shí) 根 的 近 似 值用 二
5、 分 法 求 方 程 xxx【 例 】【 解 】 ,4.19.01.1)( 23 xxxxf令 .),()( 內(nèi) 連 續(xù)在顯 然 xf ,9.02.23)( 2 xxxf .0)(,049.1 xf ,),()( 內(nèi) 單 調(diào) 增 加在故 xf 如 圖至 多 有 一 個(gè) 實(shí) 根 0)( xf 8 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 ,06.1)1(,04.1)0( ff .1,00)( 內(nèi) 有 唯 一 的 實(shí) 根在 xf .1,0,1,0 即 是 一 個(gè) 隔 離 區(qū) 間取 ba計(jì) 算 得 : ;1,5.0,055.0)(,5.0 1111 baf 故 ;75.0,5.0,032.0)
6、(,75.0 2222 baf 故 ;75.0,625.0,016.0)(,625.0 2333 baf 故 ;687.0,625.0,0062.0)(,687.0 4444 baf 故 9 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 .10,671.0 , 670.0 3其 誤 差 都 小 于作 為 根 的 過 剩 近 似 值 作 為 根 的 不 足 近 似 值即 ;687.0,656.0,0054.0)(,656.0 5555 baf 故 ;672.0,656.0,0005.0)(,672.0 6666 baf 故 ;672.0,664.0,0025.0)(,664.0 7777 ba
7、f 故 ;672.0,668.0,0010.0)(,668.0 8888 baf 故 ;672.0,670.0,0002.0)(,670.0 9999 baf 故 .671.0,670.0,0001.0)(,671.0 10101010 baf 故 .671.0670.0 10 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 三 、 切 線 法是 根 的 一 個(gè) 隔 離 區(qū) 間 ，內(nèi) 有 唯 一 個(gè) 的 實(shí) 根在 則 方 程 上 保 持 定 號(hào) 在及且 ，上 具 有 二 階 導(dǎo) 數(shù) ，在設(shè) , ),()( ,)()( 0)()(,)(ba baxf baxfxf bfafbaxf 【 定 義
8、】 用 曲 線 弧 一 端 的 切 線 來 代 替 曲 線 弧 ，從 而 求 出 方 程 實(shí) 根 的 近 似 值 ， 這 種 方 法 叫 做 切線 法 （ 牛 頓 法 ） 11 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 【 如 圖 】 更 接 近 方 程 的 根比 軸 的 交 點(diǎn) 的 橫 坐 標(biāo)線 與 作 切 線 ， 這 切那 個(gè) 端 點(diǎn) （ 此 端 點(diǎn) 記 作同 號(hào) 的在 縱 坐 標(biāo) 與 01 00 )(,( )(xx x xfx xf ,0 ax 令 ).)()( 000 xxxfxfy 則 切 線 方 程 為 A Bxyo a b1x )(xfy 0)(,0)( 0)(,0)( x
9、fxf bfaf 12 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 作 切 線 ，在 點(diǎn) )(,( 11 xfx .)( )( 1112 xf xfxx 得 根 的 近 似 值如 此 繼 續(xù) ， 得 根 的 近 似 值 )1()( )( 111 nnnn xf xfxx .,)()( 0 bxxfbf 可 記同 號(hào)與如 果 ,)( )( 0001 xf xfxx 得令 ,0y A Bxyo a b1x )(xfy 2x【 注 意 】 13 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 .10, 04.19.01.1 323 使 誤 差 不 超 過的 實(shí) 根 的 近 似 值用 切 線 法
10、求 方 程 xxx【 例 】【 解 】 ,4.19.01.1)( 23 xxxxf令 .0)1(,0)0(.1,0 ff是 一 個(gè) 隔 離 區(qū) 間上 ，如 圖 ， 在 1,0 ,02.26)( xxf ,09.02.23)( 2 xxxf 14 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 同 號(hào) ，與 )()( xfxf .10 x令代 入 (1),得 ;738.0)1( )1(11 ffx ;674.0)738.0( )738.0(738.02 ffx ;671.0)674.0( )674.0(674.03 ffx ;671.0)671.0( )671.0(671.04 ffx 計(jì) 算
11、停 止 .10,671.0 3其 誤 差 都 小 于得 根 的 近 似 值 為 15 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 四 、 小 結(jié)【 求 方 程 近 似 實(shí) 根 的 常 用 方 法 】二 分 法 、 切 線 法 （ 牛 頓 法 ） 、 割 線 法 【 切 線 法 實(shí) 質(zhì) 】 特 定 的 迭 代 法 求 方 程 的 根 的 迭 代 法 是 指 由 根 的 近 似 值 出 發(fā) ,通 過遞 推 公 式 將 近 似 值 加 以 精 確 化 的 反 復(fù) 演 算 過 程 .【 基 本 思 想 】 )(0)( xxxf )( )()( xf xfxx 【 優(yōu) 點(diǎn) 】 .形 式 簡(jiǎn) 單 便 于 計(jì) 算 ;2.形 式 多 樣 便 于 選 擇 .
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